金融市场中趋势和价值的共存：估计

(2018).3.3.3结果在本节中，我们介绍了第3.3.2节中介绍的估算程序的结果，该程序适用于第3.3.1节中描述的时间序列。为了获得更稳健的估计程序，我们将分两步校准参数。在第一步中，我们校准每个对数价格的时间序列，以获得σN、g和初始基本值v的资产特定值。在第二步中，我们搜索一组参数κ、β、σv，以最大化常见对数可能性的资产类别（即一组股票指数参数、一组商品参数、一组外汇利率参数和一组ZF债券参数）。在表3（见附录A）中，我们报告了模型（3.7）的EM估计结果以及表4（见附录A）中估计参数的T统计量。从该表中，我们观察到，对于所有资产，σ都大大大于σV。这证实了噪音交易者对波动性的贡献很大，因此将其纳入HABM至关重要。这一特征也可以被视为希勒（1980）首次报道的著名“过度波动之谜”的另一个证据。1815185518951935197520154.04.55.05.56.06.57.07.5定价（HABM）值（Gordon）图3：美国股指的对数水平，以及从模型（3.3）获得的平滑基本值，参数见表3。我们还绘制了估计区间的值加/减标准偏差，以及从Gordon模型获得的基准基本值。在图3中，我们给出了表3中给定估计参数的美国股指基本值的平滑估计（使用aKalman平滑器）。我们可以看到，市场价格围绕资产的基本价值波动。自α+κ- αγβ略为正，振荡的驱动力是基本值的不确定性和噪声交易者的活动。

原教旨主义者的价格稳定活动不够强大（相对于噪音水平和趋势追随者的活动），无法防止波动。为了计算美国指数的基本价值基准，我们采用Gordon（1962）模型。根据该模型，权益资产的基本价值是股息的现值，并使用每年6.8%的恒定实际贴现率从实际后续实际股息计算得出，等于1871年以来市场的历史平均实际回报。对于2014年12月之后的股息，我们假设这些股息本身将从上次观察到的股息永远增长，每年增长率为2.2%（这是1871年以来股息的平均增长率）。从图3中我们可以观察到，从1871年到1950年，基准基本值为1-σ，低于我们自己的估计值。从那时起，差异估计值分歧更大，使用Gordon模型获得的值表明，标准普尔500指数是系统的，自70年代以来，股价大幅高估。一些作者认为，未来股息增长率等于近期的平均股息增长率（例如Schmitt和Westerhoff（2017）的10年）。这种股息增长的选择正是由于过去几十年股息增长的增加。因此，我们的估计与戈登模型之间的分歧可以得到缓解。然而，我们发现这种方法不一致且不稳健，这是支持我们估算方法的另一个论点。3.4趋势和价值影响我们重复了Bouchaud等人（2017）的分析，他们的分析表明，每月回报率SPT+1- Pt可由过去趋势信号mt的三次多项式拟合，如前所述。

图4a证实了趋势信号和未来对数收益率之间的关系是非单调的，并且通过表3中的参数模型很好地再现了这种关系。回归系数见表1第二行。回归的调整后R平方为1.3%，大大高于线性回归（表1第一行）。负立方系数表明，大幅度移动（绝对值）往往意味着恢复。对价值影响的仔细分析揭示了一些非线性，但该模型没有很好地解释这些非线性。与趋势影响相反，价值影响的估计取决于模型，因为V必须从校准程序中提取。我们从Shiller的数据集中获取股息数据，可用athttp://www.econ.yale.edu/~希勒/。-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4米-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15返回数据模拟（a）趋势影响-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4伏-P-1-0.50.00.51.0returndatasimulation（b）值效应图4：左图：真实数据（表1的第二行）趋势信号mt上的对数回归，并使用校准模型进行模拟，参数见表3。右图：回归值信号V上的日志返回-P表示真实数据（模型中包含V），并使用相同的模型进行模拟。它本身在图4b中，我们使用真实数据和我们的HABM隐含的基本值V绘制了值效应，并将其与从模型模拟中获得的相同数量进行比较。我们看到，对V的恢复力明显不是线性的，并且在较大的错误定价时增加。

为了解释这一观察结果，我们将在下一节中考虑一个具有原教旨主义者非线性需求函数的扩展模型。趋势和价值效应的分析一起传递了重要的信息。在表1中，我们报告了对数回报回归的结果，其中包含由趋势和错误定价组成的若干回归配置。我们观察到，与仅包含趋势分量的回归相比，在所有回归变量的配置中，三次项MBE的绝对值较小，线性分量较大。与直觉一致，当我们控制数值效应时，图4a（左）中明显的非线性平均值回归对趋势的贡献消失了，这被饱和效应所取代——比较图4a和5a。换言之，当我们将观察值调整为等于零的价格扭曲时，大趋势信号的反向行为就会消失。最后，在控制趋势时，价值效应也会发生变化。我们可以看到，如果我们将趋势信号添加为回归变量，则价值效应的线性分量会变得更大（比较图5b和图4b）。这表明，趋势跟踪者是一股重要的力量，它会降低价值投资者对较小价格差异的预期回报，降低此类投资者介入的动机。

另一方面，观察到价格扭曲较大时，价值效应更强，evenconst m mmd DRCOEFIENT-0.000 0.024---0.001P值0.997 0.000---COEFIENT-0.003 0.068 0.001-0.005---0.013P值0.631 0.000 0.710 0.000---COEFIENT 0.000---0.210-0.044P值0.996---0.000---COEFIENT 0.001---0.167 0.008 0.050P值0.820---0.000系数-0.000 0.119-0.255-0.056P值0.990 0.000-0.000-系数-0.0070.158 0.005-0.005 0.251-0.067P值0.239 0.000 0.020 0.000 0.000-系数-0.006 0.152 0.005-0.003 0.231 0.004 0.068P值0.337 0.000 0.024 0.000 0.000 0.000表1：模型趋势和价值成分的对数回归（3.3）。在最后一列中，我们给出了经调整的回归R平方。-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4米-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.30.4返回（a）值控制的趋势影响。-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4伏-P-1-0.50.00.51.0返回（b）值受趋势控制的影响。图5：左侧：函数Ft（m）=am+am，其中系数A和A在表1的最后几行中给出。右侧：功能Fv（V- P）=b（V- P）+b（V- P），其中系数在表1最后几行中给出。控制趋势时。4非线性原教旨主义需求函数4.1模型动力学上一节提出的模型无法再现金融数据中观察到的价值效应的形状。原因之一可能是原教旨主义者的线性需求函数不足。原教旨主义者的需求取决于许多因素，如对风险的态度、感知，更重要的是，对基本价值的不确定性。假设原教旨主义者的需求函数在错误定价较大时（至少在一定范围内）会出现，这似乎也很自然，这意味着需求函数的阶数高于线性函数。

请注意，这并不一定意味着代理人是风险爱好者，而是意味着当市场估值错误变得更加明显时，更多从事价值投资的代理人开始交易。如果价格扭曲很小（| Vt-另一方面，由于无法观察到的基本价值存在很大的不确定性，原教旨主义者甚至不确定错误定价的迹象。因此，我们预计原教旨主义者的需求函数将在价格扭曲程度较小的地区受到严厉批评。因此，我们建议通过假设基础主义者的需求函数f（Vt）进一步修改Chiarella模型- Pt）包含一个立方项，位于目前考虑的线性项之上：▄f（x）=▄κx+▄κx，其中▄κ可能为正。另一方面，线性系数κ可能为负值，这是放牧等行为病的结果（见Bouchaud et al.（2018），第20章）。我们保留趋势跟踪者的需求函数，如前一节所述。由此产生的价格动态现在由以下广义随机动力系统描述：dPt=f（Vt- Pt）dt+βtanh（γMt）dt+σNdW（N）t，dMt=-αMtdt+αdPt，dVt=gdt+σVdW（V）t，（4.1），其中f（x）=κx+κx，其中κ=λИκ，κ=λИκ，λ是凯尔的冲击参数。注意，当κ=0时，正好恢复等式（3.3）。4.2估计4.2.1无迹卡尔曼滤波器根据与第3.3.2节中相同的推理，我们估计模型（4.1）~vt+1=~vt+g+~ηt+1，pt+1=pt+f（~vt+1）的离散化版本- pt）+βut+1+t+1。（4.2）然而，在目前的情况下，鉴于过去的价格，VT的条件分布不再是高斯分布，我们不能再使用卡尔曼滤波器。在机器学习文献中可以找到几种非线性动态系统的过滤方法。

例如，“粒子滤波”（也称为序贯蒙特卡罗）相当于模拟隐藏状态的动力学vt+1a一定次数（预测步骤），然后在滤波步骤中根据观察对数价格pt+1的可能性调整每个预测的权重，给定模拟中获得的基本值。该方法已用于估算Lux（2017）和Bertschinger等人（2018）的BMS。另一种被称为扩展卡尔曼滤波器（EKF）的方法，通过高斯近似基本值的分布，然后通过对原教旨主义者的非线性需求函数的一阶线性化进行分析传播。Durbin和Koopman（2012）或S"arkk"a（2013）描述了这两种方法。在本文中，我们将应用Julier和Uhlmann（1997）提出的第三种方法，称为无迹卡尔曼滤波器（UKF）。过滤器的思想是通过高斯分布，通过无气味变换确定均值和方差，直接近似原教旨主义者的需求。附录C.1中给出了UKF方法的详细信息。与EKF相比，UKF的主要优点是在计算复杂度相同的情况下具有更高的精度。对于任何非线性，UKF将后验均值和协方差精确地近似为三阶（泰勒级数展开）。相比之下，EKF只能达到一阶精度。所有这些过滤配方都可以与EM一起应用于非线性动力系统的识别（参见Roweis和Ghahramani（2001）中EM与EKF和Kokkala等人（2014）的结合，或Kokkala等人（2015）中EM与粒子过滤器和UKF的结合）。不幸的是，在非线性系统的情况下，我们不能保证算法会收敛到线性系统的对数似然性的局部最大值。

事实上，如果我们对值的条件分布的近似值离真实分布太远（在Kullback–Leibler意义上），那么该算法将最大化一个与系统的对数似然性显著不同的量。因此，我们将使用直接似然最大化来优化非线性模型，而不是应用EM算法。评估程序详情见附录C.4.2.2结果。我们遵循与第3.3.3节相同的两步评估程序。在第一步中，我们校准每个对数价格的时间序列，以获得特定的资产σN、g和初始基本值v，而在第二步中，我们在附录B中的方程式（B.5）下搜索常见讨论。给定资产类别的参数集κ、κ、β。为了防止算法收敛到非物理值，我们将基本波动率σvt固定为第3.3.3节中线性模型获得的值。-4.-3.-2.-负价格扭曲（V-P）-0.3-0.2-0.10.00.10.20.3原教旨主义者的需求函数图6:f（x）：=NPNi=1f（i）的曲线图xσ（i）D, 其中，f（i）是基础设施投资者对资产i（f（i）（x）的估计需求函数：=κ（i）x+κ（i）x），σ（i）Dis是资产i价格扭曲的标准偏差，如我们的非线性模型所示，N是资产数量。请注意，当错误定价很小时，基本需求极为灵活，这与直觉一致。表5（见附录A）给出了模型（4.2）的直接最大似然估计结果。在图6中，我们绘制了原教旨主义者的需求函数，对所有资产进行了标准化和平均化。发现线性参数κ有益且显著（见附录A表6中的T-统计）。

然而，图6显示，其对全需求函数f（x）的影响很小：当P≈ 五、另一方面，非线性参数κ为正且显著。这意味着，正如预期的那样，当原教旨主义者对价值的估计远远偏离市场价格时，他们往往非常活跃，而当价值和价格接近时，他们几乎不活跃。在图7中，我们使用无迹卡尔曼平滑器绘制了美国股票指数基本值的平滑估计，如表5中给出的参数的非线性模型（4.2）所推断。附录A中的图16-19给出了这表明，更好的双参数需求函数族可能是fu（x）=κu符号（x）| x |u，u>1。IDE和Sornette（2002）在不同的背景下提出了具有这种原教旨主义者需求的模型。我们尚未调查这种可能性。1815185518951935197520154.04.55.05.56.06.57.07.5定价（HABM）值（Gordon）图7：美国股指的对数水平，以及表5中给出的参数从非线性模型（4.1）得到的平滑基本值。我们还绘制了估计区间的值加/减一个标准差，以及从Gordon模型获得的基准基本值。给定线性（3.7）和非线性（4.2）模型的估计参数，对若干资产的价值进行平滑估计。我们发现，使用扩展模型估计的基本价值比使用线性模型预测的基本价值更好地跟踪市场价格。原因是，当错误定价变得更大时，原教旨主义者的立方需求函数起到了强大的均值回复力量的作用，因此比线性模型更有效地防止了如此大的偏移。

相应地，最可能的价值路径更接近市场价格。我们认为，这种非线性模型更有经济意义：不仅需求急剧增长的想法很诱人，而且模型的最终产出（就平均错误定价而言）也更合理。4.3趋势和价值效应图8a、8b是非线性模型中图4a、4b在线性情况下的对应物。已使用表5中获得的参数获得回归。虽然模拟的趋势效应与数据中观察到的非常相似，但我们现在发现，非线性模型高估了| V大值基本需求的非线性- P |。然而，当仅限于股票指数时，我们观察到，非线性模型提供了一致的估计和常数m mmd DRCOEFIENT-0.000 0.024--0.001P值0.997 0.000--COEFIENT-0.003 0.068 0.001-0.005--0.013P值0.631 0.000 0.710 0.000--COEFIENT 0.000--0.202-0.041P值0.996--0.000--COEFIENT 0.002--0.158 0.011 0.048P值0.000 730--0.000 0.000系数-0.000 0.127--0.253-0.054P-值0.990 0.000-0.000-系数-0.007 0.172 0.005-0.005 0.254-0.067P-值0.242 0.000 0.028 0.000 0.000-系数-0.005 0.165 0.005-0.004 0.223 0.008 0.070P-值0.347 0.000 0.021 0.000 0.000 0.000 0.000表2：模型趋势和价值成分的对数回报回归（4.1）。