系统性风险与依赖结构

我们用这个简单的例子来说明，具有不同依赖结构的金融系统会产生不同程度的系统不稳定性。此外，结果与财务直觉一致。在不同时间段的第二次灾难中，我们可能会有更高的系统不稳定性。例如，请参见第35页的图13，使用表6中场景1的相同参数，时间段为[0,6]、[6,8]、[8,10]、[10,12]、[12,15]、[15，∞).0 6 10 20 26 30时间-0.010.010.020.030.040.050.06au，cu，duin场景1gu=0 gu=0.5分钟（λu，λu）gu=0.8分钟（λu，λu）gu=分钟（λu，λu）图11：系统不稳定性度量示例5.4（系统重要性）：场景10 6 10 20 26 30时间-0.010.020.030.040.050.070.08au，cu，duin方案2gu=0gu=0.5 min（λu，λu）gu=0.8 min（λu，λu）gu=min（λu，λu）图12：系统不稳定性度量，例如5.4（系统重要性）：方案2第一个弱马尔可夫结构∧Du，u≥ 0形式为∧Du=(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)(0,0) -（2a+cu）a cu（0,1）0-a 0 a（1,0）0 0-a a（1,1）0 0 0 0 0, （5.13）0 6 8 10 12 15时间-0.010.010.020.030.040.050.060.07au，cu，duin方案1gu=0gu=0.5分钟（λu，λu）gu=0.8分钟（λu，λu）gu=分钟（λu，λu）图13：系统不稳定性测量示例5.4（系统重要性）：S cenario 1，时间段[0，6），[6，8），[8，10，[10，12），[12，15，]，∞).第二个弱唯马尔可夫结构来自示例5.2∧Du，u≥ 0形式为∧Du=(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)(0,0) -λu0 0λu（0,1）0 0 0 0（1,0）0 0 0 0（1,1）0 0 0 0 0. （5.14）马尔可夫结构（5.13）和（5.14）都是∧iu=Θiu∧DuΦi，u的解≥ 0，i=1，2，其中∧u=∧u。参数在第36页的表7中列出。在第36页的图14中，我们观察到，在两种情况下，具有极端传染性结构的XD会产生更高的系统不稳定性测量值。

这一结果与财务直觉一致。如果两个金融机构只是同时违约，就像我们衡量世界末日事件一样，那么这个金融系统肯定比允许任何金融机构单独违约更不稳定。因为允许单一违约的金融体系将相对远离世界末日。此外，从恶劣条件开始的系统，即场景2，通常表现得更不稳定。表7：示例5.5的参数（两个仅弱马尔可夫结构）参数周期【0，6】【6，10】【10，20】【20，26】【26，30】【30，∞)a=b 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01方案1：cu0.02 0.09 0.06 0.02 0.09 0.09方案2：cu0.09 0.06 0.02 0.09 0.02 0.020 6 10 20 20 26 30次0.020.040.060.080.10.12cuin方案1极端传染（a）方案10 6 10 20 20 26 30次0.020.040.060.080.10.12cuin方案2极端传染（b）方案2图14：系统不稳定性测量示例5.5（两个仅弱马尔可夫结构）技术结果在本节中，我们借用了[BJN13]的条件（M），并收集了[Cha17]的相关结果，为我们的工作奠定了基础。回忆第2节中的设置，让X=十、Xm公司是一个多变量马尔科夫链，取E=E×·····×Em中的值。首先，我们陈述几个条件。条件（M）。我们称生成矩阵函数∧tsatis fies条件（M），如果每t∧tsatis fies≥ 0，i=1，2，m、 （Mi）Xy∈H（yi）λx，yt=Xy∈H（yi）λ^x，yt，xj，^xj，yj∈ Ej，j=1，2，m、 x，^x∈ Hxi, xi6=易。具体而言，x=x、 ，xixm公司, ^x=^x，xi^xm, y型=y易，ym公司.条件（P）。我们称转移概率函数Pt，ssatis fies条件（P），如果为任何0≤ t型≤ s<∞, i=1，2，m、 我们有（Pi）Xy∈H（yi）Px，yt，s=Xy∈H（yi）P^x，yt，s，xj，^xj，yj∈ Ej，j=1，2。

，m，x，^x∈ Hxi, xi6=易。[Cha17，命题A.2]证明了条件（P）等价于条件（M）。定理A.1。假设p（Xt=z）>0，dt-a.e.，z∈ E、 （A.1）那么强马尔可夫一致性意味着条件（M）。我们用∏t表示区间[0，t]的所有有限划分的集合，即∏t={πt={0，t，…，tn-1，t}| 0=t<t<···<tn=t，n∈ N} 。我们用eni表示Ei的n次笛卡尔积。设ψ（a）为En+1i中的向量，最后一个元素为a。此外，Υide注意到作用于初始分布的投影算子，ΥiuX（Γ）=Pxi∈ Γi, Γ  E、 Γi 工程安装。定理A.2。Xiof X是一个马尔可夫链，当且仅当为0≤ t型≤ s、 任意xit，xis∈ Ei，ψ（xit）∈ En+1i，任意πt∈ ∏t，以下保持不变，Xxt∈H（xit）Ξit、 xt，ψ（xit），πt，uXPxt，xist，s=0，（A.2），其中Ξit、 xt，ψ（xit），πt，uX:= PXt=Xt | Xit=Xit，Xitn-1=xin-1.Xi=Xi- PXt=Xt | Xit=XitPxt，xist，s：=PXis=Xis | Xt=Xt.我们陈述了条件（Ci）。条件（Ci）。给定uX>0，对于任何t≥ 0，xit∈ Ei，xt∈ H退出, ψ（xit）∈ En+1i和πt∈ ∏t，Ξit、 xt，ψ（xit），πt，uX= 0、定理A.3。假设一个多元马尔可夫链X=十、Xm公司有一个独立的发电机（λu，u≥ 0）具有转移半群（Pt，s，0≤ t型≤ s） 。如果存在初始分布uX>0，则过渡半群bpit，sofΘiu∧uΦi，u≥ 0满足标识ΘitPt，s=bPit，sΘis，0≤ t型≤ s、 （A.3）然后（i）Pit，s=bPit，s，其中Pit，sis是Xi的半群；（ii）条件（Ci）成立。推论A.4。如果理论中的假设。3为真，则分量Xiof X isMarkov在其与初始分布ΥiuX的自然过滤中。此外，xi具有生成器Θit∧tΦi，t≥ 0.我们在本节结束时给出了X弱的条件，仅与分量Xi一致的马尔可夫。定理A.5。

假设X是由∧t，t生成的多元马尔可夫链≥ 0）初始分布uX>0。如果满足以下条件，（i）对于任何0≤ t型≤ s、 xit，xis∈ Ei，ψ退出∈ En+1i和πt∈ ∏t，等式（A.2）成立；（ii）不等式成立，P（Xt=x）>0，dt-a.e.，x∈ E（iii）条件（Mi）（或等效的条件（Pi））不成立，则X的成分Xiof X在其自然过滤中是一个马尔可夫链，但在X的过滤中不是马尔可夫链。必要的是，XiisΥiuX的初始分布和XICO的生成与Θit∧tΦi，t≥ 0.感谢作者的大力支持。Tomasz R.Bielecki和Igor Cialenco教授的启发性评论和有益的讨论。参考文献[AM12]H.Amini和A.Minca。系统性风险的数学建模。网络分析及其应用进展，第3-26页。Springer，2012年。【约12】V.V.Acharya、L.H.Pedersen、T.Philippon和d M.P.Richardson。衡量系统风险。伦敦，经济政策研究中心，2012年。【BC15】L.Bo和A.Capponi。银行间网络的系统性风险。《暹罗金融数学杂志》，6（1）：386–4242015。【BCCH14】T.R.Bielecki、A.Cousin、S.Cr'epey和A.Herbertsson。Markov copula模型中portfoliocredit风险的动态对冲。J、 Optim公司。理论A ppl。，161(1):90–102, 2014.[公元前18年]T.R.Bielecki、I.Cialenco和S.Feng。中央对峙的动态模型。2018年arXiv:1803.0201V1。[BFFMB15]F.Biagini、J.-P.Fouque、M.Frittelli和T.Meyer Brandis。通过验收集实现系统风险度量的统一方法。arXiv预印本arXiv:1503.063542015。【BFLV12】D.Bisias、M.Flood、A.W.Lo和S.Valavanis。系统风险分析调查。《金融经济学年鉴》，4（1）：255–2962012。T.R.Bielecki、J.Jakubowski和M.Nieweglowski。

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