有处罚的内幕交易

直觉是，需求表XV、vbest中【v，v】上的线性部分解决了insidertrader的大型企业和大型交易量之间的交易，并允许收集相对较高数量的预期企业。例如，回想一下，暗示最高预期产量（1/12）的需求计划有v-v=。当监管机构必须通过收集资金来平衡预算时，一些以前的最佳策略不再可行，因为它们不会诱导内幕交易者支付足够的预期资金。出现了新的约束点，修改了有效惩罚的类别，以及均衡需求计划和价格函数-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2d=X（v）+u-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81P（X）（d）P（Xv2，v2）P（Xv1，v2）图15：价格函数的新模式。v=0.5和v=0.75。图15比较了无邻接约束的需求计划表Xv、vand和有约束的需求计划表Xv、v所隐含的价格函数。相反，顶部（Xv，v）、P（Xv，v）没有浮动部分，并且到处都在增加。特别是，在无约束的情况下，随机价格部分是离散的：在正概率下，它将等于P（Xv，v）的一个纵坐标。相反，在巨大预算约束的情况下，随机价格具有连续密度。参考Bagnoli，M.、S.Viswanathan和C.Holden（2001）：“关于市场标记模型中线性需求libria的存在”，数学金融，11（1），1-31。Boulatov，A.、A.Kyle和D.Livdan（2013）：“单周期Kyle’85模型中均衡的唯一性”，工作文件。Kyle，A.（1985）：“持续拍卖和内幕交易”，《计量经济学》，53（6），1315–1335。McLennan，A.、P.Monteiro和R.Tourky（2017）：“关于Kyle模型平衡的唯一性”，数学。芬南。

经济。，11, 161–172.Milgrom，P.和I.Segal（2002）：“任意选择集的包络定理”，计量经济学，70（2），583-601。Rochet，J.-C.和J.-L.Vila（1994）：“不正常的内幕交易”，《经济研究评论》，第61131-152页。SEC（1998年）：“内幕交易：美国视角”，SEC Staff的演讲。额外的证据A。1支架标准化[-1，1]假设u~ U型(-a、 a）和v~ U（b，c），a>0，b<c。我们想将这些噪声项和惩罚c的非平衡映射到归一化噪声的平衡。设C（x）=σC（ax）-1.≤ x个≤ 1、Cde在C中定义了一个惩罚。设（X，P）为K（C）在均匀噪声分布下的平衡[-1，1]，允许的需求I=[-1, 1]. 设Φ为线性应用程序映射[b，c]到[-1，1）]：Φ（v）=c- bv公司-c+bc- b与引理1类似，预期价格函数必须为^P（x）=m+σx2a，其中m=b+c，σ=c- b、 对于任何v∈ [b，c]，IT ismaxx的最大化计划∈[-a、 a]xv- m级-σ2ax- C（x）。这可以重写为asmaxx∈[-1,1]（ax）v- m级-σ2a（ax）- C（ax）。或：（aσ）maxx∈[-1,1]xv/σ- m/σ-x个- C（x），通过x的定义，该程序的解由x给出v-mσ= X（Φ（v））。再确认IT的实际需求是x=ax，我们得到x（v）=axv- mσ= aX（Φ（v））。我们也可以用P来表示价格函数。由于Φ是线性的，我们可以写ep（d）=E[v | d]=Φ-1（E[Φ（v）| X（v）+u=d]=Φ-1.EΦ（v）| aX（Φ（v））+a（u/a）=d= Φ-1.Ev | X（v）+u=承兑交单= Φ-1.P（承兑交单）,因为v=Φ（v）和u=u/a是独立的u(-1，1）变量。所以噪声的平衡u~ U型(-a、 a）和v~ U（b，c），处罚c和可受理要求I=[-a、 a]可以映射到K（C）的平衡，具有归一化噪声和容许需求I=[-1, 1].

通过相同的过程，可以进行反向映射。缺席处罚，X（v）=2ac-bv公司- ac+bc-波段v处的利润由x（v）给出v-b+c-c- b4aX（v）=交流电- bv-c+b.一旦v超出B+c±rc，这将补偿成本K- 当v∈ {b，c}，其中它等于a（c- b） 。最后，我们注意到感兴趣的模型数量（S、G和F）被一一映射，并且无论选择的支持度如何，其排名都是相同的，即断言“S<S”、“G<G”或“F<F”不取决于我们考虑的支持度。因此，选择[-1，1]当我们假设均匀分布和集中的无信息交易者需求时，噪声的支持就不会失去一般性。A、 2命题1使用引理6，我们可以-G=ZX（v）v-X（v）dv=1-√3秒-ZX（v）dv。（40）通过Cauchy-Schwarz不等式ZvX（v）dv≤ZvdvZX（v）dv（41）≤ZX（v）dv-ZX（v）dv≤ -ZvX（v）dv=-(1 -√3S）。把这个插入（40），我们得到≥√3秒- 1 +(1 -√3S）。（42）该不等式确定了给定G的最大可能S。但（42）中存在等式，当且仅当Cauchy-Schwarz界（41）中存在等式。如果且仅当左侧的两个函数是共线的，即如果X（v）与v成正比：X（v）=βv，则为这种情况≤ X（v）≤ 0的1≤ v≤ 1, β ∈ [0; 1]. 我们最后指出，如果β∈ [0；1]和γ∈ [0; ∞] 定义为γ=2β-, 二次惩罚C（x）=γx（v）=βv.A.3引理8我们首先需要引入一些定义：设f是定义在[0，1]和x上的函数∈ [0, 1]. 我们定义：D-f（x）=lim supx%xf（x）- f（x）x- x、 D-f（x）=lim infx%xf（x）- f（x）x- x、 可以类似地定义D+f（x）和D+f（x）。

让我们回顾一下局部最大值函数满足的一阶条件。如果x*是f的局部最大值，则：D+f（x*) ≤ 0，D-f（x*) ≥ 0我们还将使用以下实分析结果：引理10任何在]0，1]上具有空左导数的连续函数f都是连续的。设C为惩罚函数，使其策略满足任何v∈ [0，1]，X（v）要么是0，要么是v。因为它的策略是非递减的，所以对于任何v都存在X（v）=0∈ [0，v[和X（v）=任何v的v∈]v、 1）。此外，惩罚函数C在]v，1]上必须是连续的。确实，如果v>v≥ v、 使用X（v）=v，v的事实v-v- C（v）≤ vv-v- C（v），因此，由于C是非递减的，0≤ C（v）- C（v）≤ vv-v- vv-v.将极限值视为v到v，我们可以看到C在v处是右连续的。因为根据假设，它在[0，1]上是左连续的，所以惩罚函数C在[v，1]上是连续的。让我们证明C在v，1]上有一个空的左导数。如果v∈]v、 1]，我们知道，在v:v时，v是一个利益最大化者∈ 参数maxxfv（x）：。使用lowerleft导数D的一阶条件-如上所述，在v，D-fv（v）≥ 0.自D起-fv（v）=-D-C（v），我们得到-C（v）≤ 然而，C在增加，所以左下和左上导数必须是正的：0≤ D-C（v）≤ D-C（v）。因此：D-C（v）=D-C（v）=0。这意味着成本函数C在任何v上都允许左导数∈]v、 1]，左导数的值为零。因此，C是连续的，并且在[v，1]上有一个空的左导数。利用引理10，我们得到C在]v，1]上是常数。让我们用K表示这个区间上C的值。IT不交易v∈ [0，v）。

在这种情况下，因为我们知道0≤ X（v）≤ v、 我们一定有x个∈ [0，v]，xv-x个≤ C（x）。通过左手项的连续性和右手项不递减的事实，我们得到x个∈ [0，v]，xv-x个≤ C（x）。x=v必须相等，否则在v的右邻域上选择x（v）=v将不是最优的。出于同样的原因，C不能在v处跳跃。这意味着vv-v= K、 或v=√2K，因此C必须属于O。反过来假设C∈ O、 然后对于0≤ v<v，内幕交易者如果进行交易，将产生负预期收益，因此X（v）=0。对于v>v，有两种情况需要考虑。（i） 它播放x≥ v、 在这种情况下，预期罚款K显示为沉没成本，最佳选择是x=v，导致净利润为v- K、 （ii）IT播放x∈ [0，v）。网络性能为Xv-x个- C（x）=xv-x个- C（x）+x（v- 五）≤ x（v）- 五）≤ v（v- v） 其中第二行使用C∈ O、 自1995年以来- K=v-v=（v+v）（v- v） >v（v- v） ，首选选项（i）。因此，如果C∈ O、 X（v）=0表示| v |<vand X（v）=v表示| v |>v，从而得出证明结论。A、 4引理9（i）我们首先表明，Fmin-efficient前沿包含在πGS（σ）的点集中∩ {F≥ Fmin}）在πGS（∑）中不占优势∩ {F≥ Fmin}）。让（G，S）处于有效边界。根据定义，有X个是由C实现的∈ C这样G=G（X），S=S（X），F：=E[C（X（v））]≥ Fmin。只有两种情况是可能的：（a）（G、S、F）∈ ∑or（b）（G，S，F）在所有可实现点的闭包（in R）中由一个非支配点（G，S，F）支配，这正是∑。

（（G，S，F）通过构造一个序列（Gn，Sn，Fn）来获得，其中每个点支配前一个点，并将（G，S，F）定义为其极限，或将（G，S，F）定义为（Gn，Sn，Fn），如果程序停止于N），则为（Gn，Sn，Fn）。在情况（a）中，我们看到（G，S）=πGS（G，S，F）∈ πGS（∑）∩ {F≥ 因为它位于Fmin有效前沿，所以它不能在该空间中占主导地位。在（b）的情况下，由于（G，S）处于有效边界，我们必须有G=和S=沙F≥ Fmin，so（G，S）=πGS（G，S，F）∈ πGS（∑）∩ {F≥ Fmin}），我们的结论与案例（a）相同。（ii）让我们展示另一个包含项。只要证明一个点在inF（Fmin）中被控制，它在πGS（∑）中被控制就足够了∩ {F≥ Fmin}）。Let（G，S）∈ πGS（∑）∩ {F≥ Fmin}）和F与该点相关。假设（G，S）在F（Fmin）中占主导地位，比如（G，S），与F相关≥ Fmin。如前所述，（G、S、F）∈ ∑or（G，S，F）由∑中的一个点控制。在这两种情况下，这意味着∑中都存在一个点∩ {F≥ Fmin}，其投影占主导地位（G，S）。这就是证明。B稳健性检查：高斯噪声的情况B。1高斯噪声下X和P的形状第3.4节中的哪些影响是均匀噪声特有的，哪些影响是更可靠的分布假设？需求函数X的定性行为不取决于噪声的分布。例如，考虑成本C（x）=KI | x |>x，K，x>0。当无罚款的最优需求量低于x时，在罚款C下保持最优。然后，it将其需求限制在xin，以避免预期罚款K，只要交易不允许平均收回K。对于非常大的v（| v |>v或某些v>0），IT将切换回交易。这会在需求函数±v上产生跳跃。

所有这些影响与噪声假设无关。就非线性而言，价格函数的定性行为是稳健的。需求表X中的平坦部分导致价格函数P中的陡峭部分。实际上，当X作为v的函数缓慢增加时，X可能增加了一点的信息（通过观察d=X（v）+u获得）意味着v很可能增加了很多。同样，X的陡峭部分会诱发P的弯曲部分。由于惩罚的引入为X产生了陡峭和倾斜的截面，因此它为P产生了倾斜和陡峭的截面。通常不成立的是P有不连续性。这是由于均匀分布具有不连续密度的事实[-1,1]. 通常，噪声密度必须具有不连续性，才能获得价格函数的不连续性。对于连续的噪声密度，跳跃将替换为P快速增加的部分。为了支持这些论点，我们报告了高斯噪声（u，v）模型的平衡点（X，P~ N（0，1））和罚金C。我们考虑与上述相同的罚金C：大型交易的二次、线性和常数。B、 2图7在高斯噪声下我们通过假设高斯噪声重复图7的构造：u，v~ N（0；1）。我们获得图19。在考虑的惩罚函数中，非零交易的固定成本C（x）=KIx6=0表现最好。这与uniformnoise情况下的结果一致。

与之前一样，其他惩罚是次优的，并且点的轨迹，-G） 它们的形状非常相似。在高斯噪声的情况下，我们无法正式证明存在性（甚至更少的唯一性）。我们所做的是对方程（5）和（6）运行定点算法，并假设收敛到的函数确实对应于精确平衡。图16：二次惩罚下的IT需求和定价，高斯情形c（x）=αx，α=2。左面板：IT需求X。右面板：价格函数P。图17：线性惩罚下的IT需求和定价，高斯案例c（x）=α| x |，α=2。左面板：IT需求X。右面板：价格函数P。图18：恒定惩罚下的IT需求和定价，高斯案例c（x）=KI | x |>x，K=1，x=0.5。左面板：IT需求X。右面板：价格函数P。图19:S的轨迹，-G） 对于不同的惩罚函数-高斯噪声。C讨论：Bagnoli、Viswanathan和Holden（2001）考虑了一个静态Kyle模型，其中NT与噪声u和基本hasdistribution v进行交易。我们提供了一个非正式讨论，其中有两个结果补充了Bagnoli、Viswanathan和Holden（2001）的结果。结果1是新的。结果2为他们的工作的特定案例提供了替代证据。回想一下，当做市商观察集合{x；u}时，该模型被称为与单个订单相关，其中x是insidertrader的订单，而当做市商观察x+u时，该模型被称为与聚合订单相关。设v=E[v]，我们不必假定它为0。我们专注于增加需求时间表X。

我们得到以下结果1（单个订单）模拟均衡策略X必须在v中有效。由于q和u不可区分，价格函数由p（{q，u}）=（X）给出-1（u）+X-1（q））。因此，IT的最大化计划是MaxQQv- 欧盟十、-1（u）-十、-1（q）.由于X（v）=u在分布中，v=X-分布为1（u），程序将减少到最大QQv-v-十、-1（q）.由于X是一个平衡策略，在q=X（v）处计算的该表达式的导数必须为零：0=v-v-十、-1（q）-qX（X-1（q））=v- v-X（v）2X（v）。因此，X必须满足ODEX（v）（v- v） =X（v），即X是a ffene（实际上在v中是线性的- v） 。我们已经看到，如果不可能以一种有效的方式模仿噪音，我们就无法达到模仿平衡。然而，如果这是可能的，我们会自动得到一个平衡：结果2（单个订单和聚合订单），如果v中存在X递增和线性- v如X（v）=u在分布中，P是相应的pricingfunction，（X，P）是一个平衡对于单个订单，此结果直接来自上述参数：indeedX-1因此，满足q=X（v）的一阶条件确实是全局最大值的特征。然后，我们注意到结果扩展到了聚合订单的情况。实际上，由于X（v）和u是不可区分的，通过对称性[X（v）| X（v）+u]=E[u | X（v）+u]=E[X（v）+u | X（v）+u]=X（v）+uso，因为X是线性的，P（X+u）=X-1（x）+x-1（u）与之前一样，因此X（v）仍然是最佳需求。