系统性风险与依赖结构

强马尔可夫结构的对应物是弱马尔可夫结构。定义2.5（弱马尔可夫结构）。设{Y，Y，…，Ym}是马尔可夫链的集合。多元过程X=（X，X，…，Xm）是{Y，Y，…，Ym}的弱马尔可夫结构，如果（i）X是马尔可夫链，并且X满足弱马尔可夫一致性性质；（ii）X的每个分量Xiof具有与Yi相同的定律，XiL=Yi，i=1，2，m、 我们说，多元过程X是{Y，Y，…，Ym}的弱纯马尔可夫结构，ifX是弱马尔可夫结构，但它不是强马尔可夫结构。由于在强马尔可夫一致性的意义上排除了建模违约传染（参见[BCCH14，BJN13]），因此在实践中，仅弱马尔可夫结构是一个重要的类别。马尔可夫结构理论中自然产生的一个问题是马尔可夫结构的构造。鉴于【BJVV08，命题5.1】，由于条件（M）意味着强马尔可夫一致性，因此完全理解强马尔可夫结构的构造。此外，我们还可以为马尔可夫链的集合构造许多强马尔可夫结构。详细结构见【BJN13】。在弱马尔可夫结构或仅弱马尔可夫结构的情况下，可以通过TheoremA进行构造。3和定理A.5。根据定理A.3，弱马尔可夫一致性的充分条件将X和Yi的半群i=1，2，m、 由于时间非齐次马尔可夫链的半群是其最小生成元的函数，因此构造弱马尔可夫结构或仅弱马尔可夫结构并非易事。在本节的结尾，我们提供了一个用于构造弱马尔可夫结构的连续时间算法。

我们将离散时间算法的实际观点推迟到第3.3节。算法I（仅弱马尔可夫结构：连续时间）输入：初始分布uXof X和有效生成器∧iu，u≥ 0对于Yi，i=1，2，m、 被给予。第1步。求解有效的微型生成器（λu，u≥ 0），不满足条件（M），使得ΘitPt，s=bPit，sΘis，0≤ t型≤ s、 i=1，2，m、 （2.7）其中，Bpit是∧iu，u≥ 0. 然后我们得到弱马尔可夫结构。第2步。如果满足以下条件，PXt公司=x、 x，xm公司> 0，dt-平均值。，x、 x，xm公司∈ E、 （2.8）symbolL=表示法律上的平等。在经典马尔可夫链的情况下，链的初始分布和过渡半群表征了链的有限维分布。因此，他们描述了链条的规律。然后我们得到了弱的纯马尔可夫结构，并结束了算法。如果条件（2.8）不满足，那么我们验证强马尔可夫一致性是否成立。如果强马尔可夫一致性确实不成立，那么我们只有弱马尔可夫结构，并结束算法。否则，我们有弱马尔可夫结构。请注意，对于fix ed 0≤ t型≤ s、 （2.7）是一个欠定均质系统。此外，定理A.3中的条件是充分的，算法步骤1中的解不可用并不意味着弱马尔可夫结构不存在。3建模依赖结构我们考虑由金融机构组成的金融系统，其固定时间范围大于0。我们用M={1，2，…，M}表示。在不丧失一般性的情况下，我们将公司信用评级量表分类为有限状态空间K={0，1，…，K}。按照惯例，K状态是默认状态。假设Yi，i=1，2，m、 马尔可夫链取K值。

过程Yi代表了第i个承担异质风险的金融机构信用评级的演变。Yi的自然过滤可被视为有关生物稳定性的相关信息。我们还假设Yihas in-finite generator∧it=[λi；xi，yit]xi，yi∈K、 t型≥ 0，i=1，2，m、 这里是函数λi；xi，yit在时间t测量yi从评级xit到评级yi的转移率。yi的转移概率函数用bpit表示，s=hbPi；xi，yit，sixi，yi∈K、 0个≤ t型≤ s、 其中BPI；xi，yit，Sre表示在时间t为额定值的条件下，Yi迁移到时间s为额定值的概率。备注3.1。通过分析，我们假设个人信贷转移过程的基本规律是已知的或是根据市场数据估计的。例如，评级机构为金融机构提供信用评级的过渡矩阵。或者，文献中提出了许多方法来估计信用评级转移矩阵。接下来，让一个连续时间的多元马尔可夫链X=十、 X，Xm公司取Km=K×····×K的值，初始d分布uX。链X代表这些金融机构的联合信贷迁移过程。更具体地说，给定一个信贷迁移过程池{Y，Y，…，Ym}，我们想要构造最小生成矩阵∧t=[λx，yt]x，Y∈公里，吨≥ X的0，使得X是{Y，Y，…，Ym}的马尔可夫结构。因此，X的每个分量都是马尔可夫的；必然地，xi与Yi具有相同的概率定律，Θit∧tΦi=∧it，t≥ 0，i=1，2，m、 （3.1）如前所述，始终存在非平凡的马尔可夫结构。发电机（∧t，t≥ 将马尔可夫结构的0）嵌入其组件之间的离散代数结构中，这些组件分别服从信贷迁移过程的相同概率定律。

换句话说，每个生成器的代数结构编码了这些组件之间的依赖结构。我们使用马尔可夫结构作为金融机构依赖结构的近似。在续集中，我们将在马尔可夫结构模型的背景下深入研究依赖性的细节。3.1关于XWe生成器的独立性，我们首先引入两种符号。设I为维| K |的单位矩阵。I的mth张量积（或Kronecker积）是I，I的m次张量积m： =我 · · ·  I{z}m.符号Im、 jAis保留用于将第j个矩阵I替换为与I，I尺寸相同的矩阵Am、 jA：=我 · · · jthz}|{A · · ·  [BJN17，引理3.1和定理3.2]中的一个重要结果是，如果X的半群是各分量半群的张量积，则X的分量依赖于给定的FT。我们在这里用条件（P）等价于条件（m）的事实来证明这个结果。我们可以证明，如果X的微型发电机是微型发电机的传感器产品，那么X的组件是独立的。我们现在通过X.definition 3.2（独立性）的小型生成器，正式定义了Xby组件之间的独立性。Let（λt，t≥ 0）是X的有效最小生成矩阵函数。我们说，如果∧t限制表示，X的分量是独立的，∧t=mXj=1Im、 jAjt=mXj=1I · · · jthz}{Ajt · · ·  I{z}m，t≥ 0，（3.2），其中Ajt，j=1，2，m、 是与I维数相同的有效生成器矩阵函数。请注意，（3.2）给出的微型生成器满足条件（m），可通过计算∧tΦI，t验证≥ 0，i=1，2。

因此，具有生成器（3.2）的多元马尔可夫链是由Ait，t≥ 0, i=1，2，m、 分别为。3.2第2.2节所述的传染病，我们可以通过条件（M）构造出许多强马尔可夫结构。然而，满足条件（M）的强马尔可夫结构在风险管理方面有一些不理想的性质。在本节中，我们首先给出一个例子来解释这些资产背后的财务解释。同时，我们用这个例子来直观地说明我们的框架中传染的含义，并阐明强马尔可夫结构如何排除传染。示例3.3。考虑联合信贷迁移流程X=十、 X个由（λt，t）生成≥ 0），λt=(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)(0,0) -（at+ct+dt）dtatct（0,1）英尺-（at+ft）0 at（1,0）bt0-（bt+dt）dt（1,1）0 btft-（英国电信+英尺）, （3.3）其中at、bt、ct、dt、ft≥ 0和局部可积。应该注意的是，一般来说，这个过程X不是马尔可夫一致的。然而，在函数a、b、c、d、f的一些附加假设下，过程X是强马尔可夫一致的、弱马尔可夫一致的或仅弱马尔可夫一致的。接下来，我们将论证，强马尔可夫一致性排除了X组分之间的传染。在时间t，组分X从状态0到状态1的最小转换速率为λ（0,0），（1,0）t+λ（0,0），（1,1）t=At+ct，如果Xt=0，λ（0,1），（1,0）t+λ（0,1），（1,1）t=At，如果Xt=1。（3.4）如果ct=0，则两个结果相同。XT的状态无关紧要。

同样，在时间t，从状态1到状态0的跳跃f或xf的速度相同，λ（1,0），（0,0）t+λ（1,0），（0,1）t=bt，如果Xt=0，λ（1,1），（0,0）t+λ（1,1），（0,1）t=bt，如果Xt=1。因此，X从任何状态到其他状态的最小跳跃速率并不取决于Xt的状态。同样，如果ct=0，则Xt的状态不影响Xf从状态0到状态1的过渡速率，λ（0,0），（0,1）t+λ（0,0），（1,1）t=dt+ct，如果Xt=0，λ（1,0），（0,1）t+λ（1,0），（1,1）t=dt，如果Xt=1，（3.5），以及Xf从状态1到状态0的过渡速率，λ（0,1），（0,0）t+λ（0,0），（1,0）t=ft，如果Xt=0，λ=0，λ如果Xt=1，则λ（1,1），（0,0）t+λ（1,0），（1,0）t=ft。我们说X和X之间没有传染。事实上，条件（M）是满足的，因此过程X是强马尔可夫一致的。这就是为什么当我们想要包含传染时，我们排除了强马尔可夫一致性的结构。相反，如果ct>0，给定Xt的状态，则（3.4）中xf从状态0到状态1的跳跃速率不同。XT的状态将影响X如何从状态0跳到状态1。类似地，Xta的状态影响XF从状态0到状态1的转换速率（3.5）。那么我们说X和X之间存在传染。备注3.4。请注意，一般来说，输入零值同时跳转，例如ct=0，并不意味着组件不能同时跳转，或者公共跳转的概率为零。同时跳跃的概率取决于∧t的结构。我们需要检查相应的转移概率矩阵。实际上，在（3.3）中，给定函数A、b、d、f>0且c=0，所有同时跳变的概率均为非零。条件（M）的另一个财务角度是财务弹性。在例3.3中，如果Ct=0，任一方的违约对对方的违约没有影响。这并不意味着X和X是独立的或未连接的。

相反，这意味着X和X的相应金融机构对交易对手的违约具有一定的弹性。我们的模型中的一个重要特征是，我们允许某些金融机构的灵活性不受某些金融机构违约的影响。3.3弱仅马尔可夫结构的构建强马尔可夫一致性意味着弱马尔可夫一致性，我们可以构建一大类马尔可夫结构，即弱仅马尔可夫结构，以探索金融机构之间的各种依赖结构。根据定理A.3，通过X的半群与规定的边缘过程的交织，给出了弱马尔可夫相合的充分条件。在续集中，我们假设所有金融机构都会受到任何金融机构违约的影响。我们讨论了如何为不同类型的输入数据构造仅弱马尔可夫结构。给定连续数据∧iu，0≤ u≤ T、 i=1，2，mNow，假设模型审查员从今天到未来某个时间T发布边际概率定律，即。，∧iu，0≤ u≤ T, i=1，2，m、 如果目标是在时间0到时间T之间构建连续的时间弱仅马尔可夫结构，则第2.2节中的算法提供了一种从今天到时间T构建弱仅马尔可夫结构的方法。也就是说，今天将是初始时间0。因为任何0都需要满足身份（2.7）≤ t型≤ s≤ 求∧u，0的项之间的代数关系≤ u≤ 不太可能。在这种情况下，施加在生成器矩阵上的结构（λu，0≤ u≤ T）变得至关重要。第5节给出了一些示例。给定离散数据∧itn+1，n∈ N、 i=1，2，m、 或者，假设输入边际生成器提前e步提供。

不同地说，假设今天是时间t=tn，n∈ N、 输入数据为∧itn+1，i=1，2，m、 在这种情况下，目标是逐步构造从时间tn到时间tn+1的仅弱马尔可夫结构。由于我们将联合信贷迁移过程建模为马尔可夫结构，因此，凭借马尔可夫特性，过去发生的任何事情都不会影响未来。我们关心的不是X的初始分布，而是X在每个时刻的一维分布。我们通过以下方式修改算法I。算法II（仅弱马尔可夫结构：离散时间）输入：让有效生成器∧itn+1 of Yi，i=1，2，m、 Xtnbegive的非平凡d分布，即PXtn公司=x、 x，xm公司> 0,x、 x，xm公司∈ 公里。（3.6）步骤1。求解有效的微型生成器∧tn+1，但不满足条件（M），即ΘitnPtn，tn+1=bPitn，tn+1Θitn+1，i=1，2，m、 n个∈ N、 （3.7）其中，bpitn，tn+1是∧itn+1的半群，i=1，2，m、 第2步。如果解∧tn+1存在，那么我们就得到了直到时间tn+1的弱纯马尔可夫结构，并前进到下一步。否则，对于给定的一维分布P，不存在仅弱马尔可夫结构Xtn公司=x、 x，xm公司.第3步。我们递归地运行算法，直到结束时间T，然后结束算法。注意，如果我们为每个操作符ΦiandΘitn固定相同的状态空间K和Km顺序，则齐次系统（3.7）是欠定的。具体而言，我们有（| Km |- 1） ×| Km |未知量λx，ytn+1和m×| K |×（| K |）- 1） ×| K |方程。它认为| Km |（| Km |）- 1) ≥ m | K |（| K |）- 1） ，m，| K |≥ 一般来说，这样的解∧tn+1不是唯一的。如果解决方案∧tn+1已确定，则我们向前构造∧tn+1，每次一步，作为输入边沿∧itn+1，i=1，2。

，m，变得可用。随着时间步接近最小水平，根据下一个命题，我们认为（3.7）仍然适用于任何较大的时间步。前向递归方法中构造的马尔可夫结构实际上是时间T之前的马尔可夫结构。提案3.5。让假设在理论上成立。3保持正确。如果我们有ΘitPt，v=bPit，vΘiv和ΘivPv，s=bPiv，sΘis，0≤ t型≤ v≤ s、 那么ΘitPt，s=bPit，sΘis。证据由于Pt、sandbit、s满足半群属性，因此结果遵循ΘitPt、s=ΘitPt、vPv、s=bPit、vΘivPv、s=bPit、vbPiv、sΘis=bPit、sΘis。3.4相关性结构的校准对于相关性结构，如果可以获得任何理想一揽子信贷产品的市场价格，我们可以推导理论价格，并通过市场价格校准相关性结构。然而，仅限于目前的情况，这是不太可能的。从实用的角度来看，一个可能的过程可以模拟几个马尔可夫结构，并以Xtn+1的概率分布为目标，即PXtn+1=x、 x，xm公司,x、 x，xm公司∈ Kmat每一步。给定马尔可夫链集合的每个马尔可夫结构代表了金融经济依赖结构的可能场景。一旦确定了风格化的马尔可夫结构，其余的马尔可夫结构可用于压力测试。4测量系统风险、系统依赖性和系统不稳定性当存在多个马尔可夫结构时，即依赖性马尔可夫结构，存在由依赖性结构引起的潜在不确定性。接下来，我们构建了系统风险度量、系统依赖度量和系统稳定性度量来研究这一问题。回想一下，{Y，…，Ym}是马尔可夫链的集合。每道工序都有发电机∧iu，u≥ 0初始分布uYi，i=1，2，m、 分别为。

我们构造了一个有效的微型生成器∧Iu，u≥ 0通过∧Iu=mXj=1Im、 j∧ju，u≥ 0.如定义3.2所述，联合信贷迁移过程由∧Iu，u≥ 0具有独立组件。我们认为，这种联合信贷转移过程具有独立的结构。我们用独立结构来表示，并将这种具有完全独立的金融机构的金融系统称为中性金融系统。从Kolmogorov存在定理出发，在同一概率空间上(Ohm, F、 P）存在一个唯一的多元马尔可夫链，即XI=（XI，1，…，XI，m），由∧Iu，u≥ 0.自从∧Iu，u≥ 0满足条件（M），XI是强马尔可夫一致的。当然，组件XI，iis由Θiu∧iuΦi，u≥ 0. 如果我们假设初始分布uXI，iis与uYi相同，那么每个XI，ih都具有与Yi相同的概率定律。原来XI是一个强马尔可夫结构。我们要强调的是，XI所模拟的联合信贷移民过程中不包括传染。现在，我们用zi表示∈ K、 i=1，m、 对应某个信用等级。Let zi，0≤t型≤ T<∞, 和h∈ 我要确定。我们希望计算条件概率，即在未来时间T，至少金融机构处于信用评级zi，条件是时间T时可用的信息。即，PmXi=1{XI，iT=zi}≥ h类退出！，zi公司∈ K、 h类∈ M、 0个≤ t型≤ T、 （4.1）假设我们将联合信贷迁移过程X建模为集合{Y，…，Ym}的马尔可夫结构。那么X的分量是马尔可夫的，必然由∧iu=Θiu∧uΦi，u生成≥ 0，i=1，2，m、 如果是非平凡解∧Du，u≥ 0存在，这是一种不同于∧Iu，u≥ 0, 它定义了一个依赖结构，比如D。因此，我们计算条件概率mxi=1{XD，it=zi}≥ h类XDt！，zi公司∈ K、 h类∈ M、 0个≤ t型≤ T、 （4.2）如果XDhas发电机∧Du，u≥ 0.