强健的XVA

，N，I，C。每个企业I的默认时间定义为其累积强度过程第一次超过相应的指数分布随机变量，即τI=supt型≥ 0：Rthi，Psds>Ei.因此，我们使用默认指标过程Hit=1l{τi≤t} ，t≥ 0，以跟踪FIRMI违约的发生情况。背景过滤F：=英尺t型≥0，其中Ft：=σHju；u≤ t:j∈ {1，…，N}, 包含有关投资组合风险的信息，即参考交易证券的N家公司的违约信息，但不包括投资者i及其交易对手的违约信息C.违约强度过程嗨，Ptt型≥0，i∈ {1、…、N、I、C}的构造使其适应背景过滤F，即给定时间t的违约强度取决于时间t之前发生的公司违约。我们在附录a中报告了这种构造的详细信息。我们表示包含投资者和交易对手违约信息的过滤=Ht公司t型≥0，其中Ht=σHju；u≤ t： j∈ {I，C}. 通过构造，默认强度hi、P、i∈ {1，…，N，I，C}，是时间的分段确定性函数（因此，我们在分段确定性马尔可夫过程的框架中工作，见Davis（1984））。我们进一步要求它们是分段连续且一致有界的。扩大的过滤，包括组合风险（参考组合证券的N家公司的违约事件）和交易对手风险（投资者及其交易对手的违约事件），用G表示=Gt）t≥0=英尺∨ Ht公司t型≥0、我们将考虑强化过滤，即包含自然过滤的最小完整且正确的连续过滤，并用F、H、G表示（稍微滥用符号）。为了将来的目的，我们定义鞅补偿器过程$i，Pof Hias$i，Pt：=命中-Zt公司1.- 他的嗨，Psds，我∈ {1, . . .

，N，I，C}。通过构造，这些补偿过程是i的F-鞅∈ i的{1，…，N}，和G-鞅∈ {1，…，N，I，C}。所有市场参与者都知道投资组合中所有公司和投资者的可违约账户利率。然而，交易者对缔约方可违约账户的实际利率只有有限的信息，尤其是只知道其上限和下限。复制工具投资者的目标是复制在N个不同参考实体上编写的信用违约掉期（CDS）投资组合，由1、2、…、，N假设所有CDS同时完成T。与该投资组合相关的信用风险敞口使用通用和投资者专用工具进行复制。通用工具可供所有市场参与者使用，而投资者专用工具仅可供投资者使用，而非其他市场参与者使用。通用工具包括信用违约掉期组合中的参考实体以及交易员及其交易对手承销的（可违约）债券。与直接建模可违约债券不同，我们建模了与CDS投资组合中的投资者、交易对手和参考实体相关的可违约账户。这些证券在违约前通常被用作计票人，并用于确定生存指标。例如，Collin Dufresne等人（2004年）研究了一个生存点度量，其中计算值是一个默认账户。我们在备注3.3中提供了关于可违约债券和可违约账户之间关系的更多详细信息。在物理量P下，对于i∈ {1，…，N，I，C}，和0≤ t型≤ T，默认情况下零恢复的默认帐户进程的动态由dbit=uitBitdt给出- 一点-dHit，Bi=1，其中uit, 我∈ {1, . . .

，N，I，C}，是F适应的，因此是分段确定的过程，可能在对应于默认事件的离散时间跳跃。我们假设速率ui，i∈ {1，…，N，I}是可以观察到的，而投资者没有关于uceexcept的进一步信息，因为它被限制在区间【uC，uC】。投资者专用工具包括她的资金和抵押品账户。我们假设投资者以利率r+f（贷款利率）和利率r从其财政部借贷-f（借款利率）。用Br±F表示与这些资金利率相对应的现金账户。ξf：=（ξfs；s）的投资策略≥ 0）资金账户中的股份产生一个账户值brf：=（Brfs；s≥ 0）由Brft给出：=Brftξf）=eRtrf（ξfs）ds，其中rf：=rf（y）=r-f1l{y<0}+r+f1l{y>0}。抵押品交易员和交易对手使用抵押品账户来降低交易对手风险。根据巴塞尔银行监管委员会（BCBS）和国际证券委员会组织（IOSCO）制定的标准（见BIS保证金（2013）），抵押品包括变动保证金，跟踪交易组合的市值变化，并以V M表示，以及初始保证金，用于缓解交易结束时的缺口风险，并用IM表示。《欧洲市场基础设施条例》（EMIR）规定至少每天更新变动保证金，并要求至少每十天重新评估一次初始保证金（见EMIR OTC条例（2016））。在美国，商品期货交易委员会要求每日更新初始保证金（CFTC保证金要求（2016））。

数学上，共同过程M：=（Mt；t≥ 0），M=V M+IM，是一个F适应的随机过程，如果投资者提供抵押品（作为抵押品提供者），则为正，如果她接受抵押品（作为抵押品接受者），则为负。用r+M表示投资者向其交易对手发布时要求的抵押品利率，并用r+M表示-M当投资者是交易对手时，交易对手要求的抵押品利率。然后，时间t时抵押品账户的价值由brmt=eRtrm（Ms）ds给出，其中rm：=rm（x）=r-m1l{x<0}+r+m1l{x>0}。通过ψmtt表示交易员在时间t持有的抵押品账户brmt的股份数量，我们有以下关系ψmtBrmt=-Mt.（1）如下一节所述，在t时收到或过账的抵押物金额将由估价方确定。图1描述了整个交易流程的机制。请注意，初始保证金会定期更新（而不是像名称所示，在交易开始时只过账一次），就像变动保证金一样。变动保证金通常以比初始保证金更高的频率（日内或最多每天）更新，初始保证金每天重置，甚至以更低的频率重置。TraderTreasury Deskr+fr-fCashDefaultableaccountsDefaultable accounts双counterpartyVariationMarginr+mr-mSegregatedAccountInitialMarginr+mFigure 1：交易：实线表示购买/销售，虚线表示借贷，虚线表示利息；蓝线是现金，黑线是现金的默认账户购买。请注意双边变动保证金与单独账户中保留的初始保证金之间的差异。3估值措施、抵押和平仓交易从出售CDS投资组合的交易员的角度出发，通过构建复制投资组合来确定其价值。

这样的投资组合在合同的整个有效期内考虑了价差支付，当任何参考实体违约时，相应CDS合同的价值等于其损失率。与投资组合相关的财富流程使用基础参考实体的可违约账户来复制交易的市场风险，使用交易方的可违约账户来复制投资者及其交易对手的交易对手风险。由于交易者不知道其交易对手的确切违约强度，这种复制论证只能提供价格界限。特别是，如果投资组合以低于上限的价格出售，上限提供了一个可靠的基准来衡量交易者可能遭受的损失。备注3.1。交易员旨在计算交易结算价格与交易市值之间的差异，以便识别潜在风险因素并将其分配给银行内的不同部门。这种差异被称为XVA。重要的是对不同的附加费来源和不可复制风险（如CVA、FVA、KVA）进行明确区分，以便将其正确分配给管理部门。因此，在计算退出价格时，即投资组合可以在公开市场上清算的价格（这与税收和监管目的有关），需要在更高的粒度级别上考虑这些组成部分。其中一个组成部分是KVA，定义为风险资本的融资成本，由投资者公司的股东留出。KVA应根据历史测量值进行计算，通常假设历史测量值与风险中性测量值相同，以保持分析的可跟踪性。

例如，Albanese和Crépey（2018）遵循了这种方法，他们将KVA定义为风险中性措施下BSDE的解决方案。Greenel al.（2014）使用Burgard和Kjaer（2011b）中半复制方法的扩展，通过将其定价PDE的Feynman-Kac表示中的所有资本相关术语组合在一起，得出KVA。我们的分析涉及入口价格，即在将交易分解为风险源并将其拆分到各个交易台之前。尽管如此，我们计算了交易的（超级）复制价格，该价格对物理和定价措施的特定选择具有鲁棒性，因为账户利率的假设边界是恒定的，因此与措施的选择无关。从不同的角度来看，我们的方法可以被视为为为XVA提供了一般界限，即为其各个组件（如KVA）内插产量界限。这些界限可以与股票期权的界限类似：源自随机波动性的市场不完全性价格可以在指定波动过程的界限后得到界限。在当前模型中，由于无法完全对冲交易对手风险而产生的风险资本融资成本没有明确说明。然而，扣除贷方、借方和融资估值调整后，剩余成本占千伏安。然后，交易对手债券利率的界限（分别为风险中性违约强度）将意味着KVA的界限，如果交易对手的违约强度是确定的，则下限和上限将重合。接下来，我们讨论公共和私人估值。私人估值基于贴现率，贴现率取决于投资者的特定特征，而公共估值则取决于公开可用的贴现系数。

具体而言，需要进行公开估值，以确定抵押要求和交易的收尾价值。根据国际掉期和衍生工具协会（ISDA）审查的市场惯例，它们由估价机构确定，估价机构可能是交易的一方或第三方。估价代理行通过使用贴现率Rd和投资组合中公司的账户利率ui，i计算衍生工具的所谓净价来确定交易的收尾价值∈ {1，…N}（我们记得估价机构知道后者）。在整篇论文中，我们将使用上标∧ 具体指公开估值时。如果交易员或其交易对手提前违约，复制过程将在到期前停止。因此，我们将交易的终止时间（即任何一方违约时间或交易到期时间T之间的最早时间）定义为τ：=τi∧ τC∧ T代理人所做的估价在数学上表示为根据估价指标Q对交易进行定价，估价指标Q与代理人选择的公开可用贴现率Rd相关。测量值Q相当于Pand，其关系由氡Nikod'ym密度DQDP规定Fτ∧(τ∨...∨τN）=Yi∈{1，…，N，I，C}（uI- rD）（τ∧ τi）Rτ∧τihi，Psds！Hiτ∧τieRτ∧τi（rD-ui+hi，Pu）du。（2） 备注3.2。由于估值指标用于确定交易的净价，因此不需要取决于投资者I及其交易对手C的违约强度。然而，我们在定义Q时已将这两种违约强度都包括在内，因为这将简化本文后面部分的表述。

特别是，我们不需要为投资者的估值引入不同的衡量标准。可违约账户的Q-动力学遵循Girsanov定理，由Dbit=rDBitdt给出- 一点-d$i，Qt，（3）其中$i，Q：=（$i，Qt；0≤ t型≤ τ ∧ τ（N））是（F，Q）-鞅，τ（i）表示默认时间的i阶统计量，i=1。。。，N、 这些鞅可以显式地表示为$i，Qt=$i，Pt+Rt1.- Hiu（嗨，Pu- hi，Qu）du，其中过程hi，Q=ui- rD，i∈ {1，…，N，I，C}，（和uI，I∈ {1，…，N，I，C}，是指与参考实体、交易员及其交易对手相关的可违约账户的回报率），是指公司在估值措施下的违约强度，假设为正。备注3.3。我们注意到，在估值测度Q下，实际贴现债券价格过程必须是G鞅。因此，对于我∈ {1，…，N，I，C}并通过Pit表示形式I的默认债券的价格，我们有PiTBiT=EQ“PiTBiTGt#因此，由于债券到期价值等于1，因此实际债券价格由建模的可违约账户viaPit=BitEQhBiT确定Gti。这种建模方法的优点是，可违约账户的价值过程一直持续到违约，而当另一个债券违约时，实际债券价格可能会大幅下跌。要了解这一点，请注意，未违约的单位符号键的终止条件始终为1。

如果一份债券的回报率在另一份债券违约时发生变化，则剩余债券估值中使用的贴现率将不同，从而导致债券价格的变化。这在经验上是相关的，并且在相当多的情况下，准确地捕捉到了公司债券的行为（一个明显的例子是1997年亚洲金融危机中导致当地公司违约的主权违约）。3.1抵押品由估值代理机构确定的信用违约掉期组合的公开估值过程由^Vt=NXi=1zi^Cit给出，其中^citi是信用违约掉期参考实体i的时间t值。变量zi表示交易员是否将第i次掉期出售给其交易对手（zi=1）或从其交易对手处购买（zi=-1). 在购买掉期的情况下，交易员向其交易对手支付价差乘以名义价差，并在参考实体的违约时间收到损失率乘以名义价差的金额（如果发生在到期日T之前）。这是所谓的“净价格”，不考虑交易对手的信用风险、抵押品或融资成本。显然，投资组合的公开估值只是单个CDS估值的总和。2013年2月，巴塞尔银行监管委员会（BCBS）和国际证券委员会组织（IOSCO）发布了第二份关于非中央结算衍生品保证金要求的咨询文件；参见BCBS/IOSCO（2013）。本文件规定了与非集中清算衍生工具相关的初始保证金过账的最低标准。我强调了将交易对手公布的初始保证金与投资者公布的初始保证金分开的重要性，以避免这两个账户之间的任何净额结算，并保护各方免受缺口风险。

我们的抵押过程与这些市场实践是一致的。变动保证金设定为投资组合公开估值的固定比率，而初始保证金旨在缓解缺口风险，并使用风险价值进行计算。该风险度量旨在覆盖目标置信水平的投资组合头寸的若干天的不利价格/信用利差变动。请注意，初始裕度和变化裕度之间存在重要差异。变动保证金总是有方向性的，可以重新进行保护（即，它从付款方流向收款方；收款方可以将其用于投资目的），其中，变动保证金必须由双方过账，并且需要保存在一个单独的账户中，因此不能用于投资组合复制。再抵押是一种非常流行的做法，因为它降低了抵押品报酬的成本（Singh和Aitken（2010）），并且已经被XVA的现有文献所解释（例如Brigo et al.（2012））。此外，我们假设抵押品以现金的形式寄存和接收，这实际上是最常见的抵押品形式。因此，如果交易员或其交易对手在时间t前均未违约，且投资组合中的参考实体也未全部违约，则抵押品流程定义为时间t：=IMt+V Mt=βV aRq（^V（t+δ）∧T-^Vt |τ（N）>t）++ α^Vt1l{τ∧τ（N）>t}，（4）其中，对于实数x，我们使用符号x+=max（x，0）。在上述表达式中，0≤ α ≤ 1为抵押水平，δ>0为抵押过账延迟，q为风险承受水平，β为压力因素。如果α=0，则表示零抵押，而α=1则表示交易已完全抵押。风险价值数量的正部分表明，初始保证金不能再抵押。