概率失真下的时间一致性条件期望

然后通过单调收敛定理，我们可以证明E[gn（η）]=R∞Д（P（gn（η））≥x） ）dx↑R∞Д（P（g（η））≥ x） ）dx=E[g（η）]，证明（2.4）增益。备注2.6。（i） 在离散ca se中，公式（2.3）可解释如下。对于每个k，确定畸变概率qkbyqk：=Д（P（η≥ xk））- Д（P（η≥ xk+1）），k=1，2，n、 （2.6）概率失真7Then qk≥ 0，Pnk=1qk=1，E[g（η）]=Pnk=1g（xk）qk。所以{qk}起着“概率分布”的作用，而E是（扭曲的）概率{qk}下通常的线性期望。这一观察结果将是我们下面分析的基础。（ii）在持续的情况下，情况类似。实际上，表示eρ（x）：=ρ（x）Д′（P（η≥ x） ）。那么eρ也是一个密度函数，通过（2.4），e[g（η）]=R∞-∞g（x）eρ（x）dx是η畸变密度eρ下的通常期望值。（iii）尽管操作员E：lLИ（F）→ [0, ∞) 通常是非线性的，对于fix e dη，限制映射g∈ I 7→ E[g（η）]在非负线性组合下是线性的。（iv）实际上，对于任何ξ∈ lLД（F），注意Fξ（x）：=1- Д（P（ξ≥ x） ），x≥ 0是一个cdf，因此定义了一个扭曲的概率度量Qξ，使得e[ξ]=EQξ[ξ]。然而，该Qξ取决于ξ。（2.3）和（2.4）中的主要特征是，对于给定η，我们找到了所有ξ的共同畸变概率测度∈ {g（η）：g∈ 一} 。2.2. 时间不一致。让0∈ T [0, ∞) 是可能的时间集，andX={Xt}t∈t是一个具有确定性X的马尔可夫过程。

表示F={Ft}t∈T=fx是X生成的过滤，我们想要定义一个Ft可测量的条件期望Et[ξ]，这样每个Et[ξ]都是Ft可测量的，并且以下“towerproperty”（或“Flow property”）适用（我们将考虑Es，T列上）：Es[Et[ξ]=Es[ξ]，对于所有s，T∈ 因此，s<T.（2.7）我们注意到，塔的特性（2.7）是通常（线性）预期的标准，也是Peng的次线性G预期[19]。这也是所谓动态风险度量的基本要求（参见Bielecki-Cialenco-Pitera【2】）。然而，在概率扭曲的情况下，（1.3）给出的条件期望的简单定义很可能是时间不一致的。下面是一个简单的显式示例：示例2.7。考虑一个两周期二叉树模型：Xt=Pti=1ζi，t∈T：={0，1，2}，w heζ，ζ是独立的Rademacher随机变量s，其中p（ζi=±1）=，i=1，2。对于一些严格递增函数g，设Д（p）：=p，ξ：=g（X），E[ξ]由（1.3）定义。则E[ξ]6=E[ξ]。（2.8）证明。通过（2.3），我们得到了e[ξ]| X=-1=克(-2)1.- φ()+ g（0）Д（），E[ξ]| X=1=g（0）1.- φ()+ g（2）Д（）。注意E[ξ]X个=-1<E[ξ]X=1，因为g严格增加。然后，通过（2.3），我们得到E[ξ]=E[ξ]| X=-1.1.- φ()+ E[ξ]| X=1Д（）（2.9）=g(-2)1.- φ()+ 2g（0）Д（）1.- φ()+ g（2）φ()=g级(-2） +g（0）+g（2）。8 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang另一方面，由（2.3）we a lso haveE[ξ]=g(-2)1.- φ()+ g（0）φ() - φ()+ g（2）Д（）=g(-2） +g（0）+g（2）。（2.10）比较（2.9）和（2.10），并注意到g(-2） <g（0），我们得到E[E[ξ]]<E[ξ]。2.3. 时间一致性动态失真函数。如引言中所述，“原始”畸变条件实验（1.3）时间不一致的一个明显原因是畸变函数Д是时不变的。

受Karnam Ma-Zhang[15]中动态效用思想的启发，我们引入了时间一致性动态畸变函数的概念，它构成了本文的框架。表示：={（s，t）∈ T×T:s<T}。定义2.8。（i） A映射Φ：T×R×[0，1]→ [0，1]被称为动态畸变函数，如果它在（x，p）中可对任何（s，t）进行联合勒贝格测量∈ Tand，每个（s、t、x）∈ T×R，m应用p∈ [0, 1] 7→ Φ（s，t，x；p）是定义2.1意义上的畸变函数。（ii）给定任意（s，t）的动态畸变函数Φ∈ 两个定义，tas如下：Es，t[ξ]：=Z∞Φ（s，t，Xs；P（ξ≥ x | Fs））dx，ξ∈ lL+（σ（Xt））。（2.11）（iii）如果towerproperty保持不变，我们说动态畸变函数Φ是时间一致的：（2.12）Er，t[g（Xt）]=Er，s[Es，t[g（Xt）]，r，s，t∈ T，0≤ r<s<t≤ T、 g级∈ 一、 备注2.9。（i） 与原始定义（1.3）相比，（2.11）中的动态失真函数还取决于当前时间s、“终端”时间t和当前状态x。这使我们能够描述不同时间和状态下对未来事件的不同（失真）感知。例如，人们可能会对明天可能发生的灾难性事件有不同的感觉，而十年后可能发生的灾难性事件也有相同的可能性。（ii）在本文中，我们将Es，tonly应用于ξ=g（Xt）上的一些g∈ 一、 正如我们在Remark2.6中所看到的，在这种情况下，算子Es在g中是线性的。具有非单调g（或甚至路径依赖ξ）的一般情况似乎非常具有挑战性，将留给未来的研究，请参见下面的Remark3.1。然而，值得注意的是，在许多应用中，g是一个效用函数，它确实在增加。（iii）给定g∈ 一、 对于某些函数u（s，·），可以很容易地证明Es，t[g（Xt）]=u（s，Xs）∈ 我

这正好是（2.12）的右侧。现在，对于每个0<t∈ T，我们假设给出了初始畸变函数φT（·）（可能的选择是φT≡ 作为时间0时对t>0时未来事件的展望。我们的目标是构造一个时间一致的动态畸变函数Φ，使得Φ（0，t，X；·）=φt（·），对于所有0<t∈ T我们将考虑离散时间和连续时间的模型。概率失真93。二叉树案例。在本节中，我们考虑一个包含我们方法所有主要思想的二叉树模型。设{νt}t∈T \\{0}是给定的初始畸变函数族。3.1. 两周二叉树案例。为了说明我们的主要想法，让我们首先考虑一下最简单的情况，即X遵循两周期二叉树，如示例2.7所示（见图1中的左图）。设ξ=g（X），其中g∈ 一、 我们应该构造Φ（1，2，x；p）和E1，2[ξ]。注意Φ（0，t，0；·）=φt（·），对于t=1，2，通过（2.3），我们得到（3.1）E0,2[ξ]=g(-2)φ(1) - φ()+ g（0）φ() - φ()+ g（2）φ() - φ(0).在这里，我们写下Д（0）和Д（1），虽然它们的值是0和1，但当扩展到多周期模型时，下面的公式（3.5）将提供更多信息。假设E1,2[ξ]=u（1，X）。那么根据定义，我们应该有（1，-1） =克(-2)1.- Φ(1 , 2, -1;)+ g（0）Φ（1，2，-1;),（3.2）u（1，1）=g（0）1.- Φ(1 , 2, 1;)+ g（2）Φ（1，2，1；）。（3.3）假设u（1，·）也在增加，那么通过（2.3）我们得到了（3.4）E0,1[E1,2[ξ]]=E0,1[u（1，X）]=u（1，-1 )φ(1) - φ()+u（1，1）φ() - φ(0).将（3.2）插入（3.4）：E0,1[E1,2[ξ]]=g(-2)1.- Φ(1 , 2, -1;)φ(1) - φ()+ g（2）Φ（1，2，1；）[φ() - ^1（0）]+克（0）Φ(1, 2, -1;)φ(1) - φ()+1.- Φ(1 , 2, 1;)[φ() - φ(0)].回想一下（2.12），我们希望所有g的上述值都等于（3.1）∈ 我

这导致了一个自然而独特的选择：Φ（1，2，-1;) :=φ() - φ()φ(1) - φ(), Φ(1, 2, 1;) :=φ() - φ(0)φ() - φ(0).（3.5）因此，（3.2）现在是adsu（1，-1） =克(-2)1.- Φ(1 , 2, -1;)+ g（0）Φ（1，2，-1;),（3.6）u（1，1）=g（0）1.- Φ(1 , 2, 1;)+ g（2）Φ（1，2，1；）。（3.7）注意，由于Д（·）严格地增加。假设进一步使用（3.5），我们有0<Φ（1，2，-1;) < 1, 0 < Φ(1, 2, 1;) < 1.（3.8）10 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG ZHANG0 0-1.-21/21/21/21/21/21/2g（2）E[ξ]（1）E[ξ]g（0）E[ξ](-1） g级(-2） q+0,0q-0,0q+1,1q-1,1q+1,0q+1,0图1。两周期二项式tree：左为X，右为Et[ξ]，带（q+i，j，q-i、 j）in（3.9）。注意，（3.6）和（3.8）表示u（1，-1) ≤ g（0）≤ u（1，1），因此u（1，·）是不变的。最后，我们注意到，离散的经验E0,1[u（1，X）]、E0,2[g（X）]和扭曲的条件期望E1,2[g（X）]可被视为标准期望和条件期望，但在图1右图中描述的新扭曲概率下，其中（3.9）q+0,0：=Д（），q+1,1：=Д（）- φ(0)φ() - Д（0），q+1,0：=Д（）- φ()φ(1) - ^1（），q-i、 j：=1- q+i，j。该程序类似于在期权定价理论中找到风险中性度量，而νtin（3.9）r的参数表示简单随机游走的分位数。备注3.1。（i） 现在我们来解释为什么假设g∈ 一、 实际上，假设g在减小。然后通过（2.2）和类似的参数，我们可以看到Φ（1，2，1；）=φ() - φ()φ(1) - φ(), Φ(1, 2, -1;) =φ() - φ(0)φ() - φ(0).概率失真11这通常不同于（3.5）。也就是说，我们无法找到一个通用的时间一致性动态失真函数，该函数既适用于递增函数，也适用于递减函数g.（ii）适用于固定（可能没有n-单调）函数g:R→ [0, ∞), 可以构造Φ，使E0,2[g（X）]=E0,1[E1,2[g（X）]]。

然而，这个Φ可能取决于g。在我们看来，这太特殊了，因此不可取。（iii）另一个具有挑战性的情况是X具有交叉边。这以不同的方式破坏了单调性，Φ可能不存在，我们将在下面的示例3.2中看到。有两种方法可以理解这里的主要困难：图2中的二叉树和g∈ 一、 ou（1，-1） 是g的加权平均值(-2） g（1），u（1，1）是g的加权平均值(-1） 和g（2）。自g起(-1） <g（1），对于任何给定的Φ，都存在一些g∈ I使得u（1，- 1） >u（1，1），即u（1，·）在x中不增加。o在E1,2[g（x）]中，条件概率p=p（x=1 | x=-1） 将有助于g（1）的重量，但不影响g的重量(-1). 然而，由于g(-1） <g（1），在E0,2[g（X）]中，pw也会对g（1）的重量作出贡献。这种差异破坏了塔的财产。当扩散系数为非常数时，同样的问题也会持续出现；见下文备注5.4。下面的示例表明，必须要求树正在重新组合。示例3.2。假设X遵循图2和图g中的二叉树∈ 我严格地说是在增加。一般来说，不存在时间一致的动态畸变函数Φ。1 1-1.-1.-21/21/21 - ppp1- p图2。具有交叉边的两周期二叉树。证据通过（2.2），我们得到0,2[g（X）]=g(-2)[1 - ^1（1+p）]+克(-1） [^1（1+p）- φ(1 - p+p）]+g（1）[Д（1- p+p）- φ(1 - p） ]+g（2）~n（1）- p） 。12 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang假设E1,2[g（X）]=u（1，X）。那么根据定义，我们应该有（1，-1） =克(-2) [1 - Φ(1, 2, -1.p） ]+g（1）Φ（1，2，-1.p） ，u（1，1）=g(-1) [1 - Φ(1, 2, 1; 1 - p） ]+g（2）Φ（1，2，1；1- p） 。在不丧失一般性的情况下，假设u（1，-1） <u（1，1），情况u（1，1）<u（1，-1） 可以进行类似的分析。

ThenE0,1[E1,2[g（X）]]=g(-2) [1 - Φ(1, 2, -1.p） ]1.- φ()+ g（1）Φ（1，2，-1.p）1.- φ()+g级(-1) [1 - Φ(1, 2, 1; 1 - p） ]Д（）+g（2）Φ（1，2，1；1- p） ^1（）。如果塔性能保持：E0,2[g（X）]=E0,1E1,2[克（X）]对于所有g∈ 一、 比较g的重量(-1） g（2）我们有1.- Φ(1 , 2, 1; 1 - p）Д（）=Д（1+p）- φ(1-p+p），Φ（1，2，1；1- p） Д（）=Д（1-p） 。将上述两项相加，我们得到了Д（）=Д（1+p）- φ(1 - p+p）+Д（1- p） 。（3.10）这种平等并不总是成立的。换句话说，除非满足（3.10），否则图2中的模型没有时间一致性Φ。3.2. 一般二叉树案例。现在，我们将我们的想法扩展到一个通用的多项式树模型。设T由点0=T<···<tN和letX={Xti}0组成≤我≤Nbe是一个有限状态马尔可夫过程，对于每个i=0，N、 X取xi，0<···<xi，i，并具有以下转移概率：（3.11）PXti+1=xi+1，j+1Xti=xi，j= p+i，j，pXti+1=xi+1，jXti=xi，j= p-i、 j：=1-p+i，j，其中p±ij>0。N=3的情况见图3。我们还假设∈ T{0}我们得到了一个畸变函数νti。根据第3.1节中的分析，我们将发现一个扭曲的概率测量值Q，因此，对于所有g∈ 一、 （3.12）这意味着Es的塔特性，会立即自然地导致时间一致的动态畸变函数。牢记（3.9），我们定义了二叉树模型的以下扭曲概率：0≤ j≤ 我≤ N、 （3.13）q+i，j：=Дti+1（Gi+1，j+1）- ^1ti（Gi，j+1）Дti（Gi，j）- ^1ti（Gi，j+1），q-i、 j：=1-q+i，j，其中Gi，j：=P（Xti≥ xi，j）。我们进一步假设Gi，i+1：=0和Д（p）：=p。从（3.13）开始，为了使0<q+i，j<1，它必须（并且我们将）假设所有（i，j）的Дti（Gi，j+1）<Дti+1（Gi+1，j+1）<Дti（Gi，j）。（3.14）直观地说，（3.14）是一种技术条件，它表明·不能在时间上快速变化。

显然，当φt≡ φ. 现在让Q为概率失真13x3,3x2,2x1,1x3,2x0,0x2,1x1,0x3,1x2,0x3,0p+0,0p-0,0p+1,1p-1,1p+1,0p-1,0p+2,2p-2,2p+2,1p-2,1p+2,0p-2,0图3。X（等价）概率测度的三周期二叉树，其中X是马尔可夫，转移概率由（3.15）Q给出Xti+1=xi+1，j+1Xti=xi，j= q+i，j，qXti+1=xi+1，jXti=xi，j= q-i、 我们首先有以下简单引理。引理3.3。假设（3.14）保持和g∈ 一、 对于0<n≤ N、 定义un（x）：=g（x），对于i=N- 1.0，ui（xi，j）：=q+i，jui+1（xi+1，j+1）+q-i、 jui+1（xi+1，j），j=0，i、 （3.16）然后ui增加，等式[g（Xtn）| Fti]=ui（Xti）。证据从二叉树结构可以明显看出，EQ[g（Xtn）| Fti]=ui（Xti）。我们用反向归纳法证明了u的单调性。首先，un=g在增加。假设ui+1正在增加。然后，注意到xi，j在j和q+i，j+q中增加-i、 j=1表示所有i，j，by（3.16）we haveui（xi，j）≤ q+i，jui+1（xi+1，j+1）+q-i、 jui+1（xi+1，j+1）=ui+1（xi+1，j+1）≤ q+i，j+1 i+1（xi+1，j+2）+q-i、 j+1 i+1（xi+1，j+1）=ui（xi，j+1）。因此，UIS也在增加。我们注意到（3.16）可以被视为“离散偏微分方程”。这个想法激励我们在下一节中处理连续时间模型。下面是本节的主要结果。定理3.4。假设（3.14）。然后存在唯一的时间一致性动态变形函数Φ，使得Φ（t，tn，x0,0；p）=φtn（p），对于n=1，N、 对于所有0≤ i<n≤ N，0≤ j≤ i、 和0≤ k≤ n、 我们有（3.17）Φ（ti，tn，xi，j；P{Xtn≥ xn，kXti=xi，j}）=Q{Xtn≥ xn，kXti=xi，j}。14 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang此处唯一性仅在（3.17）左侧所有k的条件生存概率下存在。此外，相应的条件非线性期望满足（3.12）。证据

我们首先证明（3.17）有一个满足期望d初始条件的解。注意，P{Xtn≥ xn，kXti=xi，j}a和Q{Xtn≥ xn，kXti=xi，j}在k中急剧下降，固定为0≤ i<n≤ N和xi，j。然后可以很容易地定义函数Φ，这取决于（3.17）适用于所有xn，k，0的ti，tn，xi，j，so≤ k≤ n、 此外，初始条件Φ（t，tn，x0,0；p）：=Дtn（p）等于Дtn（p{Xtn≥ xn，k}）=Q{Xtn≥ xn，k}，0≤ n≤ N、 0个≤ k≤ n、 （3.18）我们将通过归纳n来证明（3.18）。第一次回忆ν（p）=p，p{Xt=x0,0}=Q{Xt=x0,0}=1，因此（3.18）显然适用于n=0。假设现在i等于n<n。然后Q{Xtn+1=xn+1，k}=Q{Xtn=xn，k-1} q+n，k-1+Q{Xtn=xn，k}Q-n、 k级=Q{Xtn≥ xn，k-1} - Q{Xtn≥ xn，k}q+n，k-1+Q{Xtn≥ xn，k}- Q{Xtn≥ xn，k+1}q-n、 k级=^1tn（Gn，k-1) - ^1tn（Gn，k）q+n，k-1+^1tn（Gn，k）- ^1tn（Gn，k+1）[1 - q+n，k]=~ntn+1Gn+1，k）- ^1tn（Gn，k）+^1tn（Gn，k）- ^1tn+1Gn+1，k+1）= ^1tn+1Gn+1，k）- ^1tn+1Gn+1，k+1）。这将立即导致n+1的（3.18），从而完成诱导步骤。接下来，我们证明了上述构造的Φ确实是一个时间相关的动态变形函数。我们首先指出，对于这个离散模型，只有（3.17）a左侧的Φ值相关，可以将Φ扩展到所有p∈ [0，1]通过线性插值。然后，通过（3.17），可以直接表明Φ（ti，tn，xi，j；·）满足定义2.1（i）。此外，根据（2.11）、（2.3）和（3.17），对于任何g∈ I Wehaveti，tn【g（Xtn）】Xti=xi，j=nXk=0g（xn，k）hΦti，tn，xi，j；P{Xtn≥ xn，kXti=xi，j}-Φti，tn，xi，j；P{Xtn≥ xn，k+1Xti=xi，j}i=nXk=0g（xn，k）hQ{Xtn≥ xn，kXti=xi，j}- Q{Xtn≥ xn，k+1Xti=xi，j}i=等式g（Xtn）Xti=xi，j.也就是说，（3.12）成立。此外，fix n和g，并让uibe如L emma 3.3所示。自从UMIS增加以来，我们有ETI，tmEtm，tn【克（Xtn）】= Eti，tm[um（Xtm）]=ui（Xti）=Eti，tn[g（Xtn）]，0≤ i<m<n。此验证（2.12）。

因此Φ是一个时间一致的动态畸变函数。Φ的唯一性有待证明。假设Φ是一个任意时间一致的动态畸变函数。对于任何适当的i、j和g∈ 一、 根据引理3.3的论证，我们可以看到u（ti，xi，j）：=Eti，ti+1g（Xti+1）]Xti=xi，j=g（xi+1，j）[1- Φ（ti，ti+1，xi，j；p+i，j）]+g（xi+1，j+1）Φ（ti，ti+1，xi，j；p+i，j）概率畸变15在xi，j中增加。然后通过（2.3）a和我们拥有的塔特性xkg（xi+1，k）[Дti+1（Gi 1，k）- ^1ti+1（Gi+1，k+1）]=E0，ti+1[g（Xti+1）]=E0，tiEti，ti+1[克（Xti+1]= E0，tiu（ti，Xti）=Xju（ti，xi，j）[^1ti（Gi，j）- ^1ti（Gi，j+1）]=Xjhg（xi+1，j）[1- Φ（ti，ti+1，xi，j；p+i，j）]+g（xi+1，j+1）Φ（ti，ti+1，xi，j；p+i，j）i×[φti（Gi，j）- ^1ti（Gi，j+1）]。由g的任意性∈ 一、 这意味着1- ^1ti+1（Gi+1,1）=[1- Φ（ti，ti+1，xi，0；p+i，0）][1- ^1ti（Gi，1）]；^1ti+1（Gi+1，k）- ^1sti+1（Gi+1，k+1）=[1- Φ（ti，ti+1，xi，k；p+i，k）][Дti（Gi，k）- ^1ti（Gi，k+1）]+Φ（ti，ti+1，xi，k-1.p+i，k-1） [^1ti（Gi，k-1) - ^1ti（Gi，k）]，k=1，i+1。这相当于，表示ak：=Φ（ti，ti+1，xi，k；p+i，k）[Дti（Gi，k）- ^1ti（Gi，k+1）]，a=Дti+1（Gi+1,1）- ^1ti（Gi，1）；ak公司-1.- ak=[Иti+1（Gi+1，k）- ^1ti+1（Gi+1，k+1）]- [^1ti（Gi，k）- ^1ti（Gi，k+1）]。显然，上述方程有唯一的解，因此我们必须有Φ（ti，ti+1，xi，k；p+i，k）=q+i，k。这进一步意味着Eti，ti+1[g（Xti+1）]=EQ[g（Xti+1 | Fti）。现在，Eti，tn和EQ[·······]都满足塔的性能，然后Eti，tn[g（Xtn）]=EQ[g（Xtn | Fti）]，对于所有的所有的塔∈ 一、 因此Eti，Tn是唯一的，这立即意味着Φ的唯一性。备注3.5。（i） 我们应该注意到，我们构造的动态畸变函数Φ实际上取决于X在P和Q下的生存函数，另请参见下面的（4.22）。（二）我方Φ的施工及时在当地进行。