强健的XVA

这就解释了为什么投资者和交易对手账户中的股份数量大致相同。6.2.2交易对手违约强度对组合信用风险的敏感性图4说明了XVA和复制策略对a的依赖性，即量化交易对手违约强度对基础组合信用风险的敏感性的参数。让我们开始观察XV A是负值。此外，^Vis为正且较小，因此|θC（^v，m）-ˇu≥ 0.相应地，在复制策略中，上XVA总是使用速率uC，而下XVA总是使用速率uC。请注意，在我们的模型规范中，下键uC依赖于一段时间的上限uC随a线性增加。这解释了为什么上XVA随a变化，而下XVA相对于a是恒定的。与图3中的图形一致，ARA的增加降低了交易提前终止的可能性。因此，交易的融资成本将更小，XVA也会降低。6.2.3组合信贷风险对传染的敏感性图5说明了XVA和复制策略对a的依赖性，即量化信贷传染对组合中参考实体违约风险影响的参数。为了更好地解释结果，我们还说明了^Vw对a的敏感性。我们首先观察到^Vis在a中增加。因为我们从付款人的角度来看CDS的支付效果，并且利差溢价S是固定的，如果投资组合的违约风险增加，则合同的金额会增加，如果直接传染效应更强，则会增加。此外，对于所有i，ξi必须是相同的∈ {1, . . .

，5}，因为所有参考实体的账户利率动态都是相同的。从表达式（37）可以很容易看出，ξii随^V增大，而ξCis随^V减小。总之，这意味着投资者可违约账户中的股票数量高于对应的交易对手可违约账户中的股票数量。从财务角度来看，这可以通过DVA和CVA来理解。由于投资者因为^V>0而有钱，他需要额外复制DVA收益LI（1- α） ^V+在他自己的默认时间。相比之下，他不需要在交易对手违约时复制任何CVA损失，因为LI（1- α） ^V-= 图5左上角的图表突出显示了默认传染所起的突出作用。随着A的增加，投资组合中所有参考实体的默认强度都会增加。这反过来会对投资者和交易对手的违约强度产生直接影响（通过系数a和a），因为如果投资组合中的五个参考实体中的任何一个违约，这两个强度都会上升。这种对交易对手违约强度的间接影响（由等于五的因素，即等于投资组合中的实体数量）高于增加；将图5的左上图与图4中相应的图进行比较。由于违约传染产生的这种放大效应，与参考实体可违约账户相关的复制策略对a的依赖性更为凹进，而非线性。

这可以理解为：虽然最初，随着增长，有五个参考实体的投资组合的XVA增长速度快于有四个参考实体的投资组合的XVA增长速度，但最终，随着ABE足够高，投资组合中参考实体之间的传染远高于参考实体违约对投资者或其交易对手造成的传染效应。这反过来意味着，如果一个引用实体默认，其他引用实体很可能会在不久后默认（默认集群很强）。因此，无论CDS投资组合中参考实体的数量如何，XVA都将大致相同。这导致参考实体账户的股份数量减少。6.2.4组合信用风险的特质成分随着增加，各参考实体的特质违约风险也会增加。这增加了违约实体数量的差异，从而导致CDSpayo FFF的更大不确定性。因此，如图6左上面板所示，下部和上部XVA之间的差异增大。Aim值越高，组合信用风险越高，因此^V值越大。然而，^对athan的变化对A的变化不太敏感。在后一种情况下，由于传染增加，存在放大效应。这反过来意味着投资者的可违约账户对a和a的敏感性较低。图5和图6中投资者账户份额的直接比较从视觉上证实了这一说法。7结论我们开发了一个计算信用违约掉期投资组合稳健XVA的框架。我们考虑了交易员面临与交易对手相关的货币市场账户回报率不确定性的情况。

信用违约掉期投资组合由投资者使用与相同实体关联的可违约账户复制，这些实体引用投资组合中的单名信用违约掉期合同。通过将对方账户的回报率限制在不确定区间内，我们得出了XVA的上下界。我们的分析强调了占所有融资成本的交易价值过程与仅取决于交易净价的结算过程之间的非平凡互动。后者是通过对交易现金流定价获得的，忽略了所有其他相关成本。Our0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.02XVA0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.040.050.0550.060.0650.070.0750.080.0850.09Ref实体默认账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.050.06投资者可违约账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.02交易对手默认帐户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.04资金帐户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.4500.050.10.150.20.250.30.350.40.45图5：左上面板：XVA。右上面板：参考实体可默认帐户的值。左中面板：投资者可违约账户的价值。右中面板：CounterParty可默认帐户的值。左下面板：资金账户的价值。

右下面板：^V.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.04-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01XVA0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.0280.030.0320.0340.0360.0380.042引用实体默认帐户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.01投资者可违约账户0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40.45-0.04-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01交易对手可违约账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.01-0.00500.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04资金账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.4500.020.040.060.080.10.120.140.160.18图6：左上面板：XVA。右上面板：参考实体可默认帐户的值。左中面板：投资者可违约账户的价值。右中面板：CounterParty可默认帐户的值。左下面板：资金账户的价值。右下面板：^V的价值。比较静态分析强调了信贷传染对XVA和相应复制策略所起的重要作用。较高的投资组合信用风险增加了CDS付款人的基础投资组合的价值，并导致参考实体账户份额的增加。如果交易对手对基础投资组合的违约事件更敏感，则XVA会更低，因为交易提前终止，实施成本更低。我们的框架是理解模型不确定性对XVA影响的第一步。在未来的继续研究中，我们希望探索违约传染非缺口风险的影响，这可能会在风险保证金期内累积。信用违约掉期的价格尤其受到缺口风险的影响，因为与其他掉期合同不同，其他掉期合同的支付对信用不敏感（例如。

利率掉期），CDS的按市值计价在投资者或其交易对手违约时跳跃。然后，初始保证金的计算应考虑此类风险。然而，由于基础投资组合中违约的复杂依赖结构，考虑传染效应的初始保证金公式的制定远非微不足道。我们还计划推广我们的框架，以处理投资组合信用风险中的不确定性。虽然个别公司的违约概率可以通过单名CDS利差来估计，但违约相关性最难估计，且受制于模型风险。我们将所有这些问题留给未来的研究。致谢作者感谢两位匿名评论员的宝贵意见和建议，这有助于改进和丰富本文。F过滤和默认强度过程的构造我们使用以下逐步过程：假设hi、P、0t∈ F B（[0，t]），定义τi，0：=supt型≥0：Rthi，P，0sds>Ei. 然后，我们可以定义Ft：=σHju；u≤ t型∧ τ（1）：j∈ {1，…，N}, 式中，τ（1）是第一次违约的时间（一阶统计）。对于k≥ 1，选择▄hi，P，kt∈ Fkt公司 B（[0，t）），且定义为hi，P，kt：=hi，P，k-1t[0，τk-1（k））（t）+hi，P，kt[τk-1（k），∞)（t） ，其中我们使用符号τk（i）表示k级停止时间τki的i阶统计量，1A（t）是特征函数，如果t∈ 否则为零。然后，我们定义τki：=supt型≥ 0：Rthi、P、ksds>Ei以及FK+1t：=σHju；u≤ t型∧ τk（k+1）：j∈ {1，…，N}对于k∈ {1，…，N}。这样，强度hi，P，kagreeswith hi，P，k-1在第k个默认值之前，但在第k个默认值之后对信息进行说明。最后，我们将完整过滤定义为=FN+1tt型≥B引理的证明和公式（15）的命题证明。

首先，观察线性BSDE（14）接受由^Vt=^Ct=-均衡器Zτ∧Tte公司-rD（u-t） ηdu- Le公司-rD（τ-t） 1lτ≤T英尺1l{t≤τ}.此外，由于默认分布的特征是Q[τ>u]=e-Ruth1，Qsds，在同一事件{t≤ τ} 我们得到了^Vt=-均衡器ZTt1l{u≥τ} e类-rD（u-t） ηdu-ZTtLe公司-rD（u-t） h1，Que-Ruth1，Qsdsdu英尺1l{t≤τ}= -均衡器中兴通讯-车辙（h1，Qs+rD）dsηdu-ZTtLh1，Que-车辙（h1，Qs+rD）dsdu英尺1l{t≤τ}.命题4.5的证明。为了便于无套利论证，我们将在通过随机指数PdP=Yi指定的适当度量P下表示财富过程∈{1，…，N，I，C}（uI- r+f）（τ∧ τ（N））Rτ∧τ（N）嗨，Psds！HiτexpZτ∧τ（N）（r+f- ui+hi，Ps）ds.假设4.3很好地定义了这一计量变化。此外，虽然投资者不知道度量值P，但从抽象的角度来看，用它来排除套利也没有问题。根据Girsanov定理，风险资产的动力学由DBIT=r+fBitdt给出- 一点-d$i，对于i，Pt∈ {1，…，N，I，C}其中$I，~P：=（$I，~Pt；0≤ t型≤ τ）是（G，~P）-鞅。r+fdiscountedassetsPit：=e-r+ftbctar因此是（G，~P）-鞅。特别是，~P下的默认强度由hi给出，~P=ui- r+f，假设4.3为正。表示与（位；i）相关的财富过程∈ {1，…，N，I，C}）t≥0在基础市场中，通过Vt。

利用自融资条件，其动力学由dˇVt=rfξftBrftdt+Xi给出∈{1，…，N，I，C}r+fξitdBit=rfξftBrft+Xi∈{1，…，N，I，C}r+fξit位dt公司-xi∈{1，…，N，I，C}ξitBitd$I，~ Pt。然后我们观察到rfξft≤ r+fξftand thisˋVτ（Д，x）-ˋV（Д，x）=Zτ（rfξftBrft+Xi∈{1，…，N，I，C}r+fξit位dt公司-xi∈{1，…，N，I，C}ZτξitBit-d$i，~磅≤Zτ（r+fξftBrft+Xi∈{1，…，N，I，C}r+fξit位dt公司-xi∈{1，…，N，I，C}ZτξitBit-d$i，~Pt=Zτr+fˇVt（Д，x）dt+Xi∈{1，…，N，I，C}Zτr+fξitdBit。因此，如下所示-r+fτˇVτ（Д，x）-ˋV（Д，x）≤xi∈{1，…，N，I，C}Zτr+fξitdPit。请注意，上述不等式的右侧是一个从下方有界的局部鞅（因为值过程从下方受可容许性条件的约束），因此是一个超鞅。考虑到预期，我们得出结论，EPe-r+fτˇVτ（Д，x）-ˋV（Д，x）≤ 0。因此ˋVτ（Д，x）=er+fτx= 1或￠PˋVτ（Д，x）<er+fτx> 0.由于▄P等于P，这表明投资者在该模型中不存在套利机会（他将以r+f的利率将正现金金额x交给财政部，从而获得er+fτx）。命题5.1的证明。由于过滤F很简单，F-BSDE实际上是一个ODE。该ODE的存在性和唯一性如命题5.3所示。根据预测结果（Crépey和Song，2015，定理4.3），完全G-BSDE和减少F-BSDE的等效性在其论文中作为条件（A）得到了我们对过滤的假设的满足，并且它们的条件（J）也得到了验证（因为终端条件不依赖于▄Z、▄zi和▄ZC）。最后，通过关于F和G的鞅表示定理（见（Bielecki和Rutkowski，2001，第5.2节）；由于我们的强度是有界的，因此满足了所需的假设），我们的BSD的解与Crépey和Song（2015）中考虑的鞅问题的解是一致的。命题5.3的证明。

时间区间[0，T]上常微分方程（24）解的存在性和唯一性源自经典的Picard-Lindel"of定理以及推论II。3.2霍特曼（2001）。现在我们证明了ODE（25）解的存在性和唯一性。在hi的每个连续区间上，存在性同样遵循经典的Picard-Lindel"of定理。为便于说明，我们将假设所有hi在[0，T]上都是连续的。在不连续的情况下，解决方案在那里是不可区分的，但将保持连续的。首先请注意，ˇu是有界的。要了解这一点，请观察第二个参数中的_g是Lipschitz，而| g（t，0；^vt，mt）|≤ Kis一致有界，可能增加所需的常数Kif。因此，它允许| g（t，u；^vt，mt）|≤ |_g（t，_ut；^vt，mt）- r g（t，0；^vt，mt）|+| g（t，0；^vt，mt）|≤ K | u |+K。然后，假设| u是可微的，我们可以使用Gronwall不等式，并推导出如果tˇut≤ Kˇut+K，ˇut=0，然后ˇut≤ K： =KT eKT，对于t∈ [0，T]。下限类似，如果tˇut≥ -Kˇut- Kˇu=0，从中可以得出≥ -K、 还有待检验Gronwall不等式所需的可微性条件。根据经典的Picard-Lindel"of定理，方程（18）的解存在于某个区间[0，T），×上[-K-1，K+1]，即对于t∈ [0，T）它认为| ut |≤ K+1，在那里是独一无二的。因此，我们保证在这个时间间隔内的差异性。通过矛盾的假设，它不能（向右）扩展到Tand之外，T<T（如果T=T，同样的参数适用，但解决方案不能扩展到闭合区间[0，T]）。然后是推论II。Hartman（2001）的第3.2节，我们有这一限制→T | ut |=K+1。我们现在通过使用上面的Gronwall不等式论证得出了一个矛盾，它表明| u |≤ K、 定理5.4的证明。

首先，请注意，与命题5.3的证明类似，函数\'u*和ˇu*, 定义为（26）中ODE的解决方案存在且独特。这是因为函数g*和g*Lipschitz在所有参数中都是连续的。自相矛盾地假设存在≤ T，其中*T<ˇuT，并设置T=sup{T≤ T| |u*（t）≥ ˇut}。我们已经很好地定义了它，并且≥ 0，因为*= ˇu=0和ˇu*t<utfort∈ （T，T）。使用uC>Rd和（uC，Q）的事实*（^v，m，ˇu）（|θC（^v，m）- ˇu）≥ uC，Qt（|θC（^v，m）- ˇu）对于任何t∈ [0，T]，我们有tˇu*（T） =克*（T，ˇu*; ^v，m）=高，QθI（^vT，mT）- ˇu*T- h1，Qˇu*T+（（uC）*（vT，mT），ˇu*T）- rD）θC（^vT，mT）- ˇu*T+fT、 ˇu*T-ˇu*T、 θI（^vT，mT）- ˇu*T、 θC（^vT，mT）- ˇu*; ^vT，mT≥ 嗨，QθI（^vT，mT）- ˇu*T+ hC，QTθC（^vT，mT）- ˇu*T- h1，Qˇu*T+~fT、 ˇu*T-ˇu*T、 θI（^vT，mT）- ˇu*T、 θC（^vT，mT）- ˇu*; ^vT，mT= _g（T，_u；^vT，mT）dt=tˇuT。因此，存在 > 0，以便*t型≥ ˇutfor t∈ [T，T+]. 这与假设相矛盾，并证明了定理。定理5.5的证明。证明由两部分组成。在第一部分中，我们验证了式（27）中给出的rXVA表达式是最小的超级复制价格。在第二部分中，我们证明了（28）中给出的策略是一种超级复制策略。这需要证明该战略的实施不需要任何现金注入，并且该战略控制的财富过程正是rXVA过程。定义XVAut：=Vut-^Vtforu∈ F、 uC≤ u ≤ uCand XVA*t： =V（uC）*t型-^Vt，我们记得，Vu是通过将交易对手账户利率设置为u获得的复制投资组合的估值过程；另见等式（9）之前的讨论。首先，请注意XVA*t型≥ XVAut。