金融多重分形中形状的动态变化

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英文标题：
《Dynamical variety of shapes in financial multifractality》
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作者：
Stanis{\\l}aw Dro\\.zd\\.z, Rafa{\\l} Kowalski, Pawe{\\l} O\\\'swi\\c{e}cimka,
  Rafa{\\l} Rak, Robert G\\c{e}barowski
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The concept of multifractality offers a powerful formal tool to filter out multitude of the most relevant characteristics of complex time series. The related studies thus far presented in the scientific literature typically limit themselves to evaluation of whether or not a time series is multifractal and width of the resulting singularity spectrum is considered a measure of the degree of complexity involved. However, the character of the complexity of time series generated by the natural processes usually appears much more intricate than such a bare statement can reflect. As an example, based on the long-term records of S&P500 and NASDAQ - the two world leading stock market indices - the present study shows that they indeed develop the multifractal features, but these features evolve through a variety of shapes, most often strongly asymmetric, whose changes typically are correlated with the historically most significant events experienced by the world economy. Relating at the same time the index multifractal singularity spectra to those of the component stocks that form this index reflects the varying degree of correlations involved among the stocks.
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中文摘要：
多重分形的概念提供了一个强大的形式化工具，可以过滤掉复杂时间序列中许多最相关的特征。迄今为止，科学文献中的相关研究通常仅限于评估时间序列是否是多重分形的，而由此产生的奇异谱的宽度被视为所涉及的复杂程度的度量。然而，自然过程产生的时间序列的复杂性特征通常比这种简单的陈述所能反映的复杂得多。例如，根据标准普尔500指数和纳斯达克这两个世界领先的股票市场指数的长期记录，本研究表明，它们确实发展了多重分形特征，但这些特征通过各种形状演变，通常是强烈不对称的，其变化通常与世界经济经历的历史上最重要的事件相关。同时，指数多重分形奇异性谱与构成该指数的组成股票的多重分形奇异性谱相关联，反映了股票之间不同程度的相关性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Chaotic Dynamics        混沌动力学
分类描述：Dynamical systems, chaos, quantum chaos, topological dynamics, cycle expansions, turbulence, propagation
动力系统，混沌，量子混沌，拓扑动力学，循环展开，湍流，传播
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Dynamical_variety_of_shapes_in_financial_multifractality.pdf (6.82 MB)

2022-6-10 18:31:20 上传

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关键词：Multifractal Quantitative correlations Mathematical historically

金融多重分形理论中形状的动态变化Dro˙zd˙za，b，*, Rafa l Kowalskia，Pawe l O’swi,ecimkaa，Rafa l Raka，c，Robert G,ebarowskibaComplex Systems理论系，波兰科学院核物理研究所，ul。Radzikowskiego 152，31-342 Krak\'ow，PolandbFaculty of Physics，Mathematics and Computer Science，Cracow University of Technology，ul。Warszawska 24，31-155 Krak\'ow，PolandcFaculty of Mathematics and Natural Sciences，University of Rzesz\'ow，ul。Pigonia 1,35-310 Rzesz\'ow，Polandabstract多重分形的概念提供了一个强大的形式化工具，可以过滤出复杂时间序列的许多最相关的特征。迄今为止，科学文献中的相关研究通常仅限于评估时间序列是否是多重分形的，而产生的奇异谱的宽度被视为所涉及的复杂程度的度量。然而，自然过程产生的时间序列的复杂性特征通常比这种简单的陈述所能反映的复杂得多。例如，根据标准普尔500指数和纳斯达克指数（这两个世界领先的股票市场指数）的长期记录，本研究表明，它们确实发展了多重分形特征，但这些特征通过各种形状演变，其中大多数是强非对称的，其变化通常与世界经济经历的历史上最重要的事件相关。

同时，指数多重分形奇异性谱与构成该指数的组成股票的多重分形奇异性谱相关联，反映了股票之间相关程度的不同。关键词：复杂性；时间序列；多重分形谱；世界股票市场。*通讯作者：电子邮件地址：stanislaw。drozdz@ifj.edu.pl（Stanis law Dro˙zd˙z）预印本于2018年9月19日提交给Complexity。引言多重分形是复杂性科学的核心概念。相关的多尺度方法【1-3】旨在弥合许多复杂自然现象固有的广泛时间和长度尺度，因此，它基本上渗透到所有科学学科【4】。到目前为止，它基本上在科学活动的所有领域都有应用，包括物理学[5，6]、生物学[7-9]、化学[10，11]、地球物理学[12，13]、水文学[14]、大气物理学[15]、定量语言学[16，17]、行为科学[18]、认知结构[19]、音乐[20，21]、鸣鸟节奏[22]、生理学[23，25]、人类行为[24，26，27]，社会心理学【28】和生态科学【29】，但在经济和金融领域【30–41】尤其频繁，因为实践方面和发展基于多重分形的金融动态模型的需求【31，42–45】有助于进行预测。事实上，到目前为止，金融时间序列的多重分形分析为诱发真正多重分形的因素提供了大部分量化证据，如时间长期非线性相关性，以及只有当存在这种相关性时，才存在波动分布中的厚尾[46]。然而，为了明确识别这些因素的作用并抑制潜在的虚假多重分形，所研究的时间序列必须足够长[47]。

此外，自然现象生成的真实时间序列，即使具有多重分形特征，通常也比数学统一多重分形模型更多地参与合成，并且它们可能包含不同多重分形特征的几个组成部分。在这种频繁的情况下，这些序列的全局层次结构会发生扭曲，多重分形谱会变得不对称，无论是左侧还是右侧，如参考文献[48]中最近所示。检测这些影响可能会提供关于控制特定时间序列动态的机制的更有价值的信息，而不仅仅是简单的声明，即它是多重分形的。例如，我们已经发现，这种不对称效应构成了识别复杂网络特定组织的非常有用的正式工具【49】。此外，相关畸变的方向可能在时间上与序列中组成成分重量的变化平行变化。经历这种影响的最直接的候选人是股票市场指数，通过构造，该指数已经是组成公司价格的总和，通常是加权的，而且这些公司本身可能对相同的外部新闻做出不同的反应，这取决于它们所属的部门。正是出于这一原因，我们研究了低于世界最大的股票市场指数。当然，这项研究的另一个更具体、更面向市场的原因是，拓宽了我们对股票市场多尺度特征在各个时期演变的历史视角，包括交易技术革命导致的全球崩溃或转型。2、多重分形形式目前存在两种不同的、普遍接受的和互补的计算方法，用于量化时间序列的多重分形特征。

其中一个是小波变换模极大值（WTMM）[3]，它利用了所考虑的时间序列的小波展开，另一个是多重分形去趋势波动分析（MFDFA）[50]，它基于检查在适当的趋势消除后评估的变阶矩的标度特性。虽然前一种技术可以更好地可视化时间序列中的基本模式，但后一种技术通常在数值上更精确、更稳定，因此将在此处使用。此外，目前MFDFA存在一致的推广，因此它甚至可以正确识别和量化两个时间序列之间相互关联的多重分形方面【51–53】。这种新方法称为多重分形互相关分析（MFCCA），它包括几个步骤，这些步骤在一开始是所有基于去趋势的方法所共有的。因此，我们考虑两个时间序列xi，yi，其中i=1，2。。。T然后计算每种情况下的信号量：X（j）=jXi=1[xi- hxi]，Y（j）=jXi=1【yi】- hyi），（1）其中hi表示整个时间序列的平均值。接下来，将这两个信号文件分为2Ms（Ms=int（T/s））不相交的长度段ν，从文件的开始和结束开始，在每个ν中，通过拟合m（P（m）X，ν代表X和P（m）Y，ν代表Y）阶多项式来估计假定的趋势。在典型情况下，最佳选择对应于m=2[54]。从序列中减去该趋势，并计算每个段内的去趋势交叉协方差：Fxy（ν，s）=s∑sk=1{（X（（ν- 1） s+k）- P（m）X，ν（k））××（Y（（ν）- 1） s+k）- P（m）Y，ν（k））}。

（2） 由于Fxy（ν，s）可以假定正值和负值，因此qth阶协方差函数由以下等式定义：Fqxy（s）=2Ms∑2Msν=1sign（Fxy（ν，s））| Fxy（ν，s）| q/2，（3）其中，符号（Fxy（ν，s））表示Fxy（ν，s）的符号。式（3）中的参数q可以取除零以外的任何实数。然而，对于q=0，可以使用该方程的对数版本【50】：Fxy（s）=2Ms∑2Msν=1sign（Fxy（ν，s））ln | Fxy（ν，s）|。（4） 时间序列之间的分形交叉依赖性xiand Yi然后表现为缩放关系：Fqxy（s）1/q=Fxy（q，s）~ sλq（5）（或exp（Fxy（s））=Fx，y（0，s）~ sλ表示q=0），其中λqis是对应的标度指数，其对q的依赖范围量化了所涉及的复杂度。与λqis q独立时的单分形情况相比，q相关指数的标度反映了时间序列中相关性的aricher多重分形特征。计算单个时间序列奇异谱的传统MFDFA程序可被视为上述MFCCA程序的特例，对应于取xi，yias相同。然后，公式（3）减少到：F（q，s）=h2Ms2MsXν=1[F（ν，s）]qiq（6），并减少到公式（4）中q=0的对应项。然后，多重分形（单分形）的特征被反射，类似于等式（5），byF（q，s）~ sh（q），（7），其中h（q）表示广义赫斯特指数。然后根据以下关系计算奇异谱（也称为多重分形谱）f（α）：α=h（q）+qh（q），f（α）=q[α- h（q）]+1，（8）其中α表示表征奇异强度的h¨older指数，f（α）反映h¨older指数等于α的数据点集支撑的分形维数。

在多重分形的情况下，奇异谱的形状通常类似于一条倒抛物线，其复杂程度直接由f（α）的宽度量化：α=α最大值- αmin，（9），其中αmin和αmax对应于通过不同q-矩投影出的α值的两端（等式（6））。对于单分形信号，光谱会收敛到一个点，尽管在实践中这往往是一个微妙的问题。多重分形谱的另一个重要特征是其不对称性（偏度），可通过对称系数Aα来量化=αL- αRαL+αR，（10）式中αL=α- α米南德αR=αmax- α，对于α，谱f（α）假设为最大值。Aα的正值反映了f（α）的左侧不对称性，即其左臂相对于右臂伸展，并且在时间序列的大波动水平上，多重分形更加发达。另一方面，负Aα反映了谱的右侧不对称性，并表明较小的函数的时间组织是多重分形的主要来源。方程（3）定义的一系列函数也可用于定义q相关的去趋势互相关（qDCCA）[55]系数ρq（s）=Fqxy（s）pFqxx（s）Fqyy（s），（11），这允许量化两个时间序列xi、yi在去趋势后和不同时间尺度下的互相关程度。此外，通过改变参数q，可以确定在研究的两个信号中相关性最大的去趋势振幅范围【55】。ρq（s）的这种过滤能力构成了一个重要优势，因为时间序列之间的互相关通常不会均匀分布在其不同量级的波动上【56】。3.

数据规格在本研究中使用了两组数据：o1950年1月3日至2016年12月29日期间标准普尔500指数和纳斯达克指数的日价格（16496个数据点）。1971年之前纳斯达克的价值（该指数的正式发布日期为1971年2月5日）是根据历史数据重建而来的【57】。o1962年1月1日至2017年7月7日期间在纽约证券交易所上市的9只股票的日价格（13812点）。被分析的公司包括通用电气公司、美国铝业公司、IBM国际商业机器公司、可口可乐公司、波音公司、卡特彼勒公司、迪士尼公司、惠普公司、杜邦公司。事实上，在如此长的一段时间内，只有这些股票参与了道琼斯工业平均指数（DJIA），因此也参与了标准普尔500指数。然而，它们代表了一大系列的经济部门，因此可以被视为大型美国指数的合理代表。对于每个时间序列，对数回报率根据方程r（t+t） =ln p（t+t）- ln p（t），（12），其中p（t）表示股票价格或指数值t代表时间间隔(t=1天）。所有时间序列都进行了归一化，使其具有单位方差和零均值。4、结果4.1。S＆P500和Nasdaqt S＆P500和NASDAQindices的MFDFA多重分形谱f（α）如图1所示。对于这两个指数，波动函数SF（q，s）揭示了近二十年来令人信服的幂律行为，这在相应的右下方插图中显示，因此f（α）是明确确定的。参数q在区间内取值-4.≤ q≤ 4，这在金融应用中很常见，因为它可以安全地避免计算函数F（q，s）时出现发散力矩的危险。

图1中相应的左上角面板显示了此处考虑的两个指数的回归函数的累积分布，可以看出，不会产生比逆三次幂律更厚的尾部【58，59】，因此不存在发散的危险。所得光谱的宽度α ≈ 标准普尔500指数为0.4，纳斯达克指数为0.32。该结果的重要性还与f（α）的两个零假设进行了对比，f（α）是根据（i）通过随机序列从原始序列中获得的序列，从而破坏所有时间相关性（绿色三角形）和（ii）破坏非线性相关性（蓝色正方形）的原始序列的傅立叶相位随机计数部分计算得出的。很明显，这两个测试中的f（α）光谱缩小到单分形的一个特征。测试的另一种替代形式是带有高斯化pdf的时间序列。在后一种情况下，原始pdf被高斯分布代替，而振幅ranksof fluction保持不变。由此产生的多重分形谱似乎只比原始谱略窄，因此它们未显示在图1中。因此，所有这些测试都为原始时间序列的多重分形提供了令人信服的证据，此外，也证实了这一事实，即正如预期的那样，多重分形是由非线性时间相关性造成的。获得的多重分形光谱同时具有明显的左侧不对称性【48】。不对称系数Aα≈ 标普500指数为0.3，纳斯达克指数为0.31。f（α）的左侧由正eq值确定，正eq值过滤掉较大的事件，相反的值适用于该光谱的右侧。因此，在目前的情况下，这意味着正是大回报的动力发展出比小回报更为显著的多重分形组织。无花果

1显示了在整个时间跨度内计算时间序列的结果。似乎用较短的时间滚动来探测这一周期揭示了相应多重分形谱的非平凡且非常有趣的时间依赖性。这里，窗口大小超过5000个数据点（相当于大约20年），在存在时间相关性的情况下，时间足够长，以保证结果的稳定性【47】（没有这种相关性需要更长的序列【47】），窗口随着20个点的步进移动（大约0.0,2.0,40,60,8α0,20,40,60,81f（α）原始数据的傅立叶变换数据替代0,2 0,4 0,6 0,8α0,20,40,60,81f（α）原始数据傅里叶替代10 100 1000 s110F（q，s）10 100 1000 s110F（q，s）100101102 | r | 10-410-2100 c.d.f.100101102 | r | 10-410-2100 c.d.f.s&P500NASDAQ | r |-3 | r |-3图1：主面板：计算的多重分形谱1950年1月3日至2016年12月29日期间的标普500指数和纳斯达克指数（黑点）。傅里叶相位随机替代物和随机shuf fled时间序列的平均光谱分别用蓝色正方形和绿色三角形表示。左上方的插图显示收益率波动的累积分布，右下方的插图显示为原始标准普尔500指数和纳斯达克指数系列计算的波动函数。一个日历月）。标准普尔500指数和纳斯达克指数的计算结果分别见图2和图3。这些图中的面板（a）显示了在此类窗口内连续计算的奇异谱f（α）序列，以及分配给每个f（α）的日历日期对应于窗口内的终点。因此，对于1950年1月开始的时间序列，第一个日期出现在图中。2和3对应于1969年1月。