具有长程记忆羊群行为的订单簿模型

值得注意的是，有两种方法考虑模拟市场情绪[42,48,49]。在我们之前的工作【10，11】中，我们使用这两种方法构建了一个高度复杂的ABM，它能够很好地拟合经验绝对回报PDF和PSD。在这里，我们将从即时清算下的基础图表模型开始，然后使用它来构建订单簿模型。4.1即时清算的羊群行为模型让我们以一种非常程式化的方式定义交易策略。一般来说，可以定义更复杂的策略（如[35]中所述），但我们希望保持模型与我们早期的工作兼容。这将允许我们使用一些早期分析得出的结果，这在使用更现实的交易策略时是不可能的。在【10】中，我们假设图表交易者的过度需求取决于他们的情绪ξ（t）：Dc（t）=rNc（t）ξ（t），（8）其中ris是图表交易者交易活动的相对影响，Nc（t）是图表交易者的数量。相反，原教旨主义者的需求取决于他们对市场基本面的了解，即基本价格Pf（具有通用价格单位的物理维度，p.u.）：Df（t）=Nf（t）lnPfP（t）=[N- Nc（t）]lnPfP（t），（9），其中Nf（t）是原教旨主义者的数量，P（t）是当前价格。请注意，这里我们假设基本价格是固定的，这对于实际市场来说并不正确。然而，增加基础价格的可变性，例如假设其遵循布朗运动，不会对模型的统计特性产生显著影响。我们还假设，做市商通过将价格设定为Walrasequirement价格来即时清理市场，该价格通过以下方式获得：Df（t）+Dc（t）=0=> Peq（t）=Pfexpr·Nc（t）N- Nc（t）·ξ（t）.

（10） 如果ξ（t）的传导速度明显快于Nc（t），则绝对回报率| r（t）|=lnP（t）P（t- T）∝Nc（t）N- Nc（t）=y。（11）在我们的论文中，我们将y称为调节回报，因为它描述了绝对回报的长期波动，而ξ（t）指示了回报符号的快速波动和变化。在早期的一些工作中，ξ（t）甚至被建模为噪声【41】。之前【10】我们还通过引入调节回报y对切换动力学的反馈，扩展了原始羊群行为模型：p（Nc→ Nc+1）=（N- Nc）[σfc+hNc]tτ（Nc），（12）p（Nc→ 北卡罗来纳州- 1） =Nc[σcf+h（N- Nc）]tτ（Nc），（13），其中τ（Nc）=NcN公司- 北卡罗来纳州-α≡ y-α. （14） 也就是说，τ（Nc）根据调制返回的当前全局值调整微观开关事件的特征时间尺度。这种反馈情景实现了回报和交易活动之间的耦合，这是公认的经验事实[50]。注意，在【10】中，转换动力学被认为与交易活动相关。反馈场景的引入使我们能够获得y的SDE的更一般形式，它具有可调的噪声乘法指数：d y=h[εfc+（2- εcf）y]1+yτ（y）d t+s2hyτ（y）（1+y）d W==h[εfc+（2- εcf）y]（1+y）yαd t+p2hy1+α（1+y）d W≈ (15)≈ h（2- εcf）y2+αd t+p2hy3+αd W。此SDE，假设y 1属于SDE的一类，表现出【51】中所述的幂律统计。因此，y时间序列应该表现出幂律统计量【10】：P（y）~ y-εcf-α-1，S（f）~ f-1.-εcf+α-21+α. （16） 这个简单的模型已经再现了两个主要的程式化事实。在后面的论文中，例如[11]，我们通过使用相同的群体行为模型描述情绪动力学，对该模型进行了扩展。

虽然为了验证经验绝对收益PDF和PSD，我们必须引入外源性噪声，我们假设这代表了订单动态产生的额外随机性，可能还有外源性信息流动。在下一节中，我们将构建订单簿模型来解决这一假设。4.2具有羊群行为的订单簿模型大多数ABM，考虑各种金融时间序列的统计特性，直接或间接假设做市商存在【4】。虽然真实的金融市场并非由理想化的做市商清算，但大多数当代金融市场通过使用订单簿进行交易。类似于做市商，订单簿记录并执行交易员提交的订单。不同之处在于，只有在订单簿的买入（买入）和卖出（卖出）双方存在重叠或者提交了市场订单时，才会执行订单簿中的订单。虽然有大量文献考虑了订单簿建模[19–26,28]，但大多数模型考虑了在订单簿层面观察到的复制模式，通常忽略了与财务时间序列相关的程式化事实。值得注意的是，经济学中有许多论文表明，各种拍卖中的价格趋于Walras均衡，这种趋同可能相对较快[52-57]。然而，这种趋同并不是瞬时的，我们可能会在高频金融时间序列中观察到一些有趣的影响。在这里，在构建我们的订单簿模型时，我们将部分依赖金泽等人提出的基于经验的订单簿模型。[25, 26].正如[25，26]中所述，我们假设图表师作为高频交易者向订单簿的两侧提交单位数量限制订单。

提交的报价Qaski和Qbidi由第i个代理按相同的距离放置，图1：（彩色在线）完整的订购簿文件（a），并放大到订购簿中的5个最佳报价（b）。蓝色曲线（a）和圆圈（b）表示买入（bid）限价订单，红色曲线（a）和圆圈（b）表示卖出（ask）限价订单，而黑色圆圈（b）表示每个最佳报价人的VIV。在子图（a）中，询价文件是累积的，给出愿意以给定价格或更高价格出售的限价订单数量，而投标文件是反向累积的，给出愿意以给定价格或更低价格购买的限价订单数量。在子图（b）中，箭头显示了如果提交市场询价单，估价将在何处移动。Si，与股票当前估值不同，Vi:Qaski（t）=Vi（t）+Si，（17）Qbidi（t）=Vi（t）- Si，（18）Si~ Gamma（k，θ），（19），其中k是Gamma分布的形状参数，θ是Gamma分布的比例参数。这里θ的物理尺寸是p.u.（通用价格单位），因为它也是Qi、VIA和Si的尺寸。此外，在本文中，我们将使用经验确定的值k=4和θ=15.5 p.u.（见[25，26]），除非另有规定。请注意，这些值是专门针对美元/日元外汇汇率获得的，它们可能会对其他市场或汇率取不同的值。然而，我们将这些值作为目前可用的最佳估计值。接下来，我们将用一个简单的市场订单提交机制来取代[25，26]中最初存在的复杂的趋势跟踪机制，该机制类似于具有即时清算的羊群行为模型中使用的机制。这种简化导致了另一个简化假设，即估值是均匀的vi（t）=V（t）。因此，只有在执行市场指令后，估值才会发生变化。

执行市场订单后，将估值设置为已实现报价的价值。与原始订单簿方法一样，重置估价后，图表师更新其提交的报价。图1（a）显示了完整订单簿文件的示例。图1的子图（b）提供了5个最佳报价的放大图片，并显示了如果提交市场询价单，估价的变化。蓝色和红色圆圈分别代表买入和卖出报价，这些圆圈连接起来表示这两个报价是由同一代理人提交的，其估价由黑色圆圈表示。请注意，在我们的简化下，该文件围绕等于当前估值的报价对称，这对于所有代理都是相同的。对于[25,26]中的原始方法，情况并非如此。现在，让我们讨论一下如何用一个简单的机制来替代[25,26]中的趋势跟踪机制，该机制用于herdbehavior模型中的瞬时清除。让图表师以λtC（t）=λeτ（Nc（t））λtcNc（t），（20）的速率提交单位交易量市场订单，其中λeis是参考事件率（其物理尺寸为s-1） λtc–单个图表代理提交的相对市场订单率。提交的市场订单为投标订单，概率为：pbid（t）=1+ξ（t），（21），否则提交ask市场订单，pask（t）=1- pbid（t）。让我们假设情绪以λM（t）=λeτ（Nc（t））λM（22）的速率简单地波动符号，其中λmis相对情绪波动率。由于符号flip不会改变模数，因此情绪将只取两个可能的值，ξ（t）∈ {-ξ、 +ξ}（这里ξ是情绪的初始值）。原教旨主义者在[25,26]中不存在，因此我们可以保留我们先前对他们行为的假设。

也就是说，我们假设，如果存在Qaskj（t）<Pf的询价，原教旨主义者愿意购买股票，如果存在Qbidj（t）>Pf的报价，则他们愿意出售股票。如果订单簿中有合适的报价，他们将提交单位数量的市场订单，费率为：λtF（t）=λeτ（Nc（t））λtF[N- Nc（t）]自然对数P（t）Pf, （23）其中λtf是单个原教旨主义代理人提交市场订单的相对速率。请注意，在[25，26]中，只有在考虑到高频交易者（图表师）的数量随时间变化的事实后，才能获得幂律回报分布。如果高频交易者（图表师）的数量是固定的，那么回报率将呈指数分布。通过将时间序列分为两个小时的周期，这一直觉得到了证实。尽管在不同时期发现了不同的利率值，但发现每个时期的回报率都近似呈指数分布。研究发现，利率值与同期出现的高频交易员（图表师）的平均数量呈正相关。接下来，让我们通过将羊群行为模型中存在的切换行为与瞬时清除结合起来，将这种变化纳入当前模型。确定交易策略转换的事件率很简单：原教旨主义者将以λfc（t）=λeτ（Nc（t））[N的速率转换为图表主义交易策略- Nc（t）][εfc+Nc（t）]，（24）而图表绘制者将以λcf（t）=λeτ（Nc（t））Nc（t）[εcf+{N]的速率切换到原教旨主义交易策略- Nc（t）}]。（25）注意，这些过渡速率不包括参数h，这是因为它等效于λe。

一旦宪章主义者成为原教旨主义者，他的限制令就会被取消，如果原教旨主义者成为宪章主义者，那么他会立即提交他的限制令。由于该模型中的代理数量始终是有限的，因此τ（Nc）=0（或alternativelyNc（t）=N）和τ（Nf）=∞ （或者Nc（t）=0）将为非零，这将导致策略切换动态的“过热”或“冻结”。为了避免这些边缘情况，让我们重新定义反馈场景：τ-1（Nc（t））=λ+如果Nc（t）=N[2Nc（t）]αelsehNc（t）N-Nc（t）iα，（26），其中λ是相对最小切换速率。在上面的例子中，当考虑到Nc=N的边缘情况时，我们将Nc乘以2，因为之前y的增加，图表的数量从Nc=N增加- 2至Nc=N- 1，大约是给定大N的两倍。我们使用Gillespie算法[58,59]来实现订单模型。GillespieFigure 2背后的主要思想：（彩色在线）流程图说明了带有羊群行为的订单簿模型。算法是，我们可以对所有事件率求和，以获得总事件率：λT=λcf+λfc+λM+λtF+λtC，（27），这使我们能够生成随机的事件间时间，其呈指数分布：ti公司~ 费用λT. （28）每次之后发生了一系列可能的事件。任何可能事件发生的概率与其发生率成比例：pcf=λcfλT，pfc=λfcλT，pM=λMλT，ptF=λtFλT，ptC=λtCλT。

（29）当这些概率之和为1时，五种可能的事件之一必然会发生：要么随机选择的图表主义者切换到原教旨主义交易策略（概率pcf），要么随机选择的原教旨主义者切换到图表主义交易策略（概率pfc），要么情绪影响其符号（概率pM），要么随机选择的原教旨主义者提交市场秩序（概率ptF），然后随机SelectedCharter提交市场订单（具有概率ptC）。图2中的流程图总结了该模型背后的确切算法。实现此模型的代码可在上公开获取https://github.com/akononovicius/herding-OB-model.表2总结了该模型中使用的所有参数。表2：具有羊群行为的订单簿模型中使用的参数列表。符号含义n代理人数量λe参考事件率（物理维度为1/s）εcf从图表主义者到原教旨主义者的相对特质转换率εfc从原教旨主义者到图表主义者的相对特质转换率ξ图表主义者情绪的绝对值λm情绪波动的相对速率λ图表主义者和原教旨主义者之间的相对最小转换率α反馈情景指数订单簿形状参数θ订单簿比例参数（具有通用价格单位的物理尺寸，p.u.）pf基本价格（具有通用价格单位的物理尺寸，p.u.）λt图表师的相对市场订单提交率λt基本主义者的相对市场订单提交率4.3模型之间的比较估计订单簿模型的均衡价格。从上一节的讨论中，我们知道图表师以λtC的速率提交单位交易量市场订单，概率为pbids，他们购买股票的概率为1- PBI他们出售股票。

因此，其超额需求（平均）由以下公式得出：(R)Dc=λtCpbid- λtC（1- pbid）=λeτ（Nc（t））λtcNc（t）ξ（t）。（30）注意，最终结果与式（8）相似。另一方面，原教旨主义者以λtF的速率提交单位数量的市场订单，如果存在Qbidj（t）>Pf的j，他们提交询问订单，如果存在Qaskj（t）<Pf的j，他们提交投标订单。假设PFI不在范围内，原教旨主义者的超额需求（平均）将由以下公式得出：(R)Df=λeτ（Nc（t））λtf[N- Nc（t）]lnP（t）Pf. （31）注意，最终结果与式（9）相似。假设订单簿为非空且几乎均匀填充，我们可以获得均衡价格：\'Dc+\'Df=0=> Peq（t）=Pfexpλtcλtf·Nc（t）N- Nc（t）·ξ（t）. （32）由于均衡价格的表达式与式（10）中的表达式具有相同的形式，我们可以预期y和Return将具有类似的统计特性。我们必须确保相似性可以观察到的主要条件是，Ncchanges之间发生足够的交易，以便达到均衡价格。这意味着λt和λt必须相当大。如图3所示，随着λt和λt增大，y和绝对收益的统计特性之间的一致性提高。在图4中，我们展示了样本y和绝对返回时间序列，可以看出它们在子图（a）中相关，在子图（b）中几乎不相关。y和绝对回归时间序列之间的相关性（见图4中的样本序列）也随着λt和λtf的增大而增强。对于图4（a）所示的序列，相关性为强ρ≈ 0.7（λtc=λtf=3·10），而。4（a）相关性可忽略ρ≈ 0（λtc=λtf=3）。从图5可以得到类似的直觉。如（a）和（c）所示，对于较大的λt和λtf（参数），与图中的红色曲线相同。

3） 价格趋向于赶上均衡价格的变化。虽然下面的内容远未达到完美的程度，但通过放大该系列可以看出，（c）。价格与均衡价格时间序列之间的相关性较小。而对于较小的λt和λtf，（b）和（d）（参数与图3中的绿色曲线相同）很明显，价格无法赶上图3：（彩色在线）统计特性之间的比较，（a）PDF和（b）PSD，y时间序列（灰色曲线）和绝对回报时间序列（红色、蓝色和绿色曲线），根据公式（16），黑色曲线显示统计特性的预期斜率。为了进行最佳比较，所有时间序列均归一化为单位标准差。数值模拟中使用了以下参数值：N=500，λe=10-7秒-1，εcf=εfc=1，ξ=0.2，λm=10，λ=0.1，α=1，k=4，θ=15.5 p.u.，Pf=3·10p。u、 （所有情况下），λtc=λtf=3·10（红色曲线），300（蓝色和灰色曲线），3（绿色曲线）。图4：（在线彩色）绝对收益（红色曲线）和y（灰色曲线）时间序列的样本片段。参数值与图3中使用的参数值相同，除了：（a）λtc=λtf=3·10（图3中的红色曲线），（b）λtc=λtf=3（图3中的绿色曲线）。样本之间的相关系数为ρ=0.67（a）和0.03（b）。图5：（彩色在线）价格（红色曲线）和均衡价格（灰色曲线）时间序列的样本片段。参数值与图3中使用的参数值相同，除了：（a）和（c）λtc=λtf=3·10（图3中的红色曲线），（b）和（d）λtc=λtf=3（图3中的绿色曲线）。样本之间的相关系数为ρ=0.54（a）和0.02（b）。随着均衡价格的变化。