高斯随机波动率模型：标度制度，大型

（6.20）（ii）假设ρ6=0，并假设在Volterratype Gaussian随机波动率模型中，比线性增长更快的条件成立。那么，以下等式有效：ESγt= ∞ 对于所有γ∈ (-∞, 0) ∪ (1-ρ, ∞) 和t∈ （0，T）]（6.21）证明。很清楚，如果ρ=0，则Sγt= E经验值γ-γZtσ（bBs）ds经验值-γZtσ（bBs）ds+γZtσ（bBs）dWs.利用W和B的独立性和过程B路径上的条件作用，weobtainESγt= E经验值γ-γZtσ（bBs）dsEt，γ,式中，γ=E经验值{-γZtσ（bBs）ds+γZtσ（bBs）dWs}Bs，0≤ s≤ t型. （6.22）不难证明∈ （0，T）和γ，例如在定理的部分（i）中，我们使用了（6.22）a re鞅中出现的简单随机指数这一事实。接下来就是Sγt= E经验值γ-γZtσ（bBs）ds. （6.23）现在假设ρ6=0。那么以下等式为真：E[（St）γ]=E经验值-γZtσbBsds+γZtσbBsdZs公司= E[exp{γ′ρ-γZtσbBsds+γρZtσbBsdBs}exp{-γ′ρZtσbBsds+γ′ρZtσbBsdWs}]。通过对过程B的路径进行条件化，并按照（6.23）中的证明进行推理，我们获得（6.23）中公式的以下基因关系式：E[（St）γ]=E经验值γρ-γZtσ（bBs）ds+γρZtσbBs星展银行. （6.24）让我们首先证明（6.20）中的等式。通过考虑限制γ-γ>0在定理6.11的（i）部分中，我们看到（6.20）遵循定理6。7.接下来我们将证明（6.21）。假设定理6第（ii）部分中的条件。11保持。Letη∈ R、 和fix p>1和q>1，使得p+q=1。然后（6.24），（6.19）和H¨older\'sinequality表示以下估计：ESγtp≥ESγtpE经验值-ηZtσ（bBs）ds+ηZtσ（bBs）dBsq≥ E经验值γρ-γ2p-η2qZtσ（bBs）ds+γρp+ηqZtσ（bBs）dBs. （6.25）让我们选择η=-γρp-那么γρp+ηq=0。接下来，使用（6.25），我们得到ESγtp≥ E经验值γρ-γ - η（p- 1） 2p级Ztσ（bBs）ds. （6.26）仍需选择p>1，以便l：=γ′ρ-γ -η（p-1) > 0.

然后（6.26）和定理6.7将表明6.21中的等式成立。我们有l=γ′ρ- γ -γρp-1、如果γ>1-ρ、 然后γ′ρ- γ>0，条件l>0等价于不等式p>1+γργ′ρ-1、这样的数字p>1可以很容易地选择。另一方面，如果γ<0，则条件l>0等价于以下不等式：p>1+γργ（1-ρ)+|γ|. 与之前一样，前面的条件允许我们轻松选择p。接下来（6.21）保持不变。定理6.11的证明就这样完成了。备注6.12。我们感谢Paul Gassiat的建议，在定理6.11第（ii）部分的证明中使用半鞅性质in（6.19）。我们的原始证明使用了条件（G）和（6.18）中的马丁格尔属性。下一个定理补充了定理6.11。然而，这个理论中的结论比理论6.11中的结论要弱。定理6.13。假设Volterra型高斯随机波动率模型中的波动率函数σ满足（6.6）中规定的快于立方增长条件。设ρ6=0，letfM bethe Volterra型模型，其中波动函数和波动过程与给定模型相同，而相关参数为-ρ代替ρ。在modelfM中对资产定价过程进行审批。然后，对于每个t∈ （0，T），以下两个条件中的至少一个：E（St）1-ρ= ∞, 或E（eSt）1-ρ= ∞.证据由（6.24）可知，如果ρ6=0，则（St）1-ρ= E经验值ρ1 - ρZtσbBs星展银行.同样，我们有（eSt）1-ρ= E经验值-ρ1 -ρZtσbBs星展银行.现在，很明显，定理6.13源自推论6.10。备注6.14。条件γ≥1.-力矩爆炸的ρ出现在Jourdain的论文【31】中，其中研究了Scott模型。在Scott模型中，波动函数为σ（x）=ex，而波动过程为Ornstein-Uhlenbeck过程。

为了使Jourdain的结果适应我们的设置，我们考虑了漂移ss-Ornstein-Uh-lenbeck过程。Jourdain证明，对于以无漂移的Ornstein-Uhlenbeck过程为波动过程的Scott模型，如果ρ=0，等式（6.21）成立。此外，他建立了如果ρ<0，那么对于给定的t>0和γ>1，E[Sγt]<∞ 当且仅当γ<1-ρ（见[31]中的命题6）。对于ρ>0，Jourdain证明了E[Sγt]=∞ 如果γ≥1.-ρ、 并提到要分析[Sγt]<∞如果γ<1-ρ（见【31】中的备注7）。7、混合区域隐含波动率的渐近行为在本节中，我们描述了前一节中考虑的混合区域隐含波动率的小噪声渐近行为。隐含波动率可通过以下等式确定：β，H，T（ε，xεα）=CBS（ε，xεα；σ=bσβ，H，T（ε，xεα））=C-（xεα，√εbσβ，H，T（ε，xεα））。（7.1）如果0≤ α+β<H，定理5.2意味着l（ε）=：logC-（xεα，√εbσβ，H，T（ε，xεα））=JT（x）ε2α+2β-2H+oε2α+2β-2小时（7.2）asε↓ 0.在前面的公式中，符号JT表示在α+β=0的情况下（此处我们假设定理5.2第（i）部分中的假设成立），在0<α+β<H的情况下，JT（x）=x2Tσ（0），以及定理5.2第（ii）部分中的假设成立。在（7.2）中，参数化的无量纲简化波动率由ν（ε）给出=√εbσβ，H，T（ε，xεα）。此外，我们拥有k（ε）L（ε）=Oε2H-α-2βasε→ 因此，k（ε）L（ε）→ 0为ε→ 这意味着[21]中备注7.3中的公式可用于表征无量纲隐含熵ε7的渐近行为→ 混合区的ν（ε）。在我们的案例中，【21】中的公式，注释7.3给出了以下内容：k（ε）2L（ε）-εbσβ，H（ε，xεα）= ok（ε）L（ε）asε↓ 0。因此k（ε）p2L（ε）-√εbσβ，H（ε，xεα）= ok（ε）pL（ε）！（7.3）asε↓ 0

接下来，考虑到（7.2），我们得到以下断言。定理7。1.（i）假设定理2.7中的条件成立。还假设α+β=0，且线性增长条件适用于函数σ。然后bσβ，H，T（ε，xεα）=xp2IT（x）εH-β-+ oεH-β-asε↓ 0.（ii）假设推论3.5中的条件成立。假设0<α+β<H，函数σ的线性增长条件成立。然后bσβ，H，T（ε，xεα）=√Tσ（0）εH-β-+ oεH-β-asε↓ 设α=0，β=H。然后，对于σ=bσH，H，T（ε，x）的Black-Scholes模型，（5.11）中的质量采用以下形式：CBS（ε，x；bσH，H，T（ε，x））=Z∞xey？Ny√εbσH，H，T（ε，x））+√εbσH，H，T（ε，x）dy.（7.4）使用（7.1）、（5.5）和（7.4），我们得到∞xey纽约√Tσ（0）+√Tσ（0）！dy=limε↓0Z∞xey？Ny√εbσH，H，T（ε，x））+√εbσH，H，T（ε，x）dy，（7.5）对于所有x>0。设εj，j≥ 1，是一个正序，使得εj→ 0作为j→ ∞, 极限τ=limj→∞pεjbσH，H，T（εj，x）存在（有限或无限）。将Fatou引理应用于（7.5）右侧的表达式，并考虑到买入价格函数C-严格增加ν（见Remark5.5），我们可以看到τ≤ σ(0). 因此，对于j≥ j、 pεjbσH，H，T（εj，k=x）≤ C、 其中C>0是一个常数，因此我们有supj≥j“ey”纽约√εjbσH，H，T（εj，x））+pεjbσH，H，T（εj，x）#≤ ey编号yC公司.前面的估计允许我们应用公式（7.5）中的支配收敛定理（沿序列εj）。这给了C-（十），√Tσ（0））=C-（x，τ），因此τ=√Tσ（0）。现在，很明显Limε↓0√εbσH，H，T（ε，x）=√Tσ（0）。因此，以下陈述成立。定理7.2。假设α=0，β=H。然后，在推论3.5中的假设和线性增长条件下，bσH，H，T（ε，x）=√Tσ（0）ε-+ oε-asε↓ 下一步，我们将关注混合制度下隐含挥发性估计的唯一剩余情况。定理7.3。假设α+β=H和α∈ （0，H）。

然后，在推论3.5中的假设和线性增长条件下，以下公式适用于隐含波动率：bσβ，H，T（ε，xεα）=xεα-q2αlogε+oεα-qlogε（7.6）asε↓ 0.证明。根据定理5.6，l（ε）=logCβ，H，T（ε，xεα）=αlogε-logZ公司∞纽约州x√Tσ（0）！dy+o（1）asε↓ 0 . 我们还有k（ε）=xεα和hencek（ε）L（ε）→ 0为ε↓ 接下来，应用[21]中备注7.3中的公式（见上文（7.3）），我们得出（7.6）。从而完成了定理7.3的证明。感谢Jean-Dominique Deuschel、Pe ter Friz、Josselin Garnier、Paul Gassiat、Stefan Gerhold、Benjamin Jourdain、Barbara Pacciarotti、Paolo Pigato和Knut Solna对本文的关注和宝贵的评论。参考文献【1】M.A b ramovitz和I.A.Stegun（编辑）。数学函数手册。应用数学系列55，国家标准局，华盛顿，1972年。[2] J.-M.Az–ais和L.-V.Lozada Chang。关于高斯过程最大值分布的工具箱。2013年，hal-00784874。[3] P.Baldi和L.Caramellino。广义Freidlin-Wentzell大偏差和正扩散。《统计与概率信件》，81（2011），1218-1229。[4] C.拜耳、P.K.弗里兹、A.古利萨什维利、B.霍瓦思和B.斯坦珀。分数波动率模型中的短期近货币倾斜，（2018）量化金融，DOI:10.1080/14 697688.2018.1529420；arXiv上提供：1703.05132，2017。[5] N·H·宾厄姆、C·M·戈尔迪和J·L·特格尔。定期变化。剑桥大学出版社，1987年。[6] R.Bojanic和J.Karamata。关于慢变函数和渐近关系。硕士学位。研究中心技术报告432，威斯康星州麦迪逊，1963年。[7] M.Cellupica和B.Pacchiarotti。Volterra型随机波动率模型的路径渐近性。提交出版，可在arXiv上获得：1902.05896。[8] P.Cheridito、H.Ka waguchi、M.Ma ejima。

分数Ornstein-Uhlenbeck过程。电子J、 概率。，8 (2003), 1-1 4.[9] G.Conforti、S.DeMarco和J.-D.Deuschel。关于波动率模型中具有退化极限系统的小噪声方程。金融学中的大偏差和渐近方法。P、 K.Friz，J.Gatherel，A.Gulisashvili，A.Jacquer，J.Teichman（编辑），瑞士斯普林格国际出版社，2015年，47 3-505。[10] L.Decreusefond。具有奇异核的随机Volterra积分的正则性。潜力分析，16（2002），139-149。[11] A.Dembo和O.Zeitouni。大型设备技术和应用。Sp ringer Ve rlag柏林海德堡，2010年。[12] J.-D.Deuschel和D.W.Stroock。偏差较大。学术出版社，1989年[13]P.Eichelsbacher和M.L¨owe。i.i.d.随机变量的中度偏差。ESAIM：概率与统计，7（20 03），209-218。[14] S.El Rahouli。Volterra过程的金融建模及其在期权、利率和信用风险方面的应用。这些，洛林大学，卢森堡大学，2014年。[15] W·H·弗莱明。退出概率与最优随机控制。应用程序。数学优化，4 (1978), 329-346.[16] M.Forde和A.Jacquier。赫斯顿模型下隐含波动率的小时间渐近性。Int.J.理论。应用程序。财务状况。，12 (2009), 861-876.[17] M.Forde和H.Zhang。粗糙随机波动率模型的渐近性。《暹罗金融数学杂志》，8（2017），114-1 45。[18] M.I.Freidlin和A.D.Wentzell。动力系统的随机扰动。Springer Verlag纽约，1998年。[19] P.K.Friz、P.Gassiat和P.Pigato。精确渐近：稳健随机波动率模型，arXiv版本：1811.0 02672018。[20] P.K.Friz、S.Gerhold和A.Pinter。中等偏差制度下的期权定价。MathematicalFinance，28（2018），962-988。[21]K.Gao和R.L ee。

隐含波动率到任意阶的渐近性。财务Stoch。，18 (2 014), 349392.[22]J.Garnier和K.Solna。修正了分数随机波动率引起的黑洞公式。暹罗J。金融数学。，8 (2017), 560-588.【23】J.Garnier a和K.Solna。快变长记忆随机波动下的期权定价。将在《数学金融》杂志上发表，可在arXiv上获得：1604.001052017。【24】P.Gassiat。关于粗糙Bergomi模型中的鞅性质。预印，可于2018年4月14日提供：1811.10935。【25】A.Gulisashvili。Volterra型分数阶随机波动率模型的大偏差原理，SIAM J。金融数学。，9 (2018), 1102-1136.【26】A.Gulisashvili、F.Viens和X.Zhang。高斯自相似随机波动率模型的小时间渐近性。附录l.数学。选择即时消息。(2018). https://doi.org/10.1007/s00245-018-9497-6，41页。；arXiv上提供：1505.05256，2 016。【27】A.Gulisashvili、F.Viens和X.Zhang。一般Ga-ussian随机波动率模型的极端打击渐近性。Ann Finance（2018）。https://doi.org/10.1007/s10436-018-0338-z，43 p。；可在ARXIV上获得：1502.05442V32017。【28】H.Hult。一些Volterra型随机积分的逼近及其在参数估计中的应用。随机过程及其应用，105（2003），1-32。【29】H.Hult。规则变化stoc-hastic过程的极值行为。皇家理工学院博士论文，斯德哥尔摩，2003年。[30]E.A.Jabe r、M.Larsson和S.Pulido。Af fine Volterra过程。预打印，可用onarXiv：1708.08796v2，201 7。【31】B.Jourdain。对数正态随机波动率资产价格模型的鞅性损失。预印本2004-267。[32]T.Kaarakka和P.Salminen。关于fr作用的Ornstein-Uhlenbeck过程。《随机分析通讯》，5（2011），121-133。【33】J.Kara mata。

在羊角面包的模式下，我们可以吃羊角面包。Mathem atica（Cluj），4（1930），38-53，[34]I.Karatzas和S.E.Shreve。Brownain运动和随机微积分，S第二版，Springer-Verlag，1991年。【35】科尔莫戈罗夫。《维也纳螺旋报》（Wienersche Spirlen and einige Ander Interestsante Kurven im Hilbertschen Raum）。Doklady Acad。苏联，26（1940），11 5-118。【36】P.L'evy。维纳随机函数和其他拉普拉斯随机函数。过程。第。伯克利研讨会。数学统计学家。概率。，第二卷，加利福尼亚州伯克利加利福尼亚大学出版社，1950年，第171-186页。【37】M.Lifshits。高斯过程讲座。Springer Verlag，2012年。[38]S.C.Lim和V.M.S Iti。RiemannLiouville型分数布朗运动的渐近性质。物理字母A，20 6（1995），311-317。【39】B.M andelbrot a和J.W.van Ness。分数布朗运动，分数噪声及其应用。《暹罗评论》，10（1968），422-437。[40]L.Mytnik和E.Neuma n.S Volterra过程的充分路径性质。《随机分析通讯》，6（2012），359-377。【41】G.佩斯基尔。关于停止布朗运动的指数Orlicz范数。《数学研究》（Studia Mathematica），117（19 96），253-273。【42】H.Pham。数学金融方面存在较大偏差。2010年8月23日至27日，巴黎，第三所SMAI欧洲金融数学暑期学校。可用时间：https://www.lpsm.paris/pageperso/pham/GD融资。pdf，2010年1月5日。[43]J.Picard。分数布朗运动的表示公式。S'eminaire de Probabilit'es，Springer Verlag，XLIII（2011），3-70。【44】任永福。关于连续鞅的Burkholder-Davis-Gundy不等式。《统计与概率快报》，78（2008），3034-3039。【45】D.Revuz和M.Yor。连续矩阵与B-rownian运动。施普林格·维拉格（Springer Verlag Berlin-Heidelberg），1999年。【46】S.罗伯逊。随机波动率模型ls的样本路径大偏差和最优重要性抽样。

随机过程及其应用，120（2010），66-83。【47】L.Scott。方差随机变化时的期权定价：理论、估计和应用。《金融与定量分析杂志》，22（1987），419-438。[48]T.Sottinen a和L.Viitasaar i.通过Fredholm表示对高斯过程的随机分析。《国际随机分析杂志》，2016卷，文章编号8694365，15页。【49】M.Struwe。变分方法：非线性偏微分方程和哈密顿系统的应用，第四版，Springer-Verlag-Berlin-Heide-lberg，2008。【50】S.R.S.Varadhan。大偏差和应用。工业和应用数学学会，宾夕法尼亚州费城，1984年。【51】A.D.Ventsel’和M.I.Freidlin。关于动力系统的小随机扰动。俄罗斯数学。调查，25（1970），1-56。【52】A.D.Ventsel和M.I.Freidlin。关于小随机扰动下稳定性的一些问题。理论问题。应用程序。，17 (1972), 269-283.[53]X.张。具有奇异核的随机Volterra方程的Euler格式和大偏差。《微分方程杂志》，244（2008），2226-2250。