不同融资成本、违约和

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英文标题：
《Risk-neutral valuation under differential funding costs, defaults and
  collateralization》
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作者：
Damiano Brigo, Cristin Buescu, Marco Francischello, Andrea
  Pallavicini, Marek Rutkowski
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We develop a unified valuation theory that incorporates credit risk (defaults), collateralization and funding costs, by expanding the replication approach to a generality that has not yet been studied previously and reaching valuation when replication is not assumed. This unifying theoretical framework clarifies the relationship between the two valuation approaches: the adjusted cash flows approach pioneered for example by Brigo, Pallavicini and co-authors ([12, 13, 34]) and the classic replication approach illustrated for example by Bielecki and Rutkowski and co-authors ([3, 8]). In particular, results of this work cover most previous papers where the authors studied specific replication models.
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中文摘要：
我们通过将复制方法扩展到之前尚未研究过的一般性，并在不假设复制的情况下达到估值，发展了一种统一的估值理论，该理论将信用风险（违约）、抵押和融资成本纳入其中。这一统一的理论框架澄清了两种估价方法之间的关系：例如，由Brigo、Pallavicini和合著者（[12、13、34]）首创的调整后现金流量法，以及由Bielecki和Rutkowski和合著者（[3、8]）所阐述的经典复制法。特别是，这项工作的结果涵盖了作者研究特定复制模型的大多数以前的论文。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：relationship Differential Quantitative Replication Theoretical

差异融资成本、违约和抵押下的风险中性估值Damiano Brigo*伦敦基督学院数学系。伦敦数学学院的Marco FrancischelloDept。LondonandreaPallavicinidept数学学院。伦敦MathematicsPerial College LondonMarek Rutkowski+悉尼大学数学与统计学院2018年3月1日摘要我们开发了一种未定义的估价理论，该理论结合了信用风险（违约）、抵押和融资成本，通过将复制方法扩展到以前尚未研究过的通用性，并在不假设复制时达到估值。这一统一的理论框架阐明了两种估价方法之间的关系：Brigo、Pallavicini和合著者（12、13、34）等首创的调整后现金流量法，以及Bielecki和Rutkowski及其合著者（3、8）等阐述的经典复制应用程序roach。特别是，这项工作的结果涵盖了作者研究特定复制模型的大多数以前的论文。关键词：风险中性估值、复制、融资成本、违约、抵押数学科目分类（2010）：91G40、60J28*Damiano Brigo和Marek Rutkowski的研究得到了EPSRC数学平台GrantEP/I019111/1伦敦帝国理工学院资金成本数学分析的支持。+Cristin Buescu和Marek Rutkowski的研究得到了DVC research Bridgeting SupportGrant BSDEs方法对有资金成本模型的支持。2 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski1简介最近的金融危机应该突出信贷风险不仅对市场交易总量，而且对大型市场参与者的生存能力和存在的不利影响。

这需要修改单个合同的标准估价程序，而这种修改通常是在即时实际压力下临时进行的，同时侧重于特定环境和特定合同，而不考虑一般理论。我们在此发展了一种统一的估价理论，通过将复制方法扩展到尚未研究过的一般性，将信用风险（违约）、抵押和融资成本纳入公司范围（有关抵押和融资公司的复制方法，请参见[8]）。该理论涵盖了所有研究特殊复制模型的人员。在2007-2008年金融危机之前，机构往往忽视高风险交易对手在场外交易（OTC）或有债权估值和对冲中的信用风险，这些索赔实际上是两个违约风险实体之间谈判达成的双边合同。然后，在2008年短短的一个月内（9月7日至10月8日），八家主流金融机构经历了严重的信贷事件，痛苦地提醒人们，即使是大型金融机构也存在违约风险（八家：房利美、房地美、雷曼兄弟、华盛顿互惠银行、Landsbanki、Glitnir和Kaupthing，其中还可以加上我瑞尔·林奇）。这场危机的爆炸性表现之一是隔夜指数掉期（OIS）利率与伦敦同业拆借利率之间的突然差异，这表明银行间市场存在信贷和流动性风险。这迫使交易商和金融机构重新评估OTC债权的估值。

最近在很大程度上，最初的行动是引入一系列加性估值调整，今天通常被称为XVAs，这将调整交易的价值，以应对之前估值实践中忽略的成本和风险。问题是，许多此类成本和风险表现出非线性特征，所以加法分裂仅仅是一个近似值。就现有文献而言，很难公正地对待之前关于此类估值调整的工作，这将学术界和实践者平行发展的两条主线交织在一起。有关估值调整和所有相关参考文献的完整介绍，请参阅[18]或[23]的第一章。在这里，我们将仅总结与这项工作最相关的功能。首先，由于交易对手可能违约，信用估值调整（CVA）修正了交易价值和经销商承担的预期成本。CVA已经存在了一段时间，参见示例【16】，在其最复杂的版本中，可以包括信用迁移和评级转换，参见示例【2】。其次，借记估值调整（DVA）可以被解释为交易另一方的CVA see n，由于经销商可能在交易结束前违约的情况，该调整可以通过对经销商的预期收益来修正价格。后一种修正可能会导致有争议的利润，当经销商的信用质量恶化时，可以将其入账。例如，花旗集团（Citigroup）在2009年第一季度的新闻稿中报告称，“收入还包括[…]衍生工具头寸净2.5亿美元正CVA，不包括单一险种，主要是由于花旗的CDS扩张”。

FASB的会计准则接受DVA，而巴塞尔委员会在风险计量spa c e中不承认DVA；有关详细讨论，请参见[18]。最重要的是，DVA很难对冲，因为这将涉及出售自我保护。因此，spreadrisk通过代理套期保值进行套期保值，交易的名称被认为与一家银行相关，但这无助于跳转到去故障风险（有关讨论，请参见[18]）。最近，引入了融资和资本估值调整（分别缩写为FVA和KVA）。FVA是由于交易融资成本而进行的价格调整。交易台通过与市场上的其他交易商进行对冲来支持与客户的交易，这可能涉及在代理对冲时在标的资产、现金或其他相关资产中维护多个对冲账户。这些业务所需的资金通常从经销商的内部资金中筹集，但最终来自外部资金。需要涵盖所有相关借贷活动的利息费用，并将其添加到估值中。迈克尔·拉波波特（MichaelRapoport）于2014年1月14日在《华尔街日报》上报道，摩根大通（J.P.MorganChase）在第四季度的业绩中花费了15亿美元进行估值调整。融资成本、违约和抵押下的估值3最近，KVA开始讨论为了能够交易而必须留出的资本成本。

我们将不在此赘述ss KVA，因为即使是其定义目前也受到业界的激烈争论，但我们将读者引向【14】了解基于风险调整后资本回报率（RAROC）的差异定价方法。所有此类调整都可能涉及场外（OTC）衍生品交易和通过中央对手方清算所（CCP）进行的衍生品交易，我们参考[19]对两种情况进行比较，其中，在可能对称的初始和估值利润率、融资成本、，清算延迟和信贷缺口风险被探究，导致BSDE和半线性偏微分方程。[24]中还讨论了几种估值调整。如上所述，在所有这些影响存在的情况下，严格的估值理论可能是相当具有挑战性的；一般来说，它不会导致上述调整中的n个相加分割，而是导致基于高级数学工具的非线性估值范式，如半线性偏微分方程或BSDE（参见，例如，[30，31，32]）。“调整后现金流”方法实现了重大飞跃，其实际适用性导致了其在行业中的实施。Brigo、Pallavicini和合著者（[12、13、34]）在工作中采用的综合“调整后现金流”方法取决于通过增加代表额外风险和成本的明确现金贡献来修改合同的未来现金流，然后对减少后的调整后现金流进行风险中性预期。Pallavicini et a l.【33，34】中首次引入了具有所有影响的结果一般主定价方程，并严格研究了此类方程解的存在性和唯一性，例如，在【12，13】中。

这种方法扩展了风险中性预期适用的现金流，但这种扩展不一定会导致对基本风险中性价格的额外调整，因为从路径角度来看，调整后的现金流取决于交易本身的未来价值。此外，隐含假设支持风险中性估值的自我融资复制策略并未明确书写，而只是假设存在。其他现有工作（例如，参见[1、20、21、22、23、25]）从自我融资条件开始，以不同程度的严格程度呈现明确的计算，从而得出特定的定价方程。本文的贡献是提供一个统一的理论框架，阐明两种方法之间的关系：“调整现金流”方法和复制方法。首先，我们通过纳入外部融资成本来扩展“调整后现金流”方法。然后，这种广义的“调整现金流”方法与当前框架中典型的非线性复制范式（[3，8]）相一致，从而验证了“调整现金流”方法是在实践中获得ice合同的一种合理方法。此外，我们还表明，对于可以复制的索赔，现金流的显式表达是一种调整，需要在为定价目的选择的某些鞅度量下进行估值，这不再是对合同时间线的敏锐洞察的结果，而是重新定价方法的直接结果。我们还通过“不变性原则”证明，风险中性估值公式（涉及通常与非可交易资产相关的无风险利率）可以在复制方法的估值公式中进行转换，从而消除对这种虚幻无风险利率的所有依赖。

对于本统一框架中的一个实际例子，我们参考了[9]，其中所有附加风险因素都被整合到估值中，而无需对价格进行单独调整。对于特定合同，这将导致修改后的Black-Scholes定价公式（含股息），该公式允许进行有效的敏感性分析。本文的组织结构如下。第2节介绍了Brigo、Pallavicini和合著者的“调整后现金流”方法，包括保证金、违约结算和融资延期，并进一步将其扩展到第2.7节中，详细分析了现金流的资金方，从而也考虑了外部融资调整。这种分析清楚地表明了影响估值的非线性特征，并进一步讨论了在何种条件下，估值公式可以在一系列加性调整中分离出来。不变性结果表明，无风险利率在最终估值方程中消失，在【12、13、34】中有详细讨论，本文对此进行了详细检查，并在完全一般的情况下重新引入。4 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski第3节介绍了复制法下的估值方程的严格推导，该方法具有明确的账户和自我融资条件，首先是线性情况，然后是非线性影响出现时。该处理提供了正式的证据，并概括了先前通过第2节风险中性扩展现金流方法得出的许多结果。

我们强调估值调整的非线性性质，并展示了价格和对冲的复制方法和反向随机微分方程（BSDE）之间的天然联系。第4节讨论了不完全市场的情况，在不完全市场中，我们将复制放松为第2节中隐含的和第3节中明确采用的SUMPTIONTH。对于不完全的情况，我们仍然可以提出一个推导，它让人想起以前的事件，但它包含了一组基于扩展市场应该保持不受歧视的想法的备选假设。2风险中性的“调整后现金流量”方法为了引入风险中性的“调整后现金流量”方法，我们将使用一个简单的银行模型，该模型由交易台、交易的外部交易对手、交易台所在银行的金库以及向金库提供或从金库接收资金的外部实体组成。我们现在将解释此模型中发生的所有流动。让过程s（At）t∈[0，T]代表到期日为T的合同的所有承诺现金流。通过对合同的估价，我们的意思是寻找交易者愿意为与交易对手签订合同而支付的价格。起点是合同的“清洁”价格，即以无风险利率出资的无违约无抵押合同的价格。

违约、抵押和后期融资成本等其他因素需要对现金流进行调整。我们将使用以下符号：oπ（t，s，A）是合同A的承诺（信用抵押品-无资金）现金流，来自tto s，在时间t用无风险利率账户贴现Br；oγ（t、s、C）是抵押物现金流的贴现成本，代表利息流、利息流或因抵押物过账或收款而产生的成本；oθτ（Q，C）是第一次违约时的收尾现金流τ=τI∧ τC，包括抵押后的交易CVA和交易DVA现金流；同样，我们用bτ=T表示∧ τ合同的有效到期日；oДf，h（t，s）是交易账户融资成本的贴现现金流，代表因实施交易策略而产生的利息报酬或成本的流量；oψ（t，bτ，τE）是银行计量部门为资助银行交易活动而进行的外部借贷活动的结算现金流；我们用τ表示外部贷款人/借款人的违约时间。我们的目标是通过在风险中性概率测度Qr下对已发现现金流的条件预期来对交易进行估值，该概率测度通过假设无风险现金账户计算的（非分割支付）风险资产的价格为局部鞅来定义。具体而言，我们将在第2.5节中假设，在QraredSt=St下的S动力学rtdt+σdWrt（2.1）其中Wris是Qr下的布朗运动。然而，必须强调的是，我们的方法涵盖了广泛的半鞅模型，如第3部分所示。过滤F由布朗运动Wrand生成，完全过滤G为F G和τi和τCare G-停止时间。为简单起见，我们通常假设Qr（τI=τC）=0。