系统性风险与依赖结构

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英文标题：
《Systemic Risk and the Dependence Structures》
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作者：
Yu-Sin Chang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We propose a dynamic model of dependence structure between financial institutions within a financial system and we construct measures for dependence and financial instability. Employing Markov structures of joint credit migrations, our model allows for contagious simultaneous jumps in credit ratings and provides flexibility in modeling dependence structures. Another key aspect is that the proposed measures consider the interdependence and reflect the changing economic landscape as financial institutions evolve over time. In the final part, we give several examples, where we study various dependence structures and investigate their systemic instability measures. In particular, we show that subject to the same pool of Markov chains, the simulated Markov structures with distinct dependence structures generate different sequences of systemic instability.
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中文摘要：
我们提出了一个金融系统内金融机构之间依赖结构的动态模型，并构建了依赖和金融不稳定性的度量。利用联合信用迁移的马尔可夫结构，我们的模型允许信用评级的传染性同步跳跃，并提供了对依赖结构建模的灵活性。另一个关键方面是，拟议的措施考虑到了相互依存关系，并反映了金融机构随着时间的推移而不断变化的经济形势。在最后一部分，我们给出了几个例子，研究了各种依赖结构，并研究了它们的系统不稳定性度量。特别地，我们表明，在相同的马尔可夫链池中，具有不同依赖结构的模拟马尔可夫结构会产生不同的系统不稳定性序列。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：系统性风险 系统性 Institutions Mathematical Quantitative

系统性风险与依赖结构*2021年11月15日摘要我们提出了一个具有金融系统的金融机构之间依赖结构的动态模型，并构建了依赖性和金融不稳定性的衡量指标。利用联合信贷迁移的马尔可夫结构，我们的模型允许信用评级的传染性同时跳跃，并提供了对依赖结构建模的灵活性。另一个关键方面是，随着金融机构的不断发展，支持的措施考虑了相互依存关系，并反映了不断变化的经济领域。在最后一部分，我们给出了几个样本，在这些样本中，我们研究了各种依赖结构，并研究了它们的系统不稳定性测度。特别是，我们表明，在相同的马尔可夫链池中，具有不同依赖结构的模拟马尔科夫结构会产生不同的系统不稳定性序列。关键词：传染病；依赖结构；系统性风险；系统依赖性测度；系统不稳定措施；系统重要性；马尔可夫结构s.Contents1简介2序言42.1马尔可夫一致性。52.2马尔可夫结构。63建模依赖结构83.1 X生成器的独立性。93.2传染。103.3仅弱马尔可夫结构的构造。113.4相关性结构的校准。

13*邮政地址：美国威斯康星州密尔沃基市北百老汇1025号密尔沃基工程学院数学系邮编：53202电子邮件：changy@msoe.edu4测量系统风险、系统依赖性和系统不稳定性134.1系统依赖性测量和系统不稳定性测量的分类。164.2系统依赖性测度和系统不稳定性测度的性质。175数值结果215.1模型规格。215.2示例。22附录A技术结果371简介最近的全球金融危机强调了金融系统的相互关联性是系统性风险的重要来源。在20世纪90年代，系统性风险建模的概念集中于“太大而不能倒”的问题，而最近的金融危机则解决了“太关联而不能倒”的问题。由于金融机构由金融活动联系在一起，一个系统重要金融机构的违约可能会危及其他金融交易对手的稳定性。这可能导致连续几轮失败，其中一家金融机构的违约加剧了其他参与机构的财务困境。在当前情况下，危机可能会传播到整个金融系统，并导致金融系统崩溃。另一方面，金融系统中“坏玩家”的违约可能会改善系统生存部分的健康状况。这种现象可以合理地称为“系统性ben-e-fit”。我们认为，这种金融现象与金融体系内的依赖结构高度相关，即金融机构之间的相互依存关系。

众所周知，理解依赖结构将如何影响金融系统的金融稳定性仍然是当今市场参与者面临的关键挑战之一。近年来，有关系统性风险建模各个方面的文献，尤其是网络模型，迅速增长。我们建议读者参考一些最新的研究，例如，【AM12、BC15、CCVW14、EN01、FL13、GY15、Sum13】以及其中的参考文献。本文的主要目的是开发一种新的方法，在动态框架内研究金融机构之间的依赖结构和系统的金融稳定性，并通过数值研究对其进行检验。特别是，我们提出了计算金融经济依赖程度和社会不稳定性的新措施。这些度量考虑了金融机构的信贷迁移以及这些迁移之间的随机依赖性，这是根据马尔可夫结构建模的。多元马尔可夫过程的马尔可夫结构概念起源于Bieleckiet al.【BVV08】。马尔可夫结构f或马尔可夫链集合是一个多元马尔可夫链，其组成部分是马尔可夫链，其概率定律与规定的马尔可夫链相同。在[BJVV08]中，作者成功地将马尔可夫结构理论应用于金融市场，尤其是信用风险中的篮子产品。其中，Cr'epey等人在之前的工作中，马尔可夫结构被称为马尔可夫耦合。【CJZ09】基于马尔可夫结构方法研究付款人CDS的交易对手风险；Bielecki等人[BCF18]使用马尔可夫结构模型来研究中央学习方之间的依赖结构。然而，这些工作将其数值研究证实为强马尔可夫结构（参见。

弱马尔可夫结构的定义2.4和定义2.5）。通常，对于强马尔可夫结构，当马尔可夫组件改变其状态时，组件之间没有传染性影响。简而言之，我们提出的方法并不局限于强马尔可夫结构。数值研究的另一个重要方面是从实际角度提出建模的可能性并满足建模的需要。为此，我们认为金融经济由数量有限的金融机构组成，金融机构被分配了信贷转移过程，以反映其金融稳定性。我们假设这些个人信贷迁移过程是马尔可夫链。接下来，我们介绍一个联合cred-it迁移过程，其组件分别与这些单独的cred-it迁移过程具有相同的概率定律。这种联合信贷迁移过程包含了有关各个迁移之间随机依赖性的完整信息。我们建议将这种联合迁移过程建模为马尔可夫结构。由于马尔可夫结构的最小生成元对这些迁移之间的依赖结构进行编码，因此每个马尔可夫结构都将描述各个机构之间依赖结构的演化。此外，在一个相互关联的金融系统中，一个金融机构的金融稳定性迁移会对其他金融机构产生直接或间接的影响。一般来说，从一个金融机构的冲击传播到另一个金融机构的现象称为传染。在我们的框架中，可以通过对马尔可夫结构的生成器施加条件来引入这种传输机制。

也就是说，我们只考虑弱马尔可夫结构来模拟联合信贷迁移过程，从而允许一些金融机构的信贷迁移影响其他信贷迁移。现在，我们将注意力转移到衡量系统风险和系统稳定性上。在文献中，对于系统度量有各种各样的观点，或者说系统度量需要保留的一般属性。例如，[APPR12、BFFMB15、BFLV12、CIM13、FRW17、Gig11、HMBS16、SE17、SG09]，以及其中的引用。在这里，我们提出了三种方法来计算系统风险、金融系统内金融机构之间的随机依赖性以及该系统的系统不稳定性。让我们从系统性风险度量开始。假设一个在E中包含单位值的多变量马尔可夫链X在其组成部分之间具有依赖结构D；为了强调这一点，我们将使用符号XD=（XD，1…，XD，m）。设f为实值可积函数。我们对formP的条件概率感兴趣fXDT公司∈ B | XDt=x, x个∈ E、 0个≤ t型≤ T<∞, （1.1）其中B是Borel集。我们希望计算在未来某个时间处于一定信用评级的固定数量金融机构的条件概率。这一概念在文献中，对传染和溢出的定义存在着严重的争论。这些定义取决于模型。在这里，我们不想给出精确的定义，而是想引入金融链式反应的概念。衡量系统性风险的方法在财务文献中很常见。例如，提出系统性事件的联合违约概率。然而，我们认为，仅使用系统性违约事件的概率而不考虑金融机构之间的依赖结构是不彻底的。

一个具有不同依赖结构的金融系统可能会在某个时间t产生相同水平的联合违约概率。我们认为，依赖结构是研究系统性风险的核心，应该予以考虑。为了解释依赖结构的影响，我们提出了一种形式的系统依赖性度量，PfXDT公司∈ B | XDt=x- Pf退出∈ B | XIt=x, x个∈ E、 0个≤ t型≤ T<∞, （1.2）我代表独立结构。也就是说，我们通过独立性结构将系统性风险度量标准化（参见定义4.2）。在马尔可夫结构框架下，由于马尔可夫结构XD和XIare属于同一个马尔可夫链池，所以（1.2）的正规化有坚实的基础。此外，我们将系统依赖性度量扩展到系统不稳定性度量，以突出XD和XIt分布之间的距离（参见定义4.4）。系统不稳定性度量不仅包括联合违约概率和相关性的成分，还允许我们定期跟踪固定监控窗口的系统不稳定性。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了一些符号，并简要回顾了相关结果，为我们的工作奠定了基础。在第2.1节中，我们阐述了马尔可夫一致性的概念，该概念涉及不同过滤条件下多变量马尔可夫链组件的马尔可夫特性。马尔可夫一致性理论在马尔可夫结构理论中起着至关重要的作用。接下来，我们将在第2.2节中介绍马尔可夫结构，并提供一个连续时间算法来解决仅弱马尔可夫结构。第3节致力于金融机构之间随机依赖建模的动态框架。我们在马尔可夫结构模型的背景下解释了依赖的概念和传染的含义。

此外，还提出了一种构造弱纯马尔可夫结构的离散时间算法。在算法之后，对依赖结构的校准进行了简短的讨论。在第4节中，我们构建了系统风险度量、系统依赖性度量和系统不稳定性度量，作为通向依赖性和金融稳定性抽象概念的门户。我们解释了金融含义并检验了度量的数学性质：金融机构排列不变性和法律不变性。最后，第5节给出了全面的数值示例，其中我们提供了各种依赖结构，并描述了如何采用该框架来监测金融稳定性。为了方便起见，我们将一些与本文相关的技术结果放在附录A中。2预备课程(Ohm, F、 P）是一个完整的潜在概率空间。我们考虑一个有限的时间范围。在本文中，对于定义的任何流程(Ohm, F、 P），我们表示为FY=（FYt，t≥ 0）Y的自然过滤，FYt=σ{Yu，0≤ u≤ t} ，并用uY表示Y的初始分布。我们定义一个正整数m，并考虑一组有限集Ei，i=1，2，m、 接下来，让E=E×E×································································。E的元素用z表示=zzm公司.我们考虑一个连续时间的多元马尔可夫链X=十、Xm公司定义日期(Ohm, F、 P）取E中的值。因此，它认为PXt+u∈ Γ| FXt= P（Xt+u∈ Γ| Xt），t，u≥ 0, Γ  E、 （2.1）等效地，马尔可夫属性（2.1）可以写为Xtn+1=xn+1 | Xtn=xn，Xtn-1=xn-1.X=X= PXtn+1=xn+1 | Xtn=xn, （2.2）每n∈ N、 0个≤ t型≤ t型≤ . . . ≤ 田纳西州≤ tn+1和xj∈ E、 j=0，1。

，n+1，并且当双方的条件概率都很明确时。X的转移概率函数用Pt，s表示=Px、yt、sx、 y型∈E、 0个≤ t型≤ s<∞,即Px，yt，s=P（Xs=y | Xt=x）。我们假设每t≥ 0以下极限存在于一组勒贝格零∧t的南侧：=limh↓0Pt，t+h- I | E |×| E | h，（2.3），其中I | E |×| E |是维数为| E |-x-| E |的单位矩阵，其中| E |是集合E的基数。在Lebesgue零的集合上，我们取∧t=0。矩阵函数∧t：=[λx，yt]，0≤ t<∞, （2.3）中定义的称为X的最小生成函数。对于所有X，y，紧随其后的是（2.3）∈ E、 条目λx，yt≥ 0表示x 6=y，λx，xt≤ 0，andXy∈Eλx，yt=0。我们还将假定t∧t，0的可测性和一些m ild可积性质≤ t<∞.因此，Kolmogorov正演方程满足，尤其是矩阵表示法，sPt，s=Pt，s∧s，Pt，t=I | E |×| E |。2.1马尔可夫一致性从这里开始，我们将重点放在多元马尔可夫链X中马尔可夫一致性的两个定义上。此外，我们从[BJN13，Cha17]收集了一些相关概念和结果，为我们的工作奠定了基础。定义2.1（强马尔可夫一致性，[BJN13，定义1.2]）。多元马尔可夫链X相对于分量XiifP是强马尔可夫一致的Xis公司∈ Γi | FXt= PXis公司∈ Γi | Xit, （2.4）对于每个Γi Ei，0≤ t型≤ s<∞. 如果（2.4）适用于每个i∈ {1，2，…，m}，那么我们说Xsatis是强马尔可夫一致性，或者说X是强马尔可夫一致性。下一个概念弱于强马尔可夫一致性。定义2.2（弱马尔可夫一致性，[BJN13，定义1.1]）。多变量马尔可夫链X相对于分量XiifP是弱马尔可夫一致的Xis公司∈ Γi | FXit= PXis公司∈ Γi | Xit, （2.5）对于每个Γi Ei，0≤ t型≤ s<∞. 如果（2.5）适用于每个i∈ {1, 2, . . .

，m}，那么我们说X表示弱马尔可夫一致性，或者说X表示弱马尔可夫一致性。如果一个多元马尔可夫链是弱马尔可夫一致的，但不是强马尔可夫一致的，我们说这个多元马尔可夫链满足了弱马尔可夫一致性。定义2.3。对于任何i=1，2，m、 和t≥ 0操作任何函数g:E的运算符→ Ris定义为Θitgxi= EP公司g（Xt）| Xit=xi, xi∈ 工程安装。对于任何i=1，2，m、 扩展运算符Φiacting on any function f:Ei→ R由Φif（x）=f定义xi, x个=x、 x，xm公司∈ E、 根据[BJN13，定理1.11]，如果X相对于Xi是弱马尔可夫相合的，那么Xi的生成矩阵函数，比如∧it，给出为∧it=Θit∧tΦi，t≥ 0.（2.6）然而，上述陈述的相反情况通常不正确。在附录A中，我们总结了逆向含义的可验证条件以及[Cha17]的几个结果。这些结果稍后将用于马尔可夫结构的构造。2.2马尔可夫结构马尔可夫结构理论研究多变量马尔可夫过程各组成部分之间的随机相关性，受坐标过程的边际约束。在这些问题中，我们根据[BJN13]着手从微型发电机的角度定义马尔科夫结构。与强马尔可夫一致性和弱马尔可夫一致性相似，我们有强马尔可夫结构和弱马尔可夫结构。定义2.4（强马尔可夫结构）。设{Y，Y，…，Ym}是马尔可夫链的集合。多元过程X=（X，X，…，Xm）是{Y，Y，…，Ym}的强马尔可夫结构，如果（i）X是马尔可夫链，并且X满足强马尔可夫一致性性质；（ii）X的每个分量Xiof与Yi具有相同的定律，XiL=Yi，i=1，2。