金融多重分形中形状的动态变化

为了更好地可视化α和Aα，这些图中的面板（b）显示了f（α）在时间（t）α平面上的投影。影响世界金融市场的三个历史上最受认可的事件用垂直虚线表示。这是1987年10月19日的黑色星期一，2000年3月10日网络泡沫破裂，2008年9月15日雷曼兄弟破产。显然，在这样一个20年的时间窗口中，f（α）的演变揭示了f（α）宽度及其不对称性的巨大变化，然而，这两个指数的变化都有所不同。对于1985年左右的标普500指数，频谱相对较宽，然后开始快速变窄，但这种变窄主要是由于右臂收缩f（α）。在1993年左右结束的时间窗口内，这只手臂几乎消失，直到最近几年才开始恢复。有趣的是，f（α）的左侧甚至在几年前就变宽了。纳斯达克谱f（α）也经历了可预见的时间变化，但与标准普尔500指数的变化不同。平均而言，从大约黑色星期一到2000年网络泡沫破裂之间的时间窗口，这一光谱范围更广，而且非常不对称，但这种不对称是由于f（α）的左侧突然拉伸，而右侧没有太大变化。在图2和图3中，还可以看到f（α）最大值位置的变化，这与时间序列中的持续性程度有关。直接量化该属性的参数是赫斯特指数H=H（2）。图4显示了赫斯特指数H，宽度α、 不对称系数aα和宽度αL（R）表示图2（S和P500）所示多重分形谱的时间序列，而图5显示了与图3（NASDAQ）相对应的这些特征。

1987年10月19日的黑色星期一和2008年11月15日雷曼兄弟破产，这两个日期被视为与其中一些数量几乎不连续的变化有关，这两个日期用垂直虚线表示。虽然黑色星期一对纳斯达克的影响比标准普尔500指数大得多，但后者早在两年前就开始假设类似的趋势，但雷曼兄弟破产的影响只是a）b）图2：面板（a）：对于1950年1月3日至2016年12月29日的标准普尔500指数，在20年滚动窗口内计算的奇异谱f（α）序列。分配给每个f（α）的日历日期对应于窗口内的终点。此窗口以大约相当于一个日历月的20个点的步长移动。黑色销售线对应f（α）的左侧，蓝色线对应f（α）的右侧。面板（b）：面板（a）的f（α）在时间（t）-α平面上的投影。红线表示连续窗口中f（α）最大值的位移。垂直虚线表示1987年10月19日的黑色星期一，2000年3月10日互联网泡沫破裂，2008年9月15日雷曼兄弟破产。a） b）图3：如图2所示，但对纳斯达克数据进行了分析。恰恰相反。这次是标普500指数突然上涨α增加了约2倍，但值得注意的是，这种增加完全是由于f（α）的左臂收缩所致。图6部分确定了这些标准普尔500指数与纳斯达克指数差异的来源，其中显示了这两个指数的日收益率的变化，以及最具信息量的当地（在S=500个交易日的滚动窗口中）去趋势方差的时间依赖性。

在黑色星期一前后，纳斯达克的这种差异比标普500大得多，这与纳斯达克在f（α）中的阿沙普左臂伸展平行。另一方面，在雷曼兄弟（LehmanBrothers）破产前后，尽管纳斯达克的去趋势方差仍略大于标准普尔500指数，但要比互联网泡沫破裂前后小得多。在标准普尔500指数的情况下，相应的发展正好相反，更大的变化伴随着雷曼兄弟的破产。因此，在后一个时期，纳斯达克指数的偏离方差减小，而标普500指数的偏离方差增大，正是在这一时期，标普500指数的f（α）左臂经历了进一步的拉伸。值得注意的是，这两个指数的赫斯特指数从过去到现在平均都在下降，近年来的值甚至低于0.5，这表明存在反持久性[60]。在这方面尤其单调的是标准普尔500指数——世界经济最重要的全球指标之一——其赫斯特指数在考虑的整个时间跨度内平均系统性地下降，在过去几年甚至稳步下降到0.4以下。有人推测[60，61]，H的这些值表示接近碰撞区。鉴于这一结果，需要越来越认真地考虑到对数周期情景[62]，该情景表明2025年左右世界经济衰退的幅度比迄今为止世界经历的任何情况都要大得多。窗口探测无花果的多重分形光谱。

直到大约20世纪80年代中期，标普500指数和纳斯达克指数的2和3在整个重新考虑的时间间隔的上半年比下半年更为相似。这种相似性或相异性似乎甚至出现在多重分形同步的更深层次上，如等式5所示的适当互相关度量所反映的。从这两半中选取两个大约20年的长时间段，分别为1957年9月25日至1977年8月26日和1989年5月19日至2008年3月20日，标准普尔500指数和纳斯达克指数之间的互相关函数根据公式5计算，结果如图7所示。非常有趣的是看到0,30,40,50,60,7 H00,20,40,6α-0300,30,60,9α1969年8月5日1977年4月198503年1993年2月2001年2月2009年2月2017年2月时间00,20,40,6αL（R）αLαRSymmetryLeft sided Asymetry1987年10月19日Right sided AsymetryBlack周一2008年9月15日雷曼兄弟银行破产（a）（b）（c）（d）2000年3月10日网络泡沫图4：对于标准普尔500指数：赫斯特指数H，宽度α、 不对称系数Aα和宽度图2.0,30,40,50,60,7 H00,20,40,6中20年多重分形谱时间序列的αL（R）α-0300,30,60,9α1/1969 05/1977 04/198503/1993 02/2001 02/2009 02/2017时间00,20,40,6αL（R）αRαLSymmetryLeft-sided asymetry1987年10月19日右侧asymetryblack周一2008年9月15日雷曼兄弟银行破产（a）（b）（c）（d）2000年3月10日网络泡沫图5：对于纳斯达克：赫斯特指数H，宽度α、 不对称系数Aα和宽度20年多重分形谱时间序列的αL（R）图。

3.10/1951 07/196507/197905/199304/200703/2015 TIME000050010015去趋势方差NASDAQS&P500-20-10010-20-1001020标准化收益S&P500NASDAQBlack Mondays=500雷曼兄弟CollapseDot com bubble1973-74股市崩溃图6：两个上部面板：1950年1月3日至2016年12月29日期间标准普尔500指数和纳斯达克指数的每日收益。底部面板：标准普尔500指数（红线）和纳斯达克指数（黑线）对应的去趋势方差。10 100 1000 scale0010010,1 Fxy（q，s）10 100 1000 scale0010010,1 Fxy（q，s）25.09.1957-26.08.1977q<0q>0q>0q<019.05.1989-20.03.2009图7:s&P500和NASDAQ之间的互相关函数根据公式5计算-4.≤ q≤ 4分两个时期：1957年9月25日至1977年8月26日和1989年5月19日至2009年3月20日。在这些时期的第一个时期，波动函数显示出明显的缩放趋势，这表明两个指数之间甚至在多重分形组织的水平上也存在相互关联。这将保持其小波动水平，如负q值所测量的。在这些时间间隔中的第二个时间间隔中，虽然对于正q值，人们可能仍然看到一些标度残余，但对于负q值，没有标度残余，因此指标系统性地失去了多重分形同步性，在小波动水平上，这种同步性完全丧失。4.2. 指数与公司前一小节中所述的两个指数多重分形特征的时间显著变化反映了不同的市场阶段，并且这些阶段在组成股票之间的耦合程度上有所不同，这是很自然的。这些是交易中的单个股票，它们的多重分形特征的叠加决定了指数的f（α），而不是必然的。

很明显，在许多多种族时间序列的不相关中，当成分序列的数量增加时，多重分形逐渐消失，此外，这种限制情况通常是不对称的[48]。因此，人们可能会预期，形成一篮子指数的公司之间的更强耦合，也会避免该指数的多重分形。在目前情况下，根据4567878910价格指数对数01/1970 01/197801/198601/1994 01/2002 01/2010 Time34567道琼斯9家公司指数和P500图8：1962年1月1日至2017年7月7日期间，标准普尔500指数、道琼斯指数和纽约证券交易所上市的9支道琼斯工业平均指数之和的日价格（13812点）。这些公司包括通用电气、美国铝业、IBM国际商业机器、可口可乐、波音、卡特彼勒、迪士尼、惠普、杜邦。为了更详细地研究这种影响，通过总结第3节中列出的9家公司的价格，形成了道琼斯工业平均指数的代理。然而，令人惊讶的是，它准确地跟踪了整个道琼斯工业平均指数的变化，甚至是标普500指数的所有重大变动，如图8所示。这可能反映出这9家公司分布在不同的市场部门，总体上很好地代表了全球道琼斯工业平均指数市场。投影到时间（t）-α平面上的多重分形谱fi（α）的计算结果，这些N=9家公司的标记为i（因此这里i=1，…，9），为了说明清楚，由一个平均值f（α）=N表示-图9的面板（a）和（b）相应地显示了1Pi=Ni=1fi（α）和从这9家公司构建的指数，在与之前相同的滚动窗口中。根据这些结果可以得出一些有趣的观察结果。

一个主要发现是宽度f的α永远不会小于全球9家公司指数的α，这是可以理解的，因为在所有参与公司的价格完全相关的情况下，预期会出现平等。一些去相关（在实际市场中总是如此）应该会导致全球9家公司指数的f（α）缩小。在黑色星期一和莱曼兄弟破产之间的时间段内，观察到所考虑的两种情况下多重分形谱宽度之间存在显著更大的差异，过渡几乎是急剧的。然而，这种差异源于在该时期内f（α）左侧的突然拉伸，这表明单个公司价格变化的多重分形在较大波动水平上比在较小波动水平上更为明显。当这些公司的价格汇总形成全球9家公司指数时，这一巨大的左侧拉伸显著减少，这表明单个股票的大幅波动之间并不完全相关。尽管如此，在市场最不稳定的时期（图6），即使是全球指数也保持了f（α）的左侧不对称性，表明非线性相关性在大波动水平上占主导地位。一个特别有趣的相关案例发生在1990年10月至1994年4月期间，如图9中两条垂直点线所示。在这一时期，单个公司的多重分形谱平均发展为广泛的多重分形谱，而相应的全球9公司指数的f（α）非常窄，可以认为是单分形的。

造成这种结果的一个可能原因是，组成股票价格变化之间的交叉相关性受到了实质性抑制【48】。使用相关矩阵xc=（1/T）MMT，（13）验证这种可能性，其中M表示由长度为T的N个时间序列xi（T）形成的N×T矩形矩阵。因此，矩阵C的条目对应于传统的皮尔逊相关系数。通过对角化C（Cvk=λkvk），可以得到特征值λk（k=1，…，N）和相应的特征向量svk。在完全随机信号的极限情况下，特征值密度ρC（λ）在解析上已知为ρC（λ）=Q2πσp（λmax- λ)(λ - λmin）λ，（14），其中给出了该分布的下λmin和上λmaxbounds（a）（b）（c1）（c2）（c3）~ 9家公司的指数平均谱9家公司f（）图9：在20年滚动窗口内计算出的平均谱f（α）（a）以及图8（b）中9家公司的艺术指数的奇异谱f（α）序列的时间（t）-α平面上的投影。分配给每个f（α）的日历日期对应于窗口内的结束点。此窗口以20个点的步长移动，对应于大约一个日历月。红线表示f（α）的最大值在连续窗口中的位移。垂直虚线表示1987年10月19日的黑色星期一和2008年9月15日LehmanBrothers的破产，虚线表示1990年10月和1994年4月。

底部三个面板显示相应的赫斯特指数H（c1），宽度α（c2）和不对称系数Aα（c3）。1981年12月1989年9月8日199708年8月200508年3月13日时间00511522533545566577588,59λ1，γ1λ1γ1100010000指数1987年10月19日星期一雷曼兄弟2008年9月15日的破产海湾华纳区λmaxλmin图10：蓝线显示关联矩阵的最大特征值λ的时间依赖性，该矩阵由代表图9中9家公司在s=100个交易日的滚动窗口中的每日回报的时间序列构建。红线显示由ρq（s）系数组成的类似滚动窗口矩阵的最大特征值γ，如等式11所定义，取q=2。λmaxmin=σ（1+1/Q±2p1/Q）。（15） 在此表达式中，Q=T/N≥ 1和σ等于时间序列的方差。λmax上方最大特征值λ的偏离度是参与时间序列之间相关性强度的度量【4,66】。对于图10所示的T和Nare的这些特定值，与λmax和λmin设定的噪声状态相比，当前N=9时，长度为T=100个交易日的滚动时间窗口中最大特征值λ的幅度变化。此外，在同一图中，还显示了由ρq（s）系数组成的类似矩阵的最大特征值γ的变化，该系数由式11定义，取q=2表示s=100。很明显，在这两种度量中，最大特征值假设在感兴趣的时间段内（就在1990年10月至1994年4月之间）的值最低。在某一点上，λ值甚至触及纯随机序列的边界。因此，在这段时间内研究的相关性最低的9家公司的情况确实适用，这解释了全球9家公司指数的f（α）很窄。5.

结论目前，多重分形对复杂时间序列的求积在不同领域有着广泛的应用。然而，迄今为止，科学文献中提出的大多数相关研究仅限于对奇点谱的单独估计，如果发现多重分形，通常将其视为此类序列层次结构的证据，并且此类谱的宽度被视为所涉及复杂度的度量。虽然这表明确实存在某种级联式的层级组织，但在现实情况下，这种组织很少是统一的。自然过程生成的时间序列可能包含多个卷积分量，每个分量具有不同的层次生成器，这导致奇点谱的不对称性。更重要的是，这些成分的贡献可能随时间而变化，这可能会引入进一步的动力学变化。事实上，金融市场在不断变化的外部条件中不断发挥作用，这是成为此类影响对象的自然选择。这几乎可以直接应用于股票市场指数，因为它们通过构造构成所选股票价格的平均值（通常加权，但并不总是如此），呈现不同的经济部门，因此不一定遵循相同的多重标度特征。这些股票之间的关联程度也取决于全球市场的阶段。本文基于半个多世纪以来对标准普尔500指数和纳斯达克这两个世界领先的股票市场指数的每日记录，表明它们通过各种形状揭示了多重分形谱所表达的多重标度特征，其变化通常与世界经济经历的历史上最重要的事件相关。