有处罚的内幕交易

右面板：价格函数P。图4右面板中所示的价格函数在中心显示了一个由不断增加的直线段包围的浮动部分。直觉与二次惩罚的情况完全相同：当d的大小很小时（| d|≤ α（=0.3）），vremain的所有值（相等）都可能，且不包含任何信息。随着d的增长，可以推导出一个下界v，价格也随之上涨。与二次惩罚案例的关键区别在于，价格函数在d=±1时跳跃。事实上，当d>1时，市场可以确定内幕人士已经下了积极的指令。但它只在nv>α时才这样做。相反，如果d=1-, X（v）=0仍然是可能的，因此我们只能推断出v>-α(= -0.3). 在信息整合方面，ND=1+和d=1之间存在巨大差异-.3.4.3对于规模大于X的交易的固定成本，IT选择X（v）=v。因此，如果她仅被批准用于规模大于X的交易，只要| v|≤ x： 这对应于图5中间增加的线性部分。对于v的中间值，Ite倾向于将其需求限制在x（或-x） 为了避免处罚：这与图5中的FL at部分相对应。当v变得足够大时（| v |>√2公里(≈（0.63）），通过使用在没有成本的情况下普遍存在的策略，可以预期收回罚款：它显示为沉没成本，并再次选择需求X（v）=v。这对应于图5左侧和右侧增加的线性部分-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1v-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81X（v）-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2d=X（v）+u-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81P（d）图5：大额交易持续惩罚下的内幕人士需求和定价C（X）=KI X |>X，K=0.2，X=0.1。左面板：需要X。

右面板：价格函数P。价格函数在d=±（1）处跳跃- x） （=±0.9）和d=±（1+x）（=±1.1）。该指令与线性惩罚案例相同。当d超过1时- x、 MM知道它的需求大于-X排除了-√2K，X的左跳跃。类似地，当d超过1+X时，MM知道它的需求大于X，这排除了√2K，X的右跳跃。附录B.1中进行了高斯噪声情况下的稳健性练习，表明上述大多数影响定性存在。4无预算约束的效率边界我们现在通过证明以下定理来解决第2.2节中提出的监管问题：定理7效率边界方程=√（1+2克），-≤ G≤ 0、实施有效前沿的一套法规正是asO定义的类别=C∈ CK∈ [0，1/2]，C（x）≥ x个√2公里-x个对于0≤ x个≤√2K，C（x）=K√2K<x≤ 1.. （17） 当C∈ O、 内幕人士的要求Xk（v）=（0 | v|≤√2Kv | v |>√2K对于K∈ 与C关联的[0，1/2]。图6给出了O中函数的图形表示。如果O中的两个惩罚与相同的K关联，则它们实现相同的demandschedule XK。此外，很容易看出，效率边界中的任何点都是由xkf实现的，因为K只有一个值。因此，K将效率边界参数化。与小K（或大K）相关的点由监管机构选择，监管机构更重视信息整合（或限制未知情交易员的损失）。任何对这两个目标都给予非零权重的监管机构都必须至少在一定程度上减少内幕交易，但不能完全减少。

正如我们将在后面详述的那样，最佳解决方案是允许一些大型交易实现| v |，因为它们包含大量信息；更准确地说，调节器希望对| v |的大值实施X（v）=v。切割点√2K在附表xk中，然后作为方程v=K的解出现。（回想一下，在并没有惩罚的情况下，它的优点）。这体现了对内部人员而言，罚款作为沉没成本的价值大小，如果没有罚款，内部人员会有效地优化SA，并选择模拟需求X（v）=v~ U型(-a、 a）和v~ 当a＞0且b＜c时，可以进行类似的推理。通过确定模仿策略精确补偿的点进行直接计算，表明在需求XKis下，未知情交易者的损益G为-1.- （2K）3/2. 因此，实现有效边界点（G，S）的K值是G=-1.- （2K）3/2.惩罚K，我们发现切入点±√2K变为B+c±rc- 贝克。此外，我们需要考虑的最大K是在极端实现v下抑制净利润的最小K∈ {b，c}；所以K现在在时间间隔内变化0，a（c- （b）.详情见附录A.1。图6:O中的一些惩罚函数。粗线表示K=0.3时O定义的下限（然后，√2公里≈ 0.77）：O中的任何罚款都必须在这条线以上。如果惩罚在[0，1]上对称且不递减，则O中函数的图必须包含在点区域中。两条虚线表示两个这样的函数。4.1监管机构目标的初步结果在描述效率边界之前，我们需要推导出一些有用的公式。v州内幕交易者的预期净利润为πN（v）：=X（v）（v-^P（X（v）））- C（X（v））。

（18） 注意，就函数ψC而言，净函数为πN（v）=ψC（X（v），v）。总体预期净利润（如有，在确定后）为∏N：=Ev[πN（v）]。（19） 内幕人士所受的预期惩罚为F：=E[C（X（v））]。总体预期总利润（如有，在确定前）为∏t：=∏N+F=| G |。（20） 注意，我们可以写出| G |=ZX（v）v-X（v）dv=Zvdv |{z}1/6-Z（v- X（v））dv。（21）在第5.1节中，这种将未知交易者的预期损失视为X和身份之间的距离（一种有效转换）的方式将很有用。我们继续提供上述数量的一些方便表达式。引理5在平衡状态下，净利润满足πN（v）=ZvX（s）ds，（22）∏N=Z（1- v） X（v）dv。（23）证明。考虑参数化目标函数ψC:[0，1]×[0，1]→ Rde定义在（15）。注意（i）ψC（x，.）在v中是线性的，因此是绝对连续的，（ii）|vψC（x，v）|=| x|≤ 1、（i）和（ii）保证满足Milgromand Segal（2002）中定理2的假设。在本例中，该定理告诉我们，我们可以写出：πN（v）=πN（0）+ZvψC（X（s），s）ds=ZvX（s）ds，因为当基本v为0时，内部人员不会做出任何贡献。最后，∏N=Z-1πN（v）dv=Z-1ZvX（y）dy dv=ZZvX（y）dy dv=Z（1- v） X（v）dv。引理6将预期交易后标准差表示为需求价格表X的函数。该引理的一个结果是，与基本面价值大相关的大订单是对将信息纳入价格贡献最大的订单。事实上，v的值（例如产品vX（v）较大）对S的负面影响最大，如（24）所示。这提供了关于为什么O是最佳惩罚类别的直觉：当C∈ O、 监管机构知道，如果v以较大的价值实现，IT将进行大量交易，因为对大v的处罚是有限的。

尽管这些指令对不知情的交易员来说代价高昂，但它们对降低v的不确定性贡献最大，使监管机构不愿阻止它们。引理6预期交易后标准差满意度=√1.-ZvX（v）dv. （24）证明。通过引理1的证明，v | d在ix（d）上是一致的≡ [（X-1’（（d- 1) ∨ (-xM））；十、-1r（（d+1）∧ xM））]。因为均匀变量在[a；b]上的标准偏差等于√（b）- a） ，引理6是以下结果的直接结果：如果X是奇数非递减函数[-1.1] 至[-xM；xM]，则间隔IX（X（v）+u）的预期长度等于1.-RvX（v）dv, 我们现在必须证明这一点。对于v∈ [-1.1] ，defineyv=X-1r（（X（v）+u+1）∧xM）Zv=X-1l（（X（v）+u- 1) ∨(-xM））。我们需要证明的是Ev，u[Yv-Zv]=21.-RvX（v）dv. 对称性，Ev，u【Zv】=-因此，仍然需要证明：Ev，u【Yv】=1-ZvX（v）dv。让我们考虑一下v fix。随机变量Yvtakes的值为[-1，1）]：使用Fubini定理，E[Yv]=EZ-1I-1.≤y≤伊夫迪- 1=Z-1P（y≤ Yv）dy- 1、定义X-1r，如果X（y）≤ （X（v）+u+1）∧ xMthen y≤ Yv。此外，如果y<Yv，则使用X不递减的事实，X（y）≤ （X（v）+u+1）∧ xM。因此：{y≤ Yv}{X（y）≤ （X（v）+u+1）∧ xM} {y=Yv}。让我们注意到，当且仅当X在y或y=1处不连续时，Yv=y可以保持两个不同的u值。特别是，{y 6=1 | P（y=Yv）>0} {y | X（y-) 6=X（y+）}。从讨论中可以看出：E【Yv】-Z-1P（X（y）≤ X（v）+u+1）dy+1≤Z-1P（Yv=y）dy≤ u{y | X（y-) 6=X（y+）},其中u是Lebesgue测量值[-1, 1]. 因为X是非递减的，所以它有可数个不连续点。

尤其是u（{y | X（y-) 6=X（y+）}=0和：E[Yv]=Z-1P（X（y）≤ X（v）+u+1）dy- 现在，P（X（y）≤ X（v）+u+1）=P（u≥ X（y）-X（v）- 1)= 1 +（X（v）- X（y））∧ 0.回到E[Yv]的表达式，我们得到[Yv]=1-ZvX（y）dy+（1- v） X（v）。v积分：Ev，u[Yv]=1-Z-1ZvX（y）dy dv+Z-1(1 - v） X（v）dv=1-Z-1（v+1）X（v）dv+Z-1(1 - v） X（v）dv=1-Z-1vX（v）dv=1-ZvX（v）dv，在第3行中，我们使用了X是奇数的事实。证据到此结束。4.2有效前沿的表征4.2.1有效前沿的形状和有效需求函数在本节中，我们给出了有效前沿的形状，并解释了哪些需求计划与之兼容。我们称这些计划为有效需求函数。引理7设C是C中的惩罚函数。在K（C），S的平衡中≥√（1+2G）相等，当且仅当存在v*∈ [0，1]使得X（v）=0表示| v |<v*X（v）=vfor | v |>v*.证据由于引理6，我们需要证明的是-ZvX（v）dv≥ -2ZX（v）v-X（v）dv。这相当于zvx（v）dv≥ZX（v）dv，或ZX（v）（v- X（v））dv≥ 0（25），因为0≤ X（v）≤ v代表v∈ [0; 1].要保持相等，必须且有效地使X（v）=0或X（v）=v几乎在任何地方。由于X是非递减的，因此对于| v |<v，它等于X（v）=0*X（v）=vfor | v |>v*, 其中v*= sup{v，X（v）=0}。方程式（25）特别方便，因为它可以立即指出需要什么类型的需求函数来实现效率边界。当然，X是一种内生性的结果：有待观察的是什么法规实现了有效的需求函数。4.2.2有效需求函数的实现MMA 8引理7中导出的有效需求函数完全由惩罚C实现∈ O、 根据构造，O中的惩罚对于| v |的大值是有影响的，并且随着| v |从0开始快速增加（见图6）。

直觉上，这就是实现高效需求功能所需的。事实上，当| v |以较小的价值变现时，需求增长对预期惩罚的边际影响很大，它倾向于避免交易。然而，对于| v | large而言，罚款表取决于大量需求，大量订单可以覆盖预期的最终金额，这似乎是一种沉没成本。然后，IT在线性混合平衡中进行优化，要求X（v）=v。引理的证明见附录A.4.2.3定理7的证明、插图和讨论定理7的证明是完整的：引理7表征了有效前沿，而由于引理8，只有通过选择成本C才能实现有效前沿∈ O、 以K为特征∈ [0, 1/2].注意，通过在0到之间改变K，可以清楚地覆盖整个有效边界。要求增加，损失(-G） 未知情交易者的数量从RVDV减少=≈ 0.167到0，而预期的交易后标准差从√(1-2/6) =√≈ 0.385至√≈ 0.577.图7中的每一点对应一个惩罚函数C；它代表了结果，-G） 在K（C）的唯一平衡中。无知交易者的损失，-G、 在x轴上读取。预计交易后标准偏差S在y轴上读取。对于固定y坐标（固定S），调节器的首选选项是选择具有最小x坐标的点（使-G） 。与定理7一致，O中的惩罚达到有效边界，这是引理7所表示的线性。结果，-G） 对应于二次和线性惩罚（C（x）=αx，C（x）=α| x |对于变化的α≥ 0）也在图7中报告。正如人们所看到的，他们的表现明显比惩罚C差∈ O、 小交易无成本处罚和大交易大成本处罚也是如此，C（x）=KHI | x |>x。

在这里，kh是一个常量大的enought，因此内幕人士永远不会选择交易超过x。与O中的惩罚相比，这些特殊的功能表现不佳，这一事实与上面引理6中的直觉一致。事实上，它们意味着X（v）=v表示| v |小，X（v）=0表示| v |大（与C表示的需求函数相反∈ O） ，因此，通过termRvX（v）dv（见引理6）测量的预期标准偏差的减少量很低。图7:S的轨迹，-G） 对于某些惩罚函数。图7显示，在所考虑的成本中，二次成本是最有效的。事实上，在所有惩罚函数中，它们的表现最差：命题1二次惩罚实现了C中所有惩罚函数生成的结果轨迹（S，G）的上边界，即，对于未知交易者的给定损益，它们诱导了可能的最高预期交易后标准差。证据参见附录A。在附录B.2中，我们在高斯噪声的情况下以数字形式重复图7的构造：u，v~ N（0，1），并得到类似的结果。5在预算约束下的有效边界到目前为止，通过对可接受的处罚设置几乎没有任何限制，我们的分析可能会假设监管机构面临一个现实世界的约束：调查成本。开展调查需要时间、财力和人力资源。在这种情况下，监管机构的有效政策会如何改变？在第5.1节中，我们考虑了非金钱处罚的情况：监管机构无法通过收取罚款来平衡预算。这转化为对调查概率的限制，这反过来又限制了内幕交易可以施加的最大预期惩罚。第5.2节，我们研究了金钱。在这种情况下，监管机构需要至少收集一些资金来平衡预算。

这种约束迫使监管机构选择“中间”处罚级别：如果C太小，收集的信息就不够，但如果Cis太大，同样适用，因为这会诱使内幕交易者避免交易。5.1非金钱处罚我们坚持以恒定概率α进行调查的假设，将α是可观察函数（如聚合顺序）的情况分析留给未来研究。我们还认为，监管机构不能利用财务来放松预算约束。只要惩罚是非金钱的，例如监禁，情况就是这样。5.1.1有效前沿的设置和表征，调查成本为κ，由于监管机构的预期费用由ακ给出，并表示分配预算B，我们考虑约束ακ≤ B、 （26）请注意，内幕交易者在预期惩罚计划C=α▄C下进行优化，其中▄Cis是以调查成功为条件的实际制裁。如果没有▄C的上限，监管机构可以通过减少α和增加▄C来绕过预算约束。我们将回到第4节研究的案例。然而，有几个理由可以证明存在对▄C的约束。第一个理由很简单，最糟糕的制裁，比如终身监禁，并没有提供-∞ 公用事业另一个理由是，随着法律要求的证据数量的增加，制裁力度越大，实施起来就越困难。例如，在三十世纪末的荷兰，对内幕交易实施了非常严厉的惩罚，这实际上导致aquasi无法对内幕交易的人定罪。从（26）开始，对于上限C，内幕交易者将面临预期罚款C=αC≤ K:=BκCM。

（27）这在SEC（1998）中有记录。等式（27）中对C的约束意味着我们现在使用一组受限的可容许处罚：定义8在非金钱情况下，具有预算约束的可容许处罚集isCK={C∈ C、 C（1）≤ K} 。注意C（1）≤ K等于（27），因为C中的任何惩罚都是对称的，且在[0，1]上不递减。此外，预算约束是K的实际约束∈[0，1/2）；对于K≥ 1/2，CK=C。当限制一组可接受的惩罚时会发生什么？首先，一些以前的有效点可能不再可行。其次，一些以前并不有效的要点可能不再被任何在预算约束下仍然可以实施的要点所支配。我们在这个新的环境中重新定义了定义2：定义9在非金钱的情况下，预算约束下的有效边界是可由CK中的惩罚实施的一组点（G，S），而不是由CK中的惩罚可实施的任何点支配。如上所述，在可容许惩罚集上引入约束通常会产生新的有效点。例如，考虑图8中面板（a）所示的情况。虚线区域表示约束下的可行点集。虚线右侧先前有效边界（斜直线）的点仍然可行，因此仍然有效。灰线左边的那些不再是可实现的。蓝色区域的下边界是新的边界。特别是，新的有效点出现在虚线的左侧。相比之下，在面板（b）中，虚线左侧没有可行点：有效边界被截断。当然，我们可以通过忽略调查成本，设置α=1，并假设上限CMon C=C低于1/2来获得相同的约束。