概率失真下的时间一致性条件期望

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英文标题：
《Time-consistent conditional expectation under probability distortion》
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作者：
Jin Ma, Ting-Kam Leonard Wong, Jianfeng Zhang
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We introduce a new notion of conditional nonlinear expectation under probability distortion. Such a distorted nonlinear expectation is not sub-additive in general, so it is beyond the scope of Peng\'s framework of nonlinear expectations. A more fundamental problem when extending the distorted expectation to a dynamic setting is time-inconsistency, that is, the usual \"tower property\" fails. By localizing the probability distortion and restricting to a smaller class of random variables, we introduce a so-called distorted probability and construct a conditional expectation in such a way that it coincides with the original nonlinear expectation at time zero, but has a time-consistent dynamics in the sense that the tower property remains valid. Furthermore, we show that in the continuous time model this conditional expectation corresponds to a parabolic differential equation whose coefficient involves the law of the underlying diffusion. This work is the first step towards a new understanding of nonlinear expectations under probability distortion, and will potentially be a helpful tool for solving time-inconsistent stochastic optimization problems.
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中文摘要：
引入了概率失真条件下的条件非线性期望的新概念。这种扭曲的非线性期望通常不是次加性的，因此它超出了彭的非线性期望框架的范围。将扭曲的期望扩展到动态设置时，一个更根本的问题是时间不一致性，即通常的“塔属性”失败。通过将概率扭曲局部化并限制到一类较小的随机变量，我们引入了所谓的扭曲概率，并以这样的方式构造了一个条件期望，即它在时间零点与原始非线性期望一致，但在塔楼属性仍然有效的意义上具有时间一致的动力学。此外，我们还证明了在连续时间模型中，这个条件期望对应于一个抛物型微分方程，其系数涉及基础扩散定律。这项工作是对概率失真下非线性期望的新理解的第一步，并可能成为解决时间不一致随机优化问题的有用工具。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Time-consistent_conditional_expectation_under_probability_distortion.pdf (454.26 KB)

2022-6-10 19:24:01 上传

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关键词：条件期望 一致性 Expectations Mathematical Quantitative

时间一致性条件期望欠概率扭曲Jin MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG ZHANGAbstract。我们引入了概率失真下条件非线性期望的新概念。这种扭曲的非线性期望通常不是次加性的，因此它超出了彭的非线性期望框架的范围。将扭曲的期望扩展到动态设置时，一个更根本的问题是时间不一致性，即通常的“towerproperty”失败。通过将概率畸变局部化并限制为一类较小的随机变量，我们引入了一种所谓的畸变概率，并构造了一个条件表达式，使其在时间零点与原始非线性期望一致，但在塔楼性质仍然有效的意义上具有时间一致的动力学。此外，我们还表明，在连续时间模型中，该条件期望对应于一个抛物型微分方程，其系数涉及基本微分定律。这项工作是对概率失真下非线性期望的新理解的第一步，并将潜在地成为解决时间不一致随机优化问题的有用工具。1、简介。本文提出了一种新的非线性条件期望欠概率失真的概念。这种非线性预期本质上不是次加性的，因此不同于m Peng研究得很好的非线性实验（参见例[18，19]）。我们的目标是找到条件非线性预期的适当定义，以使其在美国“塔属性”的意义上具有时间一致性。概率扭曲在很大程度上是由行为经济学和金融学中的实证发现推动的，参见Kahneman-T versky【13，23】、Zhou【26】及其参考文献。

它描述了人类对某些事件的概率很小的自然倾向，这与经典的理性公理相矛盾。从数学上讲，这可以用非线性期望来描述，其中基本概率尺度由畸变函数修改。更准确地说，设ξ为表示不确定事件结果的非负随机变量。ξ的通常（线性）期望值可以用公式[ξ]=Z表示∞P（ξ≥ x） dx。（1.1）另一方面，概率扭曲考虑了预期e[ξ]：=Z的“扭曲”版本∞φP（ξ≥ x）dx，（1.2）关键词和短语。概率失真、时间不一致、非线性期望。2 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang，其中畸变函数ν：[0，1]→ [0，1]是连续的、严格递增的，并且满足φ（0）=0，φ（1）=1。从经济上讲，最有趣的情况是，t是反向S形，即当p≈ 0且当p≈ 1、在特殊情况下Д（p）≡ p、 （1.2）减至（1.1）。一般来说，扭曲的期望[·]是非线性的，即既不是次加的也不是超加的。虽然（1.2）在许多情况下都很有用，但当人们试图定义“有条件的”或“动态的”偏差预期时，就会出现很大的困难。例如，考虑一个“天真”定义的扭曲条件经验，给出信息Ftat time t:Et[ξ]=Z∞Д（P（ξ>x | Ft））dx。（1.3）那么很容易检查，对于s<t，通常Es[Et[ξ]]6=Es[ξ]，即“towerproperty”或Flow Property失效。

这通常被称为一种“时间不一致性”，在随机最优控制中得到了广泛的研究；更多讨论请参见第1.1节。基于Karnam Ma Zhang【15】的工作，该工作为时间不一致的优化问题提供了一个新的视角，在本文中，我们找到了一种不同的方法来定义扭曲的条件期望，以便在预测塔楼性能方面保持时间一致。具体来说，让(Ohm, F、 F，P）是过滤概率空间，其中F：={Ft}0≤t型≤T、 我们寻找一系列运算符{Et}0≤t型≤t对于给定的FT可测随机变量ξ，它认为E[ξ]=E[ξ]，如（1.2）所示，对于0≤ s<t≤ T，塔的属性为：Es[Et[ξ]]=Es[ξ]。更一般地，我们将构造0的操作符Es，tf≤ s≤ t型≤ T使得Er，s[Es，T[ξ]]=Er，T[ξ]对于Ft可测ξ和r≤ s≤ t、 我们将论证这至少对于一大类随机变量是可能的：ξ=g（Xt），其中g：R→ [0, ∞) 是递增的，X是二叉树或一维dif usionxt=b（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dBt，t≥ 0。（1.4）值得注意的是，尽管上述随机变量类受到限制，特别是g的单调性，它在我们的方法中起着至关重要的作用（见Remark3.1），但它包含了一大类在大多数关于概率失真的出版物中考虑的实际有用的随机变量，其中X是状态过程，g是效用函数，从那里单调。我们的方法的主要思想基于以下信念：在动态畸变预测中，畸变函数的形式应取决于预期的时间范围。简单地说，（1.2）中[0，T]上的失真函数很可能与（1.3）中的不同，后者仅适用于[0，T]的子区间。

我们认为这就是（1.3）变得时间不一致的原因。与[15]中“动态效用”的ide a类似，我们建议将畸变函数本地化如下：给定一组初始畸变函数νt相关到[0，t]形式的区间，我们寻找一个动态畸变函数Φ（s，t，x；p），使得Φ（0，t，x；·）=Дt（例如νt≡ ν），并且由此产生的扭曲条件期望（1.5）Es，t[ξ]=Z∞Φ（s，t，Xs；P（ξ>y | Fs））dy，0≤ s<t≤ T、 概率失真3是所有ξ=g（Xt）随g增大而存在的时间。直观地说，畸变函数Φ对（s，t，x）的依赖性可以被认为是主体对未来时间t、当前时间s和状态x的预期随机事件的（畸变）看法。我们将首先在离散时间内使用二项式tr ee模型来说明这一想法，以呈现所有主要元素。分歧案例在概念上是相似的，但分析要复杂得多。然而，在这两种情况下，动态畸变函数都有一个有趣的解释：存在一个概率Q（等于P，与递增函数g无关），使得Φs、 t，x；P（Xt≥ y | Xs=x）= Q（Xt≥ y | Xs=x）（见定理3.4和4.7以及备注2.6）。我们将Q称为畸变概率，因此（1.5）将畸变的条件期望视为Q下的线性条件期望。我们应该注意，由于ξ=g（Xt）的限制，这种隐线性结构在以前的工作中没有被发现。

特别是，在连续时间设置中，这使我们能够表明（1.5）中的条件期望Es，t[ξ]可以写为Es，t[ξ]=u（s，Xs），其中函数u满足线性抛物型PDE，其系数取决于畸变函数Д和（1.4）定义的基础扩散X的密度。我们想强调的是，虽然本文只考虑了条件期望，但这是朝着研究概率扭曲下的随机优化问题以及其他时间不一致问题的长期目标迈出的第一步。事实上，在最近的一篇论文中，Strub-Zariphopoulou[10]研究了概率失真下的最优投资问题，并证明了Φ=Φ（s，t；p）形式的时间一致性动态失真函数存在，且仅当它属于Wang[24]中介绍的家族，或者代理人不投资风险资产时才存在。这一结果在一定程度上验证了我们的一般框架，该框架通过允许Φ依赖于状态Xs，甚至其规律，在一个通用环境中处理了大量类似类型的优化问题。论文的其余部分组织如下。在第1.1节中，我们回顾了文献中关于时间不一致随机优化问题的一些方法，这将使本文有一个正确的视角。在第2节中，我们回顾了概率失真的概念，并介绍了我们的动态失真函数。在第三节中，我们在离散时间二项树框架中构造了一个时间一致的动态失真函数。在第4节中，我们考虑了σ为常数的扩散情况（1.4），并在第5节中将结果推广到σ为一般的情况。最后，在第6节中，我们研究了基本状态过程ss X的密度，这对于构造动态畸变函数Φ至关重要。1.1. 讨论：随机控制中的时间不一致性。

首先，我们回顾了随机优化问题中“时间不一致性”的通常含义。考虑一个时间范围[0，T]上的随机控制问题，用p[0，T]表示，并假设u*0，这是最佳控制。现在，对于任何t<t，我们考虑在时间范围[t，t]上的相同问题，并用P[t，t]表示。动态问题{P[t，t]}t∈如果u*0，T[t，t]对于每个P[t，t]保持最优，如果不是，则时间不一致。4 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang继Strotz【21】之后，有两种处理时间不一致问题的主要方法：预承诺策略和一致规划。前一种方法基本上忽略了不一致性问题，只研究问题P[0，T]，因此可以将其视为静态问题。一致性规划方法，也称为博弈方法，假设代理人与未来自己博弈，并试图找到一个平衡点。这种方法本质上是动态的、时间上向后的和时间一致的；解是子对策最优解。从Ekeland Lazrak[7]开始，游戏方法在数学金融界获得了很强的跟踪（例如，比约克·穆尔戈奇一世[3]，比约克·穆尔戈奇周[4]，胡-锦州[11]，勇[25]，等等）。然而，我们注意到，从数学上讲，这两种方法实际上产生了不同的值。在《Karnam Ma Zhang》[15]中，作者提出了不同的观点。而不是像在游戏方法中那样对所有问题P[t，t]使用预定的“效用”函数（在可能性失真的情况下，这意味着对所有0≤ s<t≤ T），在[15]中，根据Musiela Zariphopoulou[16，17]和AngoshtarZariphopoulou-Z hou[1]中可预测的正向效用的精神，引入了动态效用，以制定一个新的动态问题P[T，T]，T∈ [0，T]。

这个新的动力学问题是时间一致的，同时P[0，T]与预承诺P[0，T]一致。我们应该注意到，类似的想法也出现在崔力王注（6）和范斯坦·鲁德罗夫（8，9）的作品中。在【15】中，还建议使用动态编程pr inc iple（DPP）来描述时间一致性，而不是上述使用最优控制的原始定义。在不存在最优控制的情况下，这种分配尤其重要。注意到在缺乏控制的情况下，DPP只不过是“塔楼财产”，因此我们认为本文是朝着更一般目标迈出的第一步。静态和动态概率扭曲。在本节中，我们定义了概率失真，并引入了时间一致性动态失真函数的概念。2.1. N概率失真下的非线性期望。让(Ohm, F、 P）bea概率空间，设lL+（F）为F-可测随机变量ξ的集合≥ 概率扭曲的概念（参见，例如，周[26]）由两个元素组成：（i）“扭曲函数”，和（ii）定义“扭曲期望”的Choquet型积分。更准确地说，我们有以下定义。定义2.1。（i） A映射Д：[0，1]→ 如果[0，1]是连续的、严格递增的且满足Д（0）=0和Д（1）=1，则称为畸变函数。（ii）对于任何随机变量ξ∈ lL+（F），畸变期望算子（关于畸变函数Д）由（1.2）定义。我们表示llД（F）：={ξ∈ lL+（F）：E[ξ]<∞}.备注2.2。（i） 要求ξ≥ 设置0主要是为了方便。（ii）如果φ（p）=p，则E[ξ]=EP[ξ]是p下的标准期望。（iii）E[·]是定律不变的，即E[ξ]仅取决于ξ定律。概率失真5下面的例子表明，E通常既不是次加性的，也不是超加性的。

特别是，这超出了Peng（19）研究次可加非线性期望的范围。示例2.3。假设ξ是伯努利随机变量：P（ξ=0）=P，P（ξ=1）=1-p、 和ξ：=1-ξ. 那么很明显E[ξ+ξ]=E[1]=1。然而，通过下面的（2.3），我们得到了e[ξ]=Д（1- p） ，E[ξ]=Д（p），因此E[ξ]+E[ξ]=Д（p）+Д（1- p） 。根据φ和p，E[ξ]+E[ξ]可以大于或小于1。提案2.4。假设以下所有随机变量均为lL+（F）。设c，ci≥0为常量。（i） E[c]=c和E[cξ]=cE[ξ]。（ii）如果ξ≤ ξ、 然后E[ξ]≤ E[ξ]。特别是，如果c≤ ξ ≤ c、 然后是c≤E[ξ]≤ c、 （iii）假设ξk在分布上与ξ重合，且ξ*:= supkξk∈ lLИ（F）。ThenE[ξk]→ E[ξ]。证据由于Д在增加，（i）和（ii）可以向前验证。要查看（iii），请注意limk→∞P（ξk≥ x） =P（ξ≥ x） 对于x的所有值，除了可数的多个值∈ (0, ∞). 通过φ的连续性，我们得到了limk→∞Д（P（ξk≥ x） ）=Д（P（ξ≥ x） ）适用于Lebe sgue-a.e.x∈ [0, ∞). Mo reover，因为Д在增加，所以Д（P（ξk≥ x） （）≤Д（P（ξ*≥ x） ）对于所有k.By（1.2）和我们得到的支配收敛定理[ξk]→ E[ξ]。我们现在介绍两个特殊情况，它们将在我们的分析中发挥关键作用。特别是，它们将自然地引入扭曲概率的概念。LetI：={g:R→ [0, ∞) : g是有界的、连续的和递增的}。（2.1）提案2.5。（i） 假设η∈ lLИ（F）仅取整数x、····、xn。ThenE[η]=nXk=1x（k）φP（η≥ x（k））- φP（η≥ x（k+1））,（2.2）其中x（1）≤ ··· ≤ x（n）是x、····、xn和x（n+1）的有序值：=∞.特别是，如果x<···<x和g∈ 一、 thenE[g（η）]=nXk=1g（xk）[Д（P（η≥ xk））- Д（P（η≥ xk+1））]。（2.3）（ii）假设η∈ lL（F）具有密度ρ和g∈ 一、 ^1∈ C（[0,1]）。ThenE[g（η）]=Z∞-∞g（x）ρ（x）Д′（P（η≥ x） ）dx。（2.4）证明。（i） 表示x（0）：=0。很明显，P（η≥ x） =P（η≥ x（k））表示x∈（x（k-1） ，x（k）]。

ThenE[η]=Z∞Д（P（η≥ x） ）dx=nXk=1[x（k）- x（k-1） ]Д（P（η≥ x（k））、6 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang，这意味着（2.3）通过使用简单的Abel重排a s以及事实Д（P（η≥x（n+1））=0。（ii）我们分四步进行。第1步。假设g是有界的、严格递增的、可微的。设a：=g(-∞), b：=克(∞). 那么，Д（P（g（η））≥ x） ）=1，x≤ 一Д（P（g（η））≥ x） ）=0，x≥ b、 和部分积分yieldsE[g（η）]=a+ZbaД（P（g（η））≥ x） ）dx=a+Z∞-∞Д（P（η≥ x） ）g′（x）dx（2.5）=a+Д（P（η≥ x） ）g（x）| x=∞x个=-∞-Z∞-∞g（x）ddx（Д（P（η≥ x） ））dx=Z∞-∞g（x）ρ（x）Д′（P（η≥ x） ）dx。第2步。假设g是有界的、递增的和连续的。可以很容易地构造GN，使每个GN满足步骤1中的要求，并且GN一致地收敛到tog。在步骤1中，（2.4）对每个gn保持不变。发送n→ ∞ 并应用命题2.4（iii），我们证明（2.4）适用于g。步骤3。假设g是递增的，并且以常数C为界。对于任何ε>0的函数，可以构造一个连续的递增函数gε和一个开集Oε，例如| gε|≤ C、 | gε（x）- g（x）|≤ ε表示x/∈ Oε和Leb e sgue度量| Oε|≤ ε.然后（2.4）对每个gε保持不变。注意e[| gε（η）- g（η）|]≤ ε+2CP（η∈ Oε）=ε+2CZOερ（x）dx→ 0为ε→ 0。然后gε（η）→ g（η）分布，因此E[gε（η）]→ E[g（η）]，根据命题2.4（iii）。类似地，Z∞-∞|gε（x）- g（x）|ρ（x）Д′（P（η≥ x） ）dx≤ ε+2CZOερ（x）Д′（P（η≥ x） ）dx→ 然后我们得到g的（2.4）。步骤4。在一般情况下，表示gn：=g∧ n、 然后（2.4）适用于每个gn和gn↑ g、 利用单调收敛定理，limn→∞Z∞-∞gn（x）ρ（x）Д′（P（η≥ x） ）dx=Z∞-∞g（x）ρ（x）Д′（P（η≥ x） ）dx。如果g（η）∈ lLИ（F），然后根据命题2.4（iii），我们得到g的（2.4）。现在假设E[g（η）]=∞. 根据命题2.4（iii）中的论点，注意p（gn（η）≥ x）↑ P（g（η）≥ x） 适用于Lebesgue-a.e.x∈ [0, ∞), 作为n→ ∞.