概率失真下的时间一致性条件期望

然后还要建立limitExhePN-1i=0[bNiξNi+1-|bNi | h]i→ eI（x）。（6.6）我们分三步进行，为了简单起见，我们假设N=2n，x=2k√第2条。第1步。修复t∈ （0，1）并假设t=t，对于某些偶i=2m（更严格地说，我们将考虑t2m≤ t<t2m+2）。对于任何有界光滑测试函数f，Ex[f（BNti）]=Xjf（xij）P（BNti=xij，BN=x）P（BN=x）=Xjf（xij）P（BNti=xij，BN- BNti=x- xij）P（BN=x）=Xlf（2l√h） P（BNti=2l√h） P（BN- BNti=2（k- l）√h） P（BN=2k√h） 。注意mn=t，kn=x√h、 并表示y：=2l√2n=2l√h、 根据斯特林公式，我们haveEx[f（BNti）]=Xlf（2l√h） （2米）！（米+升）！（m）-l） 哦！（2n-2米）！（n）-m+k-l） 哦！（n）-m级-k+l）！（2n）！（n+k）！（n）-k） ！=[1+o（1）]Xlf（2l√h） s2m（n- m） （n）- k） 2πn（m- l） （（n- m）- （k）- l） ）×m2m（n- m） 2（n-m） （n+k）n+k（n- k） n个-k（m+l）m+l（m- l） m级-l（n- m+k- l） n个-m+k-l（n- m级- k+l）n-m级-k+ln2n=[1+o（1）]Xlf（2l√h） s2t（1- t） （1）- xh）2πn（t- yh）（（1- t）- （十）- y） h）AAA，其中：=（1+x√h） n（1+x√h） （1）- x个√h） n（1-x个√h） ；A： =（1+yt）√h） n（t+y√h） （1）-年初至今√h） n（t）-y√h） ；（6.7）A：=（1+x- y1级- t型√h） n（1-t+（x-y）√h） （1）-x个- y1级- t型√h） n（1-t型-（十）-y）√h） 。注意，对于ny 0<z<1，ez≤ （1+z）1+z（1- z） 1个-z≤ ez+2z。然后，注意n=2h，AAA≤ en【xh+xh】-yht公司-（十）-y） h1-t] =e-（德克萨斯州-y） 2t（1-t） +x个√h；AAA级≥ en【xh】-yht公司-2 | y | h3t-（十）-y） h1-t型-2 | x-y | h3（1-t） ]=e-（德克萨斯州-y） 2t（1-t）-[| y | t+| x-y |（1-t） ]√h、 （6.8）然后，通过表示x≈ 对于h，y为x=y[1+o（1）]→ 0，我们有[f（BNti）]≈Xlf（2l√h）√hp2πt（1- t） e类-（德克萨斯州-y） 2t（1-t）≈Zf（y）p2πt（1- t） e类-（德克萨斯州-y） 2t（1-t） dy.34 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang也就是说，对于ti=t，BNtgiven BN=x的条件定律渐近具有密度√2πt（1-t） e类-（德克萨斯州-y） 2t（1-t） dy，这正是（6.2）中定义的'Xxtde的密度。第2步。为了简单起见，再次假设i=2m是偶数。

注意，对于每个l，P（ξNi+1=√h | BNti=2l√h、 BN=x）=P（ξNi+1=√h | BNti=2l√h、 BN公司- BNti=2（k- l）√h） =P（BNti=2l√h、 ξNi+1=√h、 BN公司- BNti+1=（2k- 2升- 1)√h） P（BNti=2l√h、 BN公司- BNti=（2k- 2升）√h） =P（ξNi+1=√h） P（BN- BNti+1=（2k- 2升- 1)√h） P（BN- BNti=（2k- 2升）√h）=2n个- 2米- 1n- m+k- l- 1.（2n- 200万- m+k- l） =n- m+k- l2（n- m） 。进一步注意，给定BNti，（BNt，…，BNti-1） 和（ξNi+1，BN）是条件独立的。ThenP（ξNi+1=√h | FNti，BN=x）=n- m+k-BNti公司√h2（n- m）=-BNti公司- x2（1- ti）√h、 其中FNti：=σ（BNt，…，BNti）。这意味着ex[ξNi+1 | FNti]=√hh小时-BNti公司- x2（1- ti）√你好-√hh+BNti- x2（1- ti）√hi=-BNti公司- x1- 提赫。现在开始，因为i<N- 1，’ξNi+1：=ξNi+1- Ex[ξNi+1 | FNti]=1- 第1条- ti+1ξNti+1+h1- ti+1[BNti- x] 。（6.9）然后FNi=σ（(R)ξ，…，(R)ξi），a和ξNi+1≤√h、 Ex[(R)Ni+1 | FNti]=0。（6.10）通过归纳，可以很容易地验证bnti=xti+（1- ti）MNti，其中MNti：=i-1Xj=0？ξNj+11- tj。（6.11）通过（6.10）我们可以看到“mn”是条件期望Ex下的鞅，因此（6.12）Ex[| MNti |]=i-1Xj=0Ex[| |ξNj+1 |]（1- tj）≤我-1Xj=0小时（1- tj）≤Ztidt（1- t） =ti1- ti。概率失真35mnti=BNti-xti1-ti。对于任何C>0，通过设置f（y）=eCy-xti1-应用（6.8）中的第一个不等式，我们得到了≤ [1+o（1）]泽西-xti1-tip2πti（1- ti）e-（tix-y） 2ti（1-ti）+x√hdy=[1+o（1）]eCti1-ti。同样，Ex[e-CMnti]≤ [1+o（1）]eCti1-ti。在鞅上应用Doob极大不等式：对于任何l≥ 2，ExhX0≤j≤i | MNtj | li≤ （ll）- 1） lExh | MNti | li≤ CExh | MNti | li。这意味着EXHEC sup0≤j≤i | MNtj | i=∞Xl=0Cll！前任sup0≤j≤i | MNtj | l≤∞Xl=0Cll！前任|MNti | l= 前任eC | MNti|≤ 前任eCMNti+e-CMNti公司≤ CeCti1-ti。现在，根据（6.3）的论点，我们可以证明，ExheChPN-1i=1 | MNti | i≤ C、 此外，请注意EPN-1i=0biξNi+1=ebN-1ξNN+PN-2i=0bih？ξNi+1-h'MNti+1+xhi≤ CePN公司-2i=0bi？ξNi+1eChPN-1i=1 | MNti |。由（6.10）可以很容易地表明ExheCPN-2i=0bi？ξNi+1i≤ C

那么我们有Exhecpn-1i=0[bNiξNi+1-|bNi | h]i≤ C、 （6.13）步骤3。固定m和se t sj=jm。与步骤1类似，我们看到给定BN=x的条件定律（BNs，…，BNsm）渐近等于（\'Xxs，…，Xxsm）定律。为简单起见，假设N=nm（更严格地说，我们应该考虑nm≤ N<（N+1）m。N（6.14）排气口-1j=0[bNnj（BNsj+1-BNsj）-2m | bNnj |]i≈ EhePm公司-1j=0[b（sj，\'Xxsj）（\'Xxsj+1-(R)Xxsj）-2m | b（sj，\'Xxsj）|]i.Send m→ ∞, 很明显，（6.14）的右侧收敛到eI（x）。仍需估计（6.6）a和（6.14）的左侧之间的差异。表示δNm，1：=Exh下午-1j=0Pn-1i=0h|bNtnj+i|- |bNtnj |]i、 δNm，2：=排气下午-1j=0Pn-1i=0h【bNtnj+i- bNtnj]（bNtnj+i+1- BNtnj+i）i、 （6.15）对于ny R>| x |，请注意，b在[0，T]×上均匀连续[-R、 R]具有连续性函数ρR的模。然后，对于j=0，m级- 1，i=0。

n- 1，δNm，i，j：=ExhbN（tnj+i，BNtnj+i）- bN（tnj，BNtnj）一（6.16）≤ CExh公司|BNtnj+i- BNtnj |+ρR（m）+1{BNtnj |>R}+1{BNtnj+i |>R}我≤ CρR（m）+CREx|BNtnj |+| BNtnj+i|+ CExh | BNtnj+i- BNtnj | i.36 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang回顾（6.12），我们有|BNti公司|≤ C | xti |+C（1- ti）Ex|(R)MNti|≤ C（xti）+Cti（1- ti）≤ CExh | BNtnj+i- BNtnj | i=Exh |[tnj+i- tnj][x-\'\'MNtnj+i]+（1- tnj）[MNtnj+i-\'\'MNtnj]| i≤Cmh | x |+Ex[| | MNtnj+i|i+Ch（1- tnj）i-1Xl=0（1- tnj+l）≤厘米[| x |+1- tnj+i]+Cm1- tnj1- tnj+i≤厘米[1- tnj+i]。然后δNm，i，j≤ CρR（m）+CR+Cpm[1- tnj+i]（6.17）因此（6.18）δNm，1≤ Chm公司-1Xj=0n-1Xi=0δNm，i，j≤ CρR（m）+CR+N-1Xi=0hpm（1- ti）≤ ChρR（m）+R+√惯性矩。此外，δNm，2=Exhm级-1Xj=0n-1Xi=0[bNtnj+i- bNtnj]h[x-\'\'MNtnj+i+1]+\'ξNnj+i+1我≤ ChExhm公司-1Xj=0n-1Xi=0 | bNtnj+i- bNtnj | | x-\'MNtnj+i+1 | i+CExh公司m级-1Xj=0n-1Xi=0[bNtnj+i- bNtnj]？ξNnj+i+1我≤ Chm公司-1Xj=0n-1Xi=0δNm，i，j前任|x个- MNtnj+i+1||+ C百米-1Xj=0n-1Xi=0δNm，i，j≤ Chm公司-1Xj=0n-1Xi=0ρR（m）+R+pm（1- tnj）x+1- tnj+i+1+C百米-1Xj=0n-1Xi=0ρR（m）+R+pm（1- tnj）≤ CρR（m）+R+√m级.（6.19）我们现在估计（6.6）和（6.14）之间的期望差异。表示ξ：=N-1Xi=0[bNiξNi+1-|bNi | h]，ξ：=m-1Xj=0[bNnj（BNsj+1- BNsj）-2m | bNnj |]。然后，通过（6.15）、（6.18）和（6.19），我们得到了ex[|ξ- ξ|] ≤ C[δNm，1+δNm，2]≤ CρR（m）+R+√m级.此外，与（6.13）类似，我们有exhecξ+e-Cξ+eCξ+e-Cξi≤ C、 概率失真37可以很容易地检查| ez- 1| ≤ Cp | z |[e2z+e-2z]。然后前任eξ- 前任eξ= 排气ξeξ-ξ- 1.我≤ CExheξp |ξ- ξ|[e2[ξ-ξ] +e2[ξ-ξ] 我≤ CEx[|ξ- ξ|]Exhe4ξ-2ξ+e5ξ-4ξi≤ CρR（m）+R+√m级.第一次发送m→ ∞ 然后是R→ ∞, 我们得到了期望的收敛。

确认。第一和第三作者部分得到了NSF拨款DMS-1 908665的支持。我们衷心感谢匿名评论者的认真阅读和许多建设性的建议，这些建议帮助我们极大地提高了绩效。参考文献【1】Bahman Angoshtari、Thaleia Zariphopoulou和Xun Yu Zhou。可预测的未来绩效过程：二项式案例。《暹罗控制与优化杂志》，58（1）：327–3472020。[2] Tomasz R Bielecki、Igor Ci alenco和Marci n Pitera。动态crisk度量和动态性能度量在discr ete time中的时间一致性调查：LM度量视角。《概率、不确定性和量化风险》，2017年2:32017。[3] 托马斯·比约克和阿加莎·姆·乌戈西。马尔可夫时间不一致随机控制问题的一般理论。SSRN 16947592010提供。[4] 托马斯·比约克、阿加莎·穆尔戈奇和周迅宇。具有状态相关风险规避的均值-方差投资组合优化。《数学金融》，24（1）：2014年1月至24日。[5] 迈克尔·克兰德尔、石井仁和皮埃尔·路易斯·利昂斯。二阶偏微分方程粘度解用户指南。《美国数学学会公报》，27（1）：1-671992年。[6] 崔香玉、段丽、王寿阳、朱树上。优于动态均值方差：时间一致性和自由现金流。《数学金融》，22（2）：346–3782012。[7] 伊瓦尔·埃克兰和阿里·拉兹拉克。优先顺序与时间不一致时的黄金法则。数学与金融经济学，4（1）：29–552010。[8] 扎卡里·范斯坦和伯吉特·鲁德罗夫。具有交易成本的市场中动态风险度量的时间一致性。《定量金融》，13（9）：1473–14892013。[9] 扎卡里·范斯坦和伯吉特·鲁德罗夫。

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