概率失真下的时间一致性条件期望

注意，通过（4.16）和（4.21），我们得到了|u|≤ C[1+| x |]，pДρ≤CρG[1- G]≤ C[1+| x |]|徐|≤ 总工程师-x、 然后，通过发送m→ ∞ 在（4.26）中，应用支配收敛定理，我们得到了（4.24），从而得到了定理。备注4.8。在定义Φ（见（4.22））时，我们要求初始时间s为严格正。事实上，当s=0时，XS的分布会退化，并且USu可能具有s奇异性。例如，假设Д（t，·）=Д（·）独立于t和b≡ 0，x=0。然后u（t，x）=-Д′（G（t，x））2Д′（G（t，x））√πte-x2t。24 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang甚至不清楚以下SDE在ge ne ral中是否适配：▄Xt=Ztu（s，▄Xs）ds+Bt。相应地，如果我们在（0，T）×R上考虑以下PDE：L u（T，x）=0，（T，x）∈ （0，T）×R，u（T，x）=g（x）。那么不清楚lim（t，x）是否→存在（0,0）u（t，x）。与dis c-rete情况下的Theorem3.4不同，令人惊讶的是，时间一致性动态畸变函数并非唯一的。设Φ是0<s<t的任意时间一致的动态畸变函数≤ T（当s=0时，不一定与该点的φtw一致）。固定0<t≤ T对于任何s∈ （0，t）和g∈ 一、 定义u（s，x）：=ZRˇΦ（s，t，x；P（g（Xt）≥ y | Xs=x））ds。（4.27）相应的{ˇEs，t}是时间一致的，即塔的属性成立。假设71Φ通过（4.23）a Q-diffusionˇX定义系数ˇu，ˇσ，即ˇΦ（s，t，X；P（Xt≥ y | Xs=x））=P（y Xs，xt≥ y） 式中，其中71xs，xt=x+Rtsˇu（r，71xs，xr）dBr+Rtsˇσ（r，71xs，xr）dBr，P-a.s.（4.28）和ˇu满足与ˇx的微型生成器相对应的以下PDE：tˇu+ˇσxxˇu+ˇuxˇu=0，（s，x）∈ （0，t）×R；ˇu（t，x）=g（x）。（4.29）我们有以下更一般的结果。定理4.9。

假设4.1和4.3保持不变，且71Φ是对应于（4.28）的任意平滑时间一致（对于t>0）动态失真函数。假设71u和71σ非常平滑，使得G u是平滑的，并且下面（4.31）中的各部分进行积分。那么71Φ与初始条件71Φ（0，t，x；p）=Дt（p）一致，当且仅当71u=b+σxˇσ+[ˇσ- 1]xρρ+t^1pДρ-ˇσppДρ2p^1。（4.30）特别是，如果我们限制在ˋσ=1的情况下，那么ˋu=u，因此ˋΦ=Φ是唯一的。证据71Φ与初始条件Φ（0，t，x；p）=φt（p）的一致性相当于71u的（4.24），其中71u是（0，t）上具有终端条件g的PDE（4.29）的解。与（4.25）类似，我们有概率失真25ddtE0，tˇu（t，Xt）]=ZRh公司[tИ+p^1tG]xˇu+Дtxˇuidx=ZRh[tИ+p^1tG]xˇu+pДρtˇuidx=ZRhtИ+pД[bρ-xρ]xˇu- pДρˇσxxˇu+ˇu徐idx=ZRhtИ+pД[bρ-xρ]- pДρˇuxˇu（4.31）+xˇu- ppДρˇσ+p^1xρˇσ+2pДρˇσxˇσidx=ZRhb+ˋσxˇσ+t^1pДρ-ˇσppДρ2pД+[ˇσ- 1]xρρ- ˇuipДρxˇudx。自从pДρ>0，并且g，因此ˇu是任意的，我们得到了（4.24）和（4.30）的等价性。备注4.10。（i） 当ˇσ6≡ 1，给定Xs=x，则ˇXs，xt的定律可以是xtx的条件定律的奇异性。也就是说，代理可能会如此显著地扭曲概率，以至于扭曲的概率是原始概率的奇异性。例如，一些在原始概率下为零的事件可能会被扭曲成一个积极的甚至完全的度量，因此代理可能会对一些永远不会发生的事情过于担忧，这在实践中似乎是不合理的。我们的结果表明，如果排除这种类型的外畸变，那么对于给定的{νt}，时间一致的动态畸变函数Φ是唯一的。（ii）在第3.2节中的离散情况下，由于bino-mialtree的特殊结构，我们总是有| Xti+1- Xti |=h。

那么对于任何可能的Q，我们总是有EQ|Xti+1- Xti公司|Xti=xi，j= h、 在连续时间模型中，这意味着ˋ∑≡ 1、这就是为什么我们无法在OREM3.4.4.3中获得唯一性。收敛性的严格证明。我们注意到，理论4.7已经为恒差情况下的所需时间一致性条件期望提供了定义。然而，仍然值得一问的是，第4.1节中的离散系统是否确实收敛到第4.2节中的连续时间系统，尤其是从数值近似的角度来看。因此，我们认为，我们现在描述的详细收敛分析本身就很有趣。对于每个N，表示h：=hN：=TN，ti：=tNi：=ih，i=0，N、 如第4.1节所述。考虑（4.3）和（4.5）中的符号，并表示ρNi，j：=PN（XNti=xi，j）/（2√h） 。（4.32）提案4.11。根据Assu mptions4.1，对于任何序列（tNi、xNi、j）→ （t，x）∈（0，T）×R，我们有GNi，j→ G（t，x）和ρNi，j→ ρ（t，x）为N→ ∞.我们再次将此证明推迟到第6.26节JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和Jaafeng Zhang定理4.12。让A s SUMPTION 4.1和4.3保持不变，g∈ 一、 对于每个N，考虑（4.3）和（4.5）中的符号，并通过反向归纳法确定（3.16）：（4.33）uNN（x）：=g（x），uNi（xi，j）：=qN，+I，juNi+1（xi+1，j+1）+qN，-i、 juNi+1（xi+1，j），i=N-1.0。那么，对于任何（t，x）∈ （0，T）×R和任意序列（tNi，xNi，j）→ （t，x），我们有limn→∞uNi（xi，j）=u（t，x）。（4.34）证明。定义（t，x）：=lim supN→∞,ti公司↓t、 xi，j→xuNi（xi，j），u（t，x）：=lim infN→∞,ti公司↓t、 xi，j→徐妮（xi，j）。我们将证明u是de（4.20）的粘性亚解，u是de（4.20）的粘性上解。根据偏微分方程（4.20）的比较原理，我们得到了u=u=u，这意味着（4.34）立即。我们只需要证明u是一个粘性亚解。ucan的粘度上解性质也可以得到类似的证明。固定（t，x）∈ （0，T）×R。

设w为光滑测试函数a t（t，x），使得-u] （t，x）=0≤ 【w】-u] （t，x）表示所有（t，x）∈ [t，t]×r满足t- t型≤ δ、 | x-x |≤ δ对于某些δ>0。引入w（t，x）：=w（t，x）+δ-5[| t-t |+| x- x |]。（4.35）然后【】w-u] （t，x）=0<Cδ≤ infδ≤|t型-t |+| x-x个|≤δ[￠w- u] （t，x）。根据u（t，x）的定义，通过选择N的子序列，在不丧失一般性的情况下，我们假设存在（iN，jN）这样的tiN↓t、 xiN，jN→x、 安德林→∞uNiN（xiN，jN）=u（t，x）。由于u和una是有界的，对于δsmall，我们有cn：=[w- uN]（tiN，xiN，jN）<2Cδ≤ infδ≤|ti公司-t |+| xi，j-x个|≤δ[￠w- 联合国]（ti，xi，j）。表示C*N： =输入≤ti公司≤t+δ，| xi，j-x个|≤δ[￠w- uN]（ti，xi，j）=[w- uN]（ti）*N、 xi*N、 j*N）≤ 中国。那么很明显| ti*N-t |+| xi*N、 j*N-x |<δ。此外，通过Compacity论证，通过选择子序列，我们可以假设（ti*N、 xi*N、 j*N）→ （t*, x个*).

然后0=limN→∞中国大陆≥ lim支持→∞[w- uN]（ti）*N、 xi*N、 j*N） =▄w（t*, x个*) - lim信息→∞uN（ti*N、 xi*N、 j*N）≥ w（t*, x个*) -u（t*, x个*) ≥ δ-5[| t*- t |+| x*- x |]。即，（t*, x个*) = （t，x），名称Limn→∞（ti*N、 xi*N、 j*N） =（t，x）。（4.36）注意▄w（ti*N、 xi*N、 j*N） =uN（ti*N、 xi*N、 j*N） +c*N=qN，+i*N、 j*修女（ti*N+1，xi*N+1，j*N+1）+qN，-我*N、 j*修女（ti*N+1，xi*N+1，j*N） +c*N≤ qN，+i*N、 j*Nw（ti*N+1，xi*N+1，j*N+1）+qN，-我*N、 j*Nw（ti*N+1，xi*N+1，j*N） 。概率失真27Then，表示（i，j）：=（i*N、 j*N） 为了简化符号，我们有0≤ qN，+i，jw（ti+1，xi+1，j+1）- ~w（ti，xi，j）+ qN，-i、 jw（ti+1，xi+1，j）- ~w（ti，xi，j）= qN，+i，j[tw（ti，xi，j）h+xw（ti，xi，j）√h类+xxw（ti，xi，j）h]（4.37）+qN，-i、 j[tw（ti，xi，j）h- x~w（ti，xi，j）√h类+xxw（ti，xi，j）h]+o（h）=[tw（ti，xi，j）+xxw（ti，xi，j）]h+[qN，+i，j- qN，-i、 j]xw（ti，xi，j）√h+o（h）。注意qn，+i，j- qN，-i、 j=1+2Иti+1（GNi+1，j+1）- Дti（GNi，j）Дti（GNi，j）- νti（GNi，j+1）；νti（GNi，j）- νti（GNi，j+1）=Дti（GNi，j）- ^1ti（GNi，j- 2ρNi，j√h） =pД（ti，GNi，j）2ρNi，j√h+o(√h） ；^1ti+1（GNi+1，j+1）- νti（GNi，j）=Дti+1GNi，j- 2ρNi，j√hp（马力）-i、 j- ^1ti（GNi，j）=tхti（GNi，j）h- pхti（GNi，j）2ρNi，j√hp（马力）-i、 j+ppДti（GNi，j）[2ρNi，j√hp（马力）-i、 j]+o（h）=tхti（GNi，j）h- pхti（GNi，j）ρNi，j√h[1- bi，j√h]+ppДti（GNi，j）[ρNi，j]h+o（h）。然后，表示Gi，j：=G（ti，xi，j），ρi，j：=ρ（ti，xi，j），并通过命题4.11，qN，+i，j- qN，-i、 j=tхti（GNi，j）h+pхti（GNi，j）ρNi，jbi，jh-ppДti（GNi，j）[ρNi，j]h+o（h）pД（ti，GNi，j）ρNi，j√h+o(√h） =hbi，j+tхti（GNi，j）-ppДti（GNi，j）[ρNi，j]pД（ti，GNi，j）ρNi，j+o（1）i√h=hbi，j+tхti（Gi，j）-ppДti（Gi，j）[ρi，j]pД（ti，Gi，j）ρi，j+o（1）i√h类=u（ti，xi，j）+o（1）√h、 因此，通过（4.37）和（4.36），0≤h类tw（ti，xi，j）+xxw（ti，xi，j）+u（ti，xi，j）xw（ti，xi，j）ih+o（h）=htw（t，x）+xxw（t，x）+u（t，x）xw（t，x）ih+o（h）。这意味着Lw（t，x）≥ 通过（4.35），很明显L w（t，x）=Lw（t，x）。然后L w（t，x）≥ 0，因此u是（t，x）处的粘度亚溶液5.

一般扩散情况。在本节中，我们考虑了SDE给出的一般微分过程：Xt=x+Ztb（s，Xs）ds+Ztσ（s，Xs）dBs，P-a.s.（5.1），如果σ是非退化的，这个问题可以转换回（4.1）：（5.2）Xt：=ψ（t，Xt），x：=ψ（0，x），其中ψ（t，x）：=Zxdyσ（t，y）。28 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang然后，通过简单应用It^o公式，我们得到（5.3）^Xt=^x+Zt^b（s，^Xs）ds+Bt，其中^b（t，x）：=tψ+bσ-xσ（t，ψ-1（t，x））。此处ψ-1是x 7的逆映射→ ψ（t，x）。表示（5.4）G（t，x）：=P（Xt≥ x） ，ρ：=-xG，^G（t，x）：=P（^Xt≥ x） ，ρ：=-为了制定一个严格的声明，我们将做出以下假设。假设5.1。函数b，σ是充分光滑的，并且b，σ和所需的导数都是有限的。此外，σ≥ c> 0。下面的结果是即时的，我们省略了证明。引理5.2。根据假设5.1，我们有（i）（5.3）满足假设4.1中定义的^b；（ii）G（t，x）=^G（t，ψ（t，x）），ρ（t，x）=^ρ（t，ψ（t，x））σ（t，x）是充分光滑的，并且满足（4.13）。以下是本节的主要结果。定理5.3。假设假设5.1和4.3保持不变。设ˋΦ是由（4.28）确定的0<s<t的时间一致性动态畸变函数≤ T，其中_σ和ˋu满足与定理4.9中相同的技术要求。则71Φ与初始条件71Φ（0，t，x；p）=Дt（p）一致，当且仅当71u=b- σxσ+ˋσxˇσ+[ˇσ- σ]xρρ+tИ（t，G（t，x））pД（t，G（t，x））ρ-ˇσρppД（t，G（t，x））2p^1（t，G（t，x））。（5.5）特别是，如果我们要求ˋσ=σ，那么ˋΦ是唯一的，具有（5.6）ˋu（t，x）=u（t，x）：=b（t，x）+tИ（t，G（t，x））-ppД（t，G（t，x））ρσ（t，x）pД（t，G（t，x））ρ（t，x）。证据让g∈ I和ˇu是（0，T）×R上的PDE（4.29）的解，条件是g。那么ˇΦ与初始条件ˇΦ（0，T，x；p）=ˇT（p）表示映射T∈ （0，T）7→ E0，t[ˇu（t，Xt）]是一个常数。

注意E0，t[ˇu（t，Xt）]=ZRt（P（Xt≥ x） （）xˇu（t，x）dx=ZRИt（P（^Xt≥ ψ（t，x）））xˇu（t，x）dx。表示^x：=ψ（t，x）。然后（5.7）E0，t[ˇu（t，Xt）]=ZRДt（P（^Xt≥ ^x））^x^u（t，^x）d^x，wher e^u（t，^x）：=ˇu（t，ψ-1（t，^x））。注意，ˇu（t，x）=^u（t，ψ（t，x））。然后tˇu=t^u+^x^uxψ，xˇu=^x^uxψ，xxˇu=^x^x^u(xψ）+^x^uxxψ，因此PDE（4.29）表示0=t^u+^x^utψ+ˇσ^x^x^u(xψ）+^x^uxxψ+ ˇu^x^uxψ=t^u+（ˇσxψ）^x^x^u+tψ+ˋσxxψ+ˋuxψ^x^u.概率失真29回忆（5.3）和（5.7），无te，即G（t，x）=^G（t，ψ（t，x））。应用定理4。9我们发现所需的时间一致性相当于tψ+ˋσxxψ+ˋuxψ（5.8）=^b+（ˋσxψ）^x（_σxψ）+[（ˇσxψ）- 1]^x^ρρ+tИ（t，G（t，x））pД（t，G（t，x））^ρ-(ˇσxψ）ppД（t，G（t，x））^ρ2p^1（t，G（t，x））。请注意xψ^x（_σxψ）=^x（_σxψ），xψ=σ，xxψ=-xσσ，^ρ（t，ψ（t，x））=ρσ（t，x），^x^ρ=[xρσ+ρxσ]σ。那么（5.8）等于nttψ-ˇσxσ2σ+ˋuσ=tψ+bσ-xσ+ˇσxˇ∑σ-ˇσxσσ+[(ˇσσ)- 1][xρσρ+xσ]+tД（t，ψ（t，x））pД（t，G（t，x））ρσ-ˇσρppД（t，G（t，x））2pД（t，G（t，x））σ。这意味着（5.5）立即生效。备注5.4。在这句话中，我们本着第4.1节的精神，研究了generalSDE（5.1）可能的离散化。注意XTI+1≈ Xti+b（ti，Xti）h+σ（ti，Xti）[Bti+1- Bti]。对于期望的近似值XN，我们期望（5.9）EXNti+1-XNti公司XNti=x= b（ti，x）h+o（h），E（XNti+1-XNti）XNti=x= σ（ti，x）h+o（h）。然而，对于图3中的二叉树，在每个节点xi，jt只有一个参数p+i，jand，通常我们无法同时匹配漂移和波动率。为了克服这一问题，我们有三种自然选择：（i）第一种选择是使用三项式树近似：假设0<σ≤ C、 我们有xi，j=Cj√h、 j=-i、 。

，i，PXNti+1=xi+1，j+1XNti=xi，j= p+i，j，pXNti+1=xi+1，j-1.XNti=xi，j= p-i、 j，PXNti+1=xi+1，jXNti=xi，j= pi，j：=1- p+i，j- p-i、 j.对于N=2的情况，参见图ure4中的le-ft图。然后，通过选择适当的p+i，j，p-i、 j，可以实现（5.9）。然而，请注意，三项式树有交叉边，它们可能会破坏我们在上一节中使用的关键单调性，如备注3.1（iii）和示例3.2所示。（ii）第二种选择是使用二叉树近似，对于N=2的情况，参见图4中的rig ht图，其中x=x- σ（t，x）√h、 x=x+σ（t，x）√h、 σ=σ（t，x），σ=σ（t，x）。但同样存在交叉e边，因此违反了单调性。（iii）第三种选择确实很有效，即利用转换（5.2）。让^XNbe对（5.3）中的^X进行离散化，如第4.1节所述。那么XN：=ψ-1ti（^XNti）将用于我们的目的。我们跳过了细节。30 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG ZHANGx2,2x1,1x2,1x0,0x1,0x2,0x1，-1x2，-1x2，-2x+σ√hx公司- σ√hx公司- σ√hx+σ√HXXX图4。左：三项树；右：二进制树6。密度分析。在本节中，我们将证明第4.2和4条。估计值依赖于使用布朗桥的ρ的以下表示公式。这个结果是Karatzas Shreve【14，第5.6节，练习6.17】和Holdstree在多维情况下的直接结果。提案6.1。假设b有界。那么我们有以下表示公式：ρ（t，x）=√2πtexp-（十）-x） 2t+I（t，x）, t>0，其中？Mts：=RsdBrt-r、 (R)Xt，xs：=x+[x- x] st+[t- s] \'Mts，0≤ s<t；eI（t，x）：=EheRtb（s，Xt，xs）dBs+Rt[（x-x） b（s、Xt、xs）-b（s，\'Xt，xs）\'Mts-|b（s，(R)Xt，xs）|]dsi。（6.1）证明。由于我们将在提案4.11的标题中使用参数，尤其是下面（6.3）的参数，因此我们在此提供详细的pro。

为了简化符号，我们假设t=1，x=0。然后（6.1）变成：ρ（1，x）=√2πexp-x+I（x）, 其中？Ms：=RsdBr1-r、 (R)Xxs：=xs+[1- s] \'\'毫秒，0≤ s<1；eI（x）：=EheRb（s，’Xxs）dBs+R[xb（s，’Xxs）-b（s，\'Xxs）\'Ms-|b（s，(R)Xxs）|]dsi。（6.2）概率失真31我们首先表明（6.2）中最后一行的右侧是可积的。由于bis有界，因此必须证明以下（更强）主张：对于任何C>0和α∈ （0，2），EheCR | Ms |αdsi<∞.（6.3）事实上，通过时间变化s=t1+t，我们得到R | Ms |αds=R∞|\'Mt/（1+t）|α（1+t）dt。自Mt1+t i=Zt1+tdr（1- r） =t。根据Levy的描述，我们可以看到t 7→\'Mt/（1+t）是布朗运动。EheCR | Ms |αdsi=EheCR∞|Bt |α（1+t）dti=∞Xn=0Cnn！呃Z∞|Bt |α（1+t）dt镍。请注意，Z∞|Bt |α（1+t）dt≤ 支持≥0 | Bt |α（1+t）2+αZ∞dt（1+t）1+2-α=2 - αsupt≥0 | Bt |α（1+t）2+α。然后，对于一般常数C，EheCR |(R)Ms |αdsi≤∞Xn=0Cnn！Ehsupt公司≥0 | Bt | nα（1+t）n（2+α）i≤∞Xn=0Cnn！Ehsup0≤t型≤1 | Bt | nα+∞Xm=0supm≤t型≤2m+1 | Bt | nα（1+t）n（2+α）i≤∞Xn=0Cnn！Ehsup0≤t型≤1 | Bt | nα+∞Xm=0-mn（2+α）sup0≤t型≤2m+1 | Bt | nαi=∞Xn=0Cnn！Ehsup0≤t型≤1 | Bt | nα+∞Xm=0-mn（2+α）+（m+1）nαsup0≤t型≤1 | Bt | nαi≤∞Xn=0Cnn！Ehsup0≤t型≤1 | Bt | nαi∞Xm=0-锰（2-α)≤∞Xn=0Cnn！Ehsup0≤t型≤1 | Bt | nαi=肠出血性大肠杆菌sup0≤t型≤1 | Bt |αi。这意味着（6.3）立即。我们现在证明（6.2）。根据Karatzas Shreve【14，第5.6.B节】，{B=x}的条件，B是一个布朗桥，其条件定律等于'Xx定律。然后，根据Girsanov定理，G（1，x）=P（x≥ x） =EheRb（s，Bs）dBs-R | b（s，Bs）| ds{b≥x} i=Z∞x个√2πe-yEheRb（s、Bs）dBs-R | b（s，Bs）| dsB=yidy=Z∞x个√2πe-yEheRb（s，\'Xys）d\'Xys-R | b（s，Xys）| dsidy。这与事实d'Xxs=xds一起-(R)Msds+dBs，表示（6.2）立即。32 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang命题证明4.2。我们将再次证明t=1，x=0的情况。我们首先表明，对于（6.2）中的I，| I′（x）|≤ C、 （6.4）这与（6.1）一起，立即意味着（4.13）中的第一个估计。实际上，表示“b（t，x）：=Rxb（t，y）dy。

应用It^o公式，我们得到了“b（1，x）=”b（1，Xx）-\'b（0，\'Xx）=Zht'b（t，'Xxt）+xb（t，\'Xxt）idt+Zb（t，\'Xxt）d'Xxt。TheneI（x）=Ehe'b（1，x）-R[t'b（t，'Xxt）+xb（t，(R)Xxt）]dti。（6.5）关于x的区别，并注意到x'Xxt=t，我们有ei（x）I′（x）=Ehe'b（1，x）-R[t'b（t，'Xxt）+xb（t，(R)Xt）]dtb（1，x）-Zt公司[tb（t，(R)Xxt）+xxb（t，(R)Xt）]dti、 这意味着ei（x）| i′（x）|≤ CEhe？b（1，x）-R[t'b（t，'Xxt）+xb（t，\'Xt）]dti=CeI（x），因此| I′（x）|≤ C、 接下来，我们验证x>0时（4.13）的秒部分。同样可以证明ca se x<0。很明显，它需要验证x large。注意g（1，x）ρ（1，x）=Z∞ρ（1，x+y）ρ（1，x）dy=Z∞eI（x+y）-（x+y）+x-I（x）dy=Z∞eI（x+y）-I（x）-xy型-伊迪。那么，对于x>C+1，其中C是I′，G（1，x）ρ（1，x）的界≤Z∞eCy公司-xydy=x- C≤ 1.G（1，x）ρ（1，x）≥Ze公司-Cy公司-xy型-ydy公司≥ e-1.- e-x个-Cx+C≥cx，完成证明。命题证明4.11。GNis标准的收敛性，也被ρN，s的协收敛性所暗示，因此我们将只证明后者。为简单起见，假设T=1。注意，ρ在（0，T）×R中是局部一致连续的。如果没有普遍性，我们只能估计ρN（1，x）- ρ（1，x）| x在XN范围内。我们重新标记，我们将假定| x |≤ 对于某些常数R>0，在下文中，一般常数C可能取决于R。设ξNi，i=1，N be i.i.d.带P（ξNi=√N） =P（ξNi=-√N） =，BNt=0，BNti+1：=BNti+ξNi+1，表示bNi：=b（ti，BNti）。介绍conditionalexpection:Ex[·]：=E· |BN=x.然后我们看到ρN（1，x）=P（XN=x）/（2√h） =Eh∏N-1i=0[1+bNiξNi+1]1{BN=x}i/（2）√h） =排气∏N-1i=0[1+bNiξNi+1]iP（BN=x）/（2√h） =ExhePN-1i=0[bNiξNi+1-|bNi | h][1+o（1）]iP（BN=x）/（2√h） 。概率失真331 c可以很容易地表明limN→∞P（BN=x）/（2√h）=√2πe-x、 通过使用斯特林近似的元素参数。