有处罚的内幕交易

数量（ii）反映了监管机构拥有流动市场的意愿。在流动性市场中，出于非根本原因进行交易的代理人不会遭受高额损失。这对应于g不是太负的情况。核心问题是，对标准（i）的改进通常会导致标准（ii）恶化。设=E[σ（v | d）]（11）为交易后标准偏差v的预期值，g=E[g（u，v）]（12）表示NT的预期损益。监管机构的目标现在可以表述为对效率边界的表征，定义如下：定义2（i）如果某个可容许惩罚的K（C）均衡结果，那么点（G，S）是可实现的；如果（G，S）是可实现的，那么点（G，S）是可实现的；如果（G，S）是可实现的，那么点（G，S）是由（G，S）支配的；如果（G，S）是可实现的，那么点（G，S）是可实现的≥ G、 S≤ 至少有一个严格不等式。（iii）可实施的非支配点集被称为有效边界。在第5.2节中，我们需要（ii）的以下内容：（ii’）属于平面H某个子集的可实现点（G，S）由（G，S）控制，如果（G，S）是可实现的，G≥ G、 S≤ 至少具有一个严格不等式的S和（G，S）∈ H、 从监管者的角度来看，效率边界以外的点无关紧要，因为她可以在不损害另一个目标的情况下改进他的一个目标。相比之下，任何属于效率边界的点都可以由监管机构根据目标的适当权重来选择。

我们的目标是描述有效边界和实施有效边界的惩罚。在第5.2节中，监管机构还需要注意为预算赤字收集的预期财务数据。不一定是线性的。2.3可接受的惩罚函数我们不对惩罚函数施加任何限制，除非它仅以非递减的方式取决于内幕交易者的顺序，并且当她不交易时，没有制裁。定义3 C：[-1.1] → 如果R+是对称的、非递减的、在[0；1]上保持连续且满足C（0）=0，则R+是一个惩罚函数。惩罚函数集表示为C。C类非常通用，由经济相关要求定义。特别是，对规模较小的贸易施加更高的制裁将是不自然的，而且可能在政治上难以实施。左连续性假设只是确保可以达到可能利润的上限。3 K（C）平衡点的存在性和唯一性在这一节中，我们开始证明以下定理：定理4对于任何C∈ C、 具有惩罚函数C的Kyle对策K（C）具有非奇异平衡（X（C），P（C））。通常，X和P是非线性的。这个结果的一个结果是，对于每个C∈ C、 监管者的利息量明确定义为K（C）中唯一平衡的结果。特别是，效率边界明确界定。3.1预期价格函数的分析3.1.1在均匀噪声下，无论IT需求如何，预期价格函数都是线性的。MMA 1包含了我们分析的关键观察结果。

回想一下，对于任何ODD非递减函数X：[-1, 1] → [-1，1]，我们用P（X）表示与X相关的定价函数（方程（6）），并且给定P=P（X），^P是预期价格函数（方程（7））：^P（X）是IT在下订单X时将面临的平均价格。引理1让X：[-1, 1] → [-1，1]是奇数非递减函数，xM=X（1）。预期价格函数^P在[-xM，xM）]：^P（x）=x。引理1是至关重要的，因为它做出了一个令人惊讶的陈述，即在平衡中必须占优势的预期价格函数是^P（x）=x/2，而不需要任何知识：既不需要C的形式，也不需要猜测x或P。回想一下，平衡是通过其等效类别确定的，参见定义1。反过来，这意味着它的平衡需求X（v）必须是ψC（，v）的最大值：X 7→ x个v-x个- C（x），（13），因为它最大化了预期收益，知道^P（x）=x/2。该需求X导出了一些价格函数P。注意，同样通过引理1，预期价格确实满足^P（x）=x/2。这表明（X，P（X））是K（C）的平衡。虽然这一讨论为我们如何构造任意C的K（C）平衡提供了直觉，但为了使论证形式化，必须解决几个技术问题。我们必须检查maximiser的任何选择都是非递减的，并注意非均衡定价：特别注意引理1只刻画了以上的^P[-xM，xM]，而我们需要计算所有容许需求x的预期收益。还需要其他结果来确定K（C）平衡的唯一性。这个方向上的主要步骤是表明ψC（，，v）允许一个唯一的最大化器，除了可数目的v值（第3.2节）。我们现在提供这个引理的证明。第3.1.2节阐明了主要直觉。引理1的证明。

我们使用符号p（.）对于a密度和p（.|.）对于条件性密度。写入（v | d）∝ p（d | v）p（v）∝ 九（五）∈[d]-1.d+1]Iv∈[-1.1].也就是说-1.- xM公司≤ d≤ 1+xM，v | d在{v上是一致的∈ [-1.1] | X（v）∈ [d]- 1.d+1]}={v∈ [-1.1] | X（v）∈ [d]- 1.d+1]∩ [-xM；xM]}=[（X-1’（（d- 1) ∨ (-xM））；十、-1r（（d+1）∧ xM））]（14）其中x-1`（x）=inf{v | x（v）≥ x} x个-1r（x）=sup{v | x（v）≤ x} 。十、-1 `和X-1只有当存在v时，X（v）=X且X局部恒定，即它们在可数集之外一致时，才不一致。那么，让P=P（X），P（d）=十、-1’（（d- 1) ∨ (-xM））+X-1r（（d+1）∧ xM）.现在，由于^P（x）=Zx+1x-1P（z）dz，通过微分，足以表明P（x+1）-P（x-1） =1 a.e。。使用上面找到的P的表达式，我们得到-xM公司≤ x个≤ xM：2（P（x+1）- P（x- 1） ）=X-1’（x∨ (-xM））+X-1r（（x+2）∧ xM）- 十、-1’（（x- 2) ∨ (-xM））- 十、-1r（x∧ xM）=X-1r（xM）- 十、-1`(-xM）=2a。e这是因为X-1`=X-1ra。e、 ，X-1r（xM）=1和X-1`(-xM）=-1、在确定了^P之后，我们知道内幕交易者的问题是将（13）中定义的ψC（.，v）最大化。由于我们将在整篇文章中使用此函数，我们在此重复其定义：定义5当基本值为ψC（x，v）=x时，内幕人士对需求x的预期利润（在正确的预期价格函数^P（x）=x/2下）v-x个- C（x）。（15） 请注意，ψCis是一个“预期”利润，因为我们将C解释为平均成本-调查可能无法开始或无法成功-而^P（x）是一个预期价格，因为u的实现是随机的，而实现的价格是P（x+u）。3.1.2直觉为了分离引理1背后的直觉，让我们考虑X连续且严格递增的情况。假设做市商观察到总订单d>0。

因为噪音交易者的需求[-1，1]，IT X（v）的可能要求与d的观测一致，正是容许要求，使得d-1.≤ X（v）≤ d+1。因为容许需求满足X（v）≤ 1和d+1>1时，市场制造商观察到d时获得的信息是X（v）≥ d-因此，她知道v≥ 十、-1（d-1).直观地说，聚合顺序为正的事实排除了v的极端负值，MM推导出了v，X的下界-1（d- 1).此外，由于均匀噪声假设，该下限以上的所有v值都是相同的。因此，价格P（d）由区间[X]的中点给出-1（d- 1), 1].同样，当d<0时，价格P（d）由区间的中点给出[-1，X-1（d+1）]。现在，假设IT想要下订单x。IT只关心预期的价格影响，即P（x），这是P（d）对d的统一平均值∈ [x-1，x+1]，给定IT需求x的一组可能的总需求。如果IT决定下订单x+x、 可能的总需求集d为d∈ [x-1+x、 x+1+x] ：见图1。图1:xThus增长的边际预期价格影响，是对预期价格^P（x+x）-^P（x）是由于归因于区间[x]的重量- 1，x- 1 + x] 现在归因于间隔[x+1，x+1+x] 。关键的是，由于均匀噪声假设，该权重是相同的。考虑消失x、 有人得出结论，需求增长对预期价格的边际影响与P（x+1）成正比- P（x- 1).我们在上面已经看到，P（x+1）是[x]的中点-1（（x+1）- 1） ，1]=[X-1（x），1]，以及P（x- 1） 是的中点[-1，X-1（（x- 1) + 1)] = [-1，X-1（x）]。

因此，对预期价格的边际影响与这两个中点之间的距离成正比：ddx^P（x）∝ P（x+1）- P（x- 1） =1+X-1（x）-十、-1（x）- 1= 1.图2提供了该结果的图示。这表明预期价格函数是线性的。请注意，上述论点在很大程度上依赖于统一噪声假设：对于其他噪声，一般不能期望有线性预期价格函数。3.2候选人的最佳需求是唯一的，取决于可数集合的变化。在本节中，我们着手对策略X进行明确定义，这将是我们的最大化。定义6设V，I为R.A对应X:V的两个区间→ P（I）\\ 如果任何v<vin v，sup X（v），则为非递减≤ inf X（v）。注意，如果X是一对一映射，那么我们恢复了非递减函数的通常概念。引理2 Let X:V→ P（I）\\ 是非递减的对应关系。那么对于一个可数集上Vexcept中的所有v，X（v）是一个单态。图2：边际预期价格影响持续不变。该论点与证明非递减函数具有可数个不连续的atmost的论点相同。对于给定的惩罚C∈ C、 设XCbe为对应映射v∈ [-1.1] 当内幕交易者观察到一个基本的实现v时，其利润函数的最大值集：XC（v）=arg maxxψC（x，v）。回想一下（15）中定义的ψCis。任何v的引理3∈ [-1，1]，XC（v）6=, xc是一个非递减的对应关系。证据首先，让我们证明XC（v）从不为空。让v∈ [-1，1]，函数ψC（，，v）有一个确定的上界，即C≥ 设M=supxψC（x，v）<∞ 和（xn），使得ψC（xn，v）→ M、 （xn）的提取仍然表示为（xn），这样xn收敛到x，并且（i）（xn）增加或（ii）（xn）减少。

通过对称性，我们可以假设x>0或x=0，且情况（ii）成立，而不丧失一般性。让我们首先考虑案例（i）。因为C是连续的，x是7→ x个v-x个是连续的，ψC（xn，v）收敛于ψC（x，v）：因此ψC（x，v）=M和x∈ XC（v）。现在让我们考虑案例（ii）。SinceC是非递减的，它在x处有一个右极限，由大于C（x）的C（x+）表示。取ψC（xn，v）定义的极限，ψC（xn，v）的值收敛于toxv-x个- C（x+）≤ x个v-x个- C（x）。利用ψC（xn，v）收敛于M的事实，我们得出结论：C（x+）=C（x），ψC（x，v）=M。现在，让我们证明xc是一个非递减对应。让v<vin[-1.1] andx*∈ XC（v）和x*∈ XC（v）。对于任何x∈ [-1，1）]：ψC（x，v）=ψC（x，v）+（v- v） x.使用x*∈ XC（v）和v<v，对于任何x<x*,ψC（x，v）<ψC（x*, v） +（v- v） x个*= ψC（x*, v） 。根据定义，ψC（x*, 五）≥ ψC（x*, v） ，因此x*≥ x个*. 因为这个不等式适用于anyx*∈ XC（v）和x*∈ XC（v），我们得到sup XC（v）≤ inf XC（v）：对应关系XC为非递减关系。引理2和引理3的组合确保了预期结果的最大值是唯一的，但v的可数数值除外：引理4存在一个非递减函数Xc，使得对于所有v∈ [-除ona可数集外，XC（v）={XC（v）}。所有这样的x都在一个可数集之外。正如定义1中所介绍的，当我们确定同一等价类中的平衡时，我们不需要指定我们考虑的是哪一个特定的XCW：我们可以明确地谈论预期利润的“最大化者”。我们现在准备得出本节的主要结果。3.3 K（C）平衡点的存在性和唯一性我们通过指出平衡点的最优需求来改写定理4的陈述：设C∈ C和XC（v）是x 7的最大值→ x个v-x个- C（x）。（XC，P（XC））是K（C）的平衡。

这是对（X，P）之间的唯一平衡，因此X：[-1, 1] → [-1，1]为非递减。定理4的证明。引理1，^PC（x）=xfor-xM公司≤ x个≤ xM。因为XC（v）是x的最大值v-x个- C（x），x=x（v）是对所有x中预期价格函数^P的最佳响应∈ [-xM，xM]。为了证实（XC，P（XC））是一种平衡，我们需要检查如果IT在候选人支持之外做出选择会发生什么[-xM，xM]，知道非均衡定价由假设2定义。考虑例如案例x∈ （xM，1），如情况x∈ [-1.-xM]在对称性上是相同的。则^PC（x）=Zx+1x-1件（z）dz=（x- xM）+ZxM+1xM-1件（z）dz-Zx公司-1xM-1件（z）dz=（x- xM）+^PC（xM）-Zx公司-1xM-1件（z）dz=（x- xM）+xM-Zx公司-1xM-1PC（z）dz=x.（16）这是因为当z∈ [xM- 1，x- 1] ，z- 1<x- 2.≤ -1.≤ -X和z+1≥ xMsofrom（14），v | z在[-1，1]和PC（z）=0。当X（v）最大化X 7时→ x个v-x个-C（x）和^PC（x）=x的x∈ （xM，1），X（v）最大值X 7→ x个v-^PC（x）- C（x）以上[-（XC，PC）是一个平衡。我们现在证明了唯一性。让X：[-1, 1] → [-xM，xM]是IT的一种非递减策略。通过引理1，预期价格^与x的xisx相关∈ [-xM，xM]。但^Poutside的计算[-xM，xM]与^PCin（16）的计算相同。因此，对于所有x∈ [-1，1]，^P（x）=x。因此，如果（x，P（x））是K（C）的平衡，使得xis不递减，xc和xmax是相同的目标ψ覆盖[-1.1]. 由于最大值在可数集合外一致，所以XC和X也一致。反过来，我们有P（X）=PC。因此，（XC，PC）和（X，P（X））是相同的平衡，从而建立了唯一性。3.4均衡示例在本节中，我们使用定理4来了解惩罚的存在如何影响IT的交易策略和定价函数。和直觉一致，惩罚减少了对IT的需求。

X（v）减少多少取决于成本C的函数形式和v的实现。这通常导致非线性需求计划。在下面的例子中，我们将说明IT需求的一些重要决定因素。价格函数在某些地区可能非常灵活，而在其他地区则会急剧上升。特别是，边际非信息交易（X（v）+u）的价格影响强烈依赖于u和v的实现。相比之下，在没有惩罚的模型模拟均衡中，无论噪声的分布假设如何，这种价格影响都是恒定的。我们考虑三个惩罚的例子：二次惩罚、线性惩罚和常量惩罚。3.4.1二次成本在这种非常特殊的情况下，在引入惩罚后，X保持线性。施加二次成本类似于增加感知到的预期价格影响。由于该成本为x，而交易的总收益为x，因此当v 6=0时，它总是进行交易，且交易量随v的绝对值增加而增加。请注意，在具有高斯噪声的单周期Kyle模型中，如果没有人做出以下假设之一，也可以得到x是线性的结果：（i）对交易有二次惩罚，（ii）内幕人士是风险规避者而非风险中性者，（iii）内幕人士观察到与v不完全相关的信号，而不是直接观察v-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1v-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8X（v）-2-1.5-1-0.5 0.5 1 1.5 2d=X（v）+u-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81P（d）图3：二次惩罚下内幕人士的需求和定价C（XαX）=0.125。左面板：需要X。

右面板：价格函数P。由于惩罚的存在，内幕交易少于线性模拟均衡，因此X（1）=xM<1（本例中为0.8）。当| d|≤ 1.-xM（=0.2），它的任何要求都和观察到的聚合顺序兼容，所以所有值v保持相同的可能性，如第3.1.2节所述。未纳入任何信息，价格保持在资产的初始预期价值：0。当>1时- xM，我们知道v并没有在一个很低的值上实现。这为v提供了一个较低的基金，价格变为正。随着d的增加，下限和价格也随之增加，直到d=1+xM（=1.8）。在这种情况下，我们可以肯定地知道，它已经放置了一个值xM，这意味着v=1，P达到1。对于xM以下的d值，情况是对称的- 1(= -0.2).3.4.2线性成本当惩罚是线性的，C（x）=α| x |时，IT的最大化程序可以写为max x（五）- α) -x个.如果v≥ α、 我们可以看到，线性成本的效果和将基础v的值减少α的效果相同，并且没有成本。因此，IT forvalues v的策略∈ [α，1]是v上线性模仿策略的翻译∈ [0, 1-α]. 同样，IT的价值战略v∈ [-1.-α] 是v上线性模拟策略的翻译∈ [α -1, 0]. 这将在图4的左侧面板中创建两个不断增加的直线段。在中间部分，v不足以支付预期的罚款，且不可交易-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1v-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8X（v）-2-1.5-1-0.5 0.5 1 1.5 2d=X（v）+u-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.60.81P（d）图4：线性惩罚下内幕人士的需求和定价C（Xα）=X |，α=0.124; 3。左面板：需要X。