有处罚的内幕交易

这里的想法是，如果调查是有系统的，那么约束的Cm可能是无约束的。它之所以具有约束力，是因为调查成本高昂，从而减少了它所面临的预期惩罚。其结合程度取决于预算相关参数B和κ：见（27）|G | S（a）| G | S（b）图8：引入约束：两种可能的场景。我们处于何种情况，这是一个先验的相当不清楚的事实。表示OK=O∩ CK。Ok是第4.2.2节中得出的一组有效罚款，在预算约束下仍然可行。在预算限制下，这些处罚仍然有效。此外，通过直接计算，我们得出当C在OK中变化时，| G |描述区间|G | min（K），,式中| G | min（K）：=1.- （2K）3/2. （28）在| G | min（K）的右侧（在（| G |，S）平面）截断之前的有效边界是预算约束下的有效边界的一部分。根据以上讨论，关键问题是要知道| G | min（K）左边发生了什么。定理11表明，没有惩罚可以实现|G |<|G | min（K）（即我们处于panel（b）的情况下）。这立即暗示了约束边界的特征：定理10约束C下的有效边界≤ K是截断| G |≥|定理7的有效前沿的G | min（K），并通过惩罚inOK精确实现。定理10是以下结果：定理11让K≤ 1/2.

在约束C下≤ K、 不知情交易员的预期损失至少为| G|≥ |G | min（K）。该下限由0的需求计划Xα获得≤ α ≤ 1.-√2K，仅通过xα，其中xα（v）=v 0≤ v≤ αα<v≤ α +√2Kv v>α+√2公里-Xα(-v） v<0。这些需求计划由惩罚Cα实施，其中Cα（x）=KI | x |>α。定理11表明，不能用C实现| G |<G | min（K）∈ CKand提供实现| G |=| G | min（K）的函数Cα。虽然Cα意味着未知情交易者的预期损失相同，但它们都意味着不同的预期交易后标准差。尤其是，α6=0的所有Cα都不是有效惩罚。我们通过几次讨论来补充证明，因此在单独的部分中呈现。5.1.2定理11和直觉步骤1的证明：将问题转化为约束条件下的距离最大化问题。回忆方程（21）：| G |=-Z（v- X（v））dv。这意味着获得定理的界相当于显示Maxc∈CKZ（v- X（v））dv=（2K）3/2，（29），受X（v）最大化净利润ψC（.，v）的约束。设g（v）=v- X（v），所以我们在寻找g的上界。引理5和约束C下≤ K、 我们得到：Zg=Zv dv-ZX（v）dv=- πN（1）≤ K、 （30）这是因为，当v=1时，IT至少可以实现净利润- C（1）≥- K、 因此，根据约束条件（i）Rg，（29）中的最大值小于或等于Upzg≤ K、 和（ii）g（0）=0≤ g（v）和v 7→ v- g（v）是非递减的。（i） 来自（30），（ii）是最优需求计划X属性的直接结果。注意引理5是多么重要，因此Milgrom和Segal（2002）的结果是多么有效。

曾经注意到C（1）≤ K表示净利润的下界为1，引理5允许（i）以节省的方式合并约束X是最大化器，（ii）减少两个约束-C≤ K和X必须将ψC-最大化为单个条件Rg≤ K、 这特别方便，因为这是最大化问题中的一个Lbound。缺少X必须是非递减的事实，这转化为v 7→ v-g（v）是非递减的，主体toRg的最大值=K（和0≤ g（v）≤ v） 将是标准的：为了“尽可能无条件地分散质量”，可以选择g（v）=vIv≥v*带RV*v dv=K。然而，这是不可行的，因为它违反了单调性约束。gα：v 7→ v- 因此，Xα（v）是自然的候选最大化器，因为它们以类似的方差最大化精神构造，但尊重单调性约束。gα都具有相同的Lnorm，但在不同的时间间隔内远离零。这暗示了一个事实，即对于一般函数g，当试图在RG上找到一个界时，我们将无法知道g在哪里必须是小的或大的，因此对g的把握很小。然后，我们的想法是考虑g的重分函数Д，因为（i）可以用Д的矩重建g的矩（见步骤3）和（ii）g在哪里大并不重要，只是它的大频率有多高。事实上，所有的gα都有相同的重划分函数，这表明这是正确的观点。图9：使用重划分函数对任意函数f和x 6=y进行gf变换，设τx，yf=f（y）- f（x）y- x、 因为x是非递减的，所以我们有τx，yg≤ 1（31）对于所有x 6=y。现在，定义Д（z）=u（{x，g（x）≥ z} ）。第2步：（31）表示τx，yД≤ -1（32）对于所有x<y，使得Д（y）>0。g受单调性约束（即v 7→ v- g（v）必须是非递减的），我们需要将其转换为一个约束。

很明显，如果g在速度1时增加，则Д在速度1时减少。我们在这里展示的是，如果g在小于1的速度下增加，那么Д在大于1的速度下减少。由于y>0，集合{u，g（u）≥ y} 是非空的，所以我们可以考虑u+=inf{u，g（u）≥ y} 。因为g（0）=0≤ x我们还可以定义-= sup{u≤ u+，g（u）≤ x} 。由于（31），函数g不能向上跳，因此g（u-) = x和g（u+）=y。通过u的构造-和u+，我们有：[u-, u+） {u，g（u）∈ （33）自τu起-,u+g≤ 1、我们有：u+- u-≥ g（u+）- g（u-) = y- x、 （34）我们现在可以得到（32）：τx，yν=u（{u，g（u））≥ y} )- u（{u，g（u））≥ x} ）y- x=-u（{u，g（u））∈ （x，y）}）y- x个≤ -u（[u-, u+）y- x个≤ -1、3号线使用（33），4号线是（34）的结果。步骤3：将g的力矩表示为φ力矩的函数。回想一下thatZg=ZZg=2Zy（y）dy.（35）的确，Zg（y）dy=ZZI0≤s≤g（y）ds dy=Zuu、 g（u）≥ sds=Zuu、 g（u）≥√sds=2ZyИ（y）dy，使用变量y的变化=√s、 （35）中的另一个等式也得到了类似的证明。步骤4：转化为关于转换的功能最大化问题。使用前面的讨论，supC∈CKZ（v- X（v））dv≤ 2个辅助单元∈Φ≤KZyИ（y）dy≤ 2个辅助单元∈ΦKZyИ（y）dy（36），其中Φ≤Kis可测函数集φ : [0, 1] → [0，1]，supx，yτx，yД≤ -1，RИ（y）dy≤ K和ΦK={Д∈ Φ≤K、 RИ=K}。显然，在（36）中，第1行的右侧等于第2行的项。定义ДK（z）=最大值√2公里- z、 0或0的0≤ z≤ 1、请注意∈ ΦK.如果Д∈ ΦK，Д（0）≥ ^1K（0）。否则，使用τ0，yν≤ -1，^1（y）≤ φ(0) - y<ДK（0）- y≤ ^1K（y）。因此，RД（y）dy将严格小于K=RφK（y）dy = φ - ^1K：我们证明了这一点(0) > 0. 此外，根据结构，R（y） dy=0。定义=inf{y，（y）≤ 0}.因为τy，yν≤ -1、我们有（y）≤ y>yand为0（y）≥ y<y时为0。

因此：ZyИ（y）dy-ZyИK（y）dy=Zy（y） dy=Zyy（y） dy+Zyy（y） dy公司≤ yZy公司（y） dy+yZy（y） dy公司≤ 图10：最大化器g的变换Д必须为ДK。（i）从点Д（0）<ДK（0）（y轴上的最厚点）开始，Д（实心黑色曲线）保持在虚线下方，因此其积分小于灰色区域的面积，其本身低于K。（ii）穿过ДK后，Д必须保持在ДK下方。在这里，交叉通过向下跳跃的Д发生。因此，（36）中的上确界只能通过函数ДKand等于zyДK（y）dy=Z来获得√2Ky(√2公里- y） dy=（2K）3/2，这建立了定理的界。步骤5：（29）中的最大值仅通过需求计划（Xα）α获得∈[0,1-√2K]定义在定理中。首先，很容易看出这些需求计划在（29）中达到了最大值。这表明他们是唯一这样做的人。设X是在惩罚C下获得的需求计划∈ C、 C类≤ K、 让我们假设它在（29）中达到最大值。如步骤2所示，考虑与g（v）=v相关的函数- X（v）。然后，函数Д为（36）的最大值，通过步骤3，Д=ДK。Sincesupxg（x）≥ sup{x，Д（x）>0}=sup{x，ДK（x）>0}=√2K，g（v）的上确界至少为√2K。让我们注意一下：supvg（v）=supvsups∈[0，v]g（s）。自τ起。，。g级≤ 1，函数g（v）=sups∈[0，v]g（s）是连续的：g（v）的上确界和g（v）的上确界是在点v处获得的。因为τ。，。g级≤ 1，v≥√2K和v∈ 【五】-√2K，v]，g（v）≥ v- 五+√2K。自g起≥ 0，我们获得ZG≥零电压-√2公斤≥零电压-√2K（v- 五+√2K）dv≥ k等于当且仅当g=0外[v-√2K，v]和g（v）=v- 五+√2K超过[v-√2K，v]。但必须有相等，因为g∈ ΦK。因此g具有上述形式，需求函数X由X（v）=v给出- g（v）等于理论中所述的Xα，α=v-√2K。步骤6：很容易看出需求计划Xα是由惩罚escα实现的。

这样就可以得出定理的证明结论。定理10的一个结果是，不可能从监管者的选择中推断出她是否受到约束。在非金钱的情况下，受约束性预算约束的监管者的行为就像一个不受约束的监管者，会减少未知情交易者的损失。在下一节中，我们研究了罚款的情况，并表明，与之前的结果相比，限制的引入创造了新的效率点。理论上，如果观察到调节者选择了其中一个点，就意味着她受到了约束。5.2罚款我们现在考虑监管机构收取的罚款。为简单起见，我们维持常数α的假设，并假设▄C上的电位上限不受约束。我们认为，监管机构必须有一个预期中的平衡预算。预算约束（26）转化为ακ≤ B+E[C（X（v））]。（37）如果B≥ ακ，由于我们假设▄C上的潜在上限没有约束力，因此没有约束，我们回到第4节研究的情况。因此，有趣的情况是B<ακ。定义12有效曲面∑是由任何C∈ C这样没有C∈ C可以弱地（i）增加G，（ii）减少S，（iii）增加F，至少（i），（ii）或（iii）中的一个事实上是严格的。回想一下，G、S和F分别表示未知情交易员的损益、预期交易后标准差和预期收集的数据。

在方便的情况下，我们使用符号G（X）、S（X）或F（X）表示需求表X.5.2.1有效表面的表征J是一组指标J：=（x，y），0≤y1+y≤ x个≤ y≤ 1..定理13空间（G，S，F）中有效曲面∑的参数方程为（vv- 1);√+（vv+vv）;vv（3- 2伏- 五）（五、五）∈Jand这完全是通过需求计划（Xv，v）（v，v）实现的∈JVV，v（v）=0伏∈ [0，v]vv-v（v- v） 五∈ （五，五）五∈ （五、1）-十五、五(-v） v<0。这些需求函数可以通过惩罚（Cv，v）（v，v）来实现∈J∈ 其中，Cv，v（x）=（v | x|-v2vx | x|≤ vvv | x |>v。图11：有效表面∑。图12：在财政预算约束下的有效需求计划和惩罚函数。证明定理11和定理13有一个关键的区别。在这里，加权目标的最自然的条件优化者，即逐点最小化器，被证明是一个可实施的需求计划。由于逐点最小化是一项简单的任务，定理13的证明相当简单。在提供REM 11时，这种方法是不可能的。证据作为引理5的结果，在平衡状态下，预期满足度[C（X（v））]=ZX（v）v-X（v）dv-Z（1- v） X（v）dv，我们在约束E[C（X（v））]≥ K、 通过引理6，预期贸易后标准偏差的上限约束转化为约束TZVx（v）dv≥ K、 这导致我们考虑以下最小化问题：minXZX（v）v-X（v）dv+γK-ZX（v）v-X（v）dv+Z（1- v） X（v）dv+ ηK-ZvX（v）dv,对于某些重量γ，η≥ 通过收集项，我们得到该程序等价于tominXZX（v）γ + (1 - 2γ - η） v+γ- 1X（v）0的dv（38）≤ v≤ 1，定义值：[0，v]→ Rx 7→ x个γ + (1 - 2γ - η） v+γ- 1台情况1：γ>1。Pv是一个具有正加载系数的二阶多项式对[0，v]的限制。

因此，它在0、v或满足一阶条件时达到其最小值，例如在x（v），并且x（v）在0时达到最小值≤ x（v）≤ v、 给定thatx（v）=（2γ+η- 1） 五- γγ - 代数表明arg max Pv=0伏≤γ2γ+η-1x（v）γ2γ+η-1.≤ v≤γγ+ηv>γγ+η。设v=γ2γ+η-1和v=γγ+η。我们已经得到，对于定理中给出的函数Xv，v，等式arg max Pv=Xv，v（v）成立。直接计算表明，Xv，vis由Cv，v实现。这意味着我们已经找到了一个可实现的需求计划，该计划在（38）点方向上使积分最大化，这意味着Xv，vis是程序（38）的一个最小值，并且是唯一的一个，因为（38）中积分的点方向最小值具有唯一的解决方案。情况2：γ≤ 1.Pv现在可以是线性的，也可以是负前导系数，这意味着它的最小值可以在0或v处达到。代数表明arg max Pv=v（对于0≤ v≤ 1） 当且仅当γ+2η≥ 1（39）和V≥ v*:=γη +3γ-,其中，根据条件（39），v*∈ [0, 1]. v=v=v时*我们和前面一样得出结论，Xv，vis是（38）的唯一极小值。最后，如果（39）不满足，则（38）的最小值等于零，这对应于定理中定义的X1,1。最后，很容易看出，上面构造的（v，v）将集合J描述为γ，η≥ 0vary，J是定理中规定的指数族。因此，J中的任何指数都对应一个有效的需求函数。

这表明（Xv，v）（v，v）∈Jis高效需求函数系列。证明是完整的，因为我们得到的最大值集为γ，η≥ 0 vary是连通的，这意味着我们已经找到了有效曲面的所有点。5.2.2各种监管机构预算的有效性（G，S）边界假设监管机构有预算B，这转化为约束F=E[C（X（v））]≥ Fmin：=ακ- B、 定义14:Fmin有效边界是一组非支配点inF（Fmin）：={（G（X），S（X）），由一些C∈ C带E[C（X（v））]≥ Fmin}。我们现在可以从有效曲面∑（表示πGS：（G，S，F）7构建Fmin-efficient前沿→ （G，S）平面上的投影：引理9有效前沿是πGS（σ）的点集∩ {F≥ Fmin}）在πGS（∑）中不占优势∩ {F≥ Fmin}）。证据参见附录A。这意味着要获得有效边界，必须首先投影∑的相关点（G、S、F），然后选择平面上有效的点（注意，第二步是必要的，因为有效曲面上的点的投影通常不是有效边界的点）。∑是通过解决一个优化问题发现的，从中可以几何地推导出Fmin-efficient前沿：我们不需要再次解决最小化问题。我们现在可以提供Fmin有效边界：见图13.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 | G | 0.380.40.420.440.460.480.50.520.540.560.58SFmin=0.08Fmin=0.07Fmin=0.055Fmin=0图13：各种约束下的效率（| G |，S）边界F≥ Fmin。关于非金钱处罚的案例，出现了一个重要的差异。这里，有效边界不是在没有约束的情况下得到的边界的截断。

当然，O中的惩罚将实现F≥ Fminar仍然是最小效率边界的一部分，但出现了新的约束效率点（虚线弧），这与之前并非最优的惩罚函数和需求计划有关。对于Fminverylarge，最小边界甚至不会与无约束边界相交。要了解原因，请注意，C实现的O ismax{F（X），X中惩罚下的最大期望值∈ O} =最大值0≤K≤1/2公里1.-√2公里=≈ 0.074，通过K=。这意味着如果Fmin>，O中的罚款不允许平衡监管机构的预算。事实上，提供最高期望值（不考虑S和G）的惩罚是C，1（在定理13中定义），它给出F=。从引理9中，我们知道失效前沿点对应于∑中的点，这意味着它们与OREM 13中定义的表格Xv、vde的需求计划相关。了解预算约束如何≥ Fmin修改了最佳策略的性质，图14绘制了Fmin有效边界上使用的（v，v）图，用于Fmin的各种值。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1v100.10.20.30.40.50.60.70.80.91v2Fmin=0.08Fmin=0.07Fmin=0.055Fmin=0图14：与各种约束相关的有效需求函数Xv的指数（v，v）≥ Fmin。如图所示，红色填充点对应于（v，v）≈ （0.48，0.61）表示需求计划表X0.48,0.61（其中Xv，见定理13），并表示当监管机构的预算约束为Fmin=0.07时，该需求计划表实现了效率边界的一个点。当Fmin=0时，我们得到线v=v，在这种情况下，Xv，vis由惩罚执行∈ O、 符合第4.2.2节。我们观察到，随着Fmin的增加，需要扩大差距v-v