动态离散选择模型中折扣因子的识别

其命题4假设存在aknown期权k∈ D/{K}和已知的一对态▄x，▄x∈ X使得▄x6=▄X和Uk（▄X）=Uk（▄X）。在该排除限制下，差异（5）在▄x和▄xyieldsln（pk（▄x）/pk（▄x））下评估- ln（pk（～x）/pk（～x））=β[Qk（～x）- QK（￠x）- 给定选择概率和转移概率，（6）的左侧是已知的标量，右侧是已知的β线性函数。因此，假设Magnac和Thesmar的秩条件[Qk（≈x）- QK（￠x）- Qk（x）+Qk（x）]m 6=0（7）成立，力矩条件（6）根据选择数据唯一确定β。这种识别论点可以用改变预期过剩对比度的实验来解释[Qk（x）- QK（x）]m，将statex从▄xto▄x更改为，同时保持当前值Uk（▄x）=Uk（▄x）恒定。贴现因子是观察到的偏移对观察到的对数选择概率比ln（pk（x）/pk（x））的单位影响。期望对比度Qk（x）的变化- QK（x）不支持识别。例如，假设排除限制适用于某些▄x、▄x∈ X，但超额盈余m（X）=···=m（xJ）是常数，因此预期超额盈余对比度[Qk（X）- QK（x）]m=0。然后，预期对比度的变化不会改变预期过剩对比度，因此不会改变决策问题。因此，这种转变并不能提供β和magnac的信息，而Thessar的秩条件（7）失败了。排名条件（7）具有有意义的解释，并可在数据中验证。然而，排除限制Uk（～x）=Uk（～x）问题更大，因为它在应用程序中难以验证的原语上引入了不透明条件。当前值取决于当前公用事业和贴现的预期未来值。

具体而言，它们涉及vK的元素，通过（4）等于vK=[I- βQK]-1[英国+βQKm]。（8） 当前值实际上是两个选择序列之间的值对比：现在选择k，下一个周期中选择k，然后再选择最优值，相对于现在选择k，下一个周期中选择k，然后再选择最优值。由于这种特殊的价值对比不符合常见的经济选择序列，Magnac和Thesmar限制的应用价值有限。很难想象自然发生的实验会在超出剩余的情况下改变预期对比度，即满足秩条件，而不改变当前值，从而违反排除限制，除非特殊情况。事实上，导言中的实证例子中的直觉识别论点并不涉及当前价值，而是对原始效用的排斥限制。3.2对原始效用的排除限制，如Magnac和Thesmar，我们从（5）开始，或等效地，ln pk开始- ln pK=β[Qk- QK][m+vK][英国- 英国。（9） 我们没有通过对当前值的排除限制来控制VKT对右侧的贡献，而是利用它可以用模型原语来表示。在（9）中替换（8）并重新排列给定pk- ln pK=β[Qk- QK][I- βQK]-1[百万+英国]+英国- 英国。（10） 静态离散选择分析的直觉以及Magnac和Thesmar的动态模型结果表明，对于识别，我们需要在一个参考方案中确定效用，比如英国。直觉上，选择只取决于效用对比，因而也就取决于效用对比的信息。因此，根据Fang和Wang以及Bajari等人（2015），我们将uK设置为0。在没有进一步限制的情况下，数据无法反驳这种规范化（见第4节）。

尽管缺乏实证内容，但这并非完全无害，因为它可能会影响模型的反事实预测（参见Norets和Tang、Lemma 2和Kalouptsidi等人）。在附录中，我们证明我们的分析适用于美国*K（x）是常数，但不一定为零，可以直接推广到u*K（x）已知为常数位移，但不一定是常数。因此，我们对贴现因子识别的分析补充了参考效用u的识别结果*K、 现在假设我们知道u的值*k（￠x）- u*对于一些已知选项K，为l（~x）∈ D/{K}和l∈ D和已知状态x∈ X和▄X∈ 十、k 6=l、~x6=~x或两者兼有。仅为便于说明（一般情况见附录），我们将该已知值设为零，并仅关注排除限制U*k（￠x）=u*l（￠x）。（11） 与麦格纳克和塞斯马的现值限制相比，这种排除限制的一个优点是，它是对原始效用的直接限制，具有明确的经济解释。它还扩展了Magnac和Thesmar，允许跨选项和状态组合限制原始实用程序。3.3在排除限制（11）下，我们可以区别（10）将β与选择数据（选择和转移概率）隐含关联，而无需参考任何其他未知参数（实用程序）：ln（pk（~x）/pk（~x））- ln（pl（￠x）/pK（￠x））=β[Qk（￠x）- QK（￠x）- Ql（x）+QK（x）][I- βQK]-1m，（12）注意，这种规范化并没有将Magnac和Thesmar对当前值的排除限制压缩为对原语的易于解释的限制。Chou（2015）最近提供了动态离散选择模型的识别结果，没有u的归一化*K

我们在这里研究的静态模型的Chou的结果表明折扣因子是已知的。周的命题3、7和8针对非平稳模型，如第3.6节中的westudy，为点识别提供了高水平的有效条件，而我们关注的是直观条件下的集识别。一个普遍的区别是，我们强调识别条件的经济解释，并提供其经验内容的结果。对于求解（12）的任何折扣因子，都可以找到唯一的原始实用程序，使选择数据合理化，并且这些实用程序满足排除限制（11）。因此，在没有进一步假设或数据的情况下，矩条件（12）包含排除限制（11）下选择数据中有关贴现因子的所有信息，可以直接用于其识别和估计。8,9与（6）的右侧不同，（12）的右侧在β中不是线性的。然而，给出了关于转移和选择概率的数据，这是一个表现良好的已知β函数。因此，很容易确定β值的确定集B的特征∈ （0，1）等于（12）的已知左手边。定理1。假设（11）中的排除限制对某些k成立∈D/{K}，l∈ D、 x∈ X和▄X∈ 十、k 6=l、~x6=~x或两者兼有。此外，假设（12）的左侧为非零（即pk（￠x）/pk（￠x）6=pl（￠x）/pk（￠x）），或者Magnac和Thesmar秩条件（7）的推广成立：[Qk（￠x）- QK（￠x）- Ql（x）+QK（x）]m 6=0。（13） 然后，识别集B是[0，1]的闭离散子集。证明。我们需要证明，在规定的条件下，B [0，1]在[0，1]中没有限制点- βQK]-1β存在∈ (-1，1）和等式i+βQK+βQK+···。（14） 对于β=0，这是微不足道的。

If |β|∈ （0，1），从事实可以得出|β-1 |>1，QKis为马尔可夫转移矩阵，特征值绝对值不大于1。因此，QK的行列式- β-1I是非零的，所以I- βqkis可逆且（14）中的幂级数收敛。因此，对于给定的选择概率和转移概率，（12）的右侧减去其左侧是β中的实值幂级数，其收敛于(-1, 1). 用f表示β的功能：(-1, 1) → R、 《将军与帕克斯》（2002）中的推论1.2.4确保f是真正的分析型。第4节中的论点建立了Magnac和Thesmar命题2的一个版本，这意味着将给定贴现因子的选择数据合理化的实用程序为英国解（10）。很明显，只要（12）成立，他们就满足（11）。关于效用函数的额外排除限制（如第5节所述）和函数形式假设可能提供有关贴现系数的进一步信息。毕竟，为解决（12）的折扣系数合理化选择数据的实用程序可能不满足这些额外约束。类似地，力矩条件（6）包含有关Magnac和Thesmar对当前值的排除限制下的贴现因子的所有信息。表示B*= {β ∈ (-1，1）| f（β）=0}。请注意，B=B*∩ 首先，假设f没有零（B*= ). 那么，B= 在[0，1]中没有极限点。最后，假设f至少有一个零（B*6= ). 那么，在规定的条件下，f不能是常数（因此等于零）：如果（12）的左手边是非零的，那么，因为它的右手边在β=0时等于零，f（0）是非零的；如果秩条件（13）成立，则（12）在β=0时的右侧导数，因此f在0时的右侧导数为非零。

因为f是一个非常数实解析函数，所以它的零集B*中没有限制点(-1，1）（Krantz和Parks，推论1.2.7）。因为B=B*∩ [0，1），这意味着B在[0，1]中没有极限点。在定理1的条件下，每个β∈ 与（12）一致的[0，1]是[0，1），因此局部识别。请注意，β=1被排除在模型之外，以确保贴现效用流的收敛。定理1不排除1是识别集的极限点。因此，识别集可能包含接近1的许多贴现因子。然而，由于闭集在紧子集上是有限的，因此在ID中只有整数个贴现因子整个集合位于1的邻域之外。推论1。在定理1的条件下，B∩[0, 1-] 为0< < 1、在许多应用中，人们可能会反对接近1的折扣系数。推论1表明，在此类应用中，有必要研究紧集中的有限个贴现因子[0，1- ] 这个解（12），计算起来很简单。（12）的右侧是模型所隐含的对数选择概率差异，在选择k和l以及状态x和x之间有排除限制。从定理1的证明中，我们知道它等于贴现因子β，它表示代理对下一个周期的关心程度，乘以两个项的总和，这两个项反映了代理需要关注的下一期预期贴现效用的相关变化量：[Qk（≈x）- QK（￠x）- Ql（x）+QK（x）]m（15）和[QK（x）- QK（￠x）- Ql（x）+QK（x）]vK=[QK（x）- QK（￠x）- Ql（x）+QK（x）]βQK+βQK+···m、 （16）第一项（15）不取决于β。如果广义rankcondition（13）成立，则它是非零的。

它对应于（12）右侧的前导线性项，将Magnac和Thesmar（6）的右侧延伸到比较不同选项k和l的可能性。下一节给出了第二项（16）消失的条件。第3.5节给出了这些条件适用的经济示例。如果它们保持不变，则（12）的右侧在β中是线性的，因此（12）在广义秩条件（13）下唯一地确定β。通常，第二项（16）不会消失，而是取决于β。那么，（12）的右侧在β中不是线性的，但其在β=0时的导数仍然等于第一项（15）。因此，如果广义秩条件（13）成立，则该导数为非零，近视偏好（β=0）为局部识别。非经济条件下，秩条件确保近视代理关注的下一期预期贴现效用存在变化，因此只有近视偏好可以解释缺乏选择响应。在定理1中，秩条件排除了观察到零选择响应且（12）的右侧对于所有β都等于零的平凡情况。在观察到零选择反应的情况下，近视偏好的局部识别并不排除数据也与一些积极因素一致，因为可能存在β∈ （0，1），使得（15）和（16）之和为零（也就是说，代理需要关心的下一期预期贴现效用没有变化）。通过搜索（12）的解决方案，可以很容易地找到这些折扣系数（如果有）。特别是，如果（15）和（16）之和对于所有β都不为零∈ （0，1），只有近视偏好可以解释缺乏选择反应。更一般而言，秩条件（13）不支持β的点识别。

正如下一个示例所示，相同的观察到的选择反应可能来自低β（不太关心下一个周期）和大绝对和（15）和（16）（需要关心下一个周期的大量变化）的组合，以及高β和小绝对和（15）和（16）的组合。示例1。图1绘制了（6）和（12）（实心黑线）的左侧，以及（6）（红色虚线）和（12）（实心蓝色曲线）的右侧，以K=2个选项，K=l=1，J=3个状态为例。示例的数据满足了（13）中的排名条件。在当前值限制下，存在一个使数据合理化的唯一贴现因子（如果代理近视，则黑色和第二项（16）对应的导数的交集消失，因为选择K的值为零）。这里，如果β=β在β的邻域中唯一解（12），则β在某些β处局部识别。秩条件（13）对于β为零的局部识别不是必需的；因此，β中（12）的右侧在0处的高阶变化将起作用（Sargan，1983）。图1：秩条件保持不变，但识别失败的示例0.34 0.950.0400β注：对于J=3个状态，K=2个选项，K=l=1、~x=x和▄x=x，此图绘制了（6）和（12）的左侧（实心黑色水平线）以及（6）（红色虚线）和（12）（蓝色实心曲线）的右侧，作为β的函数。数据为Q（x）=0.25 0.25 0.50, Q（x）=0.00 0.25 0.75,QK公司=0.90 0.00 0.100.00 0.90 0.100.00 1.00 0.00, p=0.500.490.10, 和pK=0.500.510.90.因此，（6）和（12）的左侧等于ln（p（x）/pK（x））-ln（p（x）/pK（x））=0.0400。此外，m=0.69 0.67 0.11和Q（x）-QK（x）- Q（x）+QK（x）=-0.65 0.90 -0.25, 所以虚线的斜率等于[Q（x）- QK（x）- Q（x）+QK（x）]m=0.1291。

β的唯一值为0.31，表示解（6），但β的两个值表示解（12）：0.34和0.95。红色虚线曲线）。在原始效用约束下，有两个折扣因子使相同的数据合理化（黑色曲线和蓝色曲线的交点）。我们的下一个示例显示，（13）中的秩条件对于点识别也不是必需的。示例2。图2给出了一个示例，其中（15）等于零，因此（6）的右侧和（12）右侧的第一个（超额盈余）项为零，但（12）右侧的第二个（选择K的值）项为正，并随β增加。只有一个β∈ [0，1）解决了（12），尽管违反了秩条件。还请注意，没有满足（6）的β值. 尽管数据可以通过模型的某些规定合理化，但它们与当前的价值限制不一致。换言之，这种限制具有经验内容。图2：排名条件失败，但贴现系数为0.900.0800β的示例注：对于J=3个状态，K=2个选项，K=l=1、~x=x和~x=x，此图绘制了（6）和（12）的左侧（实心黑色水平线）以及（6）（红色虚线）和（12）（蓝色实心曲线）的右侧，作为β的函数。数据为Q（x）=0.00 0.25 0.75, Q（x）=0.25 0.25 0.50,QK公司=0.00 1.00 0.000.00 1.00 0.000.00 0.00 1.00, p=0.500.480.50, 和pK=0.500.520.50.因此，（6）和（12）的左侧等于ln（p（x）/pK（x））-ln（p（x）/pK（x））=0.0800。此外，m=0.69 0.65 0.69和Q（x）-QK（x）- Q（x）+QK（x）=-0.25 0.00 0.25, 所以虚线的斜率等于[Q（x）- QK（x）- Q（x）+QK（x）]m=0.0000。

β的唯一值0.90可解（12），但（6）没有解。回到第4.3.4节有限依赖性中的这一点，下一小节中的一些示例显示了Arcidiacono和Miller（2011）“有限依赖性”的变体。有限相关性是动态离散选择模型的一个特性，可以大大简化估计，并在应用中广泛使用（参考文献请参见Arcidiacono和Miller，2015）。在我们的上下文中，有限相关性意味着矩条件是有限且已知的多项式阶数。这个顺序为R中的折扣系数提供了一个解的数量上限，因此在[0，1]中也是如此。例如，在k 6=l=k的情况下，（16）减少到[Qk（≈x）- QK（x）]vK=[QK（x）- QK（￠x）]βQK+βQK+···m、 （17）假设某个ρ的Qk（￠x）QρK=Qk（￠x）QρK∈ {1, 2, . . .}. 也就是说，从现在开始的状态ρ+1周期的分布并不取决于代理选择k还是k now，前提是她在这两种情况下都在下一个ρ周期中选择k（独立于这是否是最优的）。根据“单一作用（K）ρ-周期依赖性”（Arcidiacono和Miller，2017），选择K和K在状态▄x下，Qk（▄x）QrK=Qk（▄x）QrKfor all r∈ {ρ, ρ + 1, . . .}.现在假设定理1的条件成立。如果ρ=1，（17）的右侧等于零，则当前值Uk（≈x）=u*k（～x）+β[Qk（～x）- QK（￠x）]vK=u*k（~x），（12）的右侧在β中是线性的，β是识别的点。如果不是ρ≥ 2，则（17）的右侧等于[Qk（≈x）- QK（￠x）]βQK+···+βρ-1Qρ-1公里m、 （12）的右侧是β中的ρ-次多项式，确定的集合b不超过ρ折扣因子。这个例子直接扩展到（11）中的一般排除限制，我们在没有进一步证明的情况下声明了该限制。定理2。