系统性风险与依赖结构

常见模型参数的规格见表1。表1：模型参数参数h m的规格T VVVv值2 2 3 6 10 20 26 305.2示例在以下示例中，我们将主要分析基于不同依赖结构∧Du计算的相应系统不稳定性度量的特性。然而，我们将在示例5.1中详细介绍系统不稳定性度量的复合项。例5.1（传染性常见跳跃）。设Y，Ybe生成元为∧iu=0 10的马尔可夫链-λiuλiu1 0！，u≥ 0，i=1，2，（5.4），其中λu=cu（a+b+cu）e-Ru（a+b+cv）dv+abe-buae公司-bu+提示-Ru（a+b+cv）dvλu=cu（a+b+cu）e-Ru（a+b+cv）dv+abe-奥贝-au+提示-Ru（a+b+cv）dv，（5.5）和a，b，cu>0，cuis分段常数。我们用∧u和∧u构造一个独立生成器，∧Iu=∧u I+I ∧u=(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)(0,0) -（λu+λu）λuλu（0,1）0-λu0λu（1,0）0 0-λuλu（1,1）0 0 0 0 0 0 0. （5.6）发电机∧满足条件（M）。现在，我们来解决一个问题∧Du，u≥ 0of∧iu=Θiu∧DuΦi，u≥ 0，i=1，2，其中∧Du，u≥ 0形式为∧Du=(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)(0,0) -（a+b+cu）a b cu（0,1）0-b 0 b（1,0）0 0-a a（1,1）0 0 0 0 0. （5.7）应注意的是，由于cu>0，二元马尔可夫链XD=XD，1，XD，2由（5.7）生成的是{Y，Y}的仅弱马尔可夫结构。如果我们对所有u取cu=0≥ （5.7）中的0，则我们有独立结构。参数cuin（5.7）是捕捉组件间同步跳跃传染的关键元素。因此，我们的目标是研究参数cua如何影响系统不稳定性度量。接下来，我们考虑形式为∧Su的另一个生成器∧Su=(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)(0,0) -λu+λu- 顾λu- guλu- 古古（0,1）0-λu0λu（1,0）0 0-λuλu（1,1）0 0 0 0 0 0 0, u≥ 0，（5.8），其中0≤ 顾≤ 最小值λu，λu.

生成器∧也满足条件（M），Markovchain XS生成于∧Su，u≥ 0是{Y，Y}的强马尔可夫结构。此外，如果gu=0，（5.8）降低为独立结构（5.6）。注意，通过构造，分别由∧Du、∧iu或∧su生成的二元链的第i个分量具有相同的规定定律∧iu，u≥ 0在（5.4）中。在数值分析的第一部分中，我们仅限于结构（5.7）和显示系统不稳定性度量的组成。为简单起见，我们假设金融系统的有限寿命T=30，并让T变化。考虑了两种情况：分段递增cu和分段递减cu。参数如表2所示。表2：示例5.1的参数（跳跃时的传染性控制）：κ（1,1）30，t，2，XD，（0，0）参数时间周期【0，3】【3，10】【10，30】【30，∞)a 0.01 0.01 0.01 0.01 B 0.02 0.02 0.02 0.02情景1：杯形丝增加0.08 0.15 0.2 0.2情景2：杯形丝d减少0.08 0.03 0.003 0.003第26页图1显示了κ（1,1）的结果30，t，2，XD，（0，0）. 我们观察到，在初始时间t=0和终止时间t=30时，系统不稳定性度量值均为零。它们来自不同的原因。在时间0时，它来自相同的初始分布。然而，在时间T，这是由模拟过程结束引起的。请注意，我们在此模拟中确定了参数。尽管在这两种情况下（分段递增和分段递减），我们在第一阶段有相同的参数[0，3]，一般来说，我们不应该期望相同水平的系统不稳定性度量，这取决于整个模拟过程。在数值分析的第二部分，我们检查了两种不同依赖结构（5.7）和（5.8）的系统不稳定性度量。

除表2中的参数外，wetake参数gu=ηminλu，λuη=0，0.5，0.8，1。如果η=0，则结构（5.7）变为独立结构（5.6）。在第26页的图e2和第26页的图3中，我们比较了弱on-ly马尔可夫结构和强马尔可夫结构的系统不稳定性度量。应注意的是，当η=1时，其中一个组件不能单独跳转。例如，如果最小λu，λu= λu，则XS，2单独跳到状态1的概率为零。在这种情况下，系统稳定性度量的级别最高。我们认为，由于条件（M）已满足，XS，1的状态不会影响XS，2如何改变其状态。但是，如果XS，2更改为状态1，XS，1mu st也会跳到状态1。从财务角度来看，相应的金融机构X、2不会单独违约。但是，如果XS，2defaults，那么XS，1mu st也是默认值。

组成部分XS，2对系统性风险有重大影响。将系统不稳定性度量的基本行为可视化后，让我们切换到成熟时间30 25 20 15 10 5 00.5 cupiecewise increasing 30 25 20 15 10 5 00.050.1 cupiecewise reducting（a）系统依赖性度量0 5 10 15 20 20 25 300.10.20.30.4 cupiecewise increasing 0 5 10 20 25 300.10.20.3 cupiecewise reducting（b）Kullback Leibler differencetime to during 30 25 20 15 10 00.020.040.060.08 cupiecewise 30 25 20 10 500.010.020.03杯尾递减（c）系统不稳定性测量图1：系统依赖性测量，Kullback-Leibler散度，和系统性Intab-ilityMeasure，例如5.1（传染性普通跳跃）30 25 20 15 10 5 0成熟时间-0.010.010.020.030.040.050.060.07杯形曲线递增gu=0.5 min（λu，λu）gu=0.8 min（λu，λu）gu=min（λu，λu）图2：系统性不稳定性度量，例如5.1（传染性普通跳跃），cu30 25 20 15 10 0 0 0 0时间分段递增至成熟度-0.010.010.020.030.040.050.060.070.080.09cupiecewise decreasinggu=0gu=0.5 min（λu，λu）gu=0.8 min（λu，λu）gu=min（λu，λu）图3：系统不稳定性测量，例如5.1（传染性常见跳跃），具有分段递减的累积量实际情况：κ（1,1）t+T、 T，2，XD，（0，0）. 像T是固定的，该指标评估从时间T到时间T+它将允许我们定期监控金融系统的未来状况，例如，每周监控一次。我们考虑了两种不同模式下的参数cu fluction场景。在第一种情况下，客户与sm都有价值，然后它变大并下降。其解释是，两个金融机构都从良好的条件开始。

然后，它们通过公共跳跃因子同时恶化，并通过公共跳跃因子再次变得更好。相反，第二种情况下，CU将从大值和周期开始。我们收集了表3中的参数。在第27页的图4中，系统不稳定性测量的所有序列都发生了变化。作为监控表3：参数，例如5.1（传染性常见跳跃）：κ（1,1）t+T、 T，2，XD，（0，0）参数周期【0，6】【6，10】【10，20】【20，26】【26，30】【30，∞)a 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 B 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02方案1:cu0.01 0.09 0.03 0.12 0.04 0.04方案2:cu0.12 0.09 0.03 0.09 0.05窗口T=3，系统不稳定性测量值在t=3时出现，反映了cuin周期的突然变化[6，10]。类似地，测量值在t=7时减少，表明cuin周期的跳跃[10，20）。在第28页的图5中可以观察到类似的结果。我们想强调的是，在整个跟踪期间，马尔可夫结构可能比其他马尔可夫结构表现得更稳定或不稳定。0 6 10 20 26 30时间-0.010.010.020.030.040.050.06cuin场景1gu=0gu=0.5分钟（λu，λu）gu=0.8分钟（λu，λu）gu=分钟（λu，λu）图4：系统不稳定性度量，例如5.1（传染性常见跳跃）：场景现在，我们使用表3中相同的数据，同时更改监控窗口的长度TT=0.6、1、3、5。对比如第28页图6所示。

监视窗口较短的系统不稳定性度量序列T被更长的监视器窗口所包围Tκ(1,1)t+T、 T，2，XD，（0，0）≤κ(1,1)t+T、 T，2，XD，（0，0）, 0≤ T≤ T<∞.从风险管理的角度来看，由于金融系统在较长时期内的不确定性通常较高，因此应预计该属性。0 6 10 20 26 30时间-0.020.020.040.060.080.10.12cuin场景2gu=0gu=0.5分钟（λu，λu）gu=0.8分钟（λu，λu）gu=分钟（λu，λu）图5：系统不稳定性度量，例如5.1（传染性常见跳跃）：场景6 10 20 26 30时间0.0050.010.0150.020.0250.03T=0.6T=1T=3T=5（a）情景10 6 10 20 26 30时间0.010.020.030.040.050.060.070.080.09T=0.6T=1T=3T=5（b）场景2图6：系统不稳定性测量，例如5.1（传染性常见跳跃），具有不同长度的监控窗口样本5.2（极端传染）。假设yi由∧iu生成，∧iu=0 10-cucu1 0！，u≥ 0，i=1，2。我们为解决方案而解决∧Du，u≥ 0形式为∧Du=(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)(0,0) -cu0 0 cu（0,1）0 0 0 0（1,0）0 0 0 0（1,1）0 0 0 0, （5.9）其中cu>0且分段常数。根据（5.9），如果组件发生跳跃，则它们必须同时跳跃。注意，在此结构中，单个jum p的转移概率为零。因此，我们称这种结构为极端传染。表4总结了该示例的参数。

我们研究了结构（5.9）的系统不稳定性度量的一般性质，并将结果与不同gu’s结构（5.8）的结果进行比较。表4：参数示例5.2（极端传染）参数周期[0,6][6,10][10,20][20,26][26,30][30，∞)场景1:cu0.01 0.1 0.08 0.05 0.03 0.03场景2:cu0.08 0.03 0.02 0.04 0.03 0.03在第30页的图7和图8中，一个有趣的发现是极端传染的系统不稳定性度量与gu=min获得的度量一致λu，λu.下面给出了数学解释。首先，我和Yand有同样的法律。对于结构（5.9），如果链不处于状态（0，0），则链不会移动。对于结构（5.8），条件（P）满足，单个泵从状态（0，0）的转移概率为0。因此，两种结构产生相同水平的系统稳定性。示例5.3（极端抗传染）。

考虑马尔可夫链Y，Y和生成器∧iu=0 10-λiuλiu1 0！，u≥ 0，i=1，2，其中λu=bu（au+bu）e-Ru（av+bv）dvau+bue-Ru（av+bv）dvλu=au（au+bu）e-Ru（av+bv）dvbu+aue-Ru（av+bv）dv，0 6 10 20 26 30时间-0.020.020.040.060.080.10.120.14cuin场景1gu=0gu=0.5分钟（λu，λu）gu=0.8分钟（λu，λu）gu=分钟（λu，λu）图7:E x样本5.2的系统不稳定性度量（极端传染）：场景10 6 10 20 20 26 30时间0.010.020.030.040.050.060.070.080.09cuin场景2gu=0gu=0.5分钟（λu，λu（gu=0.8 min（λu，λu）gu=min（λu，λu）图8:E x的系统不稳定性测量示例5.2（极端传染）：场景2和au，bu>0和分段常数。我们求解马尔可夫结构XDforY、 Y型带发电机∧Du，u≥ 0形式为∧Du=(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)(0,0) -（au+bu）aubu（0,1）0 0 0（1,0）0 0 0（1,1）0 0 0 0, （5.10）其中au，bu>0。与极端传染的结构（5.9）不同，从结构（5.10）来看，每个组件都会单独跳跃。两个组件不可能同时跳转，PXj=1{XD，jT=1}≥ 2.XDt=（0，0）= 0，t∈ [0，T]。（5.11）我们称这种结构为极端抗传染。对于任何0，s y系统相关性度量的理论值都是非正的≤ t<∞. 此示例的参数在表5中给出。表5：参数示例5.3（极端抗传染）参数时间段[0，6][6，10][10，20][20，26][26，30][30，∞)场景1：au=bu0.01 0.08 0.05 0.03 0.01 0.01场景2：au=bu0.05 0.02 0.03 0.07 0.05 0.05在第31页的图9和第32页的图e 10中，每条曲线代表作为t函数的系统稳定性度量。我们观察到，系统不稳定性度量对于结构来说确实是非正的（5.10），因此，金融系统具有良好的系统依赖性，并具有系统效益。

此外，当au、buget的值越大时，社会系统共享更有利的系统效益。0 6 10 20 26 30时间-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1×10-3au，内置场景1图9：样本5.3的系统不稳定性度量（极端抗传染）：场景1示例5.4（系统重要性）。考虑马尔可夫链Y，Y和生成器∧iu=0 10-λiuλiu1 0！，u≥ 0，i=1，2,0 6 10 20 26 30时间-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.2×10-3au，内置场景2图10：稳定性测量中的系统，例如5.3（极端抗传染）：场景2，其中λu=θu（cu- du）+duλu=au+cuθu=e-Ru（av+cv）dvcu-duau+cu-由于-Ru（av+cv）dv+auau+cu-由于-Rudvdv，p iecewise常数au、cu、du>0，cu6=du。注意，如果cu=du，则（5.12）中的生成器为星形马尔可夫结构，并与∧Suwith gu=min一致λu，λu.可以证明，二元马尔可夫链XD=XD，1，XD，2生成人：∧Du，u≥ 0,∧Du=(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)(0,0) -（au+cu）au0 cu（0,1）0-du0 du（1,0）0 0-（au+cu）au+cu（1,1）0, （5.12）是Y、 Y型. 具体而言，XD，1在其自身的过滤中是马尔可夫的，但不是XD的过滤。而XD，2在过滤外汇中是马尔可夫的，在自己的过滤中是马尔可夫的。根据（5.12），我们知道PXDs=（1，0）| XDt=（0，0）= 0, 0 ≤ t型≤ s、 and0<PXD，1s=1 | XDt=（0，0）6=PXD，1s=1 | XDt=（0，1）, 0≤ t型≤ s、 这意味着XD，1不能单独处于默认状态。不同的说法是，如果XD，1defaults，XD，2mu st至少早于XD，1违约。此外，它持有atPXD，2s=1 | XDt=（0，0）= PXD，2s=1 | XDt=（1，0）, 0≤ t型≤ s、 无论XD，1默认值与否，它都不会影响XD，2的默认值。NXD，1和XD，2之间的关系类似于寄生，XD，2是宿主。在危机期间，我们希望防止XD违约，以避免世界末日。

从财务上讲，我们认为XD，2在系统上比XD，1更重要。应该注意的是，XD，1和XD，2之间的关系嵌入在（5.12）中给出的∧du结构中。它独立于函数a、c、d。表6：参数，例如5.4（系统重要性）参数时间周期[0、6][6、10][10、20][20、26][26、30][30，∞)场景1：au0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02cu0.02 0.09 0.06 0.02 0.09 DU0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01场景2：au0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02cu0.09 0.06 0.02 0.02 0.02 DU0.01 0.01 0.01 0.01现在，我们将注意力转向数值结果。接下来，我们想研究第二次灾难的影响。参数见表6。这两种情况在AU和du中具有相同的参数，但不同的葫芦循环。在场景1中，模拟系统从良好的条件出发，在场景2中，模拟系统从恶劣的条件开始。在第34页的图11和第34页的图12中，XD在这两种情况下产生的系统不稳定性水平最高。两个组件之间的这种不对称关系被认为比其他依赖结构更危险，因为其他依赖结构允许单独违约。下一个观察是关于在场景1的[26，30]期间和场景2的[20，26]期间发生的第二次灾难。虽然第二次灾难的影响没有定论，但如果系统从恶劣条件开始，场景2中的系统不稳定性确实更高。例5.5（两个仅弱马尔可夫循环）. 在最后一个例子中，我们将比较相同Markovchains{y，y}集合中两个仅弱Markov结构的s y Stemic失稳测度。具体而言，我们在（5.5）中取a=b，并得到λu=λu。