应对动态定价竞争中的维度诅咒：

问题（i）是由于频繁的价格调整，而价格调整又是可能的，因为模型的简单性允许快速重新计算。由于价格调整，企业的退出或进入，总体而言，市场形势并不稳定。在我们的模型中，我们区分了稳定市场情况下的销售概率Pt（i，a，~s），参见（1），和条件销售概率t=0，1。。。，T- 1，a≥ 0，i=0，1，2。。。，§Pt（i，a | ~s）（3）在时间间隔（t，t+1）内以a价出售i个物品，条件是在时间t时，市场状况为~s（但在该时间段内可能会发生变化）。注意，概率▄Pt（i，a▄~s），cf.（3），可以从市场情况通常不稳定的实际数据中估计。由于我们计算价格调整的方法旨在应用于不稳定的市场，因此它将基于（估计）条件概率（Pt（i，a | ~s），参见（3）。如本节开头所述，我们使用一种简化的动态规划方法，其中预期的未来收益E（Gt | Xt=n，~ St=~ s），cf.（2）由值函数Vt（n，~ s），t=0，1。。。，T，n=0，1。。。，N如果所有项目都已售出或时间范围已过，则无法获得未来利润，即对于任何市场情况，价值函数的自然边界条件由n=0，1。。。，N、 t=0，1。。。，T，VT（n，~ s）=0，（4）VT（0，~ s）=0。（5） 剩余值Vt（n，~s）由Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程给出，n=1。。。，N、 t=0，1。。。，T- 1，Vt（n，~ s）=最大值∈A.xi≥0Pt（i，as）·（a）- c） ·最小值（n，i）- n·l+δ·Vt+1（n）- i） +，~秒（6） 并且可以递归计算。容许价格A的集合可以是连续的，也可以是离散的。

最后，定价策略由arg max（6）确定，n=1。。。，N、 t=0，1。。。，T- 1，at（n，~ s）=arg maxa∈A.xi≥0Pt（i，as）·（a）- c） ·最小值（n，i）- n·l+δ·Vt+1（n）- i） +，~秒. （7） 如果（7）确定的价格不是唯一的，我们会选择最大的价格。注意，由于状态空间的大小，无法计算所有状态的（n，~s）价格。然而，下面的算法通过只考虑单个状态和多次计算反馈策略来避免维数灾难。这允许在有大量竞争对手的竞争市场中得出可行的启发式定价策略。算法3.1我们提出以下定价启发式：（步骤1）对于当前时间点t，观察新状态，即当前库存水平XT和当前市场状况St。（步骤2）使用t- t递归步骤和概率Ps（i，a | ~ St），s=t。。。，T- 1，i=0，1。。。，Xt，a∈ A、 计算特定值Vt（Xt，~ St），参见（6）。（步骤3）选择（Xt，~ St）处的价格，该价格与递归的最后一步相关，参见（7）。在下一次价格调整的时间点，即t+1，转至步骤（1），并根据新库存Xt+1和新状态St+1重新求解系统（6）-（7）。我们只需计算单个（当前）市场情况下的价格，并根据不断变化的市场情况定期刷新价格。注意，（6）-（7）的一次重新计算速度非常快，并且不会随着竞争对手的数量而增加，也不会随着市场状况的维度数量而增加。4、启发式策略的应用4.1。销售概率在本节中，我们假设市场情况仅以时间点t和K个竞争对手的价格为特征。价格向量p：=（p，…，pK）不一定要排序。

为了能够证明定价策略的适用性和绩效，参见下一节第5节，我们需要量化竞争市场中的实际销售概率。我们寻求使用更通用（数据驱动）的需求设置，而不是使用组合或高度定型的需求概率（例如线性、指数或等弹性类型）。例如，我们基于logistic回归模型，使用状态相关特征/回归器的线性组合x=~ x（a，~ s）和给定系数~β，确定此类概率；i、 我们考虑形式为t=0，1，…，的二元概率。。。，T，a≥ 0，i∈ {0，1}，~Pt（i，a | ~s）：=i^P（a，s）+（1- i） ·（1）-^P（a，~s）），其中logit概率^P（a，~s）由^P（a，~s）：=e~x（a，~s）~β1+e~x（a，~s）~β给出。（8） 因变量是特定时间范围内的销售额。在以下定义中，我们给出了解释变量的简单示例。在这个框架中，可以方便地定义进一步的解释变量，以捕捉各种影响的影响，如客户评级、产品质量、发货时间、产品类型（类别/集群）等。定义4.1。让市场情况用~s=（t，~p）来描述。对于潜在的价格a，我们定义了以下回归系数x=~ x（a，~ s）：（i）x（a，~ s）：=1常数/截距（ii）x（a，~ s）：=价格p中价格a的r（a，~ p）等级，其中r（a，~ p）：=1+卡片（{k=1，…，k | pk<a}）+0.5·卡片（{k=1，…，k | pk=a}）（iii）x（a，~ s）：=a- 貂皮=1，。。。，K{pk}价格a与最佳竞争对手价格（iv）x（a，~s）之间的价差：=t（v）x（a，~s）期间产品i的竞争对手总数：=（a+Pkpk）/（1+K）t（vi）x（a，~s）期间产品i的平均价格水平：=α·tα时间依赖性，例如，通过缩放参数α，α示例4.1。让市场状况以~s=~p为特征。

我们考虑五个变量xm（a，~ p），m=1。。。，5，见定义4.1（i）-（v）。受Amazon提供的生产数据集的启发，请参见第6节，我们将~β=（β，β，β，β）=(-3.89,-0.56,-0.01,0.07,-0.05).在这种情况下，我们通过^p（a，~ p）：=e x（a，~ p）~β/（1+e x（a，~ p）~β）定义给定市场情况下的二元销售概率p和价格a，参见（8）。在本例中，我们考虑以下市场情况，k=10竞争对手价格：~ p=（5.18,5.96,6.31,8.28,9.48,9.88,10.33,10.98,11.67,13.52）。例4.1中定义的需求系数基于亚马逊二手书市场的一个大型数据集（>2000万个观察值/月），包括10万种不同的产品和多达K=20个竞争对手，参见Schlosser et al.（2016）。一段时间的平均长度为2.4小时。考虑到示例4.1中所述的市场情况~p，图1a说明了不同潜在价格a的销售概率^p（a，~p）。正如预期的那样，我们观察到销售概率随着价格a而降低，参见定义4.1（ii）和β：=-0.56 < 0. 每当价格变化时，就会出现图1a中的跳跃。注意，降低竞争对手的价格会产生更好的价格排名，这很容易使销售概率翻倍。相应的预期利润（a- c） ·一段时间的^P（a，~ P）如图1b所示。只要a超过运输成本c，预期利润为正。图1中的峰值是由价格等级相关的^P（a，~ P）跳跃引起的。

在本例中，如果一个价格略低于最佳竞争对手的价格，即p=5.18.0 5 10 15 20a0.0050.0100.015P，则预期利润最大化（a，p）5 10 15 20a-0.010.010.020.03（a-c）·p（a，p）图1：不同潜在价格a的预测销售概率（左窗口1a）和一个时期的预期利润（右窗口1b）∈ A：={0.01，0.02，…，20}，运输成本c=3；示例4.1。备注4.1。（模型校准和数据驱动的需求估计）我们的模型销售概率方法简单而合理，特别是对于从业者。Logisticregression是一种很好理解的方法，可以处理数百个特征和数百万个观察值。回归结果稳健，可以直接解释。尽管如此，我们的模型还允许使用其他方法校准ALES概率（例如，使用决策树，见Quinlan（1986），或梯度boosteddecision树，见Chen、Guestrin（2016）等）。4.2. 数值示例在下面，我们展示了我们的重新定价方法在竞争市场中的适用性，参见算法3.1。我们使用第4.1节中定义的销售概率来说明启发式策略的计算。示例4.2。我们考虑示例4.1的设置。我们假设T=100，c=3，δ=0.9995，N=25，l=0.01，并假设示例状态s=~ p=（5.18,5.96,6.31,8.28,9.48,9.88,10.33,10.98,11.67,13.52）。Weillustrate我们启发式的依赖于状态的价格，cf。

（6） -（7），在泊松概率Pt（i，a | ~s）：=P ois（d·^P（a，~P）），i=0，1。。。，d=10，a∈ A：={0.01，0.02，…，20}。Out[345]=0 5 10 15 20 25n5101520Vt（n，s)t=0t=20t=40t=60t=80Out[347]=0 20 40 60 80 100t5101520Vt（n，s)n=1n=5n=10n=15n=25图2：不同时间点t（左窗口2a）和不同库存水平n（右窗口2b）的价值函数说明，给定特定市场情况，t=0。。。，100，n=1。。。，25; 示例4.2。示例4.2的设置说明了价值函数（图2）和相关的启发式反馈价格（图3）。图2a和2b总结了（近似）当前n状态下的预期利润，考虑到市场情况。由于库存持有成本包含在模型中，储存太多物品并不有利。在本例中，我们观察到，在时间0时，存储的项目不应超过15个。如果剩下20个时间段（t=80），则通过提供5个项目可以获得最佳预期收益。由于库存持有成本的原因，库存物品较多是不利的。图3显示了我们的启发式算法在给定市场情况s=~ p的情况下，在n状态下当前时间t建议的价格。我们观察到，价格越高，剩下的商品越少，时间越短。例如，如果剩下50个以上的时间段，而只剩下一个项目可供出售，则价格为9.47=p- 0.01（排名5）。如果剩下60个以上的时间段，还有2到3件物品要出售，价格为8.27（排名4）。如果剩下3件以上的物品需要出售，则价格为5.95（排名2）或5.17（排名1），具体取决于出售时间。如果库存超过7件，则（n，~ s）的价格将在每个时间点占据价格rank1。

注意，由于价格等级2和3之间的差异太小，因此根本没有选择价格等级3（6.30）。Out[366]=0 20 40 60 80 100t246810at（n，s)n=1n9n=1n=2n=3n=4n=5n=6n=7n=8n=9n=10图3：针对特定市场情况的启发式反馈定价政策，t=0。。。，100，n=1。。。，10; 示例4.2。接下来，我们将展示我们的方法在有许多活跃竞争对手和未知战略的竞争市场中的适用性。我们考虑一个读者可以复制的数值例子。示例4.3。我们考虑示例4.2的设置，即T=100，c=3，δ=0.9995，N=10，d=10，l=0.01。我们模拟了竞争对手的价格随时间的变化轨迹，如下所示。我们允许竞争对手使用随机反应时间和随机价格变化调整价格。单个FIMK调整其价格p（k）t，k=1，…，的概率。。。，K、 t=0时，h。。。，T- h、 h=0.1，用π表示，π=0.3·h。价格跳跃的随机幅度通过h、T和π进行归一化，以便即使价格跳跃的频率（参见π）或周期长度h不同，随时间的平均趋势也是相同的。初始价格——如例4.2所示。我们使用四种随机价格调整情景模拟价格轨迹，参见案例（i）–（iv），K=10，t=0，h。。。，T- h： （i）无价格趋势：p（k）t+h=最大值c+0.01，p（k）t+1{U（0,1）<π}·U(-20，20）·h/π/T（ii）正向价格趋势：p（k）t+h=最大值c+0.01，p（k）t+1{U（0,1）<π}·U(-15，25）·h/π/T（iii）价格负趋势：p（k）t+h=最大值c+0.01，p（k）t+1{U（0,1）<π}·U(-25，15）·h/π/T（iv）战略竞争对手：考虑设置（i），其中其他竞争对手的价格调整相互独立，没有趋势。

然而，有一家公司采取了战略性价格调整策略，将我们的价格稳步下调ε=0.2。在这个例子中，我们还通过模拟竞争对手在一段时间内退出市场来考虑企业的缺货情况。同样，我们允许新的竞争对手以随机的起始价格进入市场。使用时间间隔（t，t+h），t=0，h，…，的销售概率来模拟我们的已实现销售。。。，T- 由P（h）t（i，a，~ P）定义的尺寸h：=P ois（h·d·P（a，~ P）），参见（8）。我们的公司将其价格调整为t=0，1。。。，T- 1根据算法3.1；为了简单起见，我们使用▄Pt（i，a▄~s）：=P ois（d··P（a，~P））。对于示例4.3的案例（i）-（iv），图4的四个子图显示了竞争企业随时间的价格轨迹。我们公司的价格轨迹可以通过蓝色的小圆点来确定，这些圆点表示t，t=0，1，…，时的价格调整。。。，T- 1，根据算法3.1中为观察状态确定的策略~剩余库存水平Xt。在这种情况下，黑色递减步骤功能说明了我们公司的剩余库存水平。每个场景的评估时间不到一秒钟。在场景（i）-（iii）中，我们观察到启发式策略略低于其他竞争对手，参见图4A、4b和4c。此外，我们观察到两种影响。首先，如果竞争对手的价格较高，则该策略占据领先的价格排名，见图4b；如果竞争对手的价格较低，则更适合使用中等价格等级，见图4c。其次，在时间范围结束时，该策略占据了领先的价格排名。情景（iv）说明了一个具有侵略性的战略竞争对手的情况。我们观察到，战略竞争对手的相互作用和我们启发式的价格调整会导致特定的周期性价格模式，参见。

图4d与Edgeworth价格周期相似，参见Maskin、Tirole（1988）或Noel（2007）。只要价格水平过低，我们的公司就会将价格提高到一定水平。注意，启发式策略只是对市场情况做出反应，价格不是预期的。示例4.3表明，我们的启发式策略适用于竞争对手价格轨迹的任何场景，即使竞争对手的数量很大，并且竞争对手进入或退出市场。启发式的价格调整取决于时间、库存水平以及当前市场状况。0 20 40 60 80 100T51015价格0 20 40 60 80 100T510152025价格0 20 40 60 80 100T2468101214价格0 20 40 60 80 100T51015价格图4：我们的启发式动态定价策略在竞争中的应用；场景（i）（左上窗口4a）、场景（ii）（右上窗口4b）、场景（iii）（左下窗口4c）和场景（iv）（右下窗口4d）；示例4.3。注意，算法3.1的计算步骤数不会随着竞争对手数量的增加而增加。如果竞争对手的价格调整相互依赖，则该方法仍然适用。我们公司不断调整价格，以应对市场环境的任何变化。此外，该方法允许考虑其他因素，如评级、产品条件或发货时间。这些扩展只会影响模型的销售概率，例如通过使用其他解释变量，参见定义4.1。然而，由于算法3.1的计算步骤没有增加，因此不影响模型的简单优化。我们的方法允许直接包含几十个特性和几十个竞争对手，而不会增加模型的复杂性。以下评论总结了重要的管理建议。备注4.2。

（管理建议）（i）如果可以假设市场条件总体稳定，则可以根据maxn确定合理的初始库存≥0{V（n，~s）}，参见经济订单量。（ii）以最小的单位（例如1美分）降低竞争对手之一的价格最为理想。在这种情况下，算法3.1可以通过只考虑允许价格的一小部分来显著加速，即∧a（~ p）：=[k=1，…，Kn（pk- ε） +o.（iii）正如预期的那样，折扣激励短期利润，并导致更积极的，即更低的反馈价格。因此，可以使用较低（较高）的贴现系数δ来增加（或降低）战略的总体积极性。该“工具”还可用于积极管理企业的总库存及其现金流。如果可以预测出消极（或积极）的价格趋势，参见图4b（和4c），那么该策略的积极性也可以用来进一步改进启发式策略。5、衡量启发式策略的绩效在本节中，我们要衡量第3节中得出的策略的绩效。我们考虑了许多活跃竞争对手的情况，参见第5.1节，以及战略竞争对手对我们的价格调整作出战略响应的情况，参见第5.2节。在第5.3节中，我们分析了我们的战略与自身对抗的情况。5.1. 动态寡头竞争中的启发式与最优前瞻性策略我们通过比较启发式的预期利润与最优预期利润确定的上界来衡量启发式的性能，前提是竞争对手的未来价格完全未知。在本小节中，我们假设竞争对手的价格不受我们价格决策的影响。设H表示一个周期的子周期数，设H：=1/H，例如，H=10，H=0.1。