应对动态定价竞争中的维度诅咒：

我们通过阶跃函数（pt，t=0，h，2h，…）来实现竞争对手随时间的价格轨迹。。。，T- h、 5.1.1。推导上界：评估前瞻性策略在寻找上界时，在本小节中，我们考虑子周期（t，t+h），t=0，h，2h，…，的真实概率P（h）t（i，a，~ P）。。。，T- h、 如果允许在时间t=0，h，…，的所有点进行价格调整。。。，T- h、 最佳前瞻性（OFL）定价政策由aOF L（h）t（n；~ pt）表示，它利用了完美的价格预期，由arg max，t=0，h。。。，T- h、 n=1。。。，N、 VOF L（h）T（N；~ pT）：=0，VOF L（h）T（N；~ pT）=最大值∈A.xi≥0P（h）t（i，a，~ pt）·（a）- c） ·最小值（n，i）- n·l·h+δh·VOF l（h）t+h（n）- i） +~pt+h.（9） 接下来，我们考虑上述预测策略的第二个版本，它调整价格的频率较低。仅允许在t=0、1、…、。。。，T- 1而不是t=0，h。。。，T- h、 为了仍然能够使用草书计算（反向归纳），我们使用-将我们最新的价格存储在扩展的状态空间中。L（1）t（n，a）的最优（前瞻性）定价策略-; ~pt）由参数maxof确定，t=0，h。。。，T- h、 a-∈ A、 VOF L（1）T（n，A-; ~pT）：=0，VOF L（1）t（n，a-; ~pt）=最大值∈A，t=0∨ t模1=0{a-} , 其他的xi≥0P（h）t（i，a，~ pt）·（a）- c） ·最小值（n，i）- n·l·h+δh·VOF l（1）t+h（n）- i） +，a~pt+h. （10） 注意，（10）中的作用空间与时间相关，并保证价格调整仅在t=0，1。。。，T- 1而在所有其他时间，固定的先前价格a-已使用。在（10）中，还使用了价格预期。此外，使用建议以最小单位ε（cf）打折竞争对手价格的属性。

备注4.2（ii），我们可以显著加快（10）的计算速度：（i）我们使用较小的动作集来代替A：=Sk=1，。。。，Ktn（p（k）t- ε） +o，ε>0，t=0，1。。。，T- 1和（ii）我们通过只考虑-∈ A(-)t： =▄Ab（t-h） +c，对于所有时间点t，t=0，h。。。，T，其中b·c是FLOOR运算符。5.1.2. 非预期启发式的评估下一步，我们将展示如何分析评估第3节中描述的非预期策略，参见算法3.1。首先，我们只允许在t=0，1，…，时调整价格。。。，T- 1、对应的神经策略，参见算法3.1。，用aH（1）表示。我们考虑周期（t，t+1），t=0，1，…，的给定（条件）概率▄P（1）t（i，a▄~P）。。。，T- 价格aH（1）（n，~ pt）由arg maxof，t=0，h。。。，T，n=0，1。。。，N，VH（1）T（N；~ pT）：=0，VH（1）T（N；~ pT）=最大值∈A.xi≥0P（1）t（i，a | ~ pt）·（a）- c） ·最小值（n，i）- n·l+δ·VH（1）t+1（n）- i） +~pt公司. （11） 注：（11）定义时间t的单一价格aH（1）t（n，~ pt），t=0，1。。。，T- 1，这取决于当前的市场状况~ pta和当前的库存水平n：=Xt。该非预期启发式（NAH）策略的预期收益aH（1）可以通过t=0，h，…，进行分析评估。。。，T，n=0，1。。。，N，VNAH（1）T（N；~ pT）：=0，VNAH（1）T（N；~ pT）=最大值∈naH（1）btc（n，~ pbtc）oxi≥0P（h）t（i，a，~ pt）·（a）- c） ·最小值（n，i）- n·l·h+δh·VNAH（1）t+h（n）- i） +~pt+h.（12） 递归（12）是对启发式价格aH（1）t（n，~ pt），t=0，1。。。，T-1，应用于所有子周期t=0，h。。。，T使用公式aH（1）btc（n，~ pbtc）和正确概率P（h）T（i，a，~ pt）。

注意，在（12）中，没有使用最大化，因为在每种状态下，最大运算符仅评估价格a=aH（1）btc（n，~ pbtc），其由（11）唯一确定。接下来，我们还考虑上述启发式的第二个版本，它更频繁地调整价格。允许启发式，参见算法3.1。，调整价格时，t=0，h。。。，T- h、 我们通过arg max，t=0，h，…，定义相应的保单ah（h）t（n，~ pt）。。。，T，n=0，1。。。，N、 VH（h）T（N；~ pT）：=0，VH（h）T（N；~ pT）=最大值∈naH（h）t（n，~ pt）oxi≥0P（h）t（i，apt）·（a）- c） ·最小值（n，i）- n·l·h+δh·VH（h）t+h（n）- i） +~pt公司.（13） 这是（11）的推广，使用长度为1的周期，并使用▄P（h）t（i，a | ~pt）代替▄P（1）t（i，a | ~pt）。对第二个快速调整的非预期启发式aH（h）进行评估，得出预期结果，t=0，h。。。，T，VNAH（h）T（n；~ pT）：=0，VNAH（h）T（n；~ pT）=最大值∈naH（h）t（n，~ pt）oxi≥0P（h）t（i，a，~ pt）·（a）- c） ·最小值（n，i）- n·l·h+δh·VNAH（h）t+h（n）- i） +~pt+h.(14)5.1.3. 通过比较战略调整频率和信息结构，我们得出了前瞻性战略的预期绩效之间的关系，参见（9），（10），以及非预期启发式之间的关系，参见（12），（14）。引理5.1。对于任何给定的价格轨迹情形~pt，t=0，h。。。，T，对于所有n=1。。。，N，t=0，h。。。，T- h、 a-∈ A、 我们有（i）VOF L（h）t（n）≥ VOF L（1）t（n，a-) ≥ VNAH（1）t（n），（ii）VOF L（h）t（n）≥ VNAH（h）t（n，a-) ≥ VNAH（1）t（n）。证据由于（9）中的价格可以在与（10）相比的其他时间点进行调整，因此（i）中的第一个不平等保持不变。（i）中的第二个不等式成立，因为（10）中的可容许价格集包括（12）中的那些。断言（ii）来自类似的论点。最后，我们量化了我们的启发式策略的性能，并与推导的上界进行了比较。示例5.1。

考虑示例4.3（i）-（iii）的设置，T=100，c=3，δ=0.9995，N=10，d=10，l=0.01，参见图4a、4b和4c。现在，使用~p:=U（5，15）随机化初始竞争对手的价格。单个企业k调整其价格p（k）tat t=0，h，…，的概率。。。，T- h、 用π表示∈ (0, 1).我们使用三组随机价格调整（k=1，…）模拟价格轨迹。。。，K、 K=10，t=0，h。。。，T- h、 h=0.1，不同调整概率π=0.01、0.03、0.1、0.3：（i）无价格趋势：p（k）t+h=最大c+0.01，p（k）t+1{U（0,1）<π}·U(-20，20）·h/π/T（ii）正向价格趋势：p（k）t+h=最大值c+0.01，p（k）t+1{U（0,1）<π}·U(-15，25）·h/π/T（iii）价格负趋势：p（k）t+h=最大值c+0.01，p（k）t+1{U（0,1）<π}·U(-25，15）·h/π/T在例5.1的三种设置中，我们采用了以下五种不同的策略，参见（9）-（14）：（A）频繁通知：t=0，h。。。，T- h、 完全预期，参见VOF L（h）（B）放松通知：调整t=0，1。。。，T- 1，完全预期，参见VOF L（1）（C）频繁启发式：调整t=0，h。。。，T- h、 无预期，参见VNAH（h）（D）放松启发式：调整t=0，1。。。，T- 1，无预期，参见VNAH（1）（E）最优固定价格：仅在t=0时调整，完全预期我们使用P（h）t（i，a，~ P）：=P ois（h·d·P（a，~ P））和~ P()t（i，a | ~p）：=p ois( · d·P（a，~ P）， ∈ {h，1}。表1总结了在实施例5.1的三种设置（i）（iii）中应用的不同策略（A）-（E）的性能比较。对于不同竞争对手的价格调整频率π，该表包含各种随机情景下基准策略A的预期利润V（A）（N；~ p）的平均值。预期利润V（A）（N；~ p）代表一个上限，因为使用了未来价格的全部信息，价格调整的可能性最大。

表中的其余列包含策略（B）-（E）与策略（A）的预期收益的平均比率。对于每个模拟的竞争场景，对所有五种策略的预期收益进行了分析评估。对于每个设置（i）-（iii）1000个轨迹场景~pt，t=0，h。。。，T- h、 进行了评估~ptπV（A）（N；~ p）V（B）（N；~ p）V（A）（N；~ p）V（C）（N；~ p）V（A）（N；~ p）V（D）（N；~ p）V（A）（N；~ p）V（E）（N；~ p）V（A）（N；~ p）（i）0.01 22.53 0.983 0.986 0.964 0.706（i）0.03 25.31 0.973 0.985 0.953 0.760（i）0.10 26.73 0.948 0.988 7 0.926 0.802（i）0.30 26.87 0.911 0.990 0.884 0.836（ii）0.01 36.11 0.990 0.964 0.954 0.781（ii）0.03 41.50 0.983 0.943 0.930 0 0.786（ii）0.10 43.96 0.968 0.932 0.910 0.780（ii）0.30 45.08 0.953 0.926 0.8980.772（iii）0.01 10.83 0.959 0.976 0.920 0.345（iii）0.03 12.04 0.930 0.984 0.891 0.440（iii）0.10 12.51 0.844 0.986 0.793 0.469（iii）0.30 12.37 0.686 0.984 0.629 0.474表1：启发式策略与模拟竞争情景（i）-（iii）上限相比的预期收益，T=100，N=10，d=10，h=0.1，和π=0.01、0.03、0.1、0.3；示例5.1。放松启发式策略（D）产生63-96%的最优结果；频繁启发式策略（C）甚至可以达到93-99%。策略（B）和（C）的性能介于策略（A）和（D）之间，参见引理5.1。我们观察到，市场波动越大，调整频率就越重要。我们的例子表明，频繁启发式策略（C）甚至可以击败松弛的知情策略（B）。虽然未来的价格是完全已知的，但最优定价策略（E）只能产生35-84%的最优利润。

附录中给出了表1的方框图，见图A.10。请注意，虽然在示例5.1中P（h）和P（h）t包含（在实际应用中可以针对小间隔h进行调整），但（11）中使用的概率P（1）可能大大超过或低估了示例5.1（i）-（iii）特定设置中的正确条件概率。因此，策略（D）的结果甚至可以通过准确估计P（1）来改善。在进一步的模拟中，我们还改变了其他参数，如时间范围T、初始项目N、竞争者数量K，以及需求参数β或竞争者的调整动态。总的来说，结果是相似的。我们在下面的备注中总结了最重要的发现。备注5.1。（调整频率和价格预期的影响）（i）一般而言，调整频率和价格预期会显著提高收益。（ii）更高的调整频率，参见启发式（C），可以过度补偿价格预期的价值，参见策略（B）。（iii）即使是经过优化选择并考虑了完美的价格预期，FIX价格策略的绩效也很低。（iv）如果市场价格有积极的趋势，参考情景（ii），那么价格预测比频繁的价格调整更重要。（v） 如果市场价格有负面趋势，请参考情景（iii），那么频繁的价格调整比价格预期更重要。（vi）如果价格经常调整，那么价格预测就不那么重要了。（vii）如果市场波动较大，则必须经常调整价格。5.2. 战略性双寡头竞争中的启发式与最优响应策略在本小节中，我们考虑战略性竞争对手，他们根据我们当前的价格选择自己的价格。目的是将我们的启发式方法与最优响应策略进行比较。

由于无法计算复杂竞争环境下的最优响应类别（由于维度诅咒），我们考虑双寡头竞争环境。5.2.1. 双寡头垄断中的最优响应策略我们想将第3节中推导的启发式策略的性能与上界进行比较，上界由利用充分信息的最优响应策略决定。我们假设竞争对手的价格反应以及反应时间都可以完全预测。注意，我们的启发式策略没有使用这些额外的信息，这些信息对应于实际场景。我们假设市场情况（状态）是一维的，并且简单地以竞争对手的价格p为特征，即我们假设s：=p。我们假设竞争对手调整其价格p以响应我们的价格a，固定延迟为 周期，0< < 1、在时间t选择价格a后，会出现竞争对手的价格反应F，这可能取决于p和a，也就是说，在大小间隔之后 竞争对手将其价格从p调整为F（a，p）。因此，我们的反应时间是1- .根据前几节的示例，在t期内，在第一个大小间隔内准确销售i件商品的概率 （第1阶段）为P()t（i，a，p）：=p ois( · d·P（a，P））。在剩余时间（第2阶段），销售概率变为P（1-)t型+（i，a，F（a，p））=p ois（（1- ) · d·P（a，F（a，P）））。如果已知竞争对手的策略，双寡头问题的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程可以写成，t=0，1。。。，T- 1，n=1。。。，N、 p∈ A、 0< < 1，Vt()*（n，p）=最大值∈A.xi≥0便士()t（i，a，p）·Xi≥0P（1-)t型+（i、a、F（a、p））·（a）- c） ·最小值（n，i+i）- n·l+δ·V()*t+1（n）- 我- i） +，F（a，p）o、 （15）其中V()*T（n，p）=0表示所有n，p。

相关的最优定价策略a()*t（n，p），t=0，1。。。，T- 1，n=1。。。，N、 p∈ A、 由参数最大值（15）确定。5.2.2. 双寡头垄断中的启发式反应策略 众所周知，我们的启发式策略（参见算法3.1）可以使用给定的条件概率≈P（1）t（i，a | P）来应用。在t=0，1，…，时调整价格的相应策略。。。，T- 1用▄a表示()t（n，p），n=1。。。，N、 p∈ A、 由参数maxof定义，t=0，1。。。，T- 1，n=1。。。，N，p∈ A、 0< < 1，￠V()T（n，p）：=0表示所有n，p，~V()t（n，p）=最大值∈A.xi≥0P（1）t（i，a | P）·（a）- c） ·最小值（n，i）- n·l+δ·￠V()t+1（n）- i） +，p. （16） 启发式策略a的性能()t、 参考（16），可以再次进行分析评估，并得出（次优）预期收益，t=0，1。。。，T- 1，n=0，1。。。，N、 p∈ A、 0< < 1，’V()T（n，p）=0，’V()t（n，p）=最大值∈{a()t（n，p）}xi≥0便士()t（i，a，p）·Xi≥0P（1-)t型+（i、a、F（a、p））·（a）- c） ·最小值（n，i+i）- n·l+δ·'V()t+1（n）- 我- i） +，F（a，p）o、 （17）注意，由于竞争对手的反应，概率P（1）t（i，a，P）和▄P（1）t（i，a | P）可能会有所不同，例如，如果竞争对手迅速降低我们的价格，我们的价格排名发生变化，参见图1a。因此，假设价格稳定，并使用▄P（1）t（i，a | P）：=P（1）t（i，a，P）可能（强烈）高估条件销售概率。因此，在这种情况下，观察到的销售将表明销售概率P（1）t（i，a | P）与P（1）t（i，a，P）显著不同。一般而言，特定竞争格局的特征将反映在销售数据中。分析已实现销售额、有效价格和价格调整时观察到的潜在市场情况之间的关系，参见。

第4.1节使我们能够估计条件销售概率P（1）t（i，a | P），另请参见，例如，Vulcano et al.（2012）、Abdallah、Vulcano（2016）和Fisher et al.（2017）。请注意，无论是竞争对手的战略还是反应时间都不必被发现。精确估计▄P（1）t（i，a | P）可提供▄P（1）t（i，a | P）≈Xi，i≥0:i+i=iP()t（i，a，p）·p（1-)t型+（i，a，F（a，p））。(18)5.2.3. 在双头垄断下，我们想衡量启发式策略与最优（知情）策略的性能。下面的例子研究了一种最常见的策略，这种策略总是略微降低竞争对手的价格，参见例子4.3（iv），图4d。我们还研究了反应时间的影响 以及▄P（1）t估计的准确性。示例5.2。我们假设一个双寡头垄断，即K=1。设T=100，N=5，l=0.01，c=3，δ=0.9995,0< < 1，d=10。需求定义如例4.3所示，即P()t（i，a，p）：=p ois( · d·P（a，P））。我们让我们的竞争对手使用响应策略F（a，p）：=最大值（a- ε、 c），ε=1，A：={1，2，…，120}。竞争对手调整价格，单位为t=, 1 + , ..., T- 1 + . 我们将价格调整为t=0，1。。。，T- 1、我们模拟了三种不同的价格调整策略：（i）最优响应策略（i）a()*, 参见（15），（ii）启发式策略（ii）~a(), cf.（16），基于▄P（1）t（i，a▄P）：=P（1）t（i，a，P）和（iii）启发式策略（iii）▄a(), 参考（16），基于（18）中定义的（精确）P（1）t（i，a | P）。图5显示了最佳响应策略，例如5.2（i）-（iii）在时间t=0时，对于不同的库存水平n和竞争对手的价格p = 0.5. 图5a说明了最佳策略；图5b和5c分别描述了案例（ii）和（iii）中的启发式策略。

对于不同的库存水平，最优响应策略（i）具有相似的形状：如果竞争对手的价格非常低，最好将价格提高到一定的价格水平。如果竞争对手的价格很高，则必须选择几乎相同的价格水平。如果竞争对手的价格介于两者之间（中间范围），最好将价格降低一个价格单位ε。如果n增加，则价格上限降低；中档尺寸相同，但级别较低。0 20 40 60 80 100 120P102034050607070（i）a0（Δ）*（n，p）n=1n=50 20 40 60 80 100 120P102003040506070（ii）a0（Δ）（n，p）n=1n=50 20 40 60 80 100 120P1020340506070（iii）a0（Δ）（n，p）n=1n=5图5：不同库存水平的反馈价格比较n：最佳响应策略（i）a()*（n，p）（左窗口5a）和（ii）（ii）~a情况下的启发式策略()（n，p）（中间窗口5b）和案例（iii）（iii）~a()（n，p）（右窗口5c）对于n=1，2，3，5， = 0.5; 示例5.2.0 20 40 60 80 100T102034050（i）（Δ）*ptXt0 20 40 60 80 100T102034050（ii）at（Δ）ptXt0 20 40 60 80 100T102034050（iii）at（Δ）ptx图6：模拟价格路径随时间变化的比较：最优政策（i）a()*（n，p）（左窗口6a）和启发式策略（ii）（ii）~a()（n，p）（中间窗口6b）和案例（iii）（iii）~a()（n，p）（右窗口6c）对于n=5，T=100， = 0.5; 示例5.2。总体而言，启发式策略具有相似的特征。与最优响应策略和启发式（iii）相比，启发式（ii）的价格更低，中间区间更宽。案例（i）和（iii）的对应图 = 0.1和 = 0.9如附录所示，见图A.11和A.12。注意，案例（ii）的政策独立于 因为反应时间既不是显式的也不是隐式的。我们观察到最优策略的中间区间在.