高斯随机波动率模型：标度制度，大型

对于0<H<1，分数布朗运动BHt，t≥ 0是一个中心高斯过程，协方差函数为givenbyCH（t，s）=t2H+s2H-|t型- s | 2H, t、 s≥ Kolmogorov在[35]中首次隐式考虑了BH过程，Mandelbrot和van Ness在[39]中对BH过程进行了研究。常数H称为赫斯特参数。TheRiemann-Liouville分数布朗运动定义如下：RHt=Γ（H+）Zt（t-s） H类-dBs，t≥ 0，其中0<H<1。这种随机过程是由L'evy在[36]中引入的。有关过程Rh的更多信息，请参见[38，4 3]。对于0<H<1且a>0的分数Ornstein-Uhlenbeck过程，通过以下公式定义：UHt=Zte-a（t-s） 胸径，t≥ 0（见[8，32]）。分数布朗运动、Riemann-Liouville分数布朗运动和分数Ornstein-Uhlenbeck过程都是具有H¨olderkernels的Volterra型高斯过程，其r=2H（见文献[25]中的引理2]）。对于分数布朗运动，前面的陈述建立在[53]中。我们请读者参考[10、14、28、29、30、40]，以了解有关Volterra型过程的更多信息。备注2.4。我们将在整篇文章中假设高斯过程b是非退化的。这意味着B的变异函数v满足所有s的条件v（s）>0∈ （0，T）。备注2.5。满足定义2.2中条件的波动过程仅在与大偏差区域相关的结果中使用。在所有其他区域中，使用定义2.1。定义2.6。设ω为[0，∞), 也就是ω：R+7→ R+是ω（0）=0和lims的递增函数s uc h→0ω（s）=0。

定义在R上的函数σ称为局部ω-连续函数，如果对于每个δ>0，存在一个数L（δ）>0，那么对于allx，y∈ [-δ、 δ]，以下不等式成立：|σ（x）- σ（y）|≤ L（δ）ω（| x-y |）。连续模的一个特殊例子是ω（s）=sγ和γ∈ (0, 1). 在这种情况下，定义2.6中的条件是局部γ-氢老化条件。如果γ=1，则定义2.6中的条件是局部Lipschitz条件。用C[0，T]表示区间[0，T]上连续函数的空间。对于函数f∈ C[0，T]，其范数由| | f | | C[0，T]=支持定义∈[0，T]| f（T）|。在续集中，符号H[0，T]将代表Cameron-Martin空间，由绝对连续的函数f组成，f（0）=0和˙f∈ L[0，T]，其中˙f是f的导数。对于函数f∈ H[0，T]，其在H[0，T]中的范数由| | f | H[0，T]定义=ZT˙f（t）dt.下面将使用以下符号：bf（s）=ZsK（s，u）˙f（u）du。接下来，我们将为【25】中建立的Volterra型高斯随机波动率模型制定大偏差原则。我们将公式应用于本pape r.定理2.7中使用的符号。假设σ是R上的一个正函数，对于某些连续模ω，它是局部ω-连续的。设H＞0，letbB为带H¨olderkernel的Volterra型高斯过程。SetIT（x）=inff∈H【0，T】x个- ρRTσ（bf（s））˙f（s）ds2(1 - ρ） RTσ（bf（s））ds+ZT˙f（s）ds. （2.2）那么这个函数就是一个好的速率函数。此外，小噪声大偏差原则具有速度ε-2（2.2）给出的手动速率函数适用于过程ε7→ Xε，0，HT，其中Xε，0，HT由（1.5）定义。

更准确地说，对于R的每个Borel可测子集A，应给出以下e估计：- infx公司∈A.oIT（x）≤ l im infε↓0ε2Hlog PXε，0，HT∈ A.≤ lim supε↓0ε2Hlog PXε，0，HT∈ A.≤ - infx公司∈(R)AIT（x）。符号bols Ao前一个估计中的“A”分别代表集合A的内部和闭包。备注2.8。回想一下，拓扑空间X上的速率函数是下半连续映射I:X 7→ [0, ∞], 也就是说，对所有人来说∈ [0, ∞), 水平集Ly={x∈ X:I（X）≤ y} 是X的闭合子集。对于每个y，速率函数I称为良好速率函数I f∈ [0, ∞), Setlyx是X的一个紧凑子集。我们请读者参阅[4，17，25]，以了解Volterra型高斯随机波动率模型的大偏差原理的更多信息。让我们定义一个从空间M=C[0，T]到空间C[0，T]的可测量函数Φ，如下所示：对于l∈ H[0，T]和（f，g）∈ C[0，T]使得f∈ H[0，T]和g=bf，Φ（l，f，g）（T）=ρZtσ（bf（s））˙l（s）ds+ρZtσ（bf（s））˙f（s）ds，0≤ t型≤ T、 此外，对于所有剩余的三元组（l，f，g），我们为所有T设置Φ（l，f，g）（T）=0∈ [0，T]。下一条语句是过程ε7的样本路径大偏差原则→ 状态空间为C[0，T]的Xε，0，h。定理2.9。假设定理2.7中的条件成立。然后过程ε7→ Xε，0，Hde（1.5）满足速度ε的小噪声大偏差原则-2手动良好率函数QT由QT（g）=∞, 对于所有g∈ C[0，T]\\H[0，T]和qt（g）=inff∈H【0，T】ZT“˙g（s）- ρσ（bf（s））˙f（s）˙ρσ（bf（s））#ds+ZT˙f（s）ds, （2.3）对于所有g∈ H【0，T】。大偏差原则的有效性意味着，对于C[0，T]的每个钻孔可测量子集A，以下估计值成立：- infg公司∈A.oQT（克）≤ lim infε↓0ε2Hlog PXε，0，H∈ A.≤ lim supε↓0ε2Hlog PXε，0，H∈ A.≤ - infg公司∈(R)AQT（g）。备注2.10。

在更严格的假设下，最近在[7]中获得了类似的LD P w。例如，在[7]中假设d的波动率函数σ是α-H¨older连续的，并且从R的上方有界，而在定理2.9中，我们假设σ对于某些连续模ω是局部ω-连续的。备注2.11。为了进行健全性检查，让我们考虑定理2.9的一个特殊情况，其中ρ=0，σ（u）=1表示所有u∈ [0，T]。然后qt（g）=inff∈H【0，T】ZT˙g（s）ds+ZT˙f（s）ds=ZT˙g（s）ds，我们恢复了Schilder定理。备注2。12、回想一下，a集合a C[0，T]被称为速率函数QTifinfg的一组连续性∈A.oQT（g）=infg∈(R)AQT（g）。（2.4）对于这样的集合，定理2.9意味着limε↓0ε2Hlog PXε，0，H∈ A.= - infg公司∈AQT（g）。（2.5）理论证明2.9。每克∈ C[0，T]，setQT（g）=infl，f∈H【0，T】ZT˙l（s）ds+ZT˙f（s）ds: Φ（l，f，bf）（t）=g（t），t∈ [0，T], （2.6）如果g使得（2.6）右侧的集合不为空，且QT（g）=∞,否则为了简单起见，我们假设T=1，s=1。[25]第6节的证明表明，过程ε7→ 状态空间R×C[0，1]的εH（W，B，bB）满足速度dε的大偏差原理-2由Ei（y，f，g）=y+I（f，g），y给出的Hand goodrate函数∈ R、 （f，g）∈ C[0，1]。在前面的定义中，函数I定义如下：如果f∈ H[0，1]和g=bf，然后I（f，g）=R˙f（s）ds，在所有剩余情况下，I（f，g）=∞.

同样，我们可以证明过程ε7→ 状态空间C[0，1]的εH（W，B，bB）满足速度ε的大偏差原理-2由I（v，f，g）=Z˙v（s）ds+I（f，g），y给出的手动良好速率函数∈ R、 （v、f、g）∈ C[0，1]。这里我们考虑了Schilder定理和布朗运动W和B是独立的这一事实。使用与[25]第5节相同的思想，我们可以证明，如果我们去掉漂移项，那么定理2.9中的LDP不会受到影响。更准确地说，这意味着有必要证明过程ε7的理论2.9中的LDP→bXε，0，H，其中bXε，0，Ht=εHZtσ（εHbBs）（(R)ρdWs+ρdBs），0≤ t型≤ 1.（2.7）我们的下一个目标是展示如何在我们的环境中应用扩展收缩原则（有关扩展收缩原则的更多详细信息，请参见[11]中的定理4.2.23）。让我们定义一个函数序列Φm:m 7→ C【0，1】，m≥ 1如下：对于（r、h、l）∈ C[0，1]和t∈ [0，1]，Φm（r，h，l）（t）=ρ[mt-1]∑k=0σl公里数rk+1米-r公里数+ σlk+1米r（t）-r[公吨]米+ ρ[mt-1]∑k=0σl公里数h类k+1米-h类公里数+ σlk+1米h（t）-h类[公吨]米.不难看出，对于每一个m≥ 1、映射Φmis连续。接下来，我们将确定【11】中的公式（4.2.24）在我们的环境中适用。该公式用于制定扩展收缩原理（见【11】，定理4.2.23）。引理2。13、对于e veryζ>0和y>0，lim supm→∞sup{（r，f）∈H[0,1]：R˙R（s）ds+R˙f（s）ds≤ζ} | |Φ（r、f、bf）- Φm（r，f，^f）| C[0,1]=0。证据引理2.13的证明类似于文献[25]中引理2.1的证明。不难看出，对于ll（r，f）∈ H[0，1]和m≥ 1，Φm（r，f，^f）=ρZthm（s，f）˙r（s）ds+ρZthm（s，f）˙f（s）ds，其中hm（s，f）=m-1.∑k=0σ高炉煤气公里数{公里≤s≤k+1m}，0≤ s≤ 1、因此Φ（r、f、bf）- Φm（r，f，^f）=？ρZt[σ（bf（s））- hm（s，f）]˙r（s）ds+ρZt[σ（bf（s））- hm（s，f）]˙f（s）ds。（2.8）对于每个η>0，表示Dη={w∈ H[0，1]：R˙w（s）ds≤ η}.

不难看出，为了证明引理2.13，可以证明对于所有η>0，lim supm→∞“supf∈Dη，w∈Dη支持∈[0,1]Zt[σ（^f（s））- hm（s，f）]˙w（s）ds#= 0，（2.9）我们有SUPF∈Dη，w∈Dη支持∈[0,1]Zt[σ（^f（s））-hm（s，f）]˙w（s）ds≤ supf公司∈Dη，w∈DηZσ（^f（s））- hm（s，f）|˙f（s）| ds≤√ηsupf∈Dηsups∈[0,1]σ（^f（s））- hm（s，f）.（2.10）在【25】中Le mma 21的证明中确定，即SUPF∈Dηsups∈[0,1]σ（^f（s））- hm（s，f）→ 0（2.11）为m→ ∞ （之前的陈述源自【25】中的（49））。现在，很明显，（2.10）和（2.11）意味着（2.9）。这就完成了Lemma2.13的证明。仍需证明过程的顺序ε7→ ΦmεHW，εHB，εHbB状态空间C[0，1]是过程ε7的指数良好近似→bXε，0，H。前面的陈述意味着对于每个δ>0，limm→∞lim supε↓0ε2Hlog P||bXε，0，H-ΦmεHW，εHB，εHbB||C[0,1]>δ= -∞. （2.12）使用Bxε，0，HandΦm的定义，我们可以看到，为了证明（2.12）中的等式，有必要表明对于每一个τ>0，limm→∞lim supε↓0ε2Hlog PεHsupt∈[0,1]Ztσ（m）sdBs> δ!= -∞ （2.13）和LIMM→∞lim supε↓0ε2Hlog PεHsupt∈[0,1]Ztσ（m）sdWs> δ!= -∞, （2.14）式中σ（m）s=σεHbBs-σεHbB【mt】m, 0≤ s≤ 1，米≥ 1、（2.13）中的公式是在[25]公式（53）中建立的。公式（2.14）的证明相似。这就完成了（2.12）的证明。最后，通过考虑（2.12），引理2.13，并应用扩展收缩原理（orem 4.2.2 3 in【11】），我们证明了过程ε7→bXε，0，hs符合速度ε的大行程原则-2手动良好率函数Q（参见（2.6）中的定义）。对于任何T>0，过程ε7→bXε，0，hs符合速度ε的大偏差原则-2（2.6）中定义的手动良好率函数QT。

可以使用【25】中定义17之前的推理中使用的方法来建立之前的陈述。接下来，我们将证明函数qt满足（2.3）中的公式。不难看出，如果g∈ C[0，T]，l，f∈ H[0，T]，且Φ（l，f，bf）（T）=g（T），对于所有T∈ [0，T]，然后∈ H[0，1]。此外，如果用于g∈ H[0，T]前面的等式成立，那么不难看出˙l（T）=˙g（s）- ρσ（bf（s）））˙f（s）(R)ρσ（bf（s））。现在很明显，公式（2.3）适用于（2.6）定义的函数qt。这就完成了定理2.9的证明。本节的下一个目标是证明∈ H[0，T]，在（2.3）右边的极小化问题中至少存在一个极小化子fg。引理2。14、对于e功能g∈ H[0，T]存在一个函数fg∈ H[0，T]使得qt（g）=ZT“˙g（s）- ρσ（bfg（s））˙fg（s）(R)ρσ（bfg（s））#ds+ZT˙fg（s）ds。（2.15）证明。不难看出，证明每个j∈ L[0，T]，空间L[0，T]上的下列极小化问题有一个解：H（j）=infh∈L[0，T]eHj（h），其中eHj（h）=ZTj（s）(R)ρσ（Kh（s））-ρ′ρh（s）ds+ZTh（s）ds。（2.16）在（2.16）中，Kh（s）=RTK（s，u）h（u）d u，K是满足定义2.2中条件（b）的Volterra型核。众所周知，如果函数hj:L[0，T]7→ R是强制的且弱序列lowersemi连续的（参见，例如，[49]，第1章，定理1.2）。如果后一个属性适用于函数F，那么为了简短起见，我们将编写F∈ WLS。（2.16）中泛函的矫顽力是明确的。众所周知，功能h 7→RTh（s）Ds属于WL s类。

由于WLS中两个泛函的和也是WLS中的，并且WLS中一个非负泛函的平方是WLS中的，因此有必要证明泛函gj（h）=（ZTj（s）(R)ρσ（Kh（s））-ρ′ρh（s）ds）属于WLS类。我们有gj（h）=sup | | q||≤1ZTj（s）(R)ρσ（Kh（s））-ρ′ρh（s）q（s）ds。WLS函数族的上确界是WLS。为了完成引理2.14的证明，对于任何j，q∈ L[0，T]，功能LH 7→ZT公司j（s）(R)ρσ（Kh（s））-ρ′ρh（s）q（s）Ds属于WLS类。功能性h 7→ -ρ′ρRTh（s）q（s）ds是弱连续的，因此它在WLS中。仍需分析函数Ldj，q（h）7→ZTj（s）q（s）(R)ρσ（Kh（s））ds。（2.17）我们将证明这个泛函是弱序连续的。假设香港→ H在L[0，T]中很弱。n supk | | hk | |<∞. 根据对核函数K的限制，算子K从L[0，T]到C[0，T]是连续的。因此，它是弱连续的，因此Khk（s）7→ Kh（s）适用于所有s∈ [0，T]。此外，我们有SUP≥1，s∈[0，T]| Khk（s）|≤ ||K | | SUP | | hk | |<∞.在定理2.9中，假设波动率函数σ在R上严格为正。因此，在任何有限区间上，它都有远离零的界。接下来，使用（2.17）和支配收敛定理，我们看到Dj，q（hk）7→ Dj，q（h）为k→ ∞. 因此，函数Dj，qis是弱序列连续的。最后，通过考虑上述事实，很容易完成Lem ma2.14的证明。在下一个引理中，我们证明了空间H[0，T]上速率函数qt的连续性。引理2。15、功能QT:H[0，T]7→ R是连续的。证据函数QTin引理2.15的下半连续性源于qt是C[0，T]上的速率函数和Sobolev嵌入H[0，T] C【0，T】。接下来我们将证明QTon H[0，T]的上半连续性。

对于每个f∈ H[0，T]，定义功能Df:H[0，T]7→ R byDf（g）=ZT“˙g（s）- ρσ（bf（s））˙f（s）(R)ρσ（bf（s））#ds+ZT˙f（s）ds。不难看出，为了完成引理2.15的证明，对于每一个f∈ H[0，T]，功能Dfis连续。很明显，bf是[0，T]上的有界连续函数。因此，存在δ>0和M>0，因此所有s的M>σ（bf（s））>δ∈ [0，T]。假设gk→ g in H[0，T]。那么我们有| Df（g）- Df（gk）|≤δ(1 - ρ） ZT |˙g（s）-˙gk（s）|g（s）+gk（s）-2ρσ（bf（s））˙f（s）| ds≤δ(1 - ρ） | | g- gk | | H[0，T]| | g | H[0，T]+SUP | | g | | H[0，T]+2ZTσ（bf（s））˙f（s）ds!≤≤δ(1 - ρ） | | g- gk | | H[0，T]| | g | H[0，T]+SUP | | g | | H[0，T]+2M | | f | H[0，T]！。现在，很明显Df（gk）→ Df（g）为k→ ∞, 因此，函数Dfis在空间H[0，T]上是连续的。因此，函数QT是上半连续的，因为它可以表示为H[0，T]泛函上连续族的最小值。这就完成了Lemma2.15的证明。我们在本节中的最终目标是应用定理2.9来描述退出概率从开放区间渐近展开的领先项。我们假设Sε，0，H=1。因此，Xε，0，H=0。设U=（a，b）是一个间隔，使得0∈ （a，b），并通过τε=infns确定从U的退出时间∈ （0，T）：Xε，0，Hs/∈ Uo。对于每个固定的t∈ （0，T），出口时间概率函数vε（T）由vε（T）=P（τε）定义≤ t） 。SetAt={f∈ C[0，T]：f（s）/∈ U代表一些s∈ （0，t）}。定理2。16。在定理2.9中的条件下，对于每t∈ [0，T]，limε→0ε2Hlog vε（t）=- inff公司∈AtQT（f）。证据不难看出{τε≤ t}=Xε，0，H∈ 在. 接下来我们将展示Atis是QT的一组连续性。实际上，内部otof AT由所有路径f组成∈ C[0，T]，其中存在s<T，使得f（s）/∈美国。

在加法中，At的边界与所有路径f的集合重合∈ C[0，T]，它在T之前或s=T时到达U的边界，但在T之前没有退出U。不难看出，集合Aot型∪ H[0，T]在'At'组中是稠密的∪ 空间H[0，T]拓扑中的H[0，T]。现在，使用引理2.15，很容易证明（2.4）中的等式适用于集合At，因此（2.5）适用于集合At。定理2.16的证明就此完成。3、中等偏差：0<β<在本节中，我们假设0<β<H，并证明过程ε7的样本路径大偏差原理→ Xε，β，H。对于过程ε7，我们也得到了类似的结果→Xε，β，HT。本节不假设高斯随机波动模型为Volterra型。下一句话是本节的主要结果。定理3.1。设0<β<H，σ（0）>0，并假设函数σ对于某些连续模ω是局部ω-c连续的。还假设BB是一个非退化的连续中心高斯过程，适合过滤{Ft}0≤t型≤T、 然后过程ε7→ 状态空间C[0，T]的Xε，β，h满足速度为ε2β的LDP-2 EIT（f）=（2σ（0）RT˙f（t）dt，f定义的手良率函数∈ H【0，T】∞, f∈ C[0，T]\\H[0，T]。证据SetbXε，β，Ht=εH-βZtσ（εHbBs）dZs，0≤ ε ≤ 1.（3.1）我们将首先证明，在理论3.1的环境中，漂移项的去除不会影响LDP的有效性。引理3.2。在定理3.1的条件下，过程ε→bXε，β，手ε→ s状态空间C[0，T]的Xε，β，hw是指数等价的。备注3.3。指数等值的定义见【11】。在我们的例子中，指数当量e意味着对于每一个y>0，limε→0ε2H-2βlog P||bXε，β，H-Xε，β，H | | C[0，T]≥ y= -∞.引理3.2的证明。在【25】的第5节中，在一个稍有不同的环境中得到了一个类似于引理3.2的陈述。