单一合格资产的标量多元风险度量

此外，在整个过程中，我们将考虑用Minkows k i加法求集的和。A组B 如果1DB+1DcB，则称Lp（Rd）为Ft可分解 B对于任何可测量的D∈ Ft.【52】和【72、53】中讨论的一样，本文中的投资组合是以资产的“物理单位”（在有d资产的m市场中）表示的，而不是以固定数量表示的价值，除非另有说明。也就是说，对于投资组合X∈ L∞t（Rd），xi的值（对于1≤ 我≤ d） 是时间t时投资组合中资产i的未分配数量。设M=R×{0}d-1选择一组合格的投资组合，即可以用来补偿投资组合风险的投资组合。也就是说，为了本文的目的，我们将假设第一项资产是唯一可用于补偿风险的资产（在典型示例中，这将是现金资产）。为便于注释，我们定义Mt=L∞t（M）=L∞t（R）×{0}d-1，L的一个弱*闭线性子空间∞t（Rd）（见第5.4节和第5.5.1节【53】）。我们将表示M+：=M∩Rd+=R+×{0}d-1是M的非负元素。我们将另外表示Mt，+：=Mt∩L∞t（Rd+）=L∞t（M+）=L∞t（R+）×{0}d-1作为Mt的非负元素。用P（Mt；Mt，+）表示u上集，其中P（Z；C）：={D 向量空间Z和序锥C的Z | D=D+C} Z、 此外，设G（Z；C）：={D Z | D=cl co（D+C）} P（Z；C）是上闭凸子集。如前所述，对于下面的对偶结果，我们将考虑p=+∞. 我们将简要描述s et valuedbiconjugation理论中的一组双变量，如[29，31]中所用，这是[43]中首次定义的。首先，定义概率空间度量相对于P作为M的绝对连续性，而P作为M是与M等效的概率度量。

d维概率度量空间相对于P是绝对连续的，用Md表示。自始至终，我们将使用Q-条件期望的P-几乎确定版本，其中Q∈ M、 例如，[19，29]对此进行了定义。Brie fly，let X∈ L∞（R） ，然后确定条件期望eq[X | Ft]：=Eξt，t（Q）X英尺,式中，ξs，σ（Q）[ω]：=E[dQdP | Fσ]（ω）E[dQdP | Fs]（ω）如果EhdQdP每ωFsi（ω）>01 Elsef∈ Ohm. 对于向量值概率测度Q∈ md结果按组件定义，即等式【X | Ft】=等式[X | Ft]，EQd【Xd | Ft】t对于anyX∈ L∞（Rd），定义ξs，σ（Q）：=ξs，σ（Q），ξs，σ（Qd）T、 注意，对于anyQ∈ M和任意时间0≤ t型≤ s≤ σ ≤ T，dQdP=‘ξ0，T（Q）和‘ξT，σ（Q）=‘ξT，s（Q）’ξs，σ（Q）几乎可以肯定。从这个表达式中，我们可以将集值结合理论[43]中的对偶变量集定义为wt：=n（Q，w）∈ Md×M+t，+\\M⊥t型| wTt（Q，w）∈ L（Rd+）o.（2.1）在该表示中，我们定义t（Q，w）=diag（w）ξt，s（Q）的任意时间为0≤ t型≤ s≤ 其中，diag（x）表示主对角线上x的分量构成的对角线矩阵。此外，我们还使用了符号M⊥t型=v∈ Lt（Rd）| EvTu= 0u∈ Mt公司表示MtandC的正交空间+=v∈ Lt（Rd）| EvTu≥ 0u∈ C表示圆锥的正对偶锥 L∞t（Rd）。3标度化在本节中，我们介绍了本文中感兴趣的标度多变量风险度量。我们在第3.1节中提供了与[2、38、40]类似的这些风险度量的公理化定义，并进一步将这些标量风险度量与[29、31、30]的设定值风险度量联系起来。在第3.2节中，我们考虑了这些标量风险度量的对偶表示，它们产生了两个等价的表示。

第一个是关于集值文献中考虑的对偶变量，第二个是对[50]中标量多元超边缘风险度量的对偶表示（1.1）的推广。我们在第3.3节结束时扩展了对偶表示结果，以确定此类表示仅在等效概率测度空间上的充分条件。3.1定义首先，我们希望考虑s calar条件对流风险度量的公理化定义，这将是本文的主题。这些属性提供了一种经典解释，即风险度量是一种资本要求，每种资产的数量越多，风险就越低，多元化会降低风险，而不投资于市场会带来有限的风险（可能为0）。通过本文，我们将考虑单位向量e：=（1，0，…，0）T∈ Rd和零向量0：=（0，0，…，0）T∈ 研发定义3.1。

A映射ρt:L∞（Rd）→ L∞如果t（R）满足所有X，Y的以下性质，则称为标度化条件凸风险度量∈ L∞（Rd）和m∈ L∞t（R）：o条件现金不变性：ρt（X+me）=ρt（X）- m、 o单调性：Y- 十、∈ L∞（Rd+）=> ρt（X）≥ ρt（Y）；o条件凸性：ρt（λX+（1- λ） Y）≤ λρt（X）+（1- λ） 每个λ的ρt（Y）∈ L∞t（[0，1]）；o零点有限：ρt（0）∈ L∞t（R）。如果条件正同质性：ρt（λX）=每个λ的λρt（X），则称标准化条件凸风险度量为相干∈ L∞t（R+）。如果标准化条件凸风险度量额外满足：oρt（X）=ess infk，则称为Kt兼容∈Ktρt（X- k） 对于每X∈ L∞（Rd），其中Kt=PTs=tL∞Fs可测随机凸锥Ks的s（Ks）。Kt兼容性用于允许在时间点s进行交易∈{t，…，t}根据，例如，由s嗅觉锥序列（Kt）Tt=0建模的买卖价格。以下两个结果与单一合格资产（由Mt提供）上的标度化条件风险度量ρtwithset值风险度量r相关。简而言之，aset价值风险度量是从或有债权空间到合格投资组合集合的映射，即资本分配，使初始债权可被风险经理或监管机构接受。这些风险度量满足现金不变性（Rt（X+m）=Rt（X）- m代表X∈ L∞（Rd）和m∈ Mt），单调性（Rt（X） Rt（Y）通知-十、∈ L∞（Rd+），条件凸性（Rt（λX+（1-λ） Y） λRt（X）+（1-λ） X，Y的Rt（Y）∈ L∞（Rd）和λ∈ L∞t（[0，1]））和0的有限度。有关集值条件风险度量的更多详细信息，请参阅[29、31、30]。定理3.2。

让Rt：L∞（Rd）→ G（Mt；Mt，+）：={D Mt | D=cl co（D+Mt，+）}是一个集值条件凸（相干）风险度量，它与Kt兼容（即Rt（X）=Sk∈KtRt（X- k） 对于每X∈ L∞（Rd）），则由ρt（X）定义的映射ρtde：=ess inf{m∈ L∞t（R）| me∈ Rt（X）}十、∈ L∞（Rd）（3.1）是一个标度化的条件凸（对应相干）Kt兼容风险度量，相反，Rt（X）=（ρt（X）+L∞t（R+）e十、∈ L∞（Rd）。证据首先，我们将显示ρt（X）∈ L∞任意X的t（R）∈ L∞（Rd）。假设存在一些Z-, Z+∈ L∞（R） 这样Z-e∈ 十、- KT和Z+e∈ X+Kt。该imp位于Rt（Z-e） Rt（X） Rt（Z+e）与Kt相容。这意味着ρt（X）≥ ρt（Z+e）≥ ρt（kZ+k∞e）≥ -（kρt（0）k∞+ kZ+k∞) > -∞ρt（X）≤ ρt（Z-e）≤ ρt(-kZ公司-k∞e）≤ kρt（0）k∞+ kZ公司-k∞< +∞.其余的性质在[30]的定理3.15和推论3.17中得到证明。其次，考虑相反的语句Rt（X）=（ρt（X）+L∞每个月的t（R+）∈ L∞（Rd）。如果ue∈ Rt（X）然后u≥ ρt（X）的定义。如果ρt（X）e，则遵循另一个方向∈ Rt（X）。为了证明这一点，我们使用了[30，引理3.18]的结果，即RT（X）=\\w∈M+t，+\\M⊥tnu公司∈ Mt |ρM，wt（X）≤ wtu其中ρM，wt表示标量化ρM，wt（X）：=ess infm∈Rt（X）wTm。然后我们注意到wt（ρt（X）e）=wρt（X）=wess inf{u∈ L∞t（R）| ue∈ Rt（X）}=ess infnwTm | m∈ Mt，m∈ Rt（X）o=ρM，wt（X），这意味着结果。假设3.3。对于本文的其余部分，我们将假设定理3.2的条件满足，并且ρtis的构造如（3.1）所示。我们还将假设Kt定义为w.r.t.偿付能力锥（Kt）Tt=0和Kt“K几乎可以肯定对于某些凸锥”K Rdwith int？K Rd+\\{0}。验收设置为 L∞（Rd）通过集值风险度量Rt确定，即At={X∈ L∞（Rd）| 0∈ Rt（X）}。从接受集，我们还可以定义ρtasρt（X）：=ess inf{m∈ L∞t（R）| X+me∈ 在}十、∈ L∞（Rd）。

（3.2）在这种情况下，ρtde定义了当允许市场模型KT定义的交易时，对冲X风险所需的最低资本（在第一项资产中，如欧盟ros）。提案3.4。设ρt:L∞（Rd）→ L∞t（R）是一个标度化的条件凸风险测度。然后，它还满足以下两个特性：1。Ft-Lipschitz连续性：|ρt（X）- ρt（Y）|≤ kX公司- Y kKt，talmost said for everyX，Y∈ L∞（Rd）和2。局部性质：1Bρt（X）=每X 1Bρt（1BX）∈ L∞（Rd）和B∈ 其中，如【6】所述，kXkKt，s：=ess inf{c∈ L∞s（R）| ce≥KtX公司≥千吨级-0的ce}（3.3）≤ s≤ t型≤ T和Y≥KtX如果Y- 十、∈ 千吨级。证据设X，Y∈ L∞（Rd）和B∈ 英尺1。定义kX- Y kKt，te≥KtX公司- Y通过Kt兼容性，这意味着ρt（X）≥ ρt（Y+kX- Y kKt，te）=ρt（Y）- kX公司- 这通过X和Y的对称性提供了所需的结果。通过条件凸性，我们恢复ρt（1BX）=ρt（1BX+1Bc0）≤ 1Bρt（X）+1Bcρt（0），这意味着1Bρt（1BX）≤ 1Bρt（X）。证明逆ρt（X）=ρt（1B[1BX]+1BcX）≤ 1Bρt（1BX）+1Bcρt（X），这意味着1Bρt（X）≤ 1Bρt（1BX）。3.2双重表示我们现在将考虑标量条件风险度量的双重或稳健表示。我们给出了两个等价公式，它们都依赖于下面的Fatou性质中包含的下半连续性质。这两种双重表示中的第一种与基本集值风险度量的双重表示密切相关，如定理3.2所述。关于集值风险度量的双重代表的讨论，请参见[29、31、33]。第二种对偶表示是[50，62]中导出的多元超边缘价格表示（1.1）的推广。定义3.5。设ρtbe为一个标度化条件凸风险测度。

ρt（X）表示满足Fatou性质≤ lim信息→∞ρt（Xn）对于任何k·k∞-几乎可以肯定的是，有界序列X与X重合。现在，我们将为这些规模化条件转换风险度量提供第一个双重表示。这种表示与[33，Ap pendixA.2]中的结果相似。回顾（2.1）中定义的双变量集。此外，我们将广泛使用第2节中介绍的符号，即wst（Q，w）=diag（w）ξt，s（Q）（Q，w）∈ 用ξt，s（Q）Q w.r.t.P.命题3.6的条件Radon-Nikodym导数的向量。设ρtbe为一个标度化条件凸风险测度。那么ρtsatis表示Fatou性质，当且仅当对于任何X∈ L∞（Rd）ρt（X）=ess sup（Q，m⊥)∈Wt（e）-αt（Q，m⊥) - （e+m⊥)TEQ[X |英尺], （3.4）式中，wt（e）：=n（Q，m⊥) ∈ Md×{0}×Lt（Rd-1+)| （Q，e+m⊥) ∈ Wt，wTt（Q，e+m⊥) ∈ K+toandαt（Q，m⊥) := ess supZ公司∈在（e+m⊥)TEQ公司[- Z |英尺]。如果ρt另外是一个条件一致风险度量，那么（3.4）可以减少到ρt（X）=ess sup（Q，m⊥)∈Wρt（e）- （e+m⊥)TEQ【X | Ft】，（3.5）每X∈ L∞（Rd）其中Wρt（e）：={（Q，m⊥) | αt（Q，m⊥) = 0每年}。证据1、假设双重代表（3.4）成立。让X∈ L∞（Rd）和（Xn）n∈NL∞（Rd）是有界序列，使得X=limn→∞最可靠的。因此，YTXn→ YTX a.s.和L（R）中的任意Y∈ L（Rd）（根据支配收敛定理）。因此E-wTt（Q，e+m⊥)TXn公司英尺→ E-wTt（Q，e+m⊥)德克萨斯州英尺a、 在L（R）中表示任何（Q，m⊥) ∈ Wt（e）也是如此。因此，我们可以看到（在静态设置中，例如在[39]中），ρt（X）=ess sup（Q，m⊥)∈Wt（e）-αt（Q，m⊥) + （e+m⊥)TEQ公司[- X |英尺]= ess sup（Q，m⊥)∈Wt（e）-αt（Q，m⊥) + 画→∞（e+m⊥)TEQ公司[-Xn |英尺]= ess sup（Q，m⊥)∈Wt（e）limn→∞-αt（Q，m⊥) + （e+m⊥)TEQ公司[-Xn |英尺]≤ lim信息→∞ess sup（Q，m⊥)∈Wt（e）-αt（Q，m⊥) + （e+m⊥)TEQ公司[-Xn |英尺]= lim信息→∞ρt（Xn）。2、评估“Fatou财产”已满足要求。

为了证明对偶表示（3.4）成立，我们只需要证明E[ρt（·）]是正确的，并且是下半连续的，其逻辑与[33]中的位置A.1.7相同。可以对[33，命题A.1.7]中的条件进行这种修改，因为通过[33，命题A.1.1]及其预测，利用了该结果中对集值风险度量的要求，以确保E[ρt（·）]是适当的且较低的半连续性。通过ρt（X）∈ L∞每X的t（R）∈ L∞（Rd），我们可以得出结论，E[ρt（·）]是合适的。明确Cz：=Z∈ L∞（Rd）| E[ρt（Z）]≤ z对于任何z∈ R、 定义：=Cz∩Z∈ L∞（Rd）| kZk∞≤ r对于任何大于0的r（在这种情况下，我们将取kzk∞:= ess sup maxi=1，。。。，d | Zi |）。取（Xn）n∈N CRZ接近X∈ L∞（Rd）在概率上，存在一个有界子序列（Xnm）m∈N几乎可以肯定会收敛到X。因此ρt（X）≤ lim信息→∞ρt（Xnm），因此（由Fatou引理）X∈ Crz。这是任何r>0的Crzis闭合概率。根据[53，命题5.5.1]，Czis弱*闭合。现在考虑一个网（Xi）i∈我 L∞（Rd）收敛到X∈ L∞（Rd）在弱*拓扑中。L et z：=E[ρt（X）]- 对于任何大于0的。当（Cz）c=Z∈ L∞（Rd）| E[ρt（Z）]>Z是任意>0的X的开放邻域。自Xi以来→ 十、 对于任何>0，存在一个j∈ 我这样认为≥ 我们有Xi∈ （Cz）c，即e【ρt（Xi）】>e【ρt（X）】- . 此处为Forelim infi∈IE[ρt（Xi）]≥ E[ρt（X）]，证明是完整的。最后，相干情况与[37]的推论2.5相同。备注3.7。

对于对集值风险度量的关系感兴趣的读者，让我们注意到，[33]的位置A.1.3提供了基础集值风险度量Rt的有效条件（可选择任何合格空间M M）保证ρtsatis fis为Fatou财产。利用命题3.6中的对偶表示，我们构造了第二个关于一致价格向量的具有单个概率测度的对偶表示。这是对[50]中的超边缘r isk度量的du al r表示的推广。这种新的双重表示法之所以有价值，主要有两个原因：它提供了一种明确的解释，作为所有无摩擦定价过程的最高点，与m市场模型一致，因此，它允许将风险度量值分解为无摩擦市场，从而允许我们在第4节中讨论的新的时间一致性。对于这种表述，请回顾k·kKT的定义，0来自（3.3）。定理3.8。设ρtbe为一个标度化条件凸风险测度。然后ρtsatis确定Fatou性质当且仅当对于任何X∈ L∞（Rd）ρt（X）=ess sup（Q，S）∈Qt-βt（Q，S）- EQhSTTXFti公司（3.6）式中，βt（Q，S）=ess supZ∈在-EQhSTTZFtiandQt=（Q，（Ss）Ts=t）∈ M×TYs=tL∞s（Rd）s=t。。。，Ti=1。。。，d:Ss，1≡ 1，kSs，ik∞≤ max{keikKT，0，1}，Ss=等式[ST | Fs]，dQdPST∈ K+T.证据根据命题3.6，结果大致遵循if1。对于每（R，m⊥) ∈ Wt（e）与e[αt（R，m⊥)] < +∞ 存在a（Q，S）∈ QT使wst（R，e+m⊥) =每次s的ξt，s（Q）sss≥ t、 和2。对于每个（Q，S）∈ qt存在a（R，m⊥) ∈ Wt（e），使wst（R，e+m⊥) =ξt，s（Q）Ssfor every time s。让我们证明第一个属性成立。Let（R，m⊥) ∈ Wt（e）与e[αt（R，m⊥)] <+∞. 设Zs：=wst（R，e+m⊥); 注意，（Zs）Ts=这是一个P-鞅。

然后，我们将通过Ss，i=（Zs，iZs，1on{Zs，1>0}1等定义所有指数i=1，…，d。注意Ss，1处的th≡ 1对于所有时间s和St=e+m⊥∈ L∞t（Rd+）。进一步，定义Q∈ M bydQdP=ZT，1Zt，1=ZT，1（因为ZT=e+M⊥). 请注意{Zs，1=0} {ZT，1=0}根据KtandAssumption 3.3的性质，我们得到{ZT，1=0}={ZT，i=0}（作为ZT∈ K+t）对于指数i的任何选择，在我们可以看到q[ST，i | Fs]=E之前{E[dQdP | Fs]>0}dQdPEhdQdPFsiST，i+1{E[dQdP | Fs]=0}ST，iFs公司= E{Zs，1>0}ZT，1Zs，1{ZT，1>0}ZT，iZT，1+1{ZT，1=0}+1{Zs，1=0}{ZT，1>0}ZT，iZT，1+1{ZT，1=0}Fs公司= E{Zs，1>0}{ZT，1>0}ZT，iZs，1+1{Zs，1>0}{ZT，1=0}ZT，1Zs，1+1{Zs，1=0}{ZT，1>0}ZT，iZT，1+1{Zs，1=0}{ZT，1=0}Fs#=1{Zs，1>0}Zs，1Eh{ZT，1>0}ZT，iFsi+1{Zs，1=0}=1{Zs，1>0}Zs，1Eh{ZT，i>0}ZT，iFsi+1{Zs，1=0}=1{Zs，1>0}Zs，1E[ZT，i | Fs]+1{Zs，1=0}=1{Zs，1>0}Zs，iZs，1+1{Zs，1=0}=Ss，如果有∈ {t，…，t}和任何i=1。。。，d、 最后，ξt，s（Q）Ss=Zs，1{Zs，1>0}ZsZs，1+1{Zs，1=0}= 1{Zs，1>0}Zs=1{ξt，s（R）>0}wst（R，e+m⊥) ∈ K+t。仍然需要证明ST∈ L∞（Rd+）（s<T的情况很简单）：定义keikKT，0e≥KTei公司≥千吨级-keikKT，0对于任何指数i，根据Kt的定义，我们知道keikKT，0<∞. 这意味着dqdpkeikkt，0≥dQdPST，i≥ -dQdPkeikKT，0（注意K+t K+T=Z∈ 左（右）| ZTK≥ 每年0个。K∈ L∞（千吨）), 通过在集合{dQdP>0}上除数bydqdpon，可恢复ST，i∈ L∞(Ohm, Fs，Q；R） 使用kST、ikQ∞≤ keikKT，0（即∞-测度Q下的ST，i的范数有界）。最后，通过constructionST，{dQdP=0}上的i=1，因此kST，ik∞≤ max{keikKT，0，1}。因为S是Q-martin gale，所以绑定kSs，ik∞≤ max{keikKT，0，1}也成立。显示相反的，即第二个属性let（Q，S）∈ Qt。定义m⊥=St公司- e∈ {0}×Lt（Rd-1). 和definedridp=（dQdPST，iSt，ion{St，i>0}1其他。