强健的XVA

下面的定理提供了一个存在唯一性结果。提案5.3。常微分方程组（24）–（25）存在唯一的（分段）经典解。以下比较原则（其证明见附录）将用于确定超级复制XVA。定理5.4（比较定理）。假设存在uC≥ uC>Rd，使uC≥uC，Q≥ uCand设ˇu为ODE（25）的溶液。Let（uC）*（^v，m，ˇu）=uC1l{θC（^v，m）-ˇu≥0}+uC1l{θC（^v，m）-ˇu≤0}，（uC）*（^v，m，ˇu）=uC1l{θC（^v，m）-ˇu≥0}+uC1l{θC（^v，m）-ˇu≤0}，并定义驱动程序g*和g*通过插入默认强度（uC，Q）*和（uC，Q）*转化为（19）给出的_g的表达式，即g*t、 ˇu；^v，m= 嗨，QθI（^vt，mt）- ˇut+ （（uC）*（vt、mt、ut）- rD）θC（^vt，mt）- ˇut- h1，Qˇut+~ft、 ˇut，-ˇut，￠θI（^vt，mt）- ˇut，￠θC（^vt，mt）- ˇut；^v，m,g*t、 ˇu；^v，m= 嗨，QθI（^vt，mt）- ˇut+ （（uC）*（vt、mt、ut）- rD）θC（^vt，mt）- ˇut- h1，Qˇut+~ft、 ˇut，-ˇut，￠θI（^vt，mt）- ˇut，￠θC（^vt，mt）- ˇut；^v，m.Letˇu*和ˇu*是ODE（25）的解决方案，其中_g被g取代*和g*分别，即：。，tˇu*= g*（t，ˇu*; ^v，m），ˇu*= 0,tˇu*= g*（t，ˇu*; ^v，m），ˇu*= 0。（26）然后*≤ ˇu≤ ˇu*.基于不确定性区间极值计算的估值过程uC*和uC*用V（uC）表示*和V（uC）*分别地对于不确定波动率模型，ODE（26）可以理解为Black-Scholes-BarenblattPDEs的信用风险对应项；见Avellanda等人（1995年）。我们的研究和他们的研究之间的主要区别在于，在他们的论文中，不确定性来自波动性，波动性在微分算子中表现为二阶项。因此，指定定价公式中使用的波动率值的指标函数取决于期权价格相对于基础的二阶导数，即期权的伽马。

在我们的设置中，指定要使用的交易对手账户利率值的指标函数取决于XVA复制的当前值和收尾值之间的关系。当交易对手违约时，复制交易的价值跃升到损失价值。如果这种跳跃的规模为正，即交易的收尾价值较高，则交易员需要做空交易对手的账户，以将这种跳跃复制到违约风险。由于交易员希望考虑其交易的最坏情况，她会选择交易对手账户利率的最大值uC，因为这是其空头头寸的最低回报率。反之亦然，如果跳跃为负，交易员需要多头交易对手可违约账户。因此，交易者将使用smallercounterparty的账户利率uCto来处理最糟糕的复制场景。我们的目标是为XVA价格过程提供一个严格的上限，因为这意味着一个正确的超级复制价格。我们将这种超级复制价格与式（9）中定义的rXVA联系起来。确定流程*t： =ˇu*T-t、 以下定理表明rXVA与超级复制价格一致，并进一步规定了超级复制策略。后者是通过采用（22）–（23）中给出的策略并使用超级复制价格ˇU获得的*代替ˇU.定理5.5。稳健的XVA允许xvat=ˇU给出的显式表示*t1l{t<τ∧τ}+ИθC（^VτC，MτC-)1l{τC<τ∧τI∧T}+￠θI（^VτI，MτI-)1l{τI<τ∧τC∧T}1l{t≥τ∧τ} 和相应的rXVA超级复制策略由ξ1给出，*t=ˇU*技术性贸易壁垒-1l{t<τ∧τ} ，ξI，*t=LI（^Vt- Mt公司-)++ˇU*待定-1l{t≤τ∧τ} ，ξC，*t型=-LC（^Vt- Mt公司-)-+ˇU*待定-1l{t≤τ∧τ} ，ψm，*t=-Mt公司-Brmt1l{t<τ∧τ} ，ξf，*t型=-2ˇU*t+LC（^Vt- Mt公司-)-- LI（^Vt- Mt公司-)+- Mt公司-Brft1l{t<τ∧τ}.

（28）我们注意到，如果我们使用（28）中给出的稳健超级复制策略，并从初始资本rXVA开始，那么就不会有El Karoui等人（1998）所说的跟踪错误。换言之，在实施稳健战略时犯下的错误ξ1，t，ξI，t，ξC，t，ξf，t，ψm，*t型在真实市场中（交易对手账户的回报率为uC），而不是在robustmarket模型中（交易对手账户的回报率为uC）*) 为零。这可以理解为：等式（41）表明，超级复制投资组合的价值始终是rXVA。然而，在交易对手、投资者或CDS合同到期的最早违约时间（以较早者为准）之前，超级复制投资组合一直在产生利润，因为超级复制投资组合的价值变化大于*, 如（45）所示。换句话说，在一段时间间隔dt内，投资者会获得额外的现金（uC）*（Vt，Mt，ˇU*t）- uCθC（^Vt，Mt）-ˇU*t型在复制策略结束之前的任何时间。稳健策略仅取决于XVA价格过程和账户价格，与违约强度hC、Q无关，投资者不知道其价值。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0-0.06-0.020.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0-0.4-0.20.4图2：我们使用以下参数：r±f=rD=0.001，α=β=0，T=3，LI=LC=0.5，η=2，ht=0.11l{0≤t<1}+0.31l{1≤t<t}，L=10，uI=0.2001，uC=0.2501，uC=0.1501，uC=0.2001。左面板：绘制ˇu（实心），ˇu*（虚线）和*（虚线）作为时间的函数。右面板：^θC（^v，0）的绘图（虚线），-作为时间函数的θI（^v，0）（虚线）和71u（实线）。

在左面板中，我们在子解和超解之间切换的默认强度是虚线和虚线与x轴的交叉点，大约在t=2.67处出现。在右侧面板中，第三方估值^v在约t=2.67时变为正值。在零利润的情况下，直接从公式（17）得出第三方估值^v=^v+- ^v-可以用收尾值表示，并由-θC（^v，0）LC-θI（^v，0）LI。因此，我们从图2的右面板得出，第三方估值在t=1.83之前为负值，在t>1.83时为正值。图2还显示了超级复制策略的重要性，即它在默认强度下不是单调的。从图2的右面板可以看出，数量|θC（^v，0）- ˇu在t处为零≈ 2.67，t<t时为非负，t>t时为严格负。这意味着（uC）*= uCprior to time tand while|θC（^v，0）- ˇu≥ 0，而在时间t之后，（uC）*= uC，因为我们有|θC（^v，0）- ˇu≤ 换言之，在交易之前，交易者将使用其超级复制投资组合的账户利率uC的最大值，因为当交易对手违约时，超级复制投资组合跳转到平仓价值，由^θC（^v，0）给出- ˇu，为正。时间t之后，交易者将选择账户利率的最小值uCof，因为该跳跃将为负值。从图2的右面板可以直接看到这一点，因为在时间t之前，灰点线占据实线的主导地位，而在时间t之后，情况则相反。该分析强调了与标准信用风险设置、抵押和平仓条款或XVA模型的根本区别，其中抵押和平仓价值取决于交易员的估值过程，正如Nie和Rutkowski（2016）所述。

在这些情况下，衍生品的价格在违约强度上是单调的，而在我们的设置中，超级复制投资组合的价值不一定具有这种单调性。这是因为事实上，抵押和平仓过程是外生的，即它们取决于第三方的外部估值，而不是超级复制投资组合的价值。5.3保证金的计算我们开发了当双方交易单名信用违约掉期合同的γ单位时，初始保证金的明确表达式。初始保证金使用风险价值标准确定，需要在物理度量P下计算，而不是在估值度量Q下计算。通过定义V aR，在集合{τ∧ τ> t}我们有imt（γ）=βV aRqγ^V（t+δ）∧T- γ^Vt |τ>t+= βinfnK∈ R> 0:Pγ^V（t+δ）∧T+γ^Vt>-Kτ> t型≥ 1.- qo。（29）因此，不同于变化裕度V M（γ）=αγ^Vt1l{τ∧τ（N）>t}即在γ中是线性的，初始裕度IM（γ）在γ中仅为正齐次。因此，我们将区分γ=1和γ=-1、首先注意γ^V（t+δ）∧T-^Vt= -γ（η（（t+δ）∧ T- t） ifτ≥ （t+δ）∧ T-L+ητ- t型否则γ=1的情况在实践中不太常见。我们通常预计L>ηT，因为保护买方不太可能支付超过违约情况下他将收到的金额（请注意，ηT是买方将支付的最高金额）。在这种情况下，保护卖方对保护买方的风险敞口为负值，导致V aR为负值。在γ=-1、我们获得-^V（t+δ）∧T+^Vt>-Kτ> t型=P-^V（t+δ）∧T∧τ+^Vt∧τ> -KP[τ>t]=R（t+δ）∧Tt（K- L+η（u- t） ）+e-h1，普杜尔∞te公司-h1，普渡。（30）因为等式的右侧。

（30）在K中是连续且递增的，表示（29）中概率事件的不等式（表征初始裕度）变为等式，因此可以对V aR进行数值计算。示例5.6。假设默认强度不变且t<t- δ. 计算γ的初始边缘γt=-1，我们注意到R（t+δ）∧Tt（K- L+η（u- t） ）+e-h1，普杜尔∞te公司-h1，Pudu=1- e-h1，PL-Kη∧δ.因此，IMT明确给出了求解上述方程的K值，即初始裕度(-1) =(βL+ηlog qh1，P如果q>e-h1，Pδ，否则为0。（31）初始保证金公式（31）具有直接的经济解释。首先，我们注意到，项乘以利差η为负，因为风险水平q的值介于0和1之间，因此log qis为负。因此，当初始保证金非零时，损失率和CDS利差均为正，损失率增加，CDS利差减少。这是很直观的：如果保护卖家必须在信贷活动中支付更多款项，他会提高保证金要求，如果从保护买家处收到的价差溢价更高，他会降低要求。此外，所需保证金在参考实体的违约强度中不断增加，在有限违约强度的限制情况下，它会收敛到产品Lβ。这反映了经济直觉：随着信贷事件发生的可能性越来越大，保护卖方要求买方准确支付其在信贷事件中收到的金额。最后，初始保证金的价值在风险水平上降低，而在抵押率上线性增加。5.4信用互换组合在本节中，我们将前面几节中进行的分析归纳为单一名称信用违约互换组合，每个组合都引用了不同的实体。

为了捕捉直接违约传染，welet生存实体的违约强度取决于过去的违约。在本节中，我们使用上标J，J {1，…，N}，表示默认实体的集合。例如，vjdenotest是CDS投资组合的复制过程，其中默认的引用实体正是集合J中的那些实体。我们用τJ表示参考实体的最后一次默认时间，单位为J（即τJ=maxj∈JτJ，假设maxj∈JτJ<τi，i 6∈ J），对于i 6∈ J我们使用τ1，jt表示经济情景中i-th参考实体的违约时间，其中J中的所有参考实体都已违约。首先，我们研究了第三方估值过程的动力学。请注意，如果所有实体都已默认，则^V{1，…，N}=0。当除i以外的所有实体都已违约时，即isJ={1，…，N}\\{i}（在本例中为τ1，J=τ{1，…，N}），类似于单个CDS合同的情况，其价格过程已在等式（14）中给出。因此-d^VJt=-rD^VJt- ηidt公司-^Z1，Jt$i，J，Qt，^VJτi，J∧T=Li1l{τi，J<T}。（32）接下来，我们提供了一个归纳关系，该关系将J中所有实体违约的州的投资者财富价格过程与参考实体i 6违约的州的投资者财富价格过程联系起来∈ J其他默认值。基本情况| J |=N- （32）中给出了1。对于| J |<N的情况- 1，我们获得-d^VJt=-rD^VJt-Xk公司/∈Jηkdt公司-Xk公司/∈J^Zk，Jt$k，J，Qt，^VJT∧明杰/∈JτJ，J=Xk/∈JLk+^V{k}∪Jτk，J1l{τk，J=最小值/∈JτJ，J}1l{τk，J<T}。（33）然后，通过考虑所有可能的违约实体子集，得出价格过程和复制策略，从而得出^Vt=XJ∈2{1，…，N}^VJt1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，^Zit=XJ∈2{1，…，N}{i}^Z1，Jt1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}。并行过程M仍然由等式给出。

（4） 与上述表达式一起表示^V。接下来，我们使用类似的归纳论点来定义V：=（Vt）t≥0进程。显然，V{1，…，N}=0。现在考虑一下除了实体i之外的所有实体都默认的状态，即J={1，…，N}\\{i}（和τ1，J=τ{1，…，N}）。在多名称情况下，（12）的对应表达式如下所示-dVJt=ft、 VJt、Z1、Jt、ZI、Jt、ZC、Jt；MJ，Jdt公司- Z1，Jtd$i，J，Qt- ZI，Jtd$I，Qt- ZC、Jtd$C、Qt、VJτ∧τi，J=Li1l{τi，J<τ∧T}+θI（^VJτ，MJτ-)1l{τ<τ1，J∧τC∧T}+θC（^VJτ，MJτ-)1l{τ<τ1，J∧τI∧T}，其中f的形式与（13）中处理的单名情况类似，由f给出t、 v、z、zI、zC；M、 J:= -r+fv+z+zI+zC- M+- r-fv+z+zI+zC- Mt公司-- rDz公司- rDzI公司- rDzC+r+毫米+- r-毫米-+Xk公司/∈Jηk.与式（33）类似，J中所有参考实体违约的州的财富复制过程与其他实体i 6违约的州有关∈ J默认值：- dVJt=ft、 VJt，Xk/∈JZk、Jt、ZI、Jt、ZC、Jt；MJ，Jdt公司-Xk公司/∈JZk，Jtd$k，J，Qt- ZI，Jtd$I，Qt- ZC、Jtd$C、Qt、VJτ∧明杰/∈JτJ，J=Xk/∈JLk+V{k}∪Jτk，J1l{τk，J=最小值/∈JτJ，J∧τ} 1l{τk，J<T}+θI^VJτ，Mτ-1l{τI<minj/∈JτJ，J∧τC∧T}+θCγ^VJτ，Mτ-1l{τC<最小值/∈JτJ，J∧τI∧T}。总之，我们得到vt=XJ∈2{1，…，N}VJt1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，Zit=XJ∈2{1，…，N}\\{i}Z1，Jt1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，ZIt=XJ∈2{1，…，N}ZI，Jt1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，ZCt=XJ∈2{1，…，N}ZC，Jt1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}。按照第5节的思路，我们可以在等式中获得XVA过程的BSDE。

(8):-dXVAJt=￠ft、 XVAJt，Xk/∈J▄Zk，Jt，▄ZI，Jt，▄ZC，Jt；MJ，Jdt公司-Xk公司/∈JZk，Jtd$k，J，Qt-ZI，Jtd$I，Qt-ZC、Jtd$C、Qt、XVAJτ∧明杰/∈JτJ，J=Xk/∈JLk+XVA{k}∪Jτk，J1l{τk，J=最小值/∈JτJ，J∧τ} 1l{τk，J<T}+￠θI^VJτ，Mτ-1l{τI<minj/∈JτJ，J∧τC∧T}+℃^VJτ，Mτ-1l{τC<最小值/∈Jτ1，J∧τI∧T},式中，式（17）中给出了θc和θi，其中，Z1、Jt、ZI、Jt和ZC、Jt定义为Z1、Jt：=Z1、Jt-^Z1，J，i/∈ J、~ZI、Jt：=ZI、Jt、~ZC、Jt：=ZC、Jt和▄ft、 xva、~z、~zI、~zC；M、 J: = -r+fxva+～z+～zI+～zC+Xk/∈JLk公司- Mt公司+- r-fxva+～z+～zI+～zC+Xk/∈JLk公司- Mt公司-- rDz- rDzI- rDzC+r+mM+t- r-毫米-t型- rDXk公司/∈JLk公司,其中，终端条件为XVA{1，…，N}t=0。减滤F中的BSDE可从（18）中获得，并由下式得出-dˇUJt=ˇgt、 ˇUJt，Xk/∈JˇU{k}∪Jt，Xk/∈Jhk，QˇU{k}∪Jt；^VJ，MJ，Jdt，ˇUJT=0，带ˇgt、 ˇu，ou、 ou；^V，M，J= 嗨，QθI（^VJt，MJt-) - ˇu+ hC，QθC（^VJt，MJt-) - ˇu+ou-Xk公司/∈Jhk，Qˇu+ft、 ˇu，ou- （N）- |J |）ˇu，ˉθI（ˉVJt，MJt-) - ˇu，￠θC（^VJt，MJt-) - ˇu；M. （34）对于递归的起点，我们设置ˇU{1，…，N}t=0。备注5.7。对于大型投资组合，即引用大量N个实体的投资组合，这种模式系统在计算上很难处理。对于{1，…，N}的每个子集，需要获得ODE（34）的解，即需要计算总共2n个解。只有当参考实体具有相同的特征（价差、损失率和违约强度），并且违约强度仅取决于发生的违约数量，而不取决于违约实体的身份时，该系统才可处理。在这种情况下，复杂性呈线性增长，需要计算节点解。常微分方程之间的依赖结构具有与二叉树相似的特征。

在非重组树上的计算通常非常昂贵，并且通常使用重组树。出于校准目的，重要的是构建一个简洁的模型，该模型可以最大限度地减少从数据中估计的参数数量。一种常见的策略是将公司分成多个小组，每个小组都有独特的违约风险。换言之，假设同一组中的企业具有相同的默认强度。例如，默认强度的可处理规范为hi，Qt（| J |）=hκ（i），Qt（| J |），其中κ（i）将表i映射到我所属的组。可分割规范的例子包括线性交易对手风险模型，其中hκ（i），Qt（| J |）=λκ（i）+λκ（i）| J |，即，在某些公司违约时，存续公司的违约强度增加了一个常量，因此违约依赖性随违约次数线性增加。常数λ和λ可能会因组而异，但对于组中的所有公司来说都是相同的。Freyand Backhaus（2004）使用CDO分期付款利差对集团间和集团内依赖关系的另一种规范进行了校准。他们的模型解释了一个事实，即同一行业的企业违约比不同行业的企业违约具有更强的依赖结构。功能规范假设，只有在以下情况下，t时的违约事件才会增加存续公司的违约强度：（i）集团内已实现的违约数量超过该集团预期的违约公司数量t，或（ii）集团内已实现的违约总数超过预期的违约公司总数t。