概率失真下的时间一致性条件期望

特别是，所有结果都可以在有限时间内扩展到cas：0=t<t<···。（iii）我们对Φ的构造在州内也是局部的，因为Φ（ti，tn，xi，j；·）只涉及根在（ti，xi，j）的子树。4、恒定扩散情况。在本节中，我们设置T=[0，T]，并考虑以下情况，其中底层状态过程X是一个一维马尔可夫过程，满足以下条件，且具有常数差系数：Xt=X+Ztb（s，Xs）ds+Bt，（4.1），其中B是给定过滤概率空间上的一维标准布朗运动(Ohm, F、 {Ft}0≤t型≤T、 P）。我们再次给出初始畸变函数{Дt=Д（t，·）}0<t≤TandИ（p）≡ p、 我们的目标是构造一个时间一致的动态畸变函数Φ和相应的时间一致的畸变条件期望Es，tfor（s，t）∈ T、 我们将施加以下技术条件。16 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang假设4.1。函数b是完全光滑的，且所需导数b和t都有界。显然，假设SDE（4.1）是适定的。b的进一步正则性用于对Xt的密度进行一些尾部估计，这是我们构建时间c一致动态畸变函数Φ和畸变概率测度Q所需的。通过更仔细地研究我们的论点，我们可以确定我们将需要的精确技术条件。然而，由于我们的主要关注点是动态失真函数Φ，为了便于阅读，我们宁愿不执行这些细节。4.1. 二叉树逼近。我们的想法是通过一系列二叉树来近似X，然后应用上一节的结果。为此，对于f x d N，表示h：=TN，ti：=ih，i=0，··，N。

则（4.1）可分解如下：Xti+1≈ Xti+b（ti，Xti）h+Bti+1- Bti。（4.2）我们首先在TN上构建二叉树：={ti，i=0，…，N}，如第3.2小节所示，其中（4.3）x0,0=x，xi，j=x+（2j-（一）√h、 bi，j：=b（ti，xi，j），p+i，j：=+bi，j√h、 由于b是有界的，我们假设h足够小，以至于0<p+i，j<1。让XNdenote在（4.3）中指定的概率下记录对应于该二叉树的马尔可夫链。然后我们选择p+i，jensures thatEPNXNti+1- XNti公司XNti=xi，j= p+i，j√h类- p-i、 j√h=bi，jh；（4.4）EPNXNti+1- XNti公司- bi，jhXNti=xi，j= p+i，j(√h类- bi，jh）+p-i、 j(√h+bi，jh）=h- bi，jh。显然，作为一种标准的欧拉近似，XNmatches（4.2）中X的条件期望和条件方差，高达o（h）阶。接下来，我们将在第3.2节中定义其他术语：GNi，j：=PN{XNti≥ xi，j），qN，+i，j：=Дti+1（GNi+1，j+1）-^1ti（GNi，j+1）Дti（GNi，j）-^1ti（GNi，j+1），qN，-i、 j：=1- qN，+i，j；QN公司XNti+1=xi+1，j+1XNti=xi，j= qN，+i，j，qNXNti+1=xi+1，jXNti=xi，j= qN，-i、 j；ΦNti，tn，xi，j；PN编号XNtn公司≥ xn，kXNti=xi，j:= QN公司XNtn公司≥ xn，kXNti=xi，j.（4.5）我们将发送N→ ∞ 并分析了上述条款的局限性。在这一小节中，我们通过假设所有涉及dexist的函数都是光滑的，来试探性地评估极限。分别定义（4.1）中X的生存概率函数和密度函数：G（t，X）：=P（Xt≥ x） ，ρ（t，x）：=-xG（t，x），0<t≤ T、 （4.6）注意，作为分化过程（4.1）的生存功能，G满足以下PDE：甘油三酯=xxG- bxG=-xρ+bρ。（4.7）假设GNi，j是合理的≈ G（ti，xi，j）。注意，ti+1=ti+h，xi，j+1=xi，j+2√h、 xi+1，j+1=xi，j+√h、 重写Д（t，p）：=Дt（p）。

然后，对于（t，x）=概率失真17（ti，xi，j），乘以（4.7）并应用泰勒展开式（当上下文清晰时，抑制变量）：t+h，G（t+h，x+√h）- Д（t，G（t，x））=tИh+p^1[tGh+xG公司√h类+xxGh]+pp^1[xG]h+o（h）=-pДρ√h类+tИ+pДbρ- p^1xρ+ppДρh+o（h）；φt、 G（t，x+2√h）- Д（t，G（t，x））=p^1[xG2√h类+xxG4h]+聚丙烯[xG]4h+o（h）=-2.pДρ√h类- 2.p^1xρ- ppДρh+o（h）。因此，我们得到了qN，+i，jin（4.5）的近似值：qN，+i，j≈φt+h，G（t+h，x+√h）- φt、 G（t，x+2√h类φt、 G（t，x）- φt、 G（t，x+2√h）= 1 +-pДρ√h类+t~n+pДbρ- p^1xρ+ppДρ氢+氧（h）2pДρ√小时+2小时p^1xρ- ppДρih+o（h）（4.8）=+u（t，x）√h+o(√h） ，其中u（t，x）：=b（t，x）+tИ（t，G（t，x））-ppД（t，G（t，x））ρ（t，x）pД（t，G（t，x））ρ（t，x）。（4.9）接下来，没有XNti+1- XNti公司XNti=xi，j=√h[2qN，+i，j- 1] =u（ti，xi，j）h+o（h）；EQN（XNti+1- XNti公司- u（ti，xi，j）h）XNti=xi，j= h+o（h）。换句话说，作为N→ ∞, 我们的实验表明，qn将转化为概率测度Q，因此对于某些Q-布朗运动B，它认为xt=x+Ztu（s，Xs）ds+Bt，Q-a.s.（4.10）。此外，形式上，人们应该能够找到满足：（4.11）Φ的动态畸变函数Φs、 t，x；P{Xt≥ y | Xs=x}= Q{Xt≥ y | Xs=x}，0≤ s<t≤ T、 然而，由于X=xis退化，ρ（0，·）和u（0，·）不存在，因此上述收敛仅适用于0<s<T≤ T还值得注意的是，渐近（3.16）应为：u（t，x）≈[1+u（t，x）√h+o(√h） ][u（t+h，x+√h）- u（t+h，x-√h） ]+u（t+h，x-√h） =u（t，x）+tu公司+xxu+u徐h+o（h）。也就是说，L u（t，x）：=tu公司+xxu+uxu=0。（4.12）18 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang 4.2。连续TIME模型的严格结果。

我们现在将前面小节中的启发式参数化，并推导出连续时间模型的时间一致性动态畸变函数和畸变条件期望。我们首先对扩散密度进行了以下估计（4.1）。由于我们主要关注的是动态畸变函数，我们将证明推迟到下面的第6节。提案4.2。在As sumption4.1下，XT有一个密度函数ρ（t，x），该函数在（0，t）]×R上是严格正的，并且非常光滑。此外，对于任何0<t≤ T，存在常数C，可能取决于T，因此（4.13）|xρ（t，x）|ρ（t，x）≤ C、 C[1+| x |]≤G（t，x）[1- G（t，x）]ρ（t，x）≤ C、 （t，x）∈ [t，t]×R。我们接下来假设以下技术条件。假设4.3。在[0，T]×[0，1]上是连续的，在（0，T]×（0，1）上是充分光滑的p^1>0。此外，对于任何0<t<t，存在常数>0，因此对于（t，p）∈ [t，t]×（0，1）我们有以下界限：pp^1（t，p）p^1（t，p）≤Cp（1- p） ，则，购买力平价（t，p）p^1（t，p）≤Cp（1- p） ，（4.14）t^1（t，p）p^1（t，p）≤ Cp（1- p） ，则，tpИ（t，p）p^1（t，p）≤ C、 （4.15）我们注意到，考虑到G（t，x）、ρ（t，x）的存在以及ν的规则性，我们很好地定义了（4.9）中的函数u（t，x）。备注4.4。（i） 请注意，在（4.8）和（4.9）中，仅使用组分Д（t，G（t，x）），并且对于所有组分（t，x），显然0<G（t，x）<1∈ （0，T]×R。因此，我们不要求在p=0，1时存在差异。此外，由于pД>0，条件（4.14）仅涉及p周围的奇点≈ 0和p≈ 1.（ii）（4.14）中的第一行没有限制性。

例如，通过直接计算，可以验证文献中常用的以下所有畸变函数（参见，例如，Huang NguyenHuu Zhou【12，第4.2节】）满足：回顾文献中通常的Д（t，p）=Д（p）不依赖于t，oTversky和Kahnema【23】：Д（p）=pγ（pγ+（1-p） γ）1/γ，γ∈ [γ，1），其中γ≈ 0.279，以便Д增加。oTversky和Fox【22】：Д（p）=αpγαpγ+（1-p） γ，α>0，γ∈ (0, 1).o Prelec【20】：Д（p）=exp(-γ(-lnp）α），γ>0，α∈ (0, 1).o 王[24]：Д（p）=F（F-1（p）+α），α∈ R、 其中，F是标准的cdf nor mal。作为示例，我们检查最后一个不太重要的cdf。设置q：=F-1（p）。则Д（F（q））=F（q+α）==> Д′（F（q））=F′（q+α）F′（q）==> ln（Д′（F（q）））=ln（F′（q+α））- ln（F′（q））。概率失真19注意F′（q）=√2πe-q、 那么ln（F′（q））=-自然对数√2π -q、 Thusln（Д′（F（q）））=-（q+α）+q==>Д′（F（q））Д′（F（q））F′（q）=-α.这意味着，用G（q）表示：=1- F（q）标准正态的生存函数，|Д′（p）|Д′（p）p[1- p] =|α| F（q）[1- F（q）]F′（q）=α| G（q）[1- G（q）]F′（q），然后将（4.13）应用于s标准正态（即b=0和t=1），我们得到pp^1p^1。同样，我们可以估计ppp^1p^1。（iii）当Д（t，p）时≡ ^1（p）与标准文献中一样，（4.14）中的第二行是无关紧要的。另一个重要的例子是可分离的情况：Д（t，p）=f（t）Д（p）。假设f′有界。然后这里的第二个不等式变得复杂，第一个不等式的有效条件是Д（p）Д′（p）≤Cp（1-p） ，这适用于（ii）中的所有示例。为了更好地理解（4.9）中给出的u，我们显式地计算了一个示例。示例4.5。考虑Wang[24]的畸变函数：Д（t，p）=F（F-1（p）+α），如Remark4.4（ii）所示。设置b=0，然后u（t，x）=α√t、 证明。首先，很明显tД=0和pИ（t，p）=F′（F-1（p）+α）F′（F-1（p））。

然后pp^1（t，p）pД（t，p）=p自然对数p^1（t，p）=F′（F-1（p））hF′（F）-1（p）+α）F′（F-1（p）+α）-F′（F-1（p））F′（F-1（p））i.可以很容易地检查F′（x）=√2πe-x和F′（x）=-xF′（x）。然后pp^1（t，p）pИ（t，p）=F′（F-1（p））- [F-1（p）+α]+F-1（p）= -αF′（F-1（p））。注意g（t，x）=P（Bt≥ x） =P（B≥x个√t） =P（B≤ -x个√t） =F(-x个√t） 。则u（t，x）=αρ（t，x）F′（F-1（G（t，x））=αρ（t，x）F′(-x个√t） =α√2πte-x2t型√2πe-(-x个√t） =α√t、 完成证明。我们现在做一些技术准备。在整个过程中，我们将使用Cto表示一个通用常数，该常数可能因行而异。引理4.6。让Assum选项4.1和4.3保持不变。20 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG ZHANG（i）（4.9）定义的函数u在（0，T）×R中是非常平滑的。此外，对于任何0<T<T，存在C>0，使得（4.16）|u（T，x）|≤ C[1+| x |]|xu（t，x）|≤ C[1+| x |]，适用于所有（t，x）∈ [t，t]×R.（ii）对于任何（s，x）∈ （0，T）×R，[s，T]上的以下SD E具有唯一的strong解决方案：（4.17）~Xs，xt=x+Ztsu（R，~Xs，xr）dr+Bst，其中Bst：=Bt- Bs，t∈ [s，T]，P-a.s.，此外，下面的Ms，xis是真P-鞅，Po （￠Xs，x）-1=Qs，xo （Xs，x）-1，其中Xs，xt：=x+Bst，Ms，xt：=eRtsu（r，Xs，xr）dBr-Rts |u（r，Xs，xr）| dr，dQs，xdP：=毫秒，xT。（4.18）（iii）回顾（4.1）中的过程X。定义（4.19）Gs，xt（y）：=P（xt≥ y | Xs=x），~Gs，xt（y）：=P（~Xs，xt≥ y） ，0<s<t≤ T、 x，y∈ R、 然后Gs，xt和Gs，xt是连续的，在y上严格递减，并具有以下性质：Gs，xt(∞) := 石灰→∞Gs，xt（y）=0，~Gs，xt(∞) := 石灰→∞Gs，xt（y）=0；Gs，xt(-∞) := 石灰→-∞Gs，xt（y）=1，~Gs，xt(-∞) := 石灰→-∞Gs，xt（y）=1。此外，Gs，xt有一个连续的反函数（Gs，xt）-1开（0，1），我们通过连续性设置（Gs，xt）-1(0) := -∞, （Gs，xt）-1(1) := ∞.（iv）对于任何g∈ 固定，设u（t，x）：=EP[g（Xt，Xt）]，（t，x）∈ （0，T）×R。

然后Ui有界，在x上增加，是以下PDE的唯一有界粘度解：（4.20）L u（t，x）：=tu公司+xxu+uxu=0，0<t≤ Tu（T，x）=g（x）。（v） 对于tand Cin（i），存在δ=δ（C）>0，因此，如果g∈ I是充分光滑的，g′具有紧支集，那么u是充分光滑的- δ、 存在一个常数C＞0，这可能取决于（T，x）的满足性∈ [T- δ、 T]×R，（4.21）| u（T，x）-g级(-∞)| ≤ 总工程师-x、 x<0|u（t，x）-g级(∞)| ≤ 总工程师-x、 x>0；xu（t，x）≤ 总工程师-x、 证明。（i） 根据我们的假设和命题4.2，u的规律性立即出现。对于任何t≥ t、 在（4.14）和（4.13）之前，tИ（t，G（t，x））pД（t，G（t，x））ρ（t，x）≤CG（t，x）[1- G（t，x）]ρ（t，x）≤ CppД（t，G（t，x））ρ（t，x）pД（t，G（t，x））≤Cρ（t，x）G（t，x）[1- G（t，x）]≤ C[1+| x |]。然后从（4.9）得出|u（t，x）|≤ C[1+| x |]。此外，请注意xu（t，x）=xb公司-tp^1p^1+t^1pp^1(p^1）-t^1xρpДρ+pppДρp^1-pp^1xρp^1-(ppД）ρ(p^1）。概率失真21By（4.14）和（4.13）同样可以很容易地验证|xu（t，x）|≤ C[1+| x |]。（ii）由于u在x中是局部一致Lipschitz连续的，因此通过截断参数▄Xs，xexists局部存在。现在，均匀线性增长（4.16）保证了全局一致性。此外，根据Karatzas Shreve【14，第3章，推论5.16】，我们看到Mt，xis是一个真正的P-鞅，因此Qt，xis是一个概率测度。（iii）由于给定Xs=x的Xtunder P的条件定律具有严格的正性，因此关于Gs，xtis的陈述是不成立的。类似地，由于Xs定律，xtunder P具有密度，而dQs，x<< dP，关于▄Gs，XT的声明也很明显。（v） 我们将在（iv）之前证明（v）。稍后指定δ>0，t∈ [T-δ、 T）]。设R>0 b e，使得g′（x）=0表示| x |≥ R

没有te表示u（t，x）=E[Mt，xTg（Xt，Xt）]。对于x>2R，我们有u（t，x）-g级(∞)=EMt，xT[g（xT，xT）- g级(∞)]≤ EMt，xT | g（xT，xT）- g级(∞)|≤ 2千克∞EMt，xT{xT，xT≤R}= 2千克∞EheRTtudBr-RTt |u| dreRTt |u| dr{Xt，Xt≤R}.然后u（t，x）-g级(∞)≤ 克格勃∞EheRTtudBr-RTt |u| driEheRTt |u|滴水（Xt，Xt≤ R） 。通过【14，第3章，推论5.16】，我们又得到了EheRTtudBr-RTt |u| dri=1。在（4.16）之前，我们得到了ERTT |u| dri≤ EheCRTt[1+| x+| Btr |]dri≤ eCδ[1+| x |]EheCδsup0≤s≤δ| Bs | i≤ e2Cδ[1+| x |]，δ足够小。固定δ>0，让t∈ [T-δ、 T）]。注意，我们可以选择与g无关的δ。此后，我们将C>0设为一般常数。此外，由于x>2R，P（Xt，Xt≤ R）≤ P（Xt，Xt≤x） =P（BtT≤ -x）≤ P（B≤ -x个√δ) ≤ 总工程师-x8δ。总而言之，对于δsmall e nough，u（t，x）-g级(∞)≤ 总工程师-x8δ+Cδ[1+| x |]≤ 总工程师-3x，这意味着u（t，x）- g级(∞)≤ 总工程师-x、 同样地，u（t，x）- g级(-∞)≤ 总工程师-x小于0时的x。前面的估计允许我们在预期范围内进行区分xu（t，x）=Eg′（~Xt，Xt）Xt，Xt,哪里Xt，xs=1+Rstxu（r，~Xt，xr）Xt、xrdr，因此Xt，Xt=eRTtxu（s，~Xt，xs）ds>0。然后徐≥ 此外，回顾（4.18）我们xu（t，x）=Ehg′（~Xt，Xt）eRTtxu（s，~Xt，xs）dsi=EhMt，xTg′（~Xt，Xt）eRTtxu（s，~Xt，xs）dsi≤ CEhMt，xTeRTtxu（s，~Xt，xs）ds{| Xt，Xt|≤R} i.那么，根据xu在（4.16）中，根据与上述相同的参数，我们可以显示|xu（t，x）|≤ 总工程师-x、 22 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang最后，我们可以进一步应用这些论点来证明u是完全光滑的，然后它遵循Flow性质和usatis fies PDE（4.20）的标准it^o公式。（iv）我们只能在- δ、 T）]。由于δ>0仅取决于nCin（i），因此可以将结果及时向后应用，并将结果扩展到[t，t]。然后，从T的任意性可以看出，结果在（0，T）上是正确的。我们现在将δ乘以（v）。u的有界性是显而易见的。

注意，u（t，x）=EPg（Xt，Xt）Mt，Xt, 和u，g ar e continuous，遵循与（v）中类似的参数，可以表明u是连续的。接下来，对于任何g∈ 一、 存在近似序列{gn}，使得每个gn满足（v）中的条件。设un（t，x）：=E[gn（≈Xt，Xt）]。然后unis增加inx，是PDE（4.20）的经典解-δ、 T]终端条件为gn。很明显，联合国→ u、 然后，u在x中也在增加，其粘度特性取决于粘度溶液的稳定性。粘度溶液的唯一性遵循标准比较原则。我们参考经典参考文献《Randall Is hii Lions》[5]了解粘度理论的细节。我们现在已经准备好迎接这次会议的主要结果。重新计算（4.19）并确定Φ（s，t，x；p）：=拞Gs，xt（Gs，xt）-1（p）, s>0。（4.22）定理4.7。假设4.1和4.3成立。然后由（4.22）定义的Φ是与初始条件一致的时间一致性动态畸变函数：Φ（0，t，x；p）=φt（p）。证据首先，通过引理4.6（iv），可以直接检查Φ满足定义2.8（i）。接下来，对于0<s<t≤ T，注意Φ的定义（4.22）意味着（3.17）的计数：Φ（s，T，x；Gs，xt（y））=Gs，xt（y）。（4.23）回想一下（2.11）和引理4.6，我们可以很容易地看到，对于anyg，Es，t[g（Xt）]=u（s，Xs∈ 一、 其中，u（s，x）：=EP【g（≈Xs，xt）】在x中增加，是在终端条件u（t，x）=g（x）下，PDE（4.20）在【s，t】×R上的唯一粘度解。然后，通过SDE（4.17）解的流动特性或DE的唯一性，我们立即得到0<r<s<t的塔特性（2.1 2≤ T为了验证r=0时的塔特性，让t>0和δ>0如引理4.6（v）中所示。

我们首先证明，对于引理4.6（v）中的任何g和相应的u，Wehave0，tu（t，Xt）]= E0，tu（t，Xt）], T- δ ≤ t<t≤ T、 （4.24）很明显，这样的g在I中是稠密的，那么（4.24）对所有g都成立∈ 一、 其中Ui是PDE的粘度溶液（4.20）。注意，u（t，Xt）=Et，t[g（Xt）]，然后通过在（4.24）中设置t=t和t=t，我们得到E0，tEt，T【g（XT）】= E0，T【g（XT）】对于T- δ ≤ t型≤ T类似地，我们可以在任何间隔[t]上验证塔的属性- δ、 t] [t，t]。因为对于0<s<t，Es是一个提前一致的时间，所以我们可以看到任何t的时间一致性≤ s<t≤ T现在，通过t>0的任意性，我们得到了所有0<s<t的塔的性质a t r=0≤ T概率失真23我们现在证明（4.24）。记录所有（4.21）u（t，-∞) = g级(-∞) = 0那么forT- δ ≤ t型≤ T，类似于（2.5），我们有0，Tu（t，Xt）]=Z∞φt、 P（u（t，Xt）≥ x）dx=ZRДt、 G（t，x）xu（t，x）dx。设ψm:R→ [0，1]光滑，ψm（x）=1，| x |≤ m、 ψm（x）=0，| x |≥m+1。表示EM0，tu（t，Xt）]:=ZR^1t、 G（t，x）xu（t，x）ψm（x）dx。然后，回顾（4.7），（4.20），并抑制上下文中的变量，我们得到了dTem0，tu（t，Xt）]=ZRh公司[tИ+p^1tG]xu+^1txuiψmdx=ZRh[tИ+p^1tG]xuψm+[pψρψm- ψψ′m]tuidx=ZRhtИ+pД[bρ-xρ]ψm徐- [pψρψm- ψψ′m]xxu+u徐idx=ZRhtИ+pД[bρ-xρ]- pИρuψmxu+ψ′mu徐（4.25）+徐p^1xρψm- ppψρψm+2pДρψ′m- ψψ′midx=ZRhtИ+pДbρ- pИρu-ppДρψm+φu + pДρψ′m-ψψ′mixudx=ZRhφu + pДρψ′m-ψψ′mixudx，其中las t等式来自（4.9）。也就是说，对于纽约T- δ ≤ t<t≤ T，（4.26）Em0，Tu（t，Xt）]- Em0，tu（t，Xt）]=ZttZRhφu + pДρψ′m-ψψ′mixudxdt。很明显，limm→∞Em0，t[u（t，Xt）]=E0，t[u（t，Xt）]。