强健的XVA

该模型中的一个校准参数反映了同一行业集团的企业之间的互动强度，相对于整个投资组合中违约之间的全球互动。假设hi，Q，i∈ {1，…，N}，都是分段（确定性）连续的。将第5.2节中针对单个CDS开发的理论扩展到涉及多个实体的投资组合的情况很简单。对于符号一致性，表示^vJt=^vJt-t、 ˇuJt=ˇuJt-t对于allJ {1，…，N}。以下命题是命题5.3的多维扩展。它的证明使用了完全相同的参数，此处省略。提案5.8。ODE系统存在唯一的（分段平滑）解决方案：t^vJ=-rD^vJ-Xk公司/∈Jηk+Xk/∈JLk+^v{k}∪J- vJ公司hQk，J {1，…，N}，^vJ=0，tˇuJ=ˇgt、 ˇuJ，Xk/∈Jˇu{k}∪J、 Xk公司/∈Jhk，Qˇu{k}∪J^vJ，m，J, J {1，…，N}，（35）ˇuJ=0。接下来，我们给出定理5.4的多维扩展。与定理5.4的证明相比，该证明提出了一个额外的归纳步骤，详细情况在附录中报告。定理5.9（比较定理）。让J {1，…，N}。除假设4.3外，假设r-f<最小值∈{1，…N，I}uI∧uC。此外，假设存在uC≥ uC>Rd，使uC≥uC，Qt≥ uC，并让ˇuJbe为ODE（35）的溶液。Let（uC）*（^v，m，ˇu）=uC1l{θC（^v，m）-ˇu≥0}+uC1l{θC（^v，m）-ˇu≤0}，（uC）*（^v，m，ˇu）=uC1l{θC（^v，m）-ˇu≥0}+uC1l{θC（^v，m）-ˇu≤0}，并定义*和g*堵塞（hC，Q）*和（hC，Q）*转化为方程式中给出的ˇg。

（34），即*t、 ˇu，ou、 ou；^v，m，J:= 嗨，QθI（^vt，mt）- ˇut+ （（uC）*（vt、mt、ut）- rD）θC（^vt，mt）- ˇut+ou-Xi/∈Jhi，Qˇut+ft、 ˇut，ou- （N）- |J |）ˇut，|θI（^vt，mt）- ˇut，￠θC（^vt，mt）- ˇut；^v，m，J,g*t、 ˇu，ou、 ou；^v，m，J:= 嗨，QθI（^vt，mt）- ˇut+ （（uC）*（vt、mt、ut）- rD）θC（^vt，mt）- ˇut+ou-Xi/∈Jhi，Qˇut+ft、 ˇut，ou- （N）- |J |）ˇut，|θI（^vt，mt）- ˇut，￠θC（^vt，mt）- ˇut；^v，m，J.最后，让ˇuJ，*是ODE（35）的解决方案，但将_g替换为g*, 那就是tˇuJ，*= g*t、 ˇuJ，*,Xk公司/∈Jˇu{k}∪J*,Xk公司/∈Jhk，Qˇu{k}∪J*; ^vJ，m，J, ˇuJ，*= 0，类似地，让ˇuJ*是ODE（35）的解决方案，其中我们将ˇg替换为g*. 然后是uJ*≤ ˇuJ≤ ˇuJ，*.现在仍然需要为稳健的XVA流程找到超级复制策略。根据与上面使用的参数类似的参数，将与违约实体的不同子集J相关的各种数量粘贴在一起，从而获得该策略。定理5.10。健壮的XVA可以用xvat=XJ显式表示∈2{1，…，N}ˇUJ，*t1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}（36）+ИθC（^VτC，MτC-)1l{τC<最小值/∈JτJ，J∧τI∧T}+￠θI（^VτI，MτI-)1l{τI<minj/∈JτJ，J∧τC∧T}1l{τC∧τI≤t型≤T}，其中过程71uj，*t： =ˇuJ，*T-t。

定义ξi，J，*t=ˇUJ，*t型-ˇU{i}∪J*待定-1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，（37）ξI，J，*t=LI（^Vt- Mt公司-)++ˇUJ，*待定-1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，ξC，J，*t型=-LC（^Vt- Mt公司-)-+ˇUJ，*待定-1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，ξf，J，*t型=-ˇUJ，*t型-Pi/∈JˇUJ，*t型-ˇU{i}∪J*t型+ LC（^Vt- Mt公司-)-- LI（^Vt- Mt公司-)+- Mt公司-Brft×1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}。rXVA的超级复制策略是从上述条件策略中获得的，如ξi，*t=XJ∈2{1，…，N}\\{i}ξi，J，*t1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，（38）ξI，*t=XJ∈2{1，…，N}ξI，J，*t1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，ξC，*t=XJ∈2{1，…，N}ξC，J，*t1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，ξf，*t=XJ∈2{1，…，N}ξf，J，*t1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，连同ψm给出的抵押品账户中持有的股份数量，*t=-Mt公司-Brmt1l{t≤τ{1，…，N}∧τC∧τI∧T}。（39）我们预计，随着参考实体数量的增加，子复制和超级复制估值之间的差异也会增加。这可以直观地理解如下。对于单个参考实体，超级复制的终止/关闭条件与XVA的终止/关闭条件匹配。然而，如定理5.10所示，在存在多个参考实体的acredit违约掉期投资组合的情况下，超级复制的终止/平仓将主导XVA的终止/平仓。因此，在两个参考实体的情况下，除了违约前累积的现金流之外，终止/结算条件还包括跳转到单个参考实体情况下的终止/结算条件。因此，预计在两个参考实体的情况下，超级复制和XVA之间的差异比投资组合由单个CD组成时的相应差异更大。

归纳地重复这一推理，我们得出结论，随着投资组合中增加更多的CDS合同，超级复制估值和XVAgrows之间的差异。这突出了所提议的稳健方法的重要性，而非天真方法，后者将缔约方强度不确定性区间的两个极端之一插入估值公式。5.5具有跳跃差异风险的投资组合的扩展本文考虑的投资组合包括仅具有跳跃风险的CDS。在企业违约强度遵循一个差异过程的情况下，我们勾勒出了估值方程的可能一般化。具体而言，我们认为CDS是指上市公司，并通过Linetsky（2006）提出的可违约股票模型的多元扩展，假设其违约强度取决于公司的股价。在他的模型中，股价在违约前遵循扩散动力学，并在默认时间跳至零。默认时间的强度取决于股票的预设值。我们首先假设存在一个N维相关布朗运动（W1，P，…，WN，P），相关矩阵R假设是可逆的。然后，我们增加了本文中的过滤F，以另外包括由布朗运动（W1，P，…，WN，P）生成的独立过滤。可违约股票价格的动态由DSIT=Sit给出ui，Sdt+σidWi，Pt- d$i，Pt, 0≤ t<τi，i=1。。。，N、 式中，ui，Sandσi分别为第i个股票的恒定漂移和波动率，且$i，P，i=1。。。，N是由$i给出的跳转到默认鞅，Pt：=命中-Zt公司1.- Hiu嗨，Pu（Siu）du，i∈ {1，…，N}，和默认强度函数hi，Pdepends，除了时间外，还影响股票价格。

通常情况下，hi、PIS为非负且呈s递减，因为我们预计，如果公司股价下跌，其违约概率将上升。对于本图，假设强度hi，Pto从上方开始，远离零。此外，我们假设债券利率i是股价和时间的光滑有界函数，即uit：=uit（Sit）。这种假设也得到了经验的支持；例如，参见Kwan（1996），他指出，同一家公司发行的股票和债券正相关，都是针对相同的基础资产。如果一家公司的债券收益率下降（从而债券价格上涨），该公司的股价通常会上涨。与假设4.3类似，我们将假设uit>rD∨ r+F或t∈ [0，T]。我们扩大了复制中的工具集，以包括可违约股票。可违约股票复制了布朗运动控制的违约强度的波动，以及部分跳跃风险（通过股票的跳跃违约）。剩余（正或负）跳跃风险由可违约债券复制，如本文提出的主要模型所示。我们按照上述步骤进行，并确定氡-尼科德姆导数过程QDPFτ∧(τ∨...∨τN）：=ePNi=1θiWi，Pτ∧τi-PNi，j=1θiRi，jθj（τ∧τi∧τj）×Yi∈{1，…，N，I，C}Rτ∧τi（uiu- rD）duRτ∧τihi，Pu（Siu）du！Hiτ∧τieRτ∧τi（rD-uiu+hi，Pu（Siu））du，其中（θ，…，θN）T=R-1.u1，S-rDσ。。。，uN，S-rDσNT、 因此，衡量标准的变化是明确的。注意，在Q下，我们继续具有关系hi，Qt=uit- rD，i∈ {1，…，N}。然而，函数hi、Q除了时间外，还取决于股票价格Si，并且是有界的。

财富过程（相当于（6））现在由vt给出：=NXi=1ξitBit+ξS，itSit+ ξItBIt+ξCtBCt+ξftBrft- ψmtBrmt。为便于说明，假设一个由单个可违约股票组成的投资组合，即N=1。设置γ=1，财富过程满足的（12）BSDE等效值采用formdVt=r+fVt+ZSt+Zt+ZIt+ZIt+ZCt- Mt公司+- r-fVt+ZSt+Zt+ZIt+ZIt+ZCt- Mt公司-- rDZSt公司- rDZt公司- rDZIt公司- rDZCt+r+mM+t- r-毫米-t+ηdt+ZStdW1，Qt+Ztd$1，Qt+Ztd$I，Qt+ZCtd$C，Qt，Vτ∧τ=L1lτ<τ+θI（^Vτ，Mτ-)1l{τ<τ∧τC∧T}+θC（^Vτ，Mτ-)1l{τ<τ∧τI∧T}。在上述表达式中，过程Z、ZI、Zc的作用与等式（10）中的作用类似，我们还有过程Z，表示投资于股票的波动率调整金额，以复制表1违约强度的波动。描述估价方估价过程的BSDE（14）现在变为-d^Vt=-rD^Vt- ηdt公司-^ZStdW1，Q-^Ztd$1，Qt，^Vτ∧T=L1lτ<T（即，基本假设是估价方使用最小（熵）鞅测度进行估价）。

使用Vt和^Vt的表达式，我们获得了XVAprocess的BSDE，即（16）的类似物，但对于基础信用掉期投资组合同时受到分散和跳转到违约风险的情况：-dXVAt=▄fSt、 XVAt、▄ZSt、▄Zt、▄ZIt、▄ZCt；Mdt公司- ZStdW1，Qt-兹特元1夸脱-~ZTD$I，夸脱-~ZCtd$C，Qt，XVAτ∧τ=°θC（^Vτ，Mτ-)1l{τ<τ∧τI∧T}+￠θI（^Vτ，Mτ-)1l{τ<τ∧τC∧T}，其中▄fSt、 xva，zS，z，zI，zC；M=ft、 xva，￠zS+￠z，￠zI，￠zC；M:= -r+fxva+▄zS+▄z+▄zI+▄zC+L- Mt公司+- r-fxva+▄zS+▄z+▄zI+▄zC+L- Mt公司-- rDzS- rDz- rDzI- rDzC+r+mMt公司+- r-m级Mt公司-- rDL公司.Crépey和Song（2015）在（现在已非琐碎的）过滤F上的投影技术导致-dˇUt=ˇgSt、 ˇUt，ˇZSt；^V，Mdt公司-ˇZStdW1，Qt，ˇUT=0，（40），带驱动器ˇgSt、 ˇu，ˇz；^V，M= 嗨，QθI（^Vt，Mt-) - ˇu+ hC，QθC（^Vt，Mt-) - ˇu- h1，Qˇu+~fSt、 ˇu，ˇz，-ˇu，￠θI（^Vt，Mt-) - ˇu，￠θC（^Vt，Mt-) - ˇu；M.强度h1，qe的有界性证明了71gshitz。反过来，具有Lipschitz驱动的连续BSDE（40）解的存在性和唯一性是一个经典结果（参见，例如，（ElKaroui et al.，1997，定理2.1））。我们现在确定*和ˇU*作为两个BSD的解，由-dˇU*t=ˇgS，*t、 ˇU*t、 ˇZS，*t；^V，Mdt公司-ˇZS，*tdW1，Qt，ˇU*T=0，-dˇU*t=ˇgS*t、 ˇU*t、 ˇZS*t；^V，Mdt公司-ˇZS*tdW1，Qt，ˇU*T=0，其中ZS*tand ZS，*皮重，分别是根据与XVA（违约前）下限和上限相关的复制策略投资于股票的经波动性调整的现金金额。解的存在性和唯一性*和ˇU*遵循上述相同的经典结果。

最后，比较*≥ˇU≥ˇU*可以通过BSDE的标准比较定理来实现，（c.f.e.g.（Delong，2013，定理3.2.2））。6比较静态分析本节对五种信用违约掉期组成的投资组合的XVA及其复制策略的单调性模式进行比较静态分析。第6.1节建立了违约传染模型。第6.2节给出了数值结果。6.1违约传染模型我们对参考实体、投资者及其交易对手的违约强度使用以下规范：hI，Qt=a+a1lτC≤t+a1lτ≤t+1lτ≤t+…+1lτN≤t型hC，Qt=a+a1lτI≤t+a1lτ≤t+1lτ≤t+…+1lτN≤t型hi，Qt=a+a1lτI≤t+a1lτC≤t+a1lτ≤t+。1lτi-1.≤t+1lτi+1≤t+…+1lτN≤t型.回想一下我们模型中的主要数量，即可违约账户的回报率ui，i∈{1，…，N，I，C}，由式（3）定义为uI=hi，Q+rD。请注意，上述规定定义了同质信贷组合，即所有参考实体的违约强度相同。然而，这些区别与投资者I及其交易对手C的违约强度不同。Jarrow和Yu（2001）首次提出了通过直接信贷依赖传播的上述规定。6.2数值结果在本节中，我们使用以下基准参数：rD=0.0001，N=5，LI=0.5，LC=0.5，α=0.8，r-f=0.05，r+f=0.08，r-m=r+m=0.0001。我们将默认强度参数设置为a=0.05、a=0.05、a=0.05、a=0.01、a=0.01、a=0.01。这些值与Yu（2007）使用的经验估计值一致。对于i=1，…，我们设置了合同信用违约掉期参数S=0.02和Li=0.5，5、由于复制过程在投资者和交易对手最早的默认时间结束，参数a、a、a和ado在分析中不起任何作用。我们设置uC=a+rD，uC=a+rD+Na。

在本节中，我们对交易开始时的账户利率参数进行了比较静态分析，即t=0。我们将投资组合的到期日固定为T=1。在所有图中，我们绘制了转子XVA（在图例中用“upper”表示，对应于ˇU*), 实际XVA（用“actual”表示并对应于ˇU）和最佳情况XVA（用“lower”表示并对应于ˇU*). 我们还绘制了与这三个XVA过程相关的复制策略。请注意，在upper、actual和lower XVA的复制策略中使用的参考实体可违约账户中的股份数量不需要保持upper、actual和lower XVA的单调模式（例如，在图4中，违反了这种单调模式）。这是因为公式（37）中ξiin的值取决于所有五个参考实体都处于活动状态时的XVA与其中一个参考实体处于默认状态时的XVA之间的差异。6.2.1交易对手违约强度的特质成分图3显示，随着交易对手违约强度的特质成分增加，XVA的绝对值降低。这可能是因为，随着缔约方违约的可能性越来越大，与复制投资组合相关的所有成本（包括为头寸提供资金和偿还抵押品的成本）将在较短的时间内发生。因此，XVA在收尾时的跳跃幅度减小，从而导致投资者及其交易对手的可违约账户份额减少。

此外，由于交易对手违约的可能性更大，参考实体较少的CDS的XVA也会降低，但速度较慢0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-0.036-0.035-0.034-0.033-0.032-0.031-0.03-0.029-0.028-0.027XVA0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.0350.0360.0370.0380.040.0410.040 2REF实体默认账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.5-0.036-0.035-0.034-0.033-0.032-0.031-0.03-0.029-0.028-0.027投资者可违约账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-0.036-0.035-0.034-0.033-0.032-0.031-0.03-0.029-0.028-0.027交易对手可违约账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.0270.0280.0290.030.0310.0320.0330.0340.0350.036资金账户图3：左上面板：XVA。右上面板：参考实体可默认帐户的值。左中面板：投资者可违约账户的价值。右中面板：CounterParty可默认帐户的值。左下面板：资金账户的价值。0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.04-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01XVA0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.010.0150.020.0250.030.0350.04资金账户图4：左面板：XVA。右面板：资金账户的价值。因此，参考实体账户的股份数量将增加（另见（37））。在我们的特定设置中，CDS投资组合的价值相当小（等于0.00483043），交易以其市场价值的80%进行抵押，并且投资者和交易对手的违约率损失是相同的。然后，跳转到收尾价值完全取决于紧接收尾时间之前复制投资组合的价值。