强健的XVA

因此，与投资者交易策略相关的财富过程不包括收到的初始利润。3.2交易的平仓价值在交易员或其交易对手违约的情况下，我们遵循无风险平仓惯例。根据这一惯例，当另一交易对手违约时，每一方按市场价值清算头寸。因此，如果可用抵押品的金额足以吸收所有已发生的损失，复制投资组合的价值将与第三方估值一致。如果情况并非如此，交易者将只收到其剩余头寸的一部分，即使用可用抵押品抵消损失后。请注意，在实践中，第三方估价的结算需要一些时间。这会导致缺口风险，因为交易的价值通常在实际违约时间和结算时间之间波动（见Brigo和Pallavicini（2014））。虽然实际结算价格（包括缺口风险）不可能超高，但我们的方法旨在在违约时间找到市场估值的超高。初始保证金作为缺口风险的缓冲，使用尾部风险度量进行计算。让我们用θ表示τ<T时复制投资组合的值。这由θ：=^Vτ+1l{τC<τI}LCY给出-- 1l{τI<τC}LIY+（5）其中，对于实数x，我们使用符号x-= 最大值(-x、 0）。在上述表达式中，Y：=^Vτ- Mτ-= (1 - α） ^Vτ- βV aRq（^V（τ+δ）∧T-^Vτ）+是指在所有已实现情景的99%中，欧盟和美国当局都要求初始保证金以弥补清算期内十天内的损失（EMIR OTC法规（2016）；CFTC保证金要求（2016年））。更准确地说，现金是用于变动保证金的抵押品的主要形式，约占已过账变动保证金总额的80%。

初始保证金通常以政府证券的形式提供（例如，参见ISDA（2017）第7页）。总的来说，2017年双边清算衍生合同的变动保证金金额约为1730亿美元，而变动保证金金额为8700亿美元（见其中第1页）。和0≤ LI，LC≤ 1是交易员和交易对手索赔的损失率。或者，我们可以将违约投资组合的价值表示为θ=θ（τ，^V，M）=1l{τI<τC}θI（^Vτ，Mτ-) + 1l{τC<τI}θC（^Vτ，Mτ-),式中，我们定义θI（^v，m）：=^v- 锂^v- m级+, θC（^v，m）：=^v+LC^v- m级-,和recallMt=α^Vt+βV aRq（^V（t+δ）∧T-^Vt |τ∧ τ（N）>t）+.请注意θI（^Vt，Mt）t型≥0和θC（^Vt，Mt）t型≥0也是分段确定和分段连续的F适应过程。备注3.4。在实践中，恢复率的实际值在解决过程结束之前也是不确定和未知的。实证研究表明，它往往与债券发行人的违约概率成反比（Altman和Kishore（1996））。从数学角度来看，增加交易对手账户利率的不确定性不会带来概念上的挑战。这是因为（5）中给出的交易收尾值在损失率中是一个函数。除了引入额外的符号负担外，这种不确定性还可以通过直接修改定理5.4中的比较参数来处理，其中我们将利用损失率LC中函数θ的单调性。4财富过程与套利我们分析了单名信用违约掉期的程式化模型。

如果交易员从其交易对手处购买了针对第i家公司违约的保护，则交易员将以低于其交易对手名义利率的利率进行连续付款，直至合同到期或信贷事件发生，以较早发生者为准。当第i家公司的违约事件发生时，如果该违约事件发生在到期日T之前，则保护卖方应向保护买方支付通过将损失率LIB乘以名义值得出的损失。当名义值线性进入所有计算时，我们将其固定为一。回想一下，ξide表示与参考实体i相关的可违约账户的股份数，ξf表示融资账户的股份数，我们使用ξi和ξCto分别表示交易员和交易对手可违约账户的股份数。使用恒等式（1），我们可以将财富过程写为每个账户的贡献之和：Vt：=NXi=1ξitBit+ξitBit+ξCtBCt+ξftBrft- ψmtBrmt。（6） 为了实现无套利估值，重要的是不仅要考虑实际的CDSportfolio，还要考虑其任意倍数。因此，我们将考虑收购投资组合的倍数γ，并将重点放在自我融资策略上。定义4.1。担保交易策略Д：=ξt，ξNt，ξft，ξIt，ξCtt≥ 0与组合w=（w，w，…，wN）的γ股票相关，其中wi∈ {0，1}对于i=1，N、 如果福特∈ [0, τ ∧ τ（N）]，认为vt（γ）：=V（γ）+NXi=1ZtξiudBiu+ZtξiudBiu+ZtξCudBCu+ZtξfudBrfu-ZtψmudBrmu+γNXi=1wiηi（τi∧ t） 。（7） 上述表达式考虑了连续的价差支付ηi，i=1，N投资者向其交易对手出售（或从其交易对手处购买）的第i份CDS合同收到/支付。

允许交易策略集由F-可预测过程组成，使得投资组合过程Vt（γ）从下方有界（参见Delbaen和Schachermayer（2006））。在讨论CDS投资组合的无套利估值之前，我们必须从投资者的角度澄清基础市场无套利的假设（概念上，我们遵循（Bielecki和Rutkowski，2014，第3节））。因此，首先，我们将CDS工具排除在对价之外，并考虑只允许购买或出售可违约账户股份（与参考实体、其交易对手或投资者自身相关）以及从财政部借钱或出借资金的交易员。定义4.2。如果给定非负初始资本x，市场（B，B，…，BN，BI，BC）允许投资者进行套利≥ 0时，存在一个允许的交易策略Д=（ξ，ξ，…，ξN，ξf，ξI，ξC），使得PVτ≥ er+fτx= 1和PVτ>er+fτx> 0、如果市场不允许投资者对给定x级进行套利≥ 如果初始资本为0，那么从投资者的角度来看，市场是没有套利的。我们提出以下假设，并认为这为不存在套利提供了必要和充分的条件。假设4.3。研发部∨ r+f<最小值∈{1，…N，I}uI∧uC.备注4.4。必要性：条件rD<mini∈{1，…N，I，C}uiis存在式（2）中定义的估值度量所需的值（hi，Q=uI- 风险中性违约强度必须为正）。因此，我们应该施加uC>rD，但由于实际账户利率uCis不可观测，因此应使用稍强的uC>rD。条件r+f<mini∈{1，…N，I}uI∧ uChas是一种更实际的解释，因为它排除了在将收益投资于融资账户时卖空可融资账户的套利机会。

严格来说，条件rd<uI∧ uCis从套利的角度来看是不必要的，因为它仅从估价方的角度考虑市场的稳健性。而rD<迷你∈{1，…N}u要确定估价方的市场模型没有套利，可以假设以下情况：≥uI∧ uC.然而，从实际角度来看，这是不太可能的，因为RDI通常被认为是隔夜指数掉期（OIS）利率，因此低于默认账户的回报率。在对上述备注中的必要性进行了论证后，我们表明假设4.3也足以保证基础市场（即，不包括信用违约掉期证券）不存在套利。该证明与Bichuch et al.（2017）中的命题4.4非常相似，并委托给附录。提案4.5。在假设4.3下，该模型不允许投资者对任何x进行套利≥ 0.正如Bichuch等人（2017）所述，我们将从投资者的角度定义衍生证券的无套利价格的概念。我们假设投资者的初始资本为零，或者等效地，她没有流动的初始资本，可以用来复制索赔直至到期。因此，复制投资组合将通过购买/出售默认账户和融资账户的股份来实现。定义4.6。估价P∈ 具有终端支付功能的衍生证券的R∈ FTis称投资者的无套利if for allγ∈ R、 为γP购买γ证券并在市场上以不允许的策略和零初始资本进行交易，不会产生投资者的套利行为。让VT表示复制投资组合的价格过程，并由无价格上下限给出。

然后，我们将总估值调整XVA定义为该套利价格上限与净价格之间的差异，即XVAt（γ）=Vt（γ）- γ^Vt.（8）XVA因此量化了交易员复制已售出CDS投资组合所产生的总成本（包括抵押品、融资和交易对手风险相关成本）。请注意，在时间t，投资者不知道时间间隔【t，τ】的实际交易对手账户利率ucF。因此，她无法执行产生值进程V的复制策略，因为她所知道的有关帐户率的所有信息都是uC≤ uC≤ uC.因此，她必须考虑最坏的情况，考虑该时间间隔内账户利率过程的所有可能的F-可预测动态uC，uC. 表示当uC=ux Vu时复制投资组合的估值。稳健XVA定义为RxVAT（γ）=ess supu∈[uC，uC]Vut（γ）1l{t<τ}+Vt（γ）1l{t≥τ}- γ^Vt.（9）请注意，只有在交易者或其交易对手违约之前，最高限额才接管所有可接受的估值。特别是，违约时和违约后的估值过程仅取决于收尾值，因此不取决于不确定性区间的极端值uCand和uCof。5信贷掉期稳健XVA在本节中，我们推导了信贷违约掉期投资组合稳健XVA的显式表示。为了突出主要的数学论点和结果的经济含义，我们在第5.1节中开始分析单一信用违约掉期的情况。我们在第5.2节中提出了一个比较论证，以确定稳健XVA过程和相应的超级复制策略的唯一性。我们在第5.3节中提供了拟议框架下的利润率的明确计算。

我们将第5.4.5.1节中的分析推广到信用违约掉期投资组合。该节描述了式（8）中给出的XVA过程，作为BSDE的解决方案。我们开始分析过程Vt（γ）的动力学。在自我融资策略下，风险中性指标Q下（7）中的投资者财富过程遵循动态Cdvt（γ）=rfξftBrft+rDξtPt+rDξItBIt+rDξCtBCt- rmψmtBrmt+γηdt公司- ξtBtd 1美元，夸脱- ξItBIt-d$I，Qt- ξCtBCt-d$C，夸脱=r+fξftBrft+- r-fξftBrft-+ rDξtBt+rDξItBIt+rDξCtBCtdt公司+r+mγMt+- r-m级γMt-+ γηdt公司- ξtBt-+ d$1，夸脱- ξItBIt-d$I，Qt- ξCtBCt-d$C，夸脱。设置Z1，γt：=-ξtBt-, ZI，γt：=-ξItBIt-, ZC，γt：=-ξCtBCt-, （10） 利用式（6），我们得到ξftBrft=Vt（γ）- ξtPt- ξItPIt- ξCtPCt- γMt.（11）然后我们可以将财富动态改写为dvt（γ）=r+fVt（γ）+Z1，γt+ZI，γt+ZC，γt- |γ| Mt+- r-fVt（γ）+Z1，γt+ZI，γt+ZC，γt- |γ| Mt-- rDZ1，γt- rDZI，γt- rDZC，γt+r+m |γ| m+t- r-m |γ| m-t+γηdt+Z1，γtd$1，Qt+ZI，γtd$I，Qt+ZC，γtd$C，Qt。为了研究稳健的复制策略，我们使用上述动力学来制定与复制信用违约掉期的投资组合相关的BSDE。这是由-dVt（γ）=ft、 Vt（γ），Z1，γt，ZI，γt，ZC，γt，γ；Mt公司dt公司- Z1，γtd$1，夸脱- ZI，γtd$I，Qt- ZC，γtd$C，Qt，Vτ∧τ（γ）=γL1lτ<τ+θI（γ^Vτ，|γ| Mτ-)1l{τ<τ∧τC∧T}+θC（γ^Vτ，|γ| Mτ-)1l{τ<τ∧τI∧T}，（12）其中驱动器f：Ohm ×[0，T]×R，（ω，T，v，z，zI，zC，γ）7→ ft、 v、z、zI、zC、γ；M由F给出t、 v、z、zI、zC、γ；M:= -r+fv+z+zI+zC- |γ| Mt+- r-fv+z+zI+zC- |γ| Mt-- rDz公司- rDzI公司- rDzC+r+m |γ| m+t- r-m |γ| m-t+γη. （13） 在上述表达式中，我们强调了对抵押品过程M的依赖性，抵押品过程M用于量化与交易CDS合约γ单位相关的违约损失。

如果参考实体在投资者或其交易对手之前违约，τ<τ，则终止条件由损失期限给出-γL。这与以下事实一致：此时，从投资者的角度来看，交易的价值与第三方估值γ^Vτ=γ^Cτ=γL1l{τ≤T}。通过驱动因子f关于γ>0的正均一性，我们将在整篇文章中假设γ=1，并从上标中抑制它。情况γ=-1跟在对称参数后面。接下来，我们从估价代理的角度研究了信用违约掉期价格过程^V的动力学。这样的过程满足了BSDE，BSDE可以类似于公式（12）（基本上忽略了ZI、Zc以及附带条款，设置r-f=r+f=rD，归一化γ=1）。这是由-d^Vt=-rD^Vt- ηdt公司-^Ztd$1，Qt，^Vτ∧T=L1lτ<T.（14）众所周知，该BSDE可接受唯一解（^Vt，^Zt），其中^V可表示为^Vt=^Ct=-均衡器中兴通讯-车辙（h1，Qs+rD）dsηdu-ZTtLh1，Que-车辙（h1，Qs+rD）dsdu英尺1l{t≤τ}. （15） 我们立即获得了由以下公式给出的XVA过程的BSDE-dXVAt=~ft、 XVAt、~Zt、~ZIt、~ZCt；Mdt公司-兹特元1夸脱-~ZTD$I，夸脱-~ZCtd$C，Qt，XVAτ∧τ=°θC（^Vτ，Mτ-)1l{τ<τ∧τI∧T}+￠θI（^Vτ，Mτ-)1l{τ<τ∧τC∧T}，（16）式中▄Zt：=Zt-^Zt，~Zt：=Zt，~ZCt：=ZCt，~θC（^v，m）：=LC（^v- m）-,θI（^v，m）：=-LI（^v- m） +、（17）和▄ft、 xva、~z、~zI、~zC；M:= -r+fxva+～z+～zI+～zC+L- Mt公司+- r-fxva+～z+～zI+～zC+L- Mt公司-- rDz- rDzI- rDzC+r+mMt公司+- r-m级Mt公司-- rDL公司.上面，我们使用了^Zt=L的事实-^Vt-= L-^Vtby随机连续性和thusZt=~Zt+^Zt=~Zt+L-^Vt.我们现在可以应用Crépey和Song（2015）开发的还原技术，找到一个连续的普通微分方程，描述投资者及其交易对手违约前的XVA。提案5.1。

BSDE-dˇUt=gt、 ˇUt；^V，Mdt，ˇUT=0，（18）在（普通）过滤F中，使用驱动程序ˇgt、 ˇu；^V，M= 嗨，QθI（^Vt，Mt-) - ˇu+ hC，QθC（^Vt，Mt-) - ˇu- h1，Qˇu+~ft、 ˇu，-ˇu，￠θI（^Vt，Mt-) - ˇu，￠θC（^Vt，Mt-) - ˇu；M（19） 允许使用与唯一解决方案相关的唯一解决方案XVA、~Z、~ZI、~ZCBSDE inEq的。（16） 如下所示。一方面，ˇUt：=XVAt∧(τ∧τ)-是等式（18）中ODE（约化BSDE）的解，另一方面，全xVA BSDE（16）的解由xvat=ˇUt1l{t<τ给出∧τ}+ИθC（^VτC，MτC-)1l{τC<τ∧τI∧T}+￠θI（^VτI，MτI-)1l{τI<τ∧τC∧T}1l{t≥τ∧τ} ，（20）~Zt=-ˇUt1l{t≤τ∧τ} ，▄青春痘=θI（^Vt，Mt-) -ˇUt1l{t≤τ∧τ} ，▄ZCt=θC（^Vt，Mt-) -ˇUt1l{t≤τ∧τ}.V的原始BSDE解决方案及其在过滤中的预测版本的唯一性源于XVA的定义。推论5.2。BSDE（12）提供了一种独特的解决方案。此解决方案与ODE的唯一解决方案“U”相关-d’Ut=gt、 “”Ut；^V，M过滤F中的dt，\'UT=0，（21）和gt、 \'\'u；^V，M= 嗨，QθI（^Vt，Mt-) - \'\'u+ hC，QθC（^Vt，Mt-) - \'\'u- h1，Q'u+ft、 \'u，L- \'u，θI（^Vt，Mt-) - \'u，θC（^Vt，Mt-) - \'\'u；M通过以下关系。一方面，Ut：=Vt∧(τ∧τ)-是简化BSDE（21）的解，而另一方面，完整BSDE（12）的解由vt给出：=？Ut1l{t<τ∧τ}+L1lτ<τ+θC（^VτC，MτC-)1l{τC<τ∧τI∧T}+θI（^VτI，MτI-)1l{τI<τ∧τC∧T}1l{t≥τ∧τ} ，Zt：=L-\'Ut1l{t<τ∧τ} ，青春痘：=θI（^Vt，Mt-) -“”Ut1l{t≤τ∧τ} ，ZCt：=θC（^Vt，Mt-) -“”Ut1l{t≤τ∧τ}.使用上述表示，我们可以为XVA的复制策略提供显式表示。我们将使用颚化符来表示这些复制策略（例如，分别为？ξ、？ξI、？ξCdenote、与参考实体、交易员及其交易对手关联的可违约账户的份额），以便将其与复制CDSprice流程所用的策略区分开来。

概率空间鞅表示定理的应用(Ohm, F、 F，Q）并考虑价格动态，我们得到|ξt=-ZtBt-1l{t<τ∧τ} =ˇUtBt-1l{t<τ∧τ}. （22）引用定理5.1以及方程式（10）和（17），我们得出结论ξIt=-ZItBIt-1l{t≤τ∧τ} =LI（^Vt- Mt公司-)++ˇUtBIt-1l{t≤τ∧τ} ，￠ξCt=-ZCtBCt-1l{t≤τ∧τ}=-LC（^Vt- Mt公司-)-+ˇUtBCt-1l{t≤τ∧τ} ，从方程（1）和（4）可以得出|ψmt=-Mt公司-Brmt1l{τ∧τ> t}。最后，使用等式（11）和等式Vt=XV At+^Vt，我们得到ξft=Vt-^Vt-ξtBt--ξItBIt--ξCtBCt-- Mt公司-Brft1l{τ∧τ> t}=-2ˇUt+LC（^Vt- Mt公司-)-- LI（^Vt- Mt公司-)+- Mt公司-Brft1l{τ∧τ> t}，（23）在上面最后一个等式中，我们使用了等式（8）中给出的XVA定义以及等式XVAt=ˇUton{τ∧ τ> t}。请注意，复制策略仅在账户价格方面有所规定，因此投资者在时间t时了解。然而，它们既没有提供关于XVA过程价值的信息，也没有提供关于复制策略演变的信息，因为投资者不知道违约强度过程hC、QI。5.2比较定价和超级复制策略本节为XVA流程解决的减少BSDE（18）制定了比较原则。随后，我们利用这一结果为XVA构建了一个超级复制策略。式（18）中给出的BSDE实际上是一种颂歌。为了保持与模式理论的一致性，我们通过定义^vt：=^vt来切换时间方向-tand mt：=mt-t、 它遵循等式。（15） ^v有界，即| v |≤ M对于某个常数M。类似地，设置ˇut=ˇut-t、 将Crépey和Song（2015）的还原技术应用于公式（14），类似于上面的Proposition 5.1，我们得到t^v=-(η- h1，QL）- （h1，Q+rD）^v，^v=0。（24）然后我们可以将公式（18）改写为tˇu=ˇg（t，ˇu；^v，m），ˇu=0。（25）功能h1、Qt、hI、Qt、hC、Qt、t∈ [0，T]都是分段（确定性）连续的。