单一合格资产的标量多元风险度量

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英文标题：
《Scalar multivariate risk measures with a single eligible asset》
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作者：
Zachary Feinstein, Birgit Rudloff
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  In this paper we present results on scalar risk measures in markets with transaction costs. Such risk measures are defined as the minimal capital requirements in the cash asset. First, some results are provided on the dual representation of such risk measures, with particular emphasis given on the space of dual variables as (equivalent) martingale measures and prices consistent with the market model. Then, these dual representations are used to obtain the main results of this paper on time consistency for scalar risk measures in markets with frictions. It is well known from the superhedging risk measure in markets with transaction costs, as in Jouini and Kallal (1995), Roux and Zastawniak (2016), and Loehne and Rudloff (2014), that the usual scalar concept of time consistency is too strong and not satisfied. We will show that a weaker notion of time consistency can be defined, which corresponds to the usual scalar time consistency but under any fixed consistent pricing process. We will prove the equivalence of this weaker notion of time consistency and a certain type of backward recursion with respect to the underlying risk measure with a fixed consistent pricing process. Several examples are given, with special emphasis on the superhedging risk measure.
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中文摘要：
本文给出了具有交易成本的市场中标量风险测度的结果。此类风险度量被定义为现金资产的最低资本要求。首先，给出了这类风险测度的对偶表示的一些结果，特别强调了对偶变量的空间，如（等价）鞅测度和与市场模型一致的价格。然后，利用这些对偶表示得到了本文关于有摩擦市场中标量风险度量的时间一致性的主要结果。从具有交易成本的市场中的超边缘风险度量，如Jouini和Kallal（1995）、Roux和Zastawniak（2016）以及Loehne和Rudloff（2014），众所周知，通常的时间一致性标量概念太强，不能令人满意。我们将证明，可以定义一个较弱的时间一致性概念，它对应于通常的标量时间一致性，但在任何固定的一致定价过程下。我们将证明这种较弱的时间一致性概念和某种类型的向后递归对于具有固定一致定价过程的潜在风险度量的等价性。给出了几个例子，特别强调了超边缘风险度量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Scalar_multivariate_risk_measures_with_a_single_eligible_asset.pdf (411.62 KB)

2022-6-10 08:13:16 上传

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关键词：风险度量 风险度 Presentation Multivariate Quantitative

单eligibleassetZachary-Feinstein的标量多元风险度量*Birgit Rud Loff+2021年2月5日（或原稿：2018年7月27日）摘要在本文中，我们展示了具有交易成本的市场中标量风险度量的结果。此类风险度量被定义为现金资产的最低资本要求。首先，给出了这类风险测度的对偶表示的一些结果，特别强调了对偶变量的空间，如（等价）鞅测度和与市场模型一致的价格。然后，利用这些对偶表示得到了本文关于有摩擦市场中尺度风险测度的时间一致性的主要结果。从具有交易成本的市场中的超边际风险度量（如[50、69、62]）可知，通常的时间一致性尺度概念太强且不令人满意。我们将表明，可以定义时间一致性的更精确概念，它对应于通常的标度时间一致性，但在任何固定的一致定价过程下。我们将用固定的一致性定价过程证明时间一致性这一较弱的概念与潜在风险度量的某种类型的后向递归的等价性。给出了几个例子，特别强调了超边缘风险度量。1简介动态规划原理和时间一致性是计算动态优化问题和保证决策者在下一个时间点不会逆转决策的重要概念。在风险管理的背景下，这些原则由dynamicrisk度量的属性编码。这些职能提供了使风险经理接受投资所需的最低资本要求。

在本文中，我们研究了多元风险度量的时间一致性属性，以考虑交易和市场影响成本的可能性。也就是说，集合之间的无摩擦转换是不可能的，因此，将一个投资组合减少到一个单一的数量，无论是非唯一的还是不唯一的，都需要系统地增加风险。就像将来一样*史蒂文斯理工学院，美国新泽西州霍波肯商学院，邮编：07030，zfeinste@stevens.edu.+维也纳经济与商业大学统计与数学研究所，维也纳A-1020，AUT，brudlo Off@wu。ac.at。在本文后面的工作中，我们的方法将这个问题归结为在所有可能的无套利过程下动态风险度量的时间一致性。本文的组织结构如下。在第1.1节中，我们提供了文献综述，在第1.2节中，我们概述了主要结果以及我们对其研究的动机。在第2节中，我们介绍了本文将使用的风险度量和符号的背景材料。这种表示法中的大部分是集值风险度量文献中使用的比较法。在第3.1节中，我们介绍了本文将考虑的动态标量风险度量的定义，以及关于有界性的基本结果。在第3.2节中，我们为单一合格资产的标量风险度量提供了双重代表。特别强调的是类似于【50】中所考虑的（1.1）的表述，但针对具有交易成本的市场中的一般对流和一致动态风险度量，这将风险度量放松到无套利定价过程集。在第3.3节中，我们给出了有关标量风险度量的相关性或敏感性的结果，这为双重表示仅与等效概率度量有关提供了条件。

在第4节中，我们为具有单个合格资产的标量r ISK度量引入了时间一致性的新概念。这一概念与任何市场一致无摩擦（无套利）价格过程下相应的单变量标量风险度量的时间一致性相一致。因此，与之前的许多文献不同，我们可以并且确实证明，通常的例子满足了这种性质；特别是，我们在第5节中详细介绍了超边缘风险度量和组合风险度量。1.1文献综述在其开创性论文中，Artzner、Delbaen、Eber和Heath【2】介绍了静态单变量环境下一致风险度量的概念，该概念提供了补偿或有索赔风险所需的最低资本。[22]进一步研究了一致性风险度量。这些风险度量被推广到了[38，40]中的Convex案例，同时保留了相同的财务解释和多元化的概念。当引入过滤（Ft）Tt=0时，考虑动态风险度量是很自然的，即根据时间t的信息有条件地补偿或有索赔风险所需的最低资本。在这个时间动态环境中，或有索赔风险随时间传播的方式非常重要，asit对风险管理有重大影响。一种称为（强）时间一致性的条件是，如果一个投资组合未来的风险高于另一个投资组合，那么之前的所有时间都必须保持相同的顺序。这一特性是在单变量条件下，在离散时间[3、66、25、18、70、9、10、11、37、20、19、1、39]和连续时间[41、23、24]中研究的。其他较弱的时间一致性形式已在[61、60、67、74、75]中提出用于动态风险度量。在这项工作中，我们将考虑多变量风险度量。

多元设置源于存在摩擦的市场，因为将一个投资组合清算成一些数字，不允许回购同一资产。在[51、45、47、44、46]中，在集值静态（单周期）框架中研究了这种设置。最近，单期框架下的集值风险度量被应用于研究系统性风险[35，8]。在集值时间动态框架中，在[29，6]中引入了时间一致性的新概念，称为多端口时间一致性。[31、30、33、34、17]进一步研究了这种性质。[32，62]研究了此类集值风险度量的计算。这项工作的重点是单一合格资产的动态标量多元风险度量。文献[30、33、34]中已经讨论了具有多个灵活资产的动态标量多元风险度量的一些结果。具有单个合格资产[38，2]或多个合格资产[28，5，77，4，42，56，71]的无冲突市场的标量风险度量可被视为标量多变量风险度量（此类比较参见[30，示例2.26]）。此外，此类功能已在系统性风险的背景下加以考虑，例如，【59，15】。本文的重点是[16，76]中所述的单一合格资产的多变量风险度量的动态版本（见[30，示例2.27和2.28]的简要讨论）。当然，时间一致性并不仅仅是在这里考虑的风险度量的背景下研究的。对于快速控制和阻止出现的问题的时间一致性已经有了实质性的发展和研究，例如，从行为经济学的角度来看，人们认为随着时间的推移，代理人的控制（即选择策略或停止时间）是一致的。

【73】对效用最大化问题的时间一致性进行了调查。我们希望重点介绍[27，13，12]关于随机控制的时间一致性和[49，21]关于最优停止问题的时间一致性的最新工作；这些工作利用了【73】中提出的标准平衡一致规划方法。我们还希望强调[54]，它非常简洁地定义了控制问题的时间一致性问题；这项工作提出并使用了几种不同于先前参考文献中平衡法的方法。自从Ekeland和Lazrak的开创性工作以来，此类时间一致性问题越来越受到关注。事实上，这种时间一致性问题与风险度量的相同方向密切相关。这种控制观点可以通过对偶表示看到，对偶表示是概率测度上的最大化问题。在另一种情况下，通过稳定性【3】，即通过时间粘贴这些概率度量，这是明确的。事实上，我们可以将风险度量的时间一致性视为控制文献中价值函数的递归。在集值框架中情况类似。文献[57，36]研究了多元环境中的随机控制问题，其中值函数现在是一个集值函数；时间一致性情况下值函数的相应向后递归类似于多投资组合时间一致性情况下集值风险度量的向后递归，因为值函数（即风险度量本身）在时间上向后递归。

当然，随机控制问题的结构要复杂得多，例如，与风险度量相比，对初始资本水平的依赖会使反向递归中的数值计算复杂化，参见【57】，其中输入是终端时间的随机向量。1.2动机在这项工作中，我们考虑了具有交易成本的市场风险度量。这些市场摩擦导致需要考虑多变量风险度量（即“实体单位”向量值投资组合的风险度量，即持有的非现有资产或证券的数量，而不是该投资组合在单一数量下的价值），因为无法确定投资组合或投资的单一价值。例如，使用买入价和卖出价之间的当前中间价计算的投资组合的按市值计价严格大于同一投资组合的清算价值；这两种价值都会导致不同的资本要求，并且都不一定会对投资组合的真实风险进行编码。引入了集值风险度量（参见，例如，[51，46]），以便通过考虑所有资本要求的集合来处理这个问题，这些资本要求可能存在于多个不同的资产中，使投资组合可以接受。这样就无需首先将d维投资组合向量转换为一维量，从而避免了与此相关的问题。我们专注于动态多变量风险度量和围绕时间一致性的质量估计。对于集值风险度量，典型的动态规划原则称为多对时间一致性（参见，例如，[29，31]）。这种资产通过比较所有可接受的资本配置来关联向量值投资组合之间的风险。

通常的风险度量，例如超级对冲风险度量，在资产的全部空间可作为资本持有时满足此时间一致性属性。然而，通常情况下，资本只需持有一种货币或现金资产。在这种情况下，多端口对时间一致性可能不再适用于相应的集值风险度量（这种情况下，例如，对于超边缘）。此外，对于单个合格资产，最低资本要求（通常称为集值风险度量的标量化）成为考虑的逻辑目标，但它通常也不满足时间一致性的标量概念。因此，本文的激励问题如下。如果符合条件的资产只是现金资产，集值风险度量不满足多端口时间一致性，且标度化不满足通常的时间一致性，那么该标度风险度量是否存在更合适、更弱的时间一致性形式？佳能利用这样一个事实：对于全套合格资产，集值风险度量是多端口对时间一致的？这两个问题的答案都是肯定的，并将在这项工作中得到解答，请特别参阅下面的引理4.20。我们有特殊的动机来研究具有单一合格资产的标量多变量风险度量问题，这是许多研究有摩擦市场中标量超边际价格的著作的结果。例如，我们参考[7、14、65、50、68]来研究具有交易成本和两种资产的市场中的标量超边际价格。这已扩展到[69，62]中的一般数量的资产。[50]给出的标量s超套期保值价格在求解锥序列（Kt）Tt=0（对于具有比例交易成本的市场，进一步讨论见第3.1节）下的d维度变化如下。

在适当的无套利论证下，标度超边际价格ρSHP(-十） 时间t=0时的第一项（现金）资产单位由ρSHP给出(-十） =sup（Q，S）∈用于X的QEQhSTTXi（1.1）∈ L∞(Ohm, FT，P；Rd）以实物单位支付。对偶变量集由Q给出，表示所有过程的集S=（St）Tt=0以及它们的等价马丁盖尔测度Q，使得St≡ 1和EhdQdPFtiSt公司∈ L∞(Ohm, Ft，P；K+t）对于所有t。在本文中，我们注意到[62]的定理6.1将（1.1）与单一可省略集（num'eraire资产）下的集值超边缘风险度量的标度化相关。我们将在动态框架中为generalconvex风险度量提供类似的双重表示。然后，我们使用该表示法定义一个新的时间一致性属性，如下所述，该属性可以通过超级对冲风险度量来满足。这与之前关于标度多元测度的时间一致性的工作形成对比[48，58]，其时间一致性属性不包括超边缘风险测度作为示例。这也与最近关于多变量问题尺度化的研究一致，如[54，57]，表明通常的时间一致性尺度概念太强，无法满足多变量风险度量的尺度化。虽然时间一致性的较弱形式（例如，[75]）可能会满足规模化的要求，但我们感兴趣的是一个较弱的版本，该版本足够强大，仍然允许与动态规划原则相联系。我们将这项工作中定义的较弱的时间一致性属性称为π-时间一致性，因为它对应于定价过程中出现的所有风险度量π的通常标量时间一致性。也就是说，当市场模型遵循任何（无摩擦）无套利定价过程时，风险度量是时间一致性的。

我们将证明时间一致性这一较弱概念与πSt的某种向后递归的等价性。我们将证明，在具有交易成本（以现金资产表示）的市场中，如[50，69，62]所示的超级对冲风险度量，同时不满足通常的标量时间一致性属性，这也意味着它本身不是递归的，将满足π-时间一致性和关于πSt.2设置的thusa向后递归考虑过滤概率空间Ohm, F、 （Ft）Tt=0，P满足平凡sigma代数的一般条件且F=FT。设|·| nbe为n的任意范数∈ N注|·|处的th等于绝对值运算符。由Lt（D）=L表示(Ohm, Ft，P；D） Ft可测函数的等价类集合X：Ohm → D RN对于某些n∈ N、 此外，用Lpt（D）表示 Lt（D）thoserandom变量X∈ Lt（D）使kXkp=ROhm|X（ω）| pndPp<+∞ 对于p∈(0, +∞) 和kXk∞= ess supω∈Ohm|X（ω）| n<+∞ 对于p=+∞. 我们进一步注意到Lp（D）：=定义的LpT（D）。特别是，如果p=0，Lt（Rd）是Ft可测函数X的等效类的线性空间：Ohm → Rd.对于p>0，Lpt（Rd）表示Ft可测函数X的线性空间：Ohm → Rd使kXkp<+∞对于p∈ (0, +∞]. 请注意，元素X∈ Lpt（Rd）有组件X。。。，XdinLpt（R）用于p的任意选择∈ [0, +∞]. 对于p∈ [1, +∞] 我们将考虑双绞线Lpt（Rd），Lqt（Rd）, 式中，P+q=1（q=+∞ 当p=1且q=1时，NP=+∞), 并赋予它范数拓扑，分别是σL∞t（Rd），Lt（Rd）L上的拓扑∞在p=+∞. 在本文的大部分内容中，我们将重点讨论p=+∞.在整个工作过程中，我们将使用1D表示的指示器功能：Ohm → {0，1}对于某些D∈ F、 定义这些参数，以便1D（ω）=1，如果ω∈否则为D和0。