动态离散选择模型中折扣因子的识别

与平稳模型不同，平稳效用假设在非平稳模型中具有识别能力。这种观点的一个常见版本是，可以在最后一个时期（例如T）确定公用事业，以便随后在下一个最后一个时期确定贴现系数（例如Yao等人，2012年）。此参数假设静态实用程序，可以将其转换为状态变量，即ui、T，作为时间上的排除限制-1（▄x）=ui，T（▄x），其中时间移动连续值，而不移动基本实用程序。Bajari等人（2016年）利用固定公用设施的假设，正式建立了有限水平最优停车模型中的识别。定理3将Bajari等人的结果扩展到了最优停止问题之外，还允许识别具有非平稳效用的模型。用t表示时间∈ {1，2，…，T}，终止周期T<∞, 和索引u*k、 t、uk、t、mt和vk，按时间计算。为了便于解释，我们保持了平稳马尔可夫转移矩阵Qk的假设，但结果推广到了非平稳分布。choice-k特定值现在满足yVk，t=uk，t+βQk【mt+1+vK，t+1】（23）对于t=1，T- 1.对于终端条件vk，T=uk，T。对于所有T，使用归一化uk，T=0，这给出了Ln（pk，T（￠x））- ln（pK，t（￠x））=u*k、 t（～x）+β[Qk（～x）- 所有k的QK（x）][mt+1+vK，t+1]（24）∈ D \\{K}和▄x∈ 十、最后，使用（23）和标准化uK，t=0Yao等人在平稳效用假设下，在具有连续控制的动态模型中识别贴现因子，并推测离散控制的类似结果。定理3证明了它的猜想。对于所有t，我们可以将参考选项K的值写入asvK，t=TXτ=t+1（βQK）τ-tmτ，（25），其中我们使用的约定是，Ptτ=T+1·=0（因此实际上是vK，T=uK，T=0）。定理3。

假设你*k、 t（￠x）=u*l、 k的t（￠x）（26）∈ D/{K}，l∈ D、 x∈ X，~X∈ X，1≤ t<t，和t≤ t型≤ T当eitherk 6=l，或▄x6=▄x，或t<t，或三者的组合时。如果pk，t（yenx）/pk，t（yenx）6=pl，t（yenx）/pk，t（yenx）或[Qk（yenx）- QK（￠x）]mt+1- [Ql（￠x）- QK（￠x）]mt+16=0，（27），则不超过T- t识别集中的点。证据差异（24）对应于（26）并在（25）中替换为给定的（pk，t（～x）/pk，t（～x））- ln（pl，t（￠x）/pK，t（￠x））=（28）β[Qk（￠x）- QK（￠x）]hTXτ=t+1（βQK）τ-t型-1mτi-[Ql（￠x）- QK（￠x）]hTXτ=t+1（βQK）τ-t型-1mτi！。对于给定的选择概率和转移概率，（28）的右侧减去其左侧是一个T阶多项式- 锡β。如果这个多项式是非常数的，那么根据代数的基本定理，它有-treal根，它是确定集中点数的上界。为了证明（28）在所述假设下是非恒定的，首先注意（28）的右侧在β=0时为零。如果左侧非零，则多项式是非常数的。如果左侧为零，则秩条件（27）确保右侧的导数在β=0时为非零，因此右侧以及多项式是非常数的。秩条件（27）使（13）适应非平稳情况。与静态动态选择问题不同，非平稳问题不要求贴现因子位于[0，1]。我们将贴现因子域的定义留给读者。在非平稳模型中的识别研究中，Arcidiacono和Miller（2017）区分长面板中的标识（包括terminalperiod）和短面板中的标识（不包括terminalperiod）。一般来说，定理3需要长面板。然而，对于具有ρ-周期依赖性的模型，它也适用于延伸至至少周期t+ρ的短面板。

例如，在Zurcher的无限期更新问题中，里程仍然是单作用（K）一个周期依赖的，因此可以在短面板中点识别贴现因子，直到周期t+1.4经验内容。上一节重点讨论了识别，并给出了从数据中恢复主成分的条件。在应用程序中，我们需要考虑到模型可能有误，并且没有生成开始时的数据。众所周知，无限制模型没有经验内容：它可以合理化任何选择数据{pk，Qk；k∈ D} 。本节显示数据可以拒绝modelunder排除限制。无限制平稳模型的标准结果来自Magnac和Thesmar命题2：对于任何给定数据{pk，Qk；k∈ D} ，uK=0，和β∈ [0，1），存在一组唯一的原始实用程序{uk，k∈ D/{K}}，使数据合理化。具体而言，m=- ln主键。然后，vKfollows from uK=0和（8）。接下来，通过（3），vk=vk+ln pk-ln包装用于k∈ D/{K}确保值函数与选择概率数据兼容。反过来，通过（4），这些值函数由原始实用程序uk=vk唯一生成- k的βQk[m+vK]∈ D/{K}（注意，vKwas已经设置为与uK=0一致）。这一结果正好说明了我们在前一节中对贴现因子β的确定：一旦确定了贴现因子，我们就可以找到使数据合理化的独特原始实用程序。违反假定排除限制的经验后果可以以两种不同的方式表现出来。首先，在某些情况下，可能会找到满足FalseExclution限制的原语。如果是这样，这些基本体通常不等于真正的基本体。

因为我们可以找到原始的实用程序，使任何贴现因子的数据合理化，所以这些数据对确定这种情况下的正确限制没有任何帮助。相反，我们需要在其他理由上为识别假设辩护。其次，在假定的排除限制下，其域中可能不存在与数据兼容的折扣因子。在排除限制下可以合理化的可能数据子集可能非常小。例如，在J=2和u的二元选择模型中*（x） =u*（x） ，模型无法生成任何依赖于状态的值对比。因此，该模型无法合理化任何依赖于状态的选择数据。在实证实践中，这可能会迫使参数估计超出其理论范围。反过来，这可能会导致研究人员在统计上拒绝该模型，并得出至少有一个假设被违反的结论。而一些求解方法，如典型的嵌套执行点算法，施加了β∈ [0，1），很容易使用（12）中的动量条件对于模型试验，因为其计算不限制β可以取的值。已识别模型的经验内容也为相互检验非嵌套的识别假设提供了一定的范围。例如，在Magnac和Thesmar的当前值限制下，示例2中的数据无法合理化，但与原始效用的排除限制一致。相反，很容易构建与原语utilityrestriction不一致的数据，但可以通过满足当前值限制的原语进行合理化。例8。图4显示了（6）中Magnac和Thesmar\'smomet状态的左侧和右侧，以及（12）中我们的状态。有一个β∈ 解（6）的[0，1），但不能满足（12）中的力矩条件。

直观地说，（12）右侧第二个（选择值K）项的负向分布将可能的对数选择概率比对状态变化的响应限制在低于观察到的响应的水平。在实践中，我们可以通过验证相应的力矩条件（6）或（12）或其经验模拟是否有解β，轻松确定给定数据是否与一个排除限制或另一个排除限制一致∈ [0，1）。我们可以通过检验β∈ [0，1）。最后，非平稳模型的经验内容取决于贴现因子的选择域。因此，我们对该模型的理论内容的讨论仅限于注意定理3不能保证实根（且β在特定域中较少）对于一般选择和状态概率。5多个排除限制和推论通常，有多个排除限制可用。特别是，跨州排除限制的经济分析通常建议排除图4：与当前值排除限制一致，但与原始效用0.720.0800β不一致的数据示例注：对于J=3个州，K=2个选项，K=l=1，x=x，和x=x，该图绘制了（6）和（12）的左侧（黑色实线水平线），以及（6）（红色虚线）和（12）（蓝色实线曲线）的右侧，作为β的函数。数据为Q（￠x）=0.25 0.25 0.50, Q（￠x）=0.00 0.25 0.75,QK公司=0.90 0.00 0.100.00 0.90 0.100.00 1.00 0.00, p=0.500.480.10, 和pK=0.500.520.90.因此，（6）和（12）的左侧等于ln（p（x）/pK（x））-ln（p（x）/pK（x））=0.0800。

此外，m=0.69 0.65 0.11和Q（x）-QK（x）- Q（x）+QK（x）=-0.65 0.90 -0.25, 所以虚线的斜率等于[Q（x）- QK（x）- Q（x）+QK（x）]m=0.1116。β的唯一值为0.72，可解（6），但（12）没有解。效用函数中的状态变量。例如，状态变量x可以划分为（y，z），其中z不影响实用程序：uk（~y，~z）=uk（~y，~z）表示allk∈ D/{K}、~y、~z和▄z>▄z。这通常会给出多个排除限制，如（11）。例如，如果选项y和z都是二进制的，我们有两个排除限制，一个用于y的每个可能值。通过多个排除限制，即使每个单独的力矩条件集识别β，也可以获得点识别。我们给出了两个具有两个排除限制的识别示例。示例9。在图5中，由蓝色实线和曲线表示的力矩条件和用红色虚线表示的力矩条件分别有两个和一个解。两种情况下的折现系数均为0.30，而实数moWe在Abbring和Daljord（2019）中对方和王的讨论中提供了排除状态变量的更正式声明。图5：具有两个力矩条件的示例，其中一个确定了贴现系数0 0.30 0.650.01870.0045β注：对于J=4个状态，K=2个选项，K=l=1，此图将（12）的左侧（水平线）和右侧（曲线）绘制为β的函数，对于▄x=x和▄x=x（对应于u（x）=u（x）；红色虚线）和▄x=x和▄x=x（对应的tou（x）=u（x）；纯蓝色）。

数据areQ=0.40 0.26 0.18 0.180.33 0.29 0.36 0.270.19 0.26 0.18 0.450.08 0.18 0.29 0.09, QK公司=0.17 0.26 0.13 0.430.13 0.07 0.20 0.600.20 0.30 0.10 0.400.25 0.15 0.50 0.10,p=0.60 0.59 0.88 0.88, 和pK=0.40 0.41 0.12 0.12.因此，（12）的左侧等于ln（p（x）/pK（x））- ln（p（x）/pK（x））=0.0187和ln（p（x）/pK（x））- ln（p（x）/pK（x））=0.0045。β的唯一值为0.30，可解出▄x=x和▄x=x（红色虚线）的（12）。βsolve（12）的两个值，分别为▄x=x和▄x=x（纯蓝色），其中一个值与一阶矩条件的解一致。贴现条件也与贴现系数0.65一致。虚线力矩条件本身的点确定了折扣系数，而实线力矩条件仅确定了折扣系数。在这种情况下，实心力矩条件是点识别的冗余条件。示例10。在图6中，红色虚线力矩条件适用于折扣因子0.17和0.90，而蓝色实心力矩条件适用于折扣因子0.07和0.90。每个单独的力矩条件与两个折扣因子一致，但只有一个折扣因子可以解决这两个力矩条件。对于满足两个（或更多）排除限制的模型生成的选择和转移概率，隐含的两个（或更多）矩条件将始终共享一个解决方案，即用于生成数据的贴现因子。我们推测，一般来说，矩不会共享任何进一步的解，因为不同的选择和转移概率（随原始效用自由变化）会进入不同的矩条件。在我们的环境中，通用点识别的实用价值有限。首先，我们无法从经济概念的角度先验地描述点识别失败的模型空间子集。

尽管这个子集很小，但据我们所知，它可能包含经济上重要的模型。其次，我们可能无法了解贴现因子是点识别还是集识别的有限样本。虽然如果我们知道总体选择和转移概率，就很容易找到多时刻条件下的共享解，但由于采样变化，很难在有限样本中找到共享解。这表明我们不坚持点识别，但接受集识别，并对识别集使用一致的估计量，其中可能包含一个或多个点。对于单参数问题，集合估计很容易实现。我们举一个例子。示例11。假设总体矩条件如图6所示。虽然每个单独的力矩条件都与一个小的贴现因子（分别为0.07和0.17）以及一个大的贴现因子（真实值为0.90）一致，但只有后者是这两个力矩条件的共同解决方案。因此，在该人群中确定了贴现系数。在图7的顶部面板中，使用选择数据中的采样变化绘制了相同的两个力矩条件。一个样本力矩条件由贴现因子0.16和0.91求解，另一个由贴现因子0.25和0.68求解。数据未明确显示点识别的真实贴现系数为0.90。无论如何，这些数据表明在较低的地区存在点识别。即使在没有进一步假设的情况下无法事先确定点识别，贴现因子仍然是集识别的，我们可以使用一致的集估计量。继Chernozhukov et al.（2007）和Romano and Shaikh（2010）之后，假设识别集B={β∈ [0，1）：S（β）=0}对于某些总体准则函数S：[0，1）→ [0, ∞).

注意，我们也可以写B=arg minβ∈[0,1）S（β）。这表明我们通过随机轮廓集Cn（S）={β来估计B∈ [0，1）：anSn（β）≤ s} 对于某些级别s>0和规范化序列{an}，其中Sn（β）是s（β）的样本等价物，n是样本量。对于给定的密度等级α∈ （0，1），s被设置为等于α-分位数的一致估计量sno。例如，Ekeland et al.（2004）对特征模型的一般识别结果具有特别的指导意义，因为它表明，对于处于大多数应用工作中心的线性二次特殊情况，识别完全失败。supβ∈BanSn（β），因此估计量Cn（sn）渐近包含具有概率α的识别集：limn→∞Pr{B Cn（sn）}=α。图7的底部面板显示了一个这样的估计器。这里，标准Sn（β）是（12）左右两侧差异的二次型，使用等权在选择概率和转移概率的一致估计值下进行评估。临界值sni以水平线表示。估计集为Cn（sn）=[0.10，0.28]∪ [0.79, 0.91]. 这些数据与一系列小折扣系数和一系列大折扣系数同样一致，但在α水平上拒绝了中间范围（0.28，0.79），以及小于0.10和大于0.91的折扣系数。在某些正则条件下，随着样本量的增长，集合估计收敛到识别集。由于识别集在本例中是一个点，因此在该极限下，具有小折扣因子的Cn（sn）子集消失，其具有大折扣因子的子集退化为总体折扣因子0.90。

尽管这些集合估计对即使只有几个维度的参数空间的计算要求很高，但它们很容易在一维情况下实现，例如我们的情况。6实际考虑我们总结了一些与应用相关的考虑。如果折扣因子是点识别的，那么效用也是点识别的，并且β和u可以通过标准方法联合估计，例如最大似然法，并施加排除限制onu。适用极值估计的标准推断（例如Newey和McFadden，1994）。这种联合估计器的典型实现将对效用函数施加函数形式假设，而效用函数本身具有识别能力（Komarova等人）。然后，不清楚排除限制（出于经济动机）携带了多少关于贴现保理的信息，以及函数形式携带了多少信息，函数形式通常更具任意性。另一种方法是，根据Magnac和Thesmar的主张2（见第4节），存在独特的实用程序，可以使任何给定贴现系数的数据合理化。这建议采用两步估算程序。在第一步中，可以从（12）中的力矩条件中恢复β。在第二步中，使用（10）中的矩条件估计效用，并采用给定的第一步中恢复的贴现因子。这样，贴现因子的估计对效用函数的误判具有鲁棒性。参见Daljord等人（2019），了解该方法的应用。如果贴现系数未知，则可以构建（12）的样本类似物，并绘制标准函数，如图7的底部面板所示。如果标准函数在β域上的唯一最小值附近接近二次函数，则可以将模型视为点识别。