金融市场中趋势和价值的共存：估计

在Barberis et al.（1998）的模型中，过度反应是投资者代表性偏见的结果，而在Hong和Stein（1999）中，部分投资者是趋势跟踪导致过度反应。另一个著名的行为融资模型是Daniel等人（1998），其动机是不同的认知偏见：过度自信和自我归因。在这个模型中，投资者对自己的私人信号过于自信。当价格变化与他们的预测一致时，他们将其归因于自己的技能，并变得更加过度自信，从而形成进一步的短期趋势。在De Long等人（1990）的著名行为模型中，趋势效应归因于投资者情绪和预测中的近期偏差。2.2基于代理人的模型这些行为金融模型的一个弱点是，尚不清楚个人投资者在微观层面的偏见如何转化为宏观层面的价格动态。另一方面，微观和宏观层面之间的联系是基于Agent的模型（ABM）方法的核心目标。基于这些原因，基于代理的技术非常适合测试行为理论（LeBaron，2006）。与行为金融非常相似，ABM方法并不假设投资者是理性的。相反，金融市场被视为一个复杂的演化系统，有一群相互作用的理性、异质的主体，他们遵循简单的“经验法则”策略（LeBaron，2006）。这是一种“自下而上”的方法——代理人之间的微观互动被拼凑在一起，从而产生整个经济的宏观动态。研究表明，ABM能够复制和解释金融市场的各种类型化事实，如过度波动性、波动性集群、收益率增长（参见Lux（1998）、Lux和Marchesi（1999）、Giardina和Bouchaud（2003）、Challet等人。

（2013）和Hommes和LeBaron（2018））。在基于代理的模型中，有一类交易者是具有外推预期的趋势跟踪者：他们对未来价格的信念是通过外推最近的价格趋势形成的。例如，Landier et al.（2017）提供了定量证据，表明投资者更倾向于外推预期，而不是反应不足偏差。外推预期与近期偏差有关，如Kahneman和Tversky（1973）。趋势追随者的自我参照行为创造了趋势，并偏离了基本价值，如Wyart和Bouchaud（2007）。当市场价格远离基本价值时，第二组交易者，即基础论者，介入并采取相反的立场，从而产生了对价值影响负责任的价格反转（Chiarella（1992）；Lux（1998））。作业成本管理系统的最大优势在于，它们提供了对结果价格动态的描述。它可以作为一个非线性动力系统的解，其中分岔和混沌理论可以用来帮助理解结果模型动力学。这种方法被称为分析法，在这组ABM中，可以包括Beja和Goldman（1980年）、Chiarella（1992年）、Brockand Hommes（1997年、1998年）、Lux（1998年）的开创性模型，以及Chiarella和He（2001年）、Chiarella等人（2002年、2006年）、Wyart和Bouchaud（2007年）后来的模型。第二种方法是通过数值模拟代理人的行为来研究价格动态。从所谓的圣达菲模型（见LeBaron et al.（1999）和最近的ReviewWhommes和LeBaron（2018））开始，大量工作都考虑了这种计算方法。作业成本管理的另一个分类是价格制定机制。最常见的定价机制是（i）Walrasian类型的市场清算和（ii）价格影响。

布罗克（Brock）和霍姆斯（Hommes）（1997年、1998年）就是采用沃尔拉斯清算的ABM的例子。在价格影响机制模型中，通常假设超额总需求与价格变化之间存在线性关系，这描述了凯尔做市商的行为（见凯尔（1985））。在具有价格影响机制的模型中，可以引用Beja和Goldman（1980）、Chiarella（1992）、Bouchaud和Cont（1998）、Giardina和Bouchaud（2003）、Wyart和Bouchaud（2007）。3扩展的Chiarella Model3.1模型集UpWe将在时间t表示资产的对数价格为Pt。我们假设价格动态受线性价格影响机制控制：价格从t到t+ 在同一时期的累计需求不平衡（市场上交易的总签约量）中是线性的，我们将其表示为D（t，t+). 这可以写为aspt+- Pt=λD（t，t+) , （3.1）其中λ是“凯尔的λ”，与市场的流动性成反比（凯尔，1985）。投资者的总需求取决于市场参与者的投资策略，我们假设市场参与者的投资决策是异质的，如Chiarella的早期HABMs（1992）所述；勒克斯（1998）；Lux和Marchesi（1999年）。Boswijk et al.（2007）从1871年到2003年对标准普尔500指数的实证研究提供了证据，证明活跃在市场上的两大投资者群体是原教旨主义者，他们押注股价向基本价值的均值回归，图表学家押注趋势将继续。与这些观察结果一致，我们将代理人分类为原教旨主义者、趋势跟踪者和噪音交易者，即具有与未来价格变化无关的交易策略的代理人。趋势跟随者一个常用的趋势信号Mt是过去对数收益率随衰减率α的指数加权移动平均值。

根据Chiarella（1992）的假设，趋势跟随者的需求函数由γ>0的▄βtanh（γMt）给出。参数γ描述图表师对大信号的需求饱和，例如由风险规避和/或预算约束引起的。对于大于γ的趋势信号-1趋势追随者的需求几乎保持不变。市场中趋势跟踪者的总权重由参数▄β获得。与趋势跟随者的行为一致，我们假设▄β>0，即如果趋势为正（负），图表师的需求为正（负），并且它是趋势的递增函数。原教旨主义者原教旨主义者的投资策略是基于感知到的资产内在（或基本）价值，Vt。价值交易者会根据自己的信念，在资产定价过低时购买资产（Vt-Pt>0）。她会把它卖掉的。继Beja和Goldman（1980年）、Chiarella（1992年）和Bouchaud and Cont（1998年）之后，我们在本节中假设，原教旨主义的总需求在定价错误方面呈线性，即由|κ（Vt）给出- Pt），其中κ描述了原教旨主义者在市场中的总体权重。第4节将考虑非线性扩展。噪音交易者最后一组交易者是噪音交易者，他们要么拥有不同于我们考虑的投资期限（月），要么遵循不同于趋势跟踪或价值投资的投资策略。噪声交易者的累积需求由布朗运动W（N）t乘以∑N来描述，它描述了市场中噪声交易者的规模。模型动力学然后给出所有三组投资者的总需求（t，t+) = κt+Zt（Vs- Ps）ds+～βt+Zttanh（γMs）ds+～σNt+ZtdW（N）s.（3.2）此外，我们假设（对数）基本值由波动率σ和平均增长率g的差异驱动。

由此产生的价格动态 → 0由随机动力系统描述：dPt=κ（Vt- Pt）dt+βtanh（γMt）dt+σNdW（N）t，dMt=-αMtdt+αdPt，dVt=gdt+σVdW（V）t，（3.3），其中κ、σN、β分别等于λИκ、λИσN、λИβ。观察到，对于g=0和σN=0，我们恢复了Chiarella（1992）的模型。Beja和Goldman（1980）研究了具有线性需求函数的类似ABM产生的动力学，Bouchaud和Cont（1998）研究了具有趋势跟随者非线性需求的ABM产生的动力学。3.2确定性情况：非线性振荡在本节中，我们简要回顾了模型（3.3）的数学特性。通过假设σN=σV=g=0，我们开始考虑。在这种情况下，系统是确定性的，趋势信号的动力学由二阶微分方程描述：dMtdt+G（Mt）dMtdt+ακMt=0，（3.4），其中G（x）：=α+κ- αγβ1.- tanh（γx）. （3.5）具有一般函数G的方程（3.4）称为Liénard方程，著名的范德波尔振荡器是G（x）=u（x）的特例- 1). 在非线性振动理论中，函数G称为阻尼力。如果α+κ- αγβ<0，（3.6）则对于较小的| Mt |，阻尼G（Mt）为负值，这将使| Mt |随时间增加。对于绝对值较大的趋势信号，阻尼力为正且较大，这将使| Mt |随时间减小。自然，对于满足（3.6）的参数集，这种现象将导致趋势信号的非线性振荡。更微妙的是，（3.4）具有唯一的非退化周期解。Levinson-Smith定理指出，如果（3.6）满足，则动态系统（Mt，Rt），其中Rt=dMt/dt，在相平面中有一个唯一且稳定的极限环围绕着理论原点。因此，mt具有唯一的周期解。

否则，如果（3.6）不满足要求，系统（Mt，Rt）收敛到原点，原点是系统的临界点。图1显示了系统（3.4）在δ中产生的极限环-M平面，其中δ=P-V是价格扭曲。极限环形状没有闭合公式。建立极限环的性质仍然是一个活跃的研究领域。关于极限环几何形状和系统动态分析的更多详细信息，请参见Chiarella（1992）；Chiarella等人（2008年）。为了获得非线性振荡的经济解释，我们将条件（3.6）改写为κ<α（γβ- 1). 在这里，我们立即观察到趋势追随者的交易活动是推动力量的振荡，而原教旨主义者正在抑制它。较长趋势层（α小）的振荡更强，更快-0.100-0.075-0.050-0.025 0.000 0.025 0.050 0.075 0.100M-1-0.50.00.51.0δdδdt=0dMdt=0图1：极限环。δ=P- V表示价格扭曲。趋势跟踪者需求饱和（γ大）和市场中趋势跟踪者的权重更大（β大）。原教旨主义者的更大权重κ削弱了价格波动，以至于如果κ≥ α (γβ - 1） ，那么价格就简单地向基本均衡方向放松，根本没有波动。图2显示了一组满足条件（3.6）的参数的价格（Pt）、基本值（Vt）和趋势信号（Mt）的轨迹。在左边，我们展示了当价值不变且存在非噪声交易者时，价格和趋势的演变。我们观察到价格围绕基本价值波动。这种波动是由两种相互竞争的力量驱动的：价值和趋势。当价格接近价值时，趋势力将价格推离其价值。

当资产价格偏离其基本价值太远时，原教旨主义者正在实施均值回归。这种情况在随机情况下类似，但不太清楚（更现实！）由于噪音。在这种情况下，我们通过在第5.3.3节模型校准3.3.1数据中分析其平稳分布来描述系统的属性。我们在属于四种资产类别（股票指数、商品、固定收入和货币）的大量月度现货价格上估计模型。我们的目标是调查尽可能多的资产。同时，在确定性设置下增加0 20 40 60 80 100 120 1404.04.55.05.56.0PV（a）价格和价值。0 20 40 60 80 100 120 140 45678PV（b）随机设置中的价格和价值。0 20 40 60 80 100 120 140-0.075-0.050-确定性设置下的0.0250.0000.0250.0500.075M（c）趋势信号。0 20 40 60 80 100 120 140-0.15-0.10-随机设置下的0.050.000.050.100.15M（d）趋势信号。图2：模型3.3的价格、基本值和趋势信号轨迹，参数：κ=0.08，β=0.1，γ=50.0，v=5.0，g=0.0。左边：σN=σV=0.0，右边：σN=0.15，σV=0.075。由于结果的稳健性，我们将只选择具有足够长历史的时间序列。因此，对于指数、债券和货币，我们考虑以下七个国家：澳大利亚、加拿大、德国、日本、瑞士、英国和美国。对于货币汇率，我们只考虑对兑美元。我们的商品数据包括原油、亨利中心天然气、玉米、小麦、糖、活牛和铜。我们的现货价格来源于全球金融数据。这是Lempérière等人（2014）考虑的数据集。我们仅将时间序列限制在资产以高流动性自由交易的时期。

因此，我们将限制1973年以来货币汇率的时间序列。从1945年到1973年，布雷顿森林体系内所有货币都与美元挂钩。我们只考虑1920年后的政府债券收益率，与之前一样，它们不是流动交易的。稳定的政府债务市场的出现，与现代中央银行的建立相吻合，这些央行追求货币政策，独立于国家的政治权威。股票指数和大宗商品现货价格的时间序列不受类似限制，可用的价格历史超过200年。从所有商品系列中，我们仅排除第二次世界大战期间和原油周，另外排除1939-1985年期间，当时油价是固定的。由于政治原因，股票指数大幅上涨。由于我们的模型不是为处理跳跃而设计的，因此我们从德国和日本的指数中删除了二战时期，从德国和英国的股票指数中删除了第一次世界大战时期（forGermany，我们还排除了第一次世界大战后被称为“魏玛共和国过度通货膨胀”的时期）。此外，我们排除了1973年至1974年期间，即布雷顿森林体系崩溃后，英国股市崩盘的时期。股票指数和商品价格的时间序列进行了通货膨胀调整。通过将t时的名义价格乘以上次观测的当地CPI（消费者价格指数）与t时的CPI之间的比率，得出t时的股票指数的实际价格。为了获得商品的实际价格，我们使用美国CPI。3.3.2估计：期望最大化算法我们将估计模型（3.3）的离散时间版本，其中一个时间步长等于一个月：pt+1- pt=κ（vt- pt）+βtanh（γmt）+t+1，mt+1=（1- α） mt+α（pt- pt公司-1） ，vt+1=vt+g+ηt+1（3.7），其中tandη皮重i.i.d。

均数和标准差均为零的正态分布分别为σ和σV。SG CTA指数（以前称为Newedge CTA指数）与具有不同窗口长度的趋势跟踪策略的损益之间的相关性表明，趋势跟踪策略的趋势计算的典型期限约为六个月。因此，我们将取α=1/（1+τ）=1/7，其中τ=6。由于模型估计很难确定参数β和γ的值，我们将确定γ-1至资产mtof标准偏差的两倍。该系数2的原因是，趋势效应的饱和开始于2左右（见图4a）。估计这种基于代理的模型的主要挑战是基本值的不可观测性。在经济文献中，有几种估算方法。我们还分别对3个月和9个月的α等于1/4和1/10进行了估算，结果非常相似。公司的基本价值。根据流行的金融理论（Gordon，1962；Shiller，2000），股票的基本价值应等于公司将支付给股东的贴现未来股息的预期价值。这种方法的缺点是需要对这些股息的动态做出强有力的假设。此外，我们不能使用这种方法来计算不支付股息的资产的基本价值，例如商品。在本文中，我们提出了一种不同的方法，即同时估计资产的基本价值和模型的参数。我们注意到，动力系统（3.7）在vt中是线性的，我们将其视为系统的隐藏变量。为了方便起见并与状态空间文献保持一致，让我们用▄vt：=vt表示-1 t前一天资产的基本价值和|ηt：=ηt-1.

然后我们可以将模型（3.7）重写为▄vt+1=g+▄vt+▄ηt+1pt+1=pt+κ（▄vt+1- pt）+βut+1+t+1，（3.8），其中ut+1：=tanh（γmt）是过去价格的函数。将utcomponent视为系统的控制项，我们立即发现，基本值vt可以通过经典卡尔曼滤波器（Kalman，1960）过滤掉，这是系统的已知参数。在模型的参数和隐藏状态未知的情况下，我们可以通过应用期望最大化（EM）算法来估计这两者。该算法通过在两步迭代过程中最大化易于计算的联合对数似然的条件期望来最大化计算边际对数似然的难度。它在一个E步骤和一个M步骤之间交替进行，前者计算给定价格和参数的隐变量后验分布上联合对数似然的条件期望，后者推断E步骤中获得的期望达到最大值的参数。为了完整起见，附录B中提供了EM算法的详细描述。EM算法由Baum et al.（1970）针对隐马尔可夫模型引入，并在Dempsteret al.（1977）中对具有不完全观测值的模型进行了推广。Chen（1981）和Shumway and Stoffer（1982）首次将带卡尔曼滤波器的EM算法用于线性动力学系统的估计。值得注意的是，不需要任何关于资产的经济信息（如公司支付的股息）来估计其潜在的基本价值。有必要观察价格的时间序列，并假设其动态受（3.7）的控制。我们还注意到，我们的框架对替代数据提供了非常好的估计精度，并且比Lux（2017）或Bertschinger等人最近的方法计算效率更高。