具有长程记忆羊群行为的订单簿模型

正如所料，时间序列之间几乎没有相关性。基于这些结果，我们认为高频绝对返回时间序列的PSD中的断裂是由于订单簿动态造成的。也就是说，高频范围内的绝对收益PSD斜率较小，因为市场无法快速发现均衡价格。似乎需要一两天的时间（因为骨折通常在10-5和10-4Hz）以便市场发现新的均衡价格。5与经验数据的比较在与经验数据进行比较之前，让我们声明，无论是【25,26】中提出的订单簿模型（构成我们订单簿方法的基础）还是财务ABM【10,11】（构成我们基于代理的方法的基础），都无法再现本节中进一步考虑的所有经验统计特性。我们早期的财务资产负债表（ABM）[10,11]显示，绝对回报的统计特性再现得相当好，但无法在该模型中考虑交易活动。虽然[25，26]关注订单簿动态的再现，但仅仅简单地触及了绝对回报的统计特性。在本文中，我们使用了12家不同比特币交易所的公开交易数据。我们已经从比特币图表下载了数据。2018年7月5日在com网站上发布。表3列出了所考虑的比特币时间序列。请注意，Coinbase和Kraken交换在表中出现了两次，因为它们贡献了不止一个交换对。之所以选择这些时间序列，是因为他们的数据在最大的时间序列中排名前5%。Fisco的BTC/JPY、Zaif的BTC/JPY和Zyado的BTC/EUR也位列前5%，但这些时间序列被排除在外，因为它们的统计特性与其他时间序列相差太大。

请注意，出于同样的原因，我们截断了一些比特币时间序列，这仍然是我们需要考虑的。对于所考虑的每一个比特币时间序列，我们都产生了一分钟的绝对回报（标准化汇总表3：所考虑的比特币时间序列的列表交换交换对有效期从2013年5月1日至2016年12月22日期间使用的交易比特币BTC/USD 2013-03-31/2016-12-22 10121872（99.4%）比特币BTC/JPY 2017-07-04/2018-07-04整30650659比特币BTC/USD 2011-09-13/2018-07-04，2016-06-23除外26065456（99.9%）btcbox BTC/2014-04-09/2018-07-04日元整8900784btce BTC/2011-08-14/2017-07-25美元整32904793btcn BTC/CNY 2011-06-13/2017-09-30自2013-04-01 114077056（99.9%）btcoid BTC/IDR 2014-02-09/2018-07-04整8037858btctrade BTC/CNY 2013-05-19/2017-09-30整19672943coinbase BTC/EUR 2015-04-04-07-23 04整15012224coinbase BTC/USD 2014-12-01/2018-07-04自2017-05-0130553110（67.5%）元支票BTC/JPY 2014-10-31/2018-07-04，2017-08-07 102124064（99.9%）克拉肯BTC/EUR 2014-01-08/2018-07-04整21392263kraken BTC/USD 2014-01-07/2018-07-04整10462050okcoin BTC/CNY 2013-06-12/2015-04-05整999546标准差）和交易活动（定义为每个时间间隔的交易并归一化为平均值）时间序列。对于每个生成的一分钟时间序列，我们计算了PDF和PSD。对获得的统计特性进行平均，以生成每个统计特性的平均值。为了选择模型参数，我们使用了模拟退火技术，目的是再现这些平均统计特性。如图所示。

6达成的协议相当好。早期的作品，如[60，61]中的作品，已经对比特币时间序列进行了详细分析，并确定比特币的程式化事实与股票的程式化事实有所不同。也就是说，据[61]报道，比特币回报率比普通股票回报率表现出更大的尾部。[60]中也报告了类似的发现。然而，这些著作在尾部索引是否会随时间而变化这一问题上存在分歧。在[61]中，有报道称，虽然尾部指数略有增加，但没有发现足够的统计证据正式声称尾部指数正在增加。另一方面，在[60]中，报告了尾部指数的显著变化。此外，绝对收益的其他统计特性，如自相关函数的斜率、赫斯特指数和多重标度特性，似乎接近普通股的观察值。这被解读为比特币市场正在走向“成熟”市场的迹象。在本文中，我们没有进行严格的实证分析，至少没有[60，61]中那样严格。我们刚刚检查了绝对回报和交易活动的PDF和PSD是否会随着时间的推移而变化，并发现这种变化（如果存在的话）对于我们仍在考虑的汇率来说可以忽略不计。虽然回报尾部指数似乎与我们考虑的纽约证券交易所股票的回报尾部指数相似（λ≈ 3.7; 下一段将讨论纽约证券交易所股票的分析）。应该对比特币时间序列进行彻底分析，或者对[60,61]中使用的方法进行元分析，但这个主题超出了本文的范围。我们还考虑了纽约证券交易所26个股票报价人的统计特性。

考虑的报价人包括：ABT、ADM、BA、BMY、C、CVX、道指、FON、FNM、GE、GM、HD、IBM、JNJ、JPM、KO、LLY、MMM、MO、MOT、MRK、SLE、PFE、T、WMT和XOM。他们所有的时间框架都是从2005年1月到2007年3月。与比特币时间序列一样，我们获得了纽约证券交易所数据集的平均统计特性。使用模拟退火技术，我们为我们的模型获得了另一个最佳拟合参数集。为了获得更好的fit，我们必须将模型生成的绝对收益时间序列除以因子3。这表明模型仍然缺乏一些东西，尽管它似乎为分布的尾部重现了正确的行为。正如我们在图7中所看到的，在进行此校正之后，模型和数据之间的一致性似乎相当好。获得的参数集与针对比特币案例获得的参数集相似。尽管存在一些差异。在纽约证券交易所的情况下，情绪波动似乎更大（相应的ξ更大），而比特币交易似乎更随机（这在某种程度上与[33,34]中的假设一致）。另一方面，图表师在纽交所案例中提交的订单似乎较少（λtcis较小），这表明纽交所的价格更多。图6：（彩色在线）比特币经验统计特性（灰色曲线）与模型生成的统计特性（红色曲线）之间的比较：（a）一分钟绝对收益PDF，（b）一分钟绝对收益PSD，（c）每分钟交易活动PDF，（d）每分钟交易活动PSD。数值模拟中使用了以下参数集：N=500，λe=10-7秒-1，εfc=5，εcf=2，ξ=0.2，λm=10，λtc=25，λtf=75，λ=0.4，α=2，k=4，θ=15.5 p.u.，Pf=3·10p。u受市场基本面影响。纽约证券交易所的基本交易活动似乎更高，λ更大。

asis还根据[60]中的经验观察指出，后两种差异可能表明，纽约证券交易所是一个比比特币交易所更成熟的市场。6模型参数的影响在本节中，我们检查模型参数值的更改如何影响模型生成的绝对回报和交易活动的统计特性。在本节的所有图中，我们将显示三条曲线。通常，将生成一个参数值大于用于生成图6（蓝色曲线）、一个较小（绿色曲线）和一个相同（红色曲线）的参数值。众所周知，建立在羊群行为模型非广泛公式基础上的模型可以避免N依赖性问题【10,11，36–39，41,42】，但如图8所示，该模型具有某种N依赖性。然而，随着N的增大，波动并没有消失，似乎模型开始显示出更肥的尾巴。这很可能是由于实施了情绪机制：代理越多，图表代理越多，时间序列中反映的情绪就越多。我们可以回顾一下，虽然y动态不受N的影响，但每个时间窗口的交易数量确实取决于N，从而部分消除这种依赖性。通过要求Nλtc=const和Nλtf=const，我们消除了这种依赖性。如图9所示，改变N并不影响绝对收益的统计特性。尽管N保留了对交易活动的影响。改变λe参数值似乎与改变原始群体行为模型中的h具有类似的影响（见图10）。也就是说，随着λe的增加，绝对回报的PSD向右移动。虽然由于绝对回报公式比较了两个不同时间点的对数价格，但绝对回报的PDF也可能受到影响：随着λe变大，PDF可能会获得更大的尾部。

有趣的是，图7：（彩色在线）纽约证券交易所股票的实证统计特性（灰色曲线）与模型生成的统计特性（红色曲线）之间的比较。参数值与图6中使用的参数值相同，除了：ξ=1，λtc=2，λ=1.5。图8：（在线彩色）N参数对模型统计特性的影响。参数值与图6中使用的参数值相同，除了：N=5000（蓝色曲线），N=50（绿色曲线）。图9：（彩色在线）当Nλtc=常数，Nλtf=常数时，N参数对模型统计特性的影响。参数值与图6中使用的参数值相同，除了：N=5000，λtc=2.5，λtf=7.5（蓝色曲线），N=50，λtc=250，λtf=750（绿色曲线）。改变λedoes似乎对交易活动的统计特性没有任何定性影响。增加λ很可能会简单地增加每个时间窗口的交易平均值，而不会改变任何其他内容。参数εFc对即时清算模型的统计特性没有显著影响，公式16，但它似乎能够影响订单模型中绝对收益的统计特性（见图11）。随着εfc的增加，PDF的尾部变重，PSD变薄。交易活动的统计特性似乎没有发生质的变化，PSD的尾部保持不变，PSD的陡峭度也没有变化。更大的εfc很可能只会增加平均交易活动。参数εcf似乎对绝对收益的统计特性有相反的影响（见图12）。随着εcf的增加，PDF的尾部变轻，而PSD的斜率变陡。

对交易活动统计特性的影响似乎是定量的，平均交易时间窗口数随着εcf的增加而减少，定性的，PDF的尾部变轻，PSD的斜率变陡。这些影响很可能是由具有瞬时清除的模型所反映的动力学引起的，因为这种依赖性由公式16预测。情绪动力学ξ和λmc似乎对溶质回报和交易活动的统计特性没有显著影响（见图13和14）。尽管ξ对绝对收益的影响很小，但PDF和PSD仍然可见。ξ越大，PDF的尾部脂肪越少，PSD的脂肪越少。如果ξ的基值较大，则改变λmc会有较大的值。增加λmc与减少ξ的效果相似，因为λmt越大，影响情绪（平均趋势）将小于ξ的真实值。正如我们在上一节中所看到的，较大的λt和λt值迫使已实现价格更接近均衡价格。在查看模型的统计特性时，我们发现λtf似乎没有明显的影响（见图16）。这是因为原教旨主义者只有在当前价格与基本价格相差甚远时才会激活，他们的交易会迅速将价格推回到原教旨主义价格。另一方面，λt似乎有着显著的影响（见图15）：较大的值会导致PDF的发胖，而PSD的发胖。图10：（在线彩色）λeparameter对模型统计特性的影响。参数值与图6中使用的参数值相同，但λe=3·10-7秒-1（蓝色曲线），λe=3·10-8秒-1（绿色曲线）。图11：（在线彩色）εfcparameter对模型统计特性的影响。参数值与图中使用的值相同。

6除外：εfc=15（蓝色曲线），εfc=0.7（绿色曲线）。图12：（在线彩色）εcfparameter对模型统计特性的影响。参数值与图6中使用的参数值相同，除了：εcf=6（蓝色曲线），εcf=0.7（绿色曲线）。图13：（在线彩色）ξ参数对模型统计特性的影响。参数值与图6中使用的参数值相同，除了：ξ=0.6（蓝色曲线），ξ=0.1（绿色曲线）。图14：（在线彩色）λm参数对模型统计特性的影响。参数值与图6中使用的参数值相同，除了：λm=300（蓝色曲线），λm=0.3（绿色曲线）。图15：（在线彩色）λtcparameter对模型统计特性的影响。参数值与图6中使用的参数值相同，除了：λtc=250（蓝色曲线），λtc=2.5（绿色曲线）。图16：（在线彩色）λtfparameter对模型统计特性的影响。除了λtf=750（蓝色曲线），λtc=7.5（绿色曲线），参数值与图6中使用的参数值相同。如图17所示，除了增加交易活动的整体水平外，改变λ值没有显著影响。改变反馈方案α的功率似乎会产生不利影响（见图18）：值越小，PDF的尾部越轻，PSD的斜率越陡。有趣的是，如图所示。19和20，影响订单本身整体形状的参数k和θ，似乎对从标准化时间序列获得的统计特性没有任何影响。

这一结果可归因于估价同质性的简化假设。如果允许估值具有[25，26]中所述的异质性，订单形状参数可能会对观察到的统计特性产生更深远的影响。7结论Shere我们提出了一个具有羊群行为的订单簿模型，该模型能够再现金融市场的主要风格化行为。具有羊群行为的订单簿模型是基于金泽等人的经验见解建立的。金泽等人研究了订单簿级别事件的详细记录，我们之前提出的理论ABM【10,11】，已知该模型成功地再现了高频绝对收益的统计特性。合并订单簿动态在许多方面改进了我们以前的工作。首先，我们能够放弃两个不太现实但在文献中仍然常见的假设：我们不再需要引入一个有效的做市商来确定市场价格（见[10]），我们也不再需要像[11]那样引入外部噪音。另一个关键改进是，现在我们能够考虑交易活动的统计特性以及绝对回报的统计特性。通过模拟退火，优化最差匹配的均方根误差，我们能够在一分钟的时间尺度上校准模型参数，以匹配比特币的统计特性。校准模型以匹配纽约证券交易所观察到的统计特性（一分钟时间尺度）并没有那么成功，这表明该模型仍然缺乏一些东西。我们认为，将异质性引入图表图17：（在线彩色）λ参数对模型统计特性的影响。参数值与图中使用的值相同。

6除外：λ=4（蓝色曲线），λ=0.04（绿色曲线）。图18：（彩色在线）α参数对模型统计特性的影响。参数值与图6中使用的参数值相同，除了：α=1（蓝色曲线），α=0（绿色曲线）。图19：（在线彩色）k参数对模型统计特性的影响。参数值与图6中使用的参数值相同，除了：k=16（蓝色曲线），k=1（绿色曲线）。图20：（彩色在线）θ参数对模型统计特性的影响。除了：θ=100 p.u.（蓝色曲线），θ=2.5 p.u.（绿色曲线），参数值与图6中使用的参数值相同。对股票的原教旨主义估价可能是关键，但引入额外参数会使模型更加复杂。另一种可能是使Chartist情绪波动的建模复杂化。最后，模型结构本身表明，一些参数值可以从订单簿级别的数据中收集。目前，我们正在收集公开的比特币订单级数据，以使用收集的数据改进模型的校准。为了限制模型的复杂性，并考虑到分析的可处理性，我们做出了一些高度简化的假设。其中最具限制性的是同质估值、单位订单量和情绪动态假设。由于放松这些假设可以丰富拟议订单模型的羊群行为动力学，我们将在未来的工作中考虑这样做。一个相关的未来目标可能是改善交易策略的经济稳健性和代理人的转换行为。这将使模型更容易与其他最近的方法进行比较[27,29–32,35]，并为经济决策者提供更深入的见解。