高斯随机波动率模型：标度制度，大型

根据（5.7）、切比雪夫指数不等式和柯西-施瓦茨不等式得出，对于everyy>0，P0，H，Tε（y）≤ e-2年经验值-ZTσ（εHbBs）ds+2ZTσ（εHbBs）dZs≤ e-2年经验值ZTσ（εHbBs）dZs= e-2年经验值-4ZTσ（εHbBs）ds+2ZTσ（εHbBs）dZs+4Zσ（εHbBs）ds≤ e-2年E经验值-8Zσ（εHbBs）ds+4ZTσ（εHbBs）dZs×E经验值ZTσ（εHbBs）ds. （5.9）现在，利用σ的线性增长条件和随机e指数（5.9）是鞅的事实（见[25]中的引理13），我们得到了P0，H，Tε（y）≤ e-2年E经验值ZTσ（εHbBs）ds≤ e-2是4cE经验值8cε2HZTbBsds.从（5.3）可以看出，y依赖于ε>0，因此sup0<ε<εP0，H，Tε（y）≤ le公司-2 y，（5.10），对于一些与y无关的常数l>0。不难看出，（5.8），（5.10），以及部分公式的积分意味着以下内容：CH，H，T（ε，x）=Z∞xeyP0，H，Tε（y）dy。（5.11）接下来，使用（5.11），（4.13），（5.10）和Lebesgue支配的收敛定理，我们可以看到，对于ll x>0，（5.5）中的等式成立。接下来我们将关注α+β=H和β6=H的情况。这种情况是例外的。与邻近政权相比，它表现出一种特殊的不连续性。定理5.6。假设α+β=H，β6=H。还假设推论3.5中的条件成立，且函数σ满足li近似增长条件。那么以下公式成立：Cβ，H，T（ε，xεα）=εαZ∞纽约州x√Tσ（0）！dy+o（εα）asε↓ 0.证明。在定理4.3的证明中确定，对于α=0，-εαZTσ（εHbBs）ds+ZTσ（εHbBs）dZs→ -Tσ（0）+σ（0）ZTin概率。稍加修改，我们可以证明α∈ （0，H）]，-εαZTσ（εHbBs）ds+ZTσ（εHbBs）dZs→ σ（0）ZTin概率。接下来，利用概率收敛意味着分布收敛的事实，我们可以看到thatlimε↓0便士Xε，β，HT≥ xεα=\'\'Nx√Tσ（0）！。（5.12）我们有cβ，H，T（ε，xεα）=EexpnXε，β，HTo-exp{xεα}+=Z∞xεα（ey-exp{xεα}）dh-Pβ，H，Tε（y）i。

（5.13）通过（5.10）证明中的推理，不难看出存在ε>0，从而SUP0<ε<εPβ，H，Tε（y）≤ 东南方-2 y，（5.14）对于某些常数s>0和所有y>0。（5.14）中的估计允许我们在（5.13）中集成byparts。这就给出了cβ，H，T（ε，xεα）=Z∞xεαPβ，H，Tε（y）eydy=εαZ∞xP系统Xε，β，HT≥ uεαexp{uεα}du。（5.15）接下来，再次使用（5.14），我们可以证明支配收敛定理适用于（5.15）中的积分。最后，考虑到（5.12）、（5.14）和（5.15），我们在定理5.6中建立了渐近公式。备注5.7。据我们所知，大多数方法，允许从对数价格的小时间和小噪声大偏差原则推导随机波动率模型中的上限看涨期权价格估计，依赖于综合方差的非平凡指数矩的不确定性，或者，对于较大偏差参数的较小值，取决于资产价格矩的精确性。此类证明中使用的一些想法可以追溯到第2.1条推论[16]和第5.1条第[42]款，其中研究了赫斯顿模型。值得一提的是，赫斯顿模型中对数pric e的p阶指数矩等于p阶指数矩（p-1） Heston模型中的综合方差，波动率方程中有不同的漂移（见[42]中的公式（5.4）及其前面的公式）。在高斯随机波动率模型中，积分变量的非指数矩的不确定性在一些上限买入价格估计中起着重要作用。例如，这可以从[17]中推论4.13的证明、[25]中推论31的证明以及本文中定理5.2的证明中看出。然而，定理6.7表明，如果波动率函数以整体快于线性的速度增长，则该应用程序不起作用。

此外，在不相关的Volterra型模型中，资产价格过程是一个鞅，而其所有序动量都大于一次爆炸（见定理6.11）。[19]中使用了一种有趣的方法。如果波动率函数g的行快于线性，则它不适用于不相关模型，但适用于下一节中制定的假设（A2）下的相关模型（见推论6.10之后的讨论）。6、重新审视线性增长条件我们已经注意到，如果波动率函数σ在整体上的增长速度略快于线性增长速度，则（5.4）中的不等式可能会失效（见Remark5.3）。在本节中，我们证明了一个断言（Theorem6.7），这使得前面的陈述更加精确。该断言指出，在以下定义6.1中的快于线性增长条件下，d无裂缝对数价格二次变化的所有正阶指数矩都是有限的。此外，对于不相关的Volterra型高斯随机波动率模型，我们确定，在相同的增长条件下，所有大于一个资产价格的阶矩都是有限的（见定理6.11第（i）部分）。相关模型的类似结果见定理6.11的第（ii）部分。定义6.1。让x>0。[x]中定义的正函数，∞) 增长速度超过线性i fthere existered>x and a positive function g defined on[x，∞), 以下条件应为：g（x）→ ∞ 作为x→ ∞ 和f（x）≥ xg（x）对于所有x>x。在本节的其余部分，我们将使用缓慢变化函数理论的某些结果（参见宾厄姆、戈尔迪、a n d Teugels的专著[5]）。定义6。2、设l是一个定义在某个单位邻域上的正连续函数，且Limx→∞l（λx）l（x）=1对于所有λ>0。

任何满足上述条件的函数称为慢变函数。定义6.2在可测量函数的更一般情况下，可在【5】的第1.2.1小节中找到。我们最初在[33]中由Karamata介绍和研究的缓变函数。这类慢变函数是由R决定的。指数为0的平滑变函数在慢变理论中起着重要作用。定义6.3。如果函数h（x）=log f（ex）在一个不连续的邻域中是完全可微的，并且h（n）（x），则在某个不连续的邻域上定义的正函数f称为指数为0的平滑变化函数→ 0作为x→ ∞, 对于所有整数n≥ 指数为0的所有光滑变差函数的类用SR表示。众所周知，SR R、 此外，函数f属于SRif类，并且仅属于iflimx→∞对于所有n，xnf（n）（x）f（x）=0（6.1）≥ 定义6.3在更一般的情况下，上述光滑变化函数的性质可在第1小节中找到。第8.1页，共【5】页。对于定义在单位邻域上的正连续函数f和g，标准符号f~ 当f（x）g（x）时，将使用g→ 1作为x→ ∞. 慢变理论中的一个重要结果是平滑变分定理（见文献[5]中的定理1.8.2]）。我们只需要这个定理的一个特例。完整的公式见【5】。定理6.4。让f∈ R、 那么就有了g∈ SRA和h∈ SRG~ h和g≤ f≤ 在一个单位附近。以下陈述源自定理6.4。推论6.5。让f∈ Rbe使f（x）→ ∞ 作为x→ ∞. 然后存在一个函数∈ sr和常数x>0，使得g定义在（x，∞), g（x）→ ∞ 作为x→ ∞, andf（x）≥ g（x）表示所有x>x。设f∈ R、 让函数g和h如定理6.4所示。为了证明推论6.5，我们只需要确定g（x）→ ∞ 作为x→ ∞.

很容易看出f~ g、 前面的陈述如下。备注6.6。Bojanic和Karamata（见[6]，另见第24in[5]页的问题11）确定，如果0<g（x）→ ∞ 作为x→ ∞, 然后就有了l∈ R使0<l（x）→ ∞ 澳大利亚证券交易所→ ∞ 和g（x）≥ l（x）表示所有x>x。根据之前的断言，定义6.1中的函数g可以替换为缓慢变化的函数l，使得0<l（x）→ ∞ 澳大利亚证券交易所→ ∞. 此外，函数g可以替换为平滑变化的函数h，使得0<h（x）→ ∞ 作为x→ ∞ （见推论6.5）。我们将在续集中使用前面的评论。我们的下一个目标是证明一个断言，证实Remark5.3中所说的内容。定理6.7。假设（1.1）中描述的模型中的挥发函数σ满足定义6.1中引入的线性增长条件。LetbB是一个非退化的centeredGaussian过程。那么，不管怎样∈ （0，T]和γ>0，以下等式成立：E经验值γZtσbBsds公司= ∞. （6.2）（6.2）als o中的等式与函数x 7保持一致→ σ(-x） 而不是函数σ。证据我们可以假设σ（x）≥ xl（x）在一个完整的邻域中，其中L是一个缓慢变化的函数，如Remark6.6。从上面的讨论可以看出，存在一个数字x>x和一个函数h∈ 定义于（x，∞) 并且使得h（x）→ ∞ 作为x→ ∞, 和l（x）≥ h（x）对于所有x>x。在（x，∞) 乘以σ（x）=xh（x）。然后σ（x）≥对于所有x>x的^σ（x）。由于h是一个严格的正函数，我们有^σ′（x）h（x）=x2+xh′（x）h（x）^σ′（x）h（x）=2+2xh′（x）h（x）+xh′（x）h（x）。对于所有x>x。接下来，使用条件h∈ SR，前面的公式和（6.1），我们看到存在x>x，因此函数^σ严格递增且凸[x，∞). 通过以下公式定义R上的函数|σ：|σ（x）=^σ（x），如果x≥ x、 而￠σ（x）=^σ（x）如果-∞ < x<x。

不难看出，函数σ在R中是凸的。对于每x∈ R、 我们有σ（x）≥σ（x）-^σ（x）。因此，为了建立（6.2），证明k=：E是足够的经验值γZt￠σbBsds公司= ∞.由于函数σ是凸的，Jensen不等式意味着ztσbBsds公司≥ t￠σtZtbBsds. （6.3）对于所有y>0，K≥ eγ型~σtZtbBsds> y.函数σ在（x，∞). 因此，对于y>y，K≥ eγ型ZtbBsds>t[°σ]-1（y）,他为u>u，K≥ exp{γt￠σ（u）}PZtbBsds>tu= exp{γtuh（u）}PZtbBsds>tu. （6.4）非退化连续中心高斯过程B的黎曼积分RTBBSds是一个均值为零且方差v=RtRtC（u，s）duds的高斯随机变量，其中C是过程B的协方差函数。H enceP公司ZtbBsds>tu=√2πZ∞tu公司√vexp-wv>0时的DW。接下来，使用ineq ua l ityZ∞ze公司-udu≥ e-zz公司+√z+4，可以从[1]中的7.1.13中推导出来，我们得到ZtbBsds>tu≥√√πexp-tu2v√vtu+√tu+4v。（6.5）最后，通过考虑（6.4），（6.5）和h（u）↑ ∞ 作为u→ ∞, 我们看到K=∞. 为了证明定理6.7中的最后一句话，我们将（6.2）中的公式应用于该过程-bB。这就完成了定理6.7的证明。接下来，我们将证明，如果波动率函数的增长速度超过三次方，那么可以为无漂移原木价格的绝对值建立类似于定理6.7的断言。定理6.8。假设（1.1）中出现的波动率函数σ存在一个数x>0和一个函数g，其中以下条件成立：0<g（x）→ ∞ 作为x→ ∞和σ（x）≥ xg（x），x>x.（6.6）设bb为适应过滤{Ft}0的非退化连续高斯过程≤t型≤T、 那么，不管怎样∈ （0，T]和γ>0，E经验值γZtσbBsdZs公司= ∞. （6.7）（6.7）als o中的等式与函数x 7保持一致→ σ(-x） 而不是函数σ。备注6.9。

请注意，定义6.1中的线性增长条件与（6.6）中的立方增长条件之间存在差距。如果将orem 6.8中的条件（6.6）替换为定义6.1中的条件，我们不知道orem 6.8是否成立。定理6.8的证明。从备注6.6中可以清楚地看出，我们可以用函数l替换（6.6）中的函数g∈ R如l（x）→ ∞ 作为x→ ∞. 此外，在不损失一般性的情况下，我们可以假设ZTσbBsds公司< ∞. （6.8）（展开（6.7）中的指数并使用^o等距）。SetMt=ZtσbBsdZs，0≤ t型≤ T、 （6.9）那么过程M是鞅。其二次变化由[M]t=Ztσ给出bBsds，0≤ t型≤ T、 用M表示*与过程M相关的最大函数，即isM*（t） =sup0≤s≤t | M（s）|，0≤ t型≤ T、 然后，利用Burkholder-Davis-Gundy不等式，更精确地说，利用其中的下估计，以及[44]定理2中的常数，我们得到以下结果：c√n | |[M]（t）| | n≤ ||M*（t） | | n，对于所有整数n≥ 1和绝对常数c>0。此外，利用Doob鞅不等式，我们得到| | M*（t） | | n≤nn型-1 | | M（t）| | n，n≥ 因此，对于所有整数n≥ 2，c√n | |[M]（t）| | n≤ ||M（t）| | n，绝对常数c>0。用Lγ表示（6.7）中的期望值。那么前面的估计给出了γ，t≥ E“∞∑n=0cnγnn！nn型ZtσbBsds公司n#+γE[| M（t）|]- cγE[[M]（t）]≥ E“∞∑n=0cnγnn！nn型ZtσbBsds公司n个#-cγE“ZTσ（bB）ds#≥ E“∞∑n=0cnγnn！nn型ZtσbBsds公司n个#-C、 （6.10）其中C>0取决于t。从（6.10）可以看出，为了证明等式lγ，t=∞, 有必要证明kt：=E“∞∑n=0cnγnn！nn型ZtσbBsds公司n#=∞. （6.11）根据斯特林公式，存在c>0，因此对于每n≥ 1，nn≤ cnn！。因此，（6.11）imp表示，对于某些c>0，Kt≥ E“∞∑n=0cnγn（n！）ZtσbBsds公司n#。让我们设定：=E∞∑n=0c2nγ2nn！ZtσbBsds公司n, （6.12）式中，c=c。

接下来，将p=和q=3的H¨older不等式应用于（6.12）中的和，我们得到≤ τE“∞∑n=0cnγn（n！）ZtσbBsds公司n个#≤ τKt，其中τ=∑∞n=0-3牛顿. 因此，Kt≥τE“exp（cγZtσbBsds公司)#, （6.13）对于所有t∈ （0，T）。请注意，我们尚未对函数σ使用快于立方的增长条件。从（6.13）可以看出，为了完成定理6.8的证明，有必要显示elγ，T=∞ 对于所有γ>0和t∈ （0，T），其中，elγ是（6.13）右侧的期望值。定理6.8的其余证明遵循定理6.7。我们首先选择功能h∈ SRH（x）→ ∞ 作为x→ ∞, 而且l（x）≥ h（x）表示所有x>x。函数x 7→ xh（x）是严格递增的且在[x]上是凸的，∞). 设置σ（x）=xh（x）1{x>x}+xh（x）1{x≤ x} ，x∈ R、 那么很明显，函数σ是凸函数R和σ（x）≥ σ（x）- xh（x）表示所有x∈ R、 接下来，使用（6.3）证明中的Jensen不等式，我们可以通过一个类似于（6.4）中最后一个表达式的表达式，用函数hin而不是函数h，从下面估算出elγ，t。最后，考虑到定理6.7，我们建立了公式ua li tyeLγ，t=∞.这就完成了定理6.8的证明。推论6.10。假设定理6.8中的条件成立。然后，对于每个t∈ （0，T），至少下两个条件中的一个保持：E经验值γZtσbBsdZs公司= ∞ 对于所有γ>0，（6.14）矿石经验值-γZtσbBsdZs公司= ∞ 对于所有γ>0。（6.15）证明。使用（6.7）和不等式e | u|≤ 欧盟+欧盟-u、 u型∈ R、 我们每个人都看到了∈ （0，T]和γ>0经验值γZtσbBsdZs公司= ∞, （6.16）矿石经验值-γZtσbBsdZs公司= ∞. （6.17）固定t>0。如果没有（6.16）适用的γ，则（6.17）应适用于前面的所有γ>0，这表明（6.15）对此类数字t有效。否则，setat=inf{γ>0：（6.16）为真}。使用H¨older不等式很容易看出（6.16）对所有γ>at都有效。假设at=0。然后（6.14）保持不变。

另一方面，如果at>0，则（6.17）适用于所有γ∈ （0，at），因此对于所有γ>0的情况，它都是l。这样就完成了推论6.10的证明。在[4]中，作者考虑了Volterra型高斯随机波动率模型，其中资产价格过程满足以下条件：（iiia）S是一个鞅；（iiib）对于每1<γ<∞ 存在t>0，因此ESγt< ∞（见[4]第2节中的假设2.4）。文献[4]表明，如果条件（iiia）和（iiib）成立，则看涨期权价格的大偏差式估计遵循相应的大偏差原则。[19]对之前的陈述进行了有趣的改进，在较弱的限制条件下获得了相同的含义（见[19]中的假设（A2））。关于时间参数t，假设（A2）如下：存在γ>1，因此lim支持→0E[Sγt]<∞. 不难看出，如果条件（iiia）成立，则假设（A2）来自以下假设：（i）存在γ>1和t>0，使得ESγt< ∞.在本节的其余部分，我们考虑Volterra型高斯随机波动率模型。接下来将显示，对于不相关的Volterra型模型，如果波动率函数σ增长快于线性增长，则假设（A2）不成立。更准确地说，所有大于资产价格1或小于零的有序时刻都会爆炸（见定理6.11）。此外，我们在定理6.11中证明，对于相关模型（ρ6=0），γ的矩爆炸∈ (-∞, 0) ∪ (1-ρ, ∞). 如果γ=1-ρ在相关模型中，本节中获得的力矩爆炸结果仅为部分结果（见定理6.13）。请注意，在本节其余部分建立的断言中，我们仅假设Volterra类型的过程B满足定义2.1中的条件。

让我们也回顾一下，在不损失一般性的情况下，我们假设s=1。S=1的不相关高斯随机波动率模型中的资产价格过程S由t=exp给出-Ztσ（bBs）ds+Ztσ（bBs）dWs, 0≤ t型≤ T、 由于布朗运动W和B是独立的，通过对过程B的路径进行条件化，证明过程S是鞅是相当标准的。因此，（iiia）对不相关模型适用。此外，对于所有t∈ [0，T]，我们有[St]=1，0≤ t型≤ T、 （6.18）对于ne负相关模型（ρ<0），Gassiats的文献[24]中建立了资产价格过程S在以下附加条件下是鞅：条件（G）：对于每个∈ R、 函数σ有界于(-∞, a] 。因此，（6.18）中的等式适用于任何负相关Volterra型模型，其中波动率函数σ满足条件（G）。另一方面，正向η∈ R、 随机指数Alt 7→ 经验值-ηZtσ（bBs）ds+ηZtσ（bBs）dBs是严格正局部鞅。因此，它是一个超级角色，因此经验值-ηZtσ（bBs）ds+ηZtσ（bBs）dBs≤ 1，（6.19）每t∈ （0，T）。请注意，不需要条件（G）来确定（6.19）的有效性。下一个断言是本文结果中的一个ma。它涉及高斯随机波动率模型中的矩爆炸（参见引言中的讨论，我们将定理6.11与[24]中的结果进行比较）。定理6.11。（i） 假设不相关Volterra型高斯随机波动率模型中的波动率函数σ满足定义6.1中规定的比线性增长更快的条件。那么以下等式成立：ESγt= ∞ 对于所有γ∈ (-∞, 0) ∪ (1, ∞) 和t∈ （0，T）。