金融市场中趋势和价值的共存：估计

在最后一列中，我们给出了经调整的回归R平方。模拟值影响（见图9b），而线性模型无法再现非线性（见图9a），正如我们在第3.4节中观察到的完整数据集。这再次表明，非线性函数f（x）的不同规格可能更适合（例如脚注8中的fu（x），其中u为资产规格）。如第3.4节所述，我们现在一起分析趋势和价值。比较表1和表2，我们注意到，具有基础主义者非线性需求的模型给出了更高的调整后R平方。这进一步证明，我们的扩展模型能够更好地解释价格动态。与模型的线性版本类似，当我们控制价值时（即，当我们将其调节为P=V），大信号的趋势效应反转会演变为饱和，而对于小价格扭曲，趋势控制的价值效应会变得更强。结果图与图5a和5b非常相似，因此此处不重复。5错误定价的分布前面章节中研究的线性和非线性模型都承认价格扭曲（或错误定价）δt=Pt的平稳分布- Vt（记住P和V都是对数）。在这一节中，我们希望在真实数据和模拟中进一步研究这种平稳分布的特性。特别令人感兴趣的是（i）这种分布的方差，这给了我们一个独立的-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4米-0.10-0.050.000.050.10返回数据模拟（a）趋势影响-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4伏-P-10-50510returndatasimulation（b）值影响图8：左图：真实数据和校准模型模拟的趋势信号MTlog回归。

右图：回归值信号V上的日志返回- P表示realdata（模型中包含V），并使用相同的模型进行模拟。-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4伏-P-0.75-0.50-0.250.000.250.500.75返回数据模拟（a）κ=0-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4伏-P-4.-2024returndatasimulation（b）κ6=0图9：马指数在值信号V上的对数回归- P表示真实数据（模型中隐含的V），并使用具有原教旨主义者线性需求的模型（左图）和具有原教旨主义者非线性需求的模型（右图）进行模拟。错误定价的典型幅度的阳离子和（ii）分布的形状（单峰与双峰）。Black（1986）推测“价格超过价值的一半，低于twicevalue”。Bouchaud等人（2017）最近根据经验证实了这一猜测。在图10中，我们绘制了美国和加拿大股票指数的对数价格扭曲的时间序列。由于失真为自然对数标度，y轴上的值0.5对应于错误定价率e0.5=1.65。我们发现181618561896193619762016-1-0.75-0.50-0.250.000.250.500.75畸变（κ3=0）畸变（κ3≠ 0)19201940196019802000-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8畸变（κ3=0）畸变（κ3≠ 0）图10：对于本文考虑的两种模型（线性和非线性），美国股票指数（左）和加拿大股票指数（右）的对数价格扭曲时间序列。请注意，如前一节所述，非线性模型的错误定价较小。所有资产平均的线性模型（3.7）所隐含的价格扭曲方差等于0.233，对应于0.5的均方根扭曲，正如Bouchaud等人（2017）所报告的那样。

非线性模型（4.2）导致0.215的微小方差，正如前一节讨论所预期的那样。-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4025050075010001250150017502000-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4020040060080010001200140016000图11：所有资产平均价格扭曲的模型隐含直方图。左：linearmodel（3.3）；右：非线性模型（4.1）。在图11中，我们绘制了使用本文考虑的两个模型获得的所有资产的平均价格扭曲直方图。我们可以看到，它们都是单峰形状。这意味着市场价格最有可能接近资产的基本价值，尽管分散程度很大，如图所示。然而，当限制某些资产时，如美国股票指数或加拿大股票指数，我们观察到双峰的迹象（见图12）。这是一个多么有趣的观察结果，因为它表明市场最可能的状态是定价过高或过低。Schmitt和Westerhoff（2017）最近也报道了这一点。我们通过applyingSilverman（1981）检验，在统计上证实了错误定价分布的双峰性。检验的无效假设是，所调查的分布最多有k个模式，其中k是检验的一个参数。该检验拒绝了美国股指错定价分布最多有一种模式（p值为1.5%）的完全假设，而不能拒绝分布最多有两种模式的零假设（p值为60.4%）。对于加拿大股票指数的错误定价分布，我们得到了类似的结果——对于最多一种模式的无效假设，p值等于0.1%，对于最多两种模式的无效假设，p值等于90.6%。

因此，在5%的显著水平上，我们拒绝图12所示的两种心理分布都有一种模式的假设，我们也不能拒绝它们最多有两种模式的假设，这表明美国和加拿大指数的错误定价分布是双峰的。-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6020406080100120140-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.60102034050图12：美国股指（左）和加拿大股指（右）的价格扭曲直方图，使用非线性模型（4.1）。注意，（3.3）或（4.1）所描述的随机动力系统在参数空间中发生了唯象分岔（P-分岔），这意味着定价错误的平稳分布从单峰到双峰发生了质的变化。由于与这些系统相关的福克-普朗克方程没有已知的解，因此必须使用近似方法来确定发生分岔的参数集。Chiarella et al.（2008）和Chiarella et al.（2011）的分析结果是P分叉的以下条件：我们采用了R包silvermantest，这是Silverman（1981）测试的一种实施，考虑了Hall和York（2001）建议的修改，以防止其过于保守。当α+κ-αγβ<0（δt，Mt）的稳态分布呈环形，否则为单峰。观察其与确定性情况下存在极限循环的条件相同（见第3.2节）。二维系统的弹坑形状分布对应于定价错误的双峰分布。在图13中，我们绘制了两个模型的模拟价格扭曲分布直方图。自α+κ- αγβ>0对于所有资产，我们观察到模型（3.3）的单峰分布。

对于模型（4.1），由于κ为负值，我们观察到双峰分布。-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 40500010000150002000025000300003500040000-3.-2.-1 0 1 2 305000100001200025000图13：价格扭曲的模拟直方图。左图对应模型（3.3），右图对应模型（4.1）。我们使用表3和表5中的参数。-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 405001000150020002500-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 40255075100125150175-3.-2.-1 0 1 2 3 40102003040506070图14：现货价格的趋势信号分布。左侧：所有资产；中间：1900年以来的美国指数；右边是加拿大指数。然而，请注意，对于模型的基本版本（3.3），错误定价的双峰性总是与趋势信号的双峰性同时存在（见Chiarella et al.（2008）和Chiarella et al.（2011））。数据中未观察到这两种双峰的共存-见图14。扩展模型（4.1）没有这一点。模型（4.1）的相图更丰富，尚未对其进行分析研究。显然，如果κ<0且κ>0，则错误定价的平稳分布是双峰的，见Bouchaud et al.（2018），第20章。-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.060500010000150002000025000-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.60200040006000800010000120001400016000图15：模型（4.2）的模拟趋势信号（左）和价格失真（右）直方图，参数：κ=0.0，κ=0.4，β=0.03，γ=50.0，σN=0.04，σV=0.02，g=0.001，V=5.0。限制当κ<0和κ>0时（如图13的右面板），可以清楚地发现畸变的双峰分布和趋势的单峰分布。但即使κ和κ均为非负，我们也可以获得价格畸变的双峰分布和趋势信号的单峰分布（见图15）。

这是选择具有原教旨主义者非线性需求的模式的另一个原因。6结论在本文中，我们从基于异构代理的模型的角度重新考虑了金融市场中趋势和价值异常共存的问题。该领域已经相当古老，尤其是Chiarella（1992）和Lux和Marchesi（1999）的开创性论文。我们的主要贡献是对四种资产类别（股票指数、商品、外汇利率和政府债券）的广义奇亚雷拉模型进行了估计。特别是，我们的校准程序允许我们估算不同资产的（不可观察的）基本价值，而无需依赖外部经济定价模型。换句话说，市场价格振荡的参考点是校准的输出。我们的扩展Chiarella模型有两种版本：一种是原教旨主义者的需求函数在错误定价中是线性的，另一种是考虑非线性（立方）修正。我们发现，虽然捕获了价格动态的大部分现象学，但线性模型在几个（相关）方面失败了：i）线性模型在校准后不是自洽的，因为它是基本需求的明显非线性；ii）从线性模型中提取的基本值似乎与市场价格的跟踪不够紧密，非线性需求部分纠正了这种差异（尽管错误定价的方差仍然很大，并且与Black因子2兼容）；iii）Schmitt和Westerhoff（2017）最近指出，某些资产的错误定价分布是双峰的，而趋势信号的分布仍然是单峰的。这一特征不可能在线性模型中再现，但可以在非线性模型中容纳。

对于原教旨主义者的需求函数中是否存在非线性，我们给出了几个看似合理、直观的论点，这导致了价格扭曲分布的双峰性。如果得到独立研究的证实，这种双峰现象将是有效市场假说失败的一个显著污点，因为最有可能的情况是资产长期被市场高估或低估。提出的模型直观地解释了Bouchaud等人（2017）观察到的趋势效应非单调形状的产生机制。当我们控制价值的趋势效应（即，我们将价格扭曲设定为零）时，趋势效应的均值回复消失。对这一结果的解释是，大趋势信号与大错误定价密切相关，这加强了原教旨主义者的活动，他们通过采取与趋势相反的立场来消灭趋势追随者的利益。我们论文的另一个值得注意的方面涉及估算程序，该程序在ABM文献中只是缓慢地得到关注（其他近期贡献见Lux（2017）和Bertschingeretal.（2018））。事实上，虽然EM算法完全适合于校准线性模型，但我们提倡使用UncentedKalman滤波器来估计其非线性版本。有几个后续研究问题值得研究。一是将目前的分析扩展到单个股票，对于这些股票，其动态性甚至更为复杂；特别是，众所周知，在趋势跟踪效应开始之前，会发生一些短期平均值逆转。

第二是扩展Chiarellamodel，以说明不同代理群体（趋势追随者、原教旨主义者、噪音交易者）相对权重的时间演变，这可能是由这些策略的相对表现驱动的，这在很大程度上符合Lux（1998）的精神；Lux和Marchesi（1999）；Giardina和Bouchaud（2003年）。最后，调查原教旨主义者需求的非线性的不同函数形状（参见脚注8），并检查我们的结论在不同规范方面的稳健性，这将是一件有趣的事情。从非常实用的角度来看，我们的估算方法提供了一个通用而有效的程序，从价格时间序列中提取金融资产的基本价值。我们确认Bouchaud等人（2017）的观察结果，即通用趋势跟踪策略应辅以基于价格的通用价值策略，以获得最佳投资结果。此外，我们强调在构建这种组合策略时，控制趋势和价格扭曲中的高阶项的重要性。参考Andrei，D.，Cujean，J.，2017年。信息渗透、动量和反转。《金融经济学杂志》123（3），617–645。Asness，C.S.，Moskowitz，T.J.，Pedersen，L.H.，2013年。价值和动力无处不在。《金融杂志》68（3），929–985。Barberis，N.，Shleifer，A.，Vishny，R.，1998年。投资者情绪模型。《金融经济学杂志》49（3），307–343。Barde，S.，2016年。金融市场中基于代理的羊群效应模型的直接比较。《经济动态与控制杂志》73329–353。Barroso，P.，Edelen，R.M.，Karehnke，P.，2017年。拥挤和动量矩。技术代表，工作文件。Baum，L.E.，Petrie，T.，Soules，G.，Weiss，N.，1970年。

马尔可夫链概率函数统计分析中的一种最大化技术。《数理统计年鉴》41（1），164–171。Beja，A.，Goldman，M.B.，1980年。论非均衡价格的动态行为。《金融杂志》35（2），235–248。Bem，D.J.，1965年。自我说服的实验分析。实验社会心理学杂志1（3），199–218。Bertschinger，N.，Mozzhorin，I.，Sinha，S.，2018年。经济物理学的现实检验：基于可能性的物理启发市场模型与经验数据的拟合。arXiv预印本arXiv:1803.03861。布莱克，F.，1986年。噪音《金融杂志》41（3），528–543。Boswijk，H.P.，Hommes，C.H.，Manzan，S.，2007年。股票价格的行为异质性。《经济动力与控制杂志》第31（6）期，1938-1970年。Bouchaud，J.-P.，Bonart，J.，Donier，J.，Gould，M.，2018年。交易、报价和价格：显微镜下的金融市场。剑桥大学出版社。Bouchaud，J.-P.，Ciliberti，S.，Lemperiere，Y.，Majewski，A.，Seager，P.，Sin Ronia，K.，2017年。布莱克是对的：价格在价值的2倍以内。Bouchaud，J.-P.，Cont，R.，1998年。朗之万应对股市波动和崩盘的方法。欧洲物理杂志B-凝聚态物质和复合系统6（4），543–550。布罗克，W.A.，霍姆斯，C.H.，1997年。通向随机性的合理途径。《计量经济学》，1059–1095。布罗克，W.A.，霍姆斯，C.H.，1998年。简单资产定价模型中的异质信念和混沌路径。《经济动力与控制杂志》22（8-9），1235-1274。坎贝尔，J.Y.，希勒，R.J.，1988年。股票价格、收益和预期股息。《金融杂志》43（3），661–676。Carhart，M.M.，1997年。共同基金业绩的持续性。《金融杂志》52（1），57–82。Challet，D.，Marsili，M.，Zhang，Y.-C.，2013年。少数群体博弈：金融市场中的互动主体。OUP目录。Chen，C-F.，1981年。

EM方法通过对潜在变量的估计来建立多指标多原因模型。《美国统计协会杂志》76（375），704–708。Chiarella，C.，1992年。投机行为的动态。运营年鉴研究37（1），101–123。Chiarella，C.、Dieci，R.、Gardini，L.，2002年。投机行为和复杂资产价格动态：全球分析。《经济行为与组织杂志》49（2），173–197。Chiarella，C.、Dieci，R.、Gardini，L.，2006年。具有异质代理人的金融市场中的资产价格和财富动态。《经济动力学与控制杂志》30（9-10），1755-1786年。Chiarella，C.，Dieci，R.，He，X.，2009年。异质性、市场机制和资产价格动态。金融市场手册：动态和演变。Chiarella，C.，He，X.，2001年。异质预期下的资产价格和财富动态。定量金融1（5），509–526。Chiarella，C.、He，X.-Z.、Wang，D.、Zheng，M.，2008年。投机金融市场的随机分岔行为。物理学A：统计力学及其应用387（15），3837–3846。Chiarella，C.，He，X-Z.，Zheng，M.，2011年。对异质代理金融市场模型中噪声影响的分析。《经济动力与控制杂志》35（1），148–162。Chiarella，C.，He，X.-Z.，Zwinkels，R.C.，2014年。资产定价中的异质预期：来自标准普尔500指数的经验证据。《经济行为与组织杂志》105，1-16。Daniel，K.，Hirshleifer，D.，Subrahmanyam，A.，1998年。投资者心理与证券市场反应不足和过度。《金融杂志》53（6），1839-1885年。Dao，T.、Nguyen，T.、Deremble，C.、Lempériere，Y.、Bouchaud，J.、Potters，M.，2017年。多头投资者的尾部保护：趋势凸性在起作用。《投资策略杂志》7（1），61–84。De Bondt，W.F.，Thaler，R.，1985年。