系统性风险与依赖结构

如果XD是弱的，只有马尔可夫一致的，那么由XD建模的联合cred-itmigration过程允许个人信贷迁移之间的传染。在介绍以下定义之前，让X表示以Km为单位的马尔可夫链集合。我们给出了系统性风险度量的定义。定义4.1（系统风险度量）。证明XD是马尔可夫链集合{Y，Y，…，Ym}的马尔可夫结构。设z=（z，z，…，zm）∈ Kmbe固定。我们定义了一个函数νz：[0，∞) ×【0，T】×M×X×Km→ [0，1]，νzT、 T、h、XD、x:= PmXi=1{XD，iT=zi}≥ h类XDt=x！。特别是，如果每个zi都是相应的默认评级，我们将此函数称为systemicrisk度量。从定义4.1来看，如果我们忽略依赖结构，衡量系统风险的概念在金融文献中非常常见，例如金融机构的联合违约概率。我们认为，使用这种系统风险度量来监控系统风险并不严格。因为这一指标忽略了金融系统中的依赖结构，并且仅在概率达到预定水平时发出系统风险信号。不同的依赖结构可能会导致相同程度的系统性风险。因此，我们将依赖性度量定义为（4.1）和（4.2）之间的差异。不同的是，我们将从依赖结构获得的概率标准化为独立结构。由于马尔可夫结构XD和XIare服从于相同的边际法则s，所以（4.2）的归一化有着坚实的基础。当每个Zi都是相应的违约评级时，我们就有了系统依赖性度量。定义4.2（系统依赖性度量）。假设XD是马尔可夫链{Y，Y，…，Ym}集合的马尔可夫结构。设z=（z，z，…，zm）∈ Kmbe固定。

我们定义了函数ρz：[0，∞) ×【0，T】×M×X×Km→ [-1，1]，ρzT、 T、h、XD、x:= νzT、 T、h、XD、x- νzT、 T、h、XI、x. （4.3）特别是，如果每个Zi都是相应的违约评级，我们将此函数称为系统依赖性度量。根据定义4.2，ρzT、 T、h、XD、x衡量中性系统的不平衡，即独立结构。我们不仅计算了至少h金融机构在时间T违约的条件概率，而且我们还关注这种偏离中性系统的概率，以涵盖依赖结构产生的影响。注意，我们将自己限制为马尔可夫结构xd，从与XI相同的初始分布开始。虽然过程XD和XI从相同的初始d分布演变而来，但它们在时间t，PXDt=x和PXIt=x, 通常是不同的。在下文中，我们证明了XDT的分布相对于XIt的分布是绝对连续的。提案4.3。假设xind xd是马尔可夫链集合{Y，Y，…，Ym}的马尔可夫结构。前提是XIND XD从相同的初始分布演变而来。那么XDT的分布相对于XIt的分布是绝对连续的。证据设x=（x，x，…，xm）∈ 公里。假设PXIt=x= 0表示部分t，PXIt=x=Xz公司∈KmP公司XI=zPXIt=x | XI=z= 0、仍显示PXDt=x= 实际上，如果初始分布是非平凡的，即PXI=z对于某些z，6=0，然后PXIt=x | XI=z= XI独立后，我们至少知道十一、 it=XI | XI，i=zi= 0，i=1，2，m。

由于XI，I和XD，I有相同的定律，它紧随PXD，it=xi | XD，i=zi= 0表示XIwithP的相同组件十一、 it=XI | XI，i=zi= 很明显，因为XD是一个多元马尔可夫链，所以我们必须有PXDt=x | XD=z= 因此，对于相同的非平凡初始分布，PXDt=x=Xz公司∈KmP公司XD=zPXDt=x | XD=z= 为此，在欧佩兹·鲁伊斯（L’opez Ruiz）、曼奇奇（Mancii）和卡尔贝特（Calbet）[LRMC10]的激励下，为了减小XD和XIt分布所产生的不确定性，我们引入了不稳定性度量。在以下内容中，我们采用约定日志= 定义4.4（系统不稳定性度量）。假设XD是马尔可夫链{Y，Y，…，Ym}集合的马尔可夫结构。设z=（z，z，…，zm）∈ Kmbe固定。我们从[0，∞) ×【0，T】×M×X×Km→ R、 κzT、 T、h、XD、x:= ρzT、 T、h、XD、x×Xy型∈KmP公司XDt=y日志文件XDt=yPXIt=y. （4.4）特别是，如果每个Zi都是相应的违约评级，我们将此函数称为系统不稳定性度量。应该注意的是，（4.4）中的第二项测量了xd和XIat时间t的一维分布之间的距离。该量也称为KullbackLeibler散度或相对熵。在你的情况下，这个术语实际上是形式上的相互关系XD，1t，XD，2t，XD，mt. 由于相对熵的非负性，该项不会反映系统依赖性度量的符号。相反，（4.4）中的第二项将根据依赖性度量的一维分布来缩放依赖性度量。Kullback-Leiblerdivergence的性质得到了很好的研究，例如上界。我们请读者参考[CT06，PD16]，以及其中的参考文献。4.1系统依赖性指标和系统不稳定性指标的分类我们制定了监测社会稳定性的指标。

从现在起，我们用K表示违约评级，我们关注z=（K，…，K）的（νz，ρz，κz）。鉴于定义4.2，系统依赖性度量取决于T、T、h和D。应该注意的是，系统依赖性度量是基于不同的依赖结构进行评估的。对于站姿，设XD为仅弱马尔可夫结构。然后，我们可以将嵌入传染机制的联合信贷迁移过程下事件的条件概率与排除接触的联合信贷迁移过程下相同事件的条件概率进行比较。从财务角度来说，当我们确定h=m和T时，利益事件是所有金融机构在未来某个时间T违约。我们测量了该财务系统在未来时间T内不受损害的可能性。因此，系统依赖性度量依赖于t，Xt。根据（4.3），在时间t和XDt=x时，如果系统依赖性度量ρzT、 T、h、XD、x> 0，这意味着在依赖结构D的联合信贷转移过程中，所有金融机构在未来时间T的违约评级概率远远大于在独立结构过程中相同事件的概率。换言之，具有依赖结构D的金融系统在世界末日中面临的风险更大。在这种依赖结构D下，金融体系并不比中性金融体系好。对于这对（t，x），这种依赖结构为D的金融系统具有不利的系统依赖性。在时间t和XDt=x时，如果系统依赖性度量ρzT、 T、h、XD、x= 0，这意味着具有依赖结构D的金融系统的行为类似于中性金融系统。然后，我们将这种具有依赖结构D的金融系统称为中性系统依赖f对（t，x）。

通过类比，如果在时间t和XDt=x时，系统依赖性度量ρzT、 T、h、XD、x< 0，这表明具有依赖结构D的金融系统在未来时间T的同时违约风险较小。该财务系统得益于当前的从属结构。我们说，对于这对（t，x），这种依赖结构为D的金融系统具有良好的系统依赖性。根据系统依赖性度量的符号，我们将金融系统的依赖状态分类为以下几类：ρzT、 T、m、XD、x> 0，不利的系统依赖性；=0，中性系统依赖；<0，良好的系统依赖性。由于Kullback-Leibler散度不会改变系统依赖性度量的符号，因此系统不稳定性度量分为三种情况：κzT、 T、m、XD、x> 0，系统性风险；=0，系统差异；<0，系统效益。4.2系统依赖性测度和系统不稳定性测度的性质在本节中，我们提供了系统依赖性测度和系统不稳定性测度的两个重要性质。这些特性主要继承了马尔可夫结构理论的优点。第一个特性是，这两个度量对于组件的置换都是不变的。这一特性至关重要。无论金融机构的排序如何，排序都不会改变这两个系统性指标的价值。第二个性质是法律不变性。主要的金融含义是，根据相同的金融机构，只有具有相同依赖结构的金融系统才会每次产生相同水平的系统依赖性度量和系统不稳定性度量。我们从Kronecker产品的重要特性开始。引理4.5。

（i） （[HJ94，4.2.6]）设A、B、C为矩阵。然后（A （B） C=A （B） C） 。（ii）（[HS81，第3节]）设A和B为两个矩阵。然后A B和B A是置换等价物。也就是说，存在置换矩阵P，Q，使得a B=P（B A） 特别是，如果A和B是方阵，那么AB和B A是类似的排列。我们可以取P=Q.接下来，我们表明，尽管重新排列X的分量会改变（3.2）右侧sid e中定义的矩阵，但分量之间的独立关系不会改变。提案4.6。由（3.2）构造的微型g生成器与X的组件排列相似=十、 X，Xm公司.证据我们用归纳法证明。很明显，对于m=1，任何矩阵都与自身相似。设m=2。我们确定了x的状态空间的顺序=十、 X个. 假设与状态空间相关的置换π由π=（0，0）（0，1）···（K，K）π（（0，0））π（（0，1））···π（（K，K））！。（4.5）对应于置换π的置换矩阵Pπ的形式为Pπ=eπ（（0,0））eπ（（0,1））。。。eπ（（K，K））, （4.6）其中Ej是规范基础。然后∧tis置换类似于At I+I At，∧t=At I+I At=Pπ我 在Pπ+Pπ在 我Pπ=Pπ在 I+I 在Pπ.根据定义3.2，小型发电机在 I+I Athascomponents订购者十、 X个. 我们可以通过导出xform的分量数来证明≥ 3、备注4.7。让X和Xbe不同。组件顺序为的过程的独立生成器十、 X个和十、 X个是不同的。但它们包含的信息与置换矩阵相同。提案4.8。马尔可夫结构X=十、 X，Xm公司对于马尔可夫链集合{Y，Y，…，Ym}的置换与{Y，Y，…，Ym}的置换相似。证据

当我们选择yi的状态空间的顺序和该集合的组件的排列时，X和xi的状态空间将是固定的。现在，我们置换{Y，Y，…，Ym}和Yi的状态空间。设Pπ为与置换π相对应的置换矩阵，r相对于X的状态空间。我们用Pπ表示置换π相对于Xi的状态空间的矩阵表示，π=0 1··Kπ（0）π（1）··π（K）！。（4.7）由于转移概率矩阵是非奇异的，我们总是可以对任何转移概率矩阵进行相似变换。我们有，Pt，sandpπ（i）t，sare置换相似，所以是bpit，sandpπ（i）t，s，Pt，s=PπPπ（i）t，sPπ、 和bpit，s=PπbPπ（i）t，sPπ.注意，ΘitPt，s=bPit，sΘis，i=1，2，m、 是弱马尔可夫一致性的充分条件。有必要表明，在成分的置换下，这种有效条件仍然成立。将Pt、sandbit、sinto的相似变换替换为有效条件，得出如下结果：ΘitPπPπ（i）t，sPπ=PπbPπ（i）t，sPπΘisΘitPπPπ（i）t，sPπPπ=PπbPπ（i）t，sPπΘisPπΘitPπPπ（i）t，s=PπbPπ（i）t，sPπΘisPπPπΘitPπPπ（i）t，s=PπPπbPπ（i）t，sPπΘisPπPπΘitPπPπ（i）t，s=bPπ（i）t，sPπΘisPπeΘπ（i）tPπ（i）t，s=bPπ（i）t，seΘπ（i）s，其中eΘπ（i）t：=PπΘitPπ，对于任何置换矩阵P-1π=Pπ.自P起πΘitPπ仅改变Θit的列和行的顺序，鉴于定义2.3，eΘπ（i）与排列π和π有关。置换后，有效条件仍然成立。对于{Y，Y，…，Ym}的置换，相应的多元过程仍然是马尔可夫结构。接下来，我们证明第一个重要性质。定理4.9。系统依赖性测度对于X证明的成分排列是不变的。

根据命题4.6和命题4.8，我们知道马尔可夫结构独立于集合中马尔可夫链的顺序和马尔可夫链成员的状态空间。重要的是发电机是否得到了相应的跟踪。因此，我们得到了νzT、 T、h、XI、x= νzT、 T，h，XIπ，π（x）和νzT、 T、h、XD、x= νzT、 T，h，XDπ，π（x）.我们总结证据。推论4.10。系统不稳定性测度对X证明中各分量的排列是不变的。由于相对熵对于X分量的每突变是不变的，因此结果如下。我们以法律不变性属性结束本节。定理4.11（定律不变性）。设XD和XD′是{Y，Y，…，Ym}的马尔可夫结构。如果XD和XD′对于P有相同的定律，那么我们有ρzT、 T、h、XD、x= ρzT、 T，h，XD′，x, z、 x个∈ 公里，0≤ t型≤ T、 h类∈ M、 证明。注意，XD，XD′是多元马尔可夫链。我们用∧Duand∧D′u，u表示≥ 0分别为XD和XD′的微型发电机。当且仅当∧Du=∧D′u，u时，马尔可夫链XD，XD′具有相同的有限维分布≥ 此外，∧Du=∧D′u，u≥ 0当且仅当PXDt，s=PXD′t，s，0≤ t型≤ s、 那么我们有∧iu=Θiu∧DuΦi=Θiu∧D′uΦi，u≥ 0，i∈ M、 因此，独立结构的相应生成器是相同的，mXj=1Im、 j∧ju=mXj=1I · · ·  ∧ju · · ·  一、 u型≥ 0.对于任何z∈ K、 0个≤ t型≤ T、 h类∈ M、 我们有ρzT、 T、h、XD、x= PmXj=1{XD，jT=zj}≥ h类XDt=x- PmXj=1{XI，jT=zj}≥ h类XIt=x= PmXj=1nXD′，jT=zjo≥ h类XD′t=x- PmXj=1{XI，jT=zj}≥ h类XIt=x= ρzT、 T，h，XD′，x,如果第二个等式来自于XD的半群上的th，那么XD′是相同的。推论4.12。系统不稳定性测度具有规律不变性。证据（4.4）中的第二项因PXDt而具有定律不变性，s=PXD′t，s，0≤ t型≤ s

结合定理4.11，我们总结了证明。5数值结果在[Cha17]和[BJN13]中的例子中，我们充分了解了二元马尔可夫链的初始分布和微元生成器的代数结构（λu，u≥ 0）确定不同类型的马尔可夫一致性。因此，我们将遵循她的例子。在本节中，我们将对一组马尔可夫链{Y，Y}的各种马尔可夫结构的系统不稳定性度量进行数值研究。主要目的是解释各种依赖结构的财务含义，并研究在简单环境下所建议措施的稳健性。5.1模型规范在这里，我们考虑由两个金融机构组成的一个金融系统。我们用Yi表示第i个金融机构的信用评级过程，i=1，2。我们没有将所有信用评级视为易建联的状态空间，而是假定若干信用事件为默认事件。因此，每个金融机构的信用状态要么为非违约状态，要么为违约状态。状态0表示非默认状态，状态1表示默认状态。此外，为简单起见，我们假设一旦金融机构违约，它就无法回到非违约状态。这意味着状态1是每个彝语的吸收状态。我们进一步假设，在时间0时，每个i以概率1从非违约状态开始，PYi=0= 1，i=1，2。接下来，让0≤ v≤ v≤ v≤ · · · ≤ vn<∞. 我们考虑了时间间隔：[0，v]，[v，v]，[v，v]，…，和[vn，∞).

假设XD是一个初始分布P（X=（0，0））=1和最小生成元的二元马尔可夫链∧Du，u≥ 0,∧Du=(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)(0,0) -（au+bu+cu）aubucu（0,1）0-du0 du（1,0）0 0-福福（1,1）0 0 0 0 0, （5.1）其中对于任何0≤ u<∞, au、bu、cu、du、fu≥ 0和au、bu、cu、du、Fu在时间间隔[0，v），…，[vn，∞).注意，构造马尔可夫结构的过程是使用生成器∧iu，u≥ 0of yi，i=1，2，作为首字母输入。然后构造对应于{Y，Y}的马尔可夫结构。此外，如果au，bu，cu>0，andau+cu6=fubu+cu6=du，那么XDis弱，只有马尔可夫一致。因此，每个XD，iis都有生成器∧iu=Θiu∧DuΦi，u≥ 0，i=1，2。（5.2）随后，我们构建了独立的微型生成器∧Iu，u≥ 0of XIby∧Iu=Xj=1I2，j∧ju=∧u I+I ∧u。然后计算{Y，Y}的马尔可夫结构xd的相应系统测度。在整个示例中，鉴于（4.4）定义的系统不稳定性度量，我们在0到有限时间范围30之间变化，步长为t=0.2≈, 并选择监视器窗口T：=T- t、 我们感兴趣的是z=（1，1）的情况，其中两个分量都是独立的。此外，我们还对两个金融机构违约的事件感兴趣，h=2。现在，系统不稳定性测量值是当前时间t和XD的函数。因此，系统稳定性度量由κ（1,1）给出t+T、 T，2，XD，（0，0）= ρ(1,1)t+T、 T，2，XD，（0，0）×Xy型∈KmP公司XDt=y日志文件XDt=yPXIt=y,式中ρ（1,1）t+T、 T，2，XD，（0，0）= PXj=1{XD，jt+T=1}≥ 2.XDt=（0，0）- PXj=1{XI，jt+T=1}≥ 2.XIt=（0，0）. （5.3）当时间t超过时，我们有一系列反映未来时间t+T