高斯随机波动率模型：标度制度，大型

在我们的情况下，P||bXε，β，H-Xε，β，H | | C[0，T]≥ y= Pε2H-2βZTσ（εHbBs）ds≥ y,我们可以使用与[25]第5节中的证明相同的工具来完成引理3.2的证明。根据引理3.2，过程ε→bXε，β，手ε→ Xε，β，hs符合samelarge-de-viation原理（关于两个过程的指数等效性意味着它们满足相同LDP这一事实的证明，请参见[11]）。因此，有必要证明前一过程的理论3.1。引理3.4。在定理3.1中的条件下，过程ε7→bXε，β，His指数等价于p过程ε7→eGε，β，H：=εH-βσ（0）Z。引理3.4的证明。设δ>0，0<η<1。对于每个ε∈ [0，1]，setM（ε）t=Zthσ（εHbBs）- σ（0）idZs，0≤ t型≤ T、 通过ξ（ε）η=infns定义停止时间∈ [0，T]：εH | bBs |>ηo。然后我们有||bXε，β，H-eGε，β，H | | C[0，T]>δ= PεH-βsupt∈[0，T]M（ε）t> δ!≤ PεH-βsupt∈[0,ξ(ε)η]M（ε）t>δ+ Pξ（ε）η<T= J（ε，δ，η）+J（ε，δ，η）。（3.2）我们将首先估计J。设置σ（ε）s=σ（εHbBs）- σ(0 ). 由于函数σ是局部ω-连续的（见定义2.6），|σ（ε）s |≤ 所有s的L（1）ω（η）∈h0，ξ（ε）ηi.（3.3）很明显，由于过程7→ M（t∧ ξ（ε）η），t∈ [0，T]。（3.4）可以表示为具有有界被积函数的随机积分，它是鞅。此外，对于0<ε<ε且固定λ>0，随机指数（ε）t=exp（λεH-βZt∧ξ（ε）ησ（ε）sdZs-λε2H-2βZt∧ξ(ε)ησ（ε）sds）是鞅（使用Novikov条件）。在其余的证明中，我们将假设0<ε<ε。根据（3.3）和上述马丁性条件，e“exp（λεH-βZt∧ξ（ε）ησ（ε）sdZs）#=E“E（ε）texp（λε2H-2βZt∧ξ(ε)ησ（ε）sds）#≤ 经验值Tλε2H-2βL（1）ω（η）< ∞, （3.5）对于所有t∈ [0，T]。将t=t插入（3.5），我们得到“exp（λεH-βZξ（ε）ησ（ε）sdZs）#≤ 经验值Tλε2H-2βL（1）ω（η）.

（3.6）由于（3.4）中的过程是鞅，因此（3.5）中的可积条件意味着过程t 7→ exp（λεH-βZt∧ξ（ε）ησ（ε）sdZs）是一个正子鞅（见[34]中的命题3.6]）。接下来，使用（3.6）和[34]定理3.8中的firstsubmartingale不等式，我们得到支持∈[0，ξ（ε）η]expεH-βλZtσ（ε）sdZs> eλδ≤ 经验值Tε2H-2βλL（1）ω（η）-λδ.设置λ=δTε2H-2βL（1）ω（η），我们从前面的不等式得到支持∈[0，ξ（ε）η]εH-βZtσ（ε）sdZs>δ≤ 经验值-δ2Tε2H-2βL（1）ω（η）. （3.7）可以用以下过程替换过程M-我在上面的推理中。这给出了以下类似于（3.7）的不等式：P支持∈[0,ξ(ε)η]-εH-βZtσ（ε）sdZs> δ≤ 经验值-δ2Tε2H-2βL（1）ω（η）. （3.8）由（3.7）和（3.8）得出支持∈[0，ξ（ε）η]εH-βZtσ（ε）sdZs> δ≤ 2经验值-δ2Tε2H-2βL（1）ω（η）, （3.9）对于所有δ>0和0<η<1。然后，我们得到了（3.2）J（ε，δ，η）中引入的J的以下估计值≤ 2经验值-δ8Tε2H-2βL（1）ω（η）andlim supε→0ε2H-2βlog J（ε，δ，η）≤ -δ8TL（1）ω（η）。（3.10）我们的下一个目标是估算（3.2）中定义的Jde。我们有j（ε，δ，η）≤ PεHsups∈[0，T]| bBs |>η！，（3.11）对于所有ε∈ （0，T），δ>0和η∈ (0, 1). 利用高斯过程最大值的大偏差原理（例如，参见[37]中的（8.5）），我们可以证明存在常数C>0和y>0，使得PSUPT∈[0，T]| bBt |>y！≤ e-Cy（3.12）对于所有y>y。接下来，考虑（3.11）a n d（3.12），我们得到lim supε→0ε2H-2βlog J（ε，δ，η）=-∞. （3.13）最后，结合（3.2）、（3.10）和（3.13），并使用不等式log（a+b）≤ max{log（2a），log（2b）}，a>0，b>0，我们可以证明limε→0ε2H-2βlog P||bXε，β，H-eGε，β，H | | C[0，T]>δ= -∞,对于所有δ>0。从而完成了L emma3.4的证明。为了完成定理3.1的证明，我们观察到，通过Schilder定理（见[11]），过程ε、β、hs满足了定理3.1中的LDP。

接下来，利用引理3.2和3.4中的指数等价性，我们看到相同的LDP适用于过程bxε，β，H。这就完成了定理3.1的证明。推论3.5。在定理3.1的限制下，过程ε7→ Xε，β，HTS状态空间表示LDP的速度为ε2β-2按位（x）=x2Tσ（0），x定义的手动良好速率函数∈ R、 推论3.5可以从定理3.1中推导出来。实际上，设A是R的Borel子集，并考虑f的C的Borel子集∈ C[0，T]使得f（T）∈ A、 然后，通过将定理3.1中的Ldp估计应用于集合A，不难证明推论3.5中关于集合A的Ldp估计。备注3.6。T heorem2.7和Corolulary3.5中得到的大偏差和中等偏差结果，以及r ate函数在[0，∞) （见[25]），表示以下尾部估计值：limε↓0ε2H-2βlog PXε，β，HT≥ x个=(-IT（x），如果β=0-x2Tσ（0），如果0<β<H.（3.14），我们的下一个目标是讨论自相似波动过程的小时间和小噪声LDP之间的关系。定义3.7。设0<H<1。进程BBT，0≤ t型≤ T、 对于e v eryε，称为H-self-s相似∈ （0，1），bBεt=εHbBt，0≤ t型≤ T、 在法律上。分数布朗运动B和Riemann-Liouville分数布朗运动是H-自相似的，而分数Ornstein-Uhlenbeck过程则不是。假设波动过程bb是H-自相似的。然后，我们可以从定理2.7和定理3中的small noiseLDP和MDP中通过。5到小时间LDP和MDP，通过以下观察（这种方法是众所周知的）。SetZε，Ht=-εZtσ（εHbBs）ds+√εZtσ（εHbBs）dZs。不难看出，在forbB的自相似条件下，对于每个ε∈ （0，1）质量Xεt=Zε，Ht，0≤ t型≤ T、 法律适用。此处，流程X由（1.3）定义。

然后εH-β-Xεt=-εH-β+Ztσ（εHbBs）ds+bXε，β，Ht，对于所有t∈ [0，T]，ε∈ （0，1），H∈ （0，1），a和β∈ [0，H）。前面等式中的过程bxε，β，hT在（2.7）和（3.1）中定义。接下来，用t替换t，用t替换ε，我们得到-β-XtT=-tH公司-β+ZTσ（tHbBs）ds+bXt，β，HT，（3.15）对于所有t∈ [0, 1]. 对于β=0，过程t 7→ Xt，β，hts满足定理2.7中的LDP，而对于β∈ （0，H）它满足推论3中的MDP。5、现在，替换漂移项-t2H型-2βRTσ（tHbBs）ds在过程t 7中→ Xt，β，HTby一个新的漂移项-tH公司-β+ZTσ（tHbBs）ds，使用（3.15），我们可以看到（3.15）左侧的过程满足β=0时OREM2.7中的L DP，以及β的推论3.5中的MDP∈ （0，H）。可以使用【25】第5节中采用的想法来调整漂移置换的可能性。前面的推理说明了如何从小噪声中获得小时间大偏差和中等偏差原则。对于β=0，定理18.4中的[25]获得了定理2.7中LDP的小时间模拟。中心极限状态：β=HWe接下来将描述如果β=H会发生什么。回想一下，在LDP和MDP状态中，我们可以忽略漂移项。对于β=H，情况不再如此，必须考虑漂移项。在本文的其余部分，符号“N”将代表由“N（z）”定义的标准正态互补累积分布函数=√2πZ∞zexp-udu，z∈ R、 假设定理3.1中对函数σ的限制成立。WehaveXε，H，Ht=-Ztσ（εHbBs）ds+Ztσ（εHbBs）dZs，0≤ t型≤ T、 如果β=H，则（3.14）左侧的表达式具有以下形式：L（x）=limε↓0日志PXε，H，HT≥ x个, x>0。（4.1）如下所示，（4.1）中的限值存在于每x>0处，并计算其值。我们将首先研究过程的行为ε7→ Xε，H，Hon路径空间。设置=-tσ（0）+σ（0）Zt，t∈ [0，T]。（4.2）定理4.1。

在定理3.1中对函数σ和过程b的限制下，以下公式适用于所有y>0的情况：limε→0便士||Xε，H，H-U | | C[0，T]≥ y= 0.证明。对于每y>0，P||Xε，H，H-U | | C[0，T]≥ y≤ Psupt公司∈[0，T]Zthσ（0）-σ（εHbBs）ids≥ y！+Psupt公司∈[0，T]Zthσ（εHbBs）- σ（0）idZs≥y！=L（ε，y）+L（ε，y）。（4.3）我们将首先显示Limε→0L（ε，y）=0。（4.4）为了证明（4.4）中的等式，我们使用了引理3.4证明中使用的方法。分析前面（3.9）的证明，我们发现（3.9）中的估计也适用于β=H。此给定SP支持∈[0,ξ(ε)η]Ztσ（ε）sdZs> δ≤ 2经验值-δ2L（1）ω（η）.现在，不难看出如何使用（3.11）和（3.12）证明（4.4）。我们的下一个目标是显示limε→0L（ε，y）=0。（4.5）对于所有η∈ （0，1），我们有（ε，y）≤ P支持∈[0,ξ(ε)η]Zthσ（0）-σ（εHbBs）ids≥y+ Pξ（ε）η<T≤ P支持∈[0，ξ（ε）η]Ztσ(0) - σ（εHbBs）σ（0）+σ（εHbBs）ds公司≥y+ PεHsups∈[0，T]| bBs |>η！≤ P2TL（1）ω（η）sup0≤u≤1[σ（u）]≥y！+PεHsups∈[0，T]| bBs |>η！。（4.6）对于固定的y>0且η足够小，则（4.6）中最后一行的第一项等于零，因为ω（η）→ 0为η→ 0.此外，对于固定η∈ （0，1），我们有limε→0PεHsups∈[0，T]| bBs |>η！=使用（3.12）可以获得先前的等式。现在，不难看出（4.6）意味着（4.4）。最后，很明显，orem 4.1源自（4.3），（4.4），a n d（4.5）。下一个结果回答了Barbara Pacchiarotti提出的以下问题：函数dh的测试值是多少，T（x）=l imε→0Psupt∈[0，T]Xε，H，Ht>X！人们能用定理4.1推导吗？我们将只处理右尾。定理4。2、设H＞0，x＞0。ThenDH，T（x）=Φxσ（0）√T+σ（0）√T！+经验值{-x} “1-Φxσ（0）√T+σ（0）√T！#。（4.7）其中，符号Φ代表标准正态累积分布函数。证据用0<δ<1固定δ。

那么我们有PSUPT∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≤ P||Xε，H，H-U | | C[0，T]>（1-δ） x个+ Psupt公司∈[0，T]Ut>δx！，其中U由（4.2）定义。根据定理4.1，lim supε→0Psupt∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≤ lim supε→0便士||Xε，H，H-U | | C[0，T]>（1-δ） x个+ Psupt公司∈[0，T]Ut>δx！=Psupt公司∈[0，T]Ut>δx！=Psupt公司∈[0，T]-tσ（0）+Zt>δxσ（0）！。（4.8）已知带漂移的B-rownian运动的最大值分布。以下公式适用于每y>0和u∈ R： Psupt公司∈[0，T]（uT+Zt）>y！=Φy- uT√T+ exp{2uy}1.- Φy-uT√T（4.9）（参见，例如，[2]）。因此，（4.8）意味着LIM supε→0Psupt∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≤ Φδxσ（0）√T+σ（0）√T！+经验值{-δx}“1- Φδxσ（0）√T+σ（0）√T！#。接下来，让δ→ 1，我们得到lim supε→0Psupt∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≤ Φxσ（0）√T+σ（0）√T！+经验值{-x} “1- Φxσ（0）√T+σ（0）√T！#。（4.10）我们的下一个目标是获得较低的估计值。我们有PSUPT∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≥ Psupt公司∈[0，T]Ut>（1+δ）x！-P||Xε，H，H-U | | C[0，T]>δxandlim infε→0Psupt∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≥ Psupt公司∈[0，T]Ut>（1+δ）x！-lim supε→0便士||Xε，H，H-U | | C[0，T]>δx= Psupt公司∈[0，T]Ut>（1+δ）x！=Psupt公司∈[0，T]-tσ（0）+Zt>（1+δ）xσ（0）！。（4.11）现在，使用（4.11）、（4.9）和le ttingδ→ 0，我们得到Lim infε→0Psupt∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≥ Φxσ（0）√T+σ（0）√T！+经验值{-x} “1- Φxσ（0）√T+σ（0）√T！#。（4.12）最后，从（4.10）和（4.12）中可以看出（4.7）。这就完成了定理4.2的证明。下一句话是定理4.1的推论。定理4.3。在定理3.1中引入的函数σi的限制下，以下公式有效：limε↓0便士Xε，H，HT≥ x个=\'\'Nx√Tσ（0）+√Tσ（0）！。因此，（4.1）中的极限值存在于e very x>0，且moretoverl（x）=log'Nx√Tσ（0）+√Tσ（0）！。（4.13）证明。根据定理4.1，过程Xε，H，ht在概率上收敛为ε↓ 0到随机变量-Tσ（0）+σ（0）ZT。众所周知，概率收敛意味着分布收敛。

因为对于每x>0，集合[x，∞) 是ZT分布的一组连续性，我们有limε↓0便士Xε，H，HT≥ x个=√2π√Tσ（0）Z∞xexp(-2Tσ（0）r+Tσ（0）)dr=(R)Nx√Tσ（0）+√Tσ（0）！。（4.14）很明显，（4.13）是（4.14）的后续内容。这就完成了定理4.3的证明。备注4.4。在β=H的情况下，可以考虑函数-LT（x）=-日志'Nx√Tσ（0）+√Tσ（0）！，x>0，以替代定理2.7中大偏差原则中的速率函数ITI，或速率函数位（x）=√Tσ（0）xin推论3.5中的中等偏差原则。然而，f或β=H，相应的中等偏差原则退化，因为在这种情况下，速度ε2H-2β等于1。备注4.5。如果β→ 0，则推论3.5中MDP区域的速率函数不趋向于定理2.7中LDP区域的速率函数。如果我们容忍O（x）-近似，对于小x>0，这种不连续性就会消失。实际上，对于β=0，在对波动率函数的更强平滑度限制下，在[4]中建立了以下渐近展开：IT（x）=x2Tσ（0）+O（x）as x→ 0（实际上，上述泰勒展开式中的更多项可在[4]中找到）。请注意，β=H时的渐近公式中也存在不连续性。上述不连续性的原因之一是，通常不可能通过渐近公式中的外参数达到极限。5、混合区域中小噪声看涨期权定价函数的渐近行为在本节中，我们研究了混合区域中小噪声看涨期权定价函数的渐近行为。将考虑以下小噪声通话定价函数：Cβ，H，T（ε，xεα）=ESε，β，HT-exp{xεα}+.上一定义中出现的参数满足x>0，H>0，β≤ H、 α≥ 0和0≤ α + β ≤ H、 请注意，参数β可能为负值。

在前面的公式中，成熟度由ε参数化，而测井走向遵循pa thε7→ xεα（有关调用的各种参数化的讨论，请参见[21]）。在本节中，我们将讨论波动率函数满足线性增长条件的情况。下一节将讨论当波动率函数以整数比线性快的速度增长时会发生什么。定义5.1。据说，如果存在常数c>0和c>0，使得σ（x），则函数σ的线性增长条件成立≤ c+CXAll x≥ 众所周知，如果函数σ的线性增长条件成立，那么（1.1）描述的模型中的资产定价过程S是鞅，因此P是风险中性度量（参见，例如，[17，25]）。即使对于增长更快的函数σ，过程S也可以是鞅。例如，在[31]中确定，对于Scottmodel（见[47]），其中σ（x）=exandbB是经典的Ornstein-Uhlenbeck过程，资产价格过程S是鞅当且仅当-1 < ρ ≤ 0 . 最近的一份预印本[24]中获得了gene-Ralverterra型高斯模型的类似结果。在下一个断言中，调用定价函数的渐近公式是从大偏差原理推导出来的。定理5.2。假设波动率函数σ满足li近似增长条件。以下是正确的：（i）假设定理2.7中的条件成立，且α+β=0。Thenlimε↓0ε2Hlog Cβ，H，T（ε，xεα）=-IT（x）。（ii）假设推论3.5中的条件成立，并设0<α+β<H。Thenlimε↓0ε2H-2α-2βlog Cβ，H，T（ε，xεα）=-x2Tσ（0）。证据在线性增长条件下，允许从大偏差原则推导出看涨期权定价函数估计值的方法是众所周知的（参见，例如，[16，17，25，42]）。我们将仅在定理5.2的第（i）部分中概述上估计的证明。

让我们从尾部估计开始。根据（1.5）得出，在上述α+β6=H的情况下，移除漂移项的可能性为thatlimε↓0ε2H-2α-2βlog PXε，β，HT≥ xεα= limε↓0ε2H-2α-2βlog Pε-αXε，β，HT≥ x个= limε↓0ε2H-2α-2βlog PXε，α+β，HT≥ x个. （5.1）如果α+β=0，则定理2.7和（5.1）中的e质量意味着Limε↓0ε2Hlog PXε，β，HT≥ xεα= -IT（x）（在0<α+β<H的情况下，为了证明类似的等式，我们使用推论3.5和（5.1））。设p＞1，q＞1，使得p+q＝1。ThenCβ，H，T（ε，xεα）≤内赫Sε，β，HTpiopnPXε，β，HT>Xεαoq。从前面的估计可以看出，lim supε↓0ε2H-2α-2βlog Cβ，H，T（ε，xεα）≤plim supε↓0ε2H-2α-2β对数EhSε，β，HT圆周率-qIT（x）。定理5.2第（i）部分中上估计的其余证明遵循了文献[25]中推论31中类似估计的证明（文献[25]中的公式（81））。通过后一个证明中的推理，我们可以确定∈ （0，1），p>1和β∈ [0，H），呃Sε，β，HT圆周率≤ 服务提供商E经验值2p级- pε2H-2βZTσ（εHbBs）ds. （5.2）在（5.2）的证明中，假设资产价格过程S是鞅。如【25】所示，存在δ>0，因此e经验值δZTbBsds< ∞. （5.3）接下来，利用σ的线性增长条件，我们证明了（5.3）中的不等式意味着ε>0和dδ>0的存在，其中ε∈（0，ε）E经验值δZTσ（εHbBs）ds< ∞. （5.4）现在，我们可以完成定理5.2第（i）部分的证明，与[25]推论31完全相同。请注意，这里需要以下事实。由于线性增长条件成立，因此托卡斯特指数t 7→ （1.4）中定义的Sε，β，HTi是每个固定ε的鞅，因此1=EhSε，β，HTi≤ Eh | Sε，β，HT | Pi表示所有ε∈ （0，1）和p>1。这就完成了定理5.2第（i）部分证明的简短草图。备注5.3。

有趣的是，如果波动率函数σ的增长速度比线性增长速度快一点，那么（5.4）m中的不等式可能会失效（见定理6.7）。这意味着，即使在波动率函数σ的线性增长限制非常弱的情况下，也不能采用基于综合方差指数矩的细节来确定上LDP和MDP看涨期权价格估值的特殊方法（更多信息，请参阅第6节中的讨论）。在α+β=H的情况下，仍需描述看涨期权定价函数的渐近行为。我们首先将自己限制在α=0和β=H的情况下。定理5.4。假设α=0，β=H。还假设推论3.5中的条件有效，且函数σ满足线性增长条件。那么以下公式成立：limε↓0CH，H，T（ε，x）=Z∞xey纽约√Tσ（0）+√Tσ（0）！dy.（5.5）备注5.5。（5.5）中的公式可以改写如下：limε↓0CH，H，T（ε，x）=C-（十），√Tσ（0）），（5.6），其中符号C-（k，ν）代表Blac k-Schole模型中的调用p rice，作为对数走向k的函数≥ 0和无标度波动率ν（见[21]中公式（3.1）的定义）。我们可以证明，（5.5）和（5.6）中的公式与感兴趣的读者的练习相同。根据[21]（见公式（3.1）中的第二个等式和[21]中的公式（3.3）），对于每个固定的k，C-是ν的严格递增函数。理论证明5.4。SetPα，H，Tε（x）=P-εαZTσ（εHbBs）ds+ZTσ（εHbBs）dZs≥ x个. （5.7）不难看出thatCH，H，T（ε，x）=EexpnXε，H，HTo-前任+=Z∞x（ey-ex）dh-P0，H，Tε（y）i.（5.8）我们的下一个目标是估计分布函数P0，H，Tε（y）。