共单调金融网络中债务和权益的定价

据作者所知，另一项工作分析研究了一般网络拓扑的稳定性和弹性；Amini和Feinstein【2021】的这项工作基于本文的结果，目的是解决系统冲击下的最优网络压缩问题。2设置我们从一些简单的符号开始，这些符号将在本文的整个过程中保持一致。Letx，y∈ Rnfor so me正整数n，thenx∧ y=（最小（x，y），最小（x，y），最小值（xn，yn））,x个-= -（十）∧ 0）和x+=(-x）-. 此外，为了便于记法，我们将表示[x，y]：=[x，y]×[x，y]×。×【xn，yn】 Rn为y的n维紧致区间-x个∈ Rn+。同样，我们将考虑x≤ y当且仅当y- x个∈ Rn+。我们还将广泛使用vectorsej∈ {0，1}对于j=1，2。。。，n、 定义此向量时，EJ的J元素中有1，所有其他元素中有0。2.1金融网络在本方案中，我们将考虑金融机构网络。我们通常会考虑n个额外的节点n+1，它包括n家银行之外的整个金融系统；该节点n+1也将被称为s社会或社会节点。我们参考Feinstein等人【2017年】、Glasserman和Young【2015年】，进一步讨论社会节点背后的含义和概念。在本文中，我们考虑单一到期日的债务，如Eisenberg和Noe[2001]所述。任何银行i∈ {1，2，…，n}可能有义务Lij≥ 0致任何其他公司或社会j∈ {1，2，…，n+1}。我们将假设没有任何公司对自己有任何义务，即所有公司的Lii=0∈ {1，2，…，n}，社会节点没有任何责任，即Ln+1，j=0，对于所有企业j∈ {1，2，…，n+1}。

因此，银行i的总负债∈ {1，2，…，n}由'pi：=Pn+1j=1Lij给出≥ 0和i银行的相关负债∈ {1，2，…，n}至银行j∈ {1，2，…，n}由πij给出：=Lij'piif'pi>0，否则为任意值；为简单起见，在π=0的情况下，我们将让πij=0表示所有j∈ {1，2，…，n}。请注意，对于任何一家公司i，我们恢复的财产为Pnj=1πij≤ 在这项工作中，我们将考虑平方矩阵∏∈ [0，1]n×n；企业i对社会节点n+1的相对负债可定义为1-Pnj=1πij≥ 0、在资产负债表的另一端，假设所有公司都从一些捐赠开始≥ 0代表所有i∈ {1，2，…，n}。网络模型中探讨的核心问题是网络清算后企业财富的确定。让V给予清理财富∈ 注册护士。在本文中，为了确定清算财富，我们根据标准文献，假设以下程式化规则，即Eisenbe rg和Noe【2001】、Rogers和Veraart【2013】：（i）有限责任：任何公司支付的总金额永远不会超过银行可用的总资产。（ii）债务债权的优先顺序：除非公司的所有债务全部付清，否则股东不会获得任何价值。（iii）所有债务的资历相同：如果银行违约，债务将按照名义债权的大小按比例偿还。在这项工作中，我们考虑了一个在违约情况下具有一些外生恢复率的系统，即Rogers和Veraart[2013]提出的模型。

这意味着，如果银行i的负财富VI<0，则该银行将违约，其资产负债表将随着回收率αx而减少∈ [0，1]关于其外部资产和αL∈ [0，1]o其银行间资产。我们将从数学上对该设置进行定义，详细信息可在Eisenberg和Noe【2001】、Roge rs和Vera art【2013】中找到，并在在线附录A中复制用于我们的讨论。根据规则集，我们将清算过程形式化*: 注册护士→ Rnin将该系统描述为ψ*一（五）：=I{Vi≥0}+I{Vi<0}αxxi+I{Vi≥0}+I{Vi<0}αLnXj=1πji（(R)pj- 五、-j）- (R)pi（1）同样，清算程序ψ*暗示：如果银行i拥有非负财富Vi≥ 0则其为溶剂，其财富等于其总资产减去总负债；如果银行i的负利率Vi<0，则其违约，其资产减少了回收率αx，αL。根据Roge rs和Vera art【2013年】，我们立即将最大和最小的清算解决方案恢复到V=ψ*（V）晶格内[-\'p，x+π“‘p’”。我们注意到，当αx=αL=1时（即在无破产成本的情况下），我们恢复了Eisenberg和Noe[2001]的模型；此外，如果所有公司对社会节点n+1负有义务（即所有公司i的Pnj=1πij<1，π>0），则存在唯一的清算解决方案V=ψ*（V）在此设置中。假设2.1。在本文的其余部分中，我们将假设所有企业都对社会节点n+1负有义务（即所有企业i的Pnj=1πij<1，pi>0）。在整个工作过程中，我们将重点关注最大的clearing wealths解决方案V↑. 我们选择这种均衡，因为所有公司和监管机构如果有选择的话，都会倾向于这些ClearingWealth，而不是所有其他公司，因为没有一家公司可以在V↑. 我们希望注意到，如果希望获得最少的清算财富，那么本文随后的所有结果都将是可比较的。定义2.2。

确定映射V:Rn+→ 因此，V（x）是捐赠x下的最大clearingwealth解∈ Rn+。此外，定义x 7→ p（x）：=(R)p- V（x）-andx 7→ E（x）：=V（x）+为关联付款和权益。2.2共单调性对于本文的其余部分，我们将考虑概率空间(Ohm, F、 P）。表示byL：=L(Ohm, F、 P）所有可测量的随机变量。此外，用L表示 l具有明确绝对期望的随机变量，即X∈ Lif X为(Ohm, F、 P）可测量的andE[| X |]<∞. 我们将用L+表示那些几乎肯定是非负的随机变量。正如第1.2节所强调的，在这项工作中，我们将重点关注共单调随机向量。定义2.3（Dhaene等人[2002]的定义4）。十、∈ （五十） nis Comononic，如果它具有Comononic支持，即x≤ y或y≤ x表示任意x，y∈ supp（X）最小的Borel毛 Rn使得P（X∈ A） =1。我们不会对上述共名性进行正式定义，而是将重点放在使用不当的等效公式上，例如McNeil等人[2015]的第7.18号提案。命题2.4（McNeil等人[2015]的命题7.18）。十、∈ （五十） nis共单调当且仅当X（d）=f（q）（即分布相等）对于某个随机变量q∈ 土地f：R→ RN不减损。3共同捐赠下的债务和权益预期考虑了第1.2节中所述的共同捐赠金融系统的动机。由于理论上银行会选择共同捐赠，而且数据支持这一点（近似）准确，因此不需要一般捐赠空间来理解系统风险和金融传染。因此，在本节中，我们将考虑共单调天赋。本文将给出一般共单调禀赋下的期望和概率分布。

我们希望强调，在本文中，我们按照Eisenber g和Noe【2001】、Rogers和Veraart【201 3】的思路考虑一个单一的到期模型，即网络在时间0形成并固定，所有债权在时间T>0时到期（并确定偿付能力）。虽然本节的所有结果都表示为概率测度P下清算解决方案的预期，但我们认为这些结果是公式的定价。也就是说，在贴现之前，我们将术语E【pi（X）】视为债务价格，E【Ei（X）】视为银行i的股权价格，系统捐赠X∈ （L+）n.在第5节中，我们明确考虑了一个具有风险中性测度Q的市场模型，在该模型下可以给出价格。此外，在整个工作过程中，我们将有效利率视为债务价格的等效衡量标准；根据某些定价指标Q，银行i的利率Ri（X）为-Ri（X）T=等式[π（X）]e-rTwith无风险利率r≥ 0，网络成熟度T>0。定义3。1、考虑成熟度T>0的金融网络和无风险利率r的市场≥ 0和由概率测度Q确定的价格。D确定企业i债务的有效利率：Ri（X）=T日志（(R)pi）- 对数（等式[e-rTpi（X）]）. （2） 对于银行i，我们可以定义Ri（X）- r为默顿（Merton）[1974]的风险溢价。请注意，由于预期与利率之间的单调关系，有效利率或风险溢价通常被视为债务价格的衡量标准（参见Merton[197 4]）。假设3.2。

在本节中，我们将仅考虑赋能X的共单调非负随机向量∈ 对于一些非负随机变量q，其分布与f（q）相等∈ L+和非减量映射f:R+→ Rn+。3.1清算财富的分段线性公式从Rogers和Veraart[2013]的实际默认算法（见推论A.4）我们可以给出清算向量的线性构造，前提是默认集已知。这由以下结构给出。当仅考虑Eisenberg和Noe【2001】的模型时，我们将该线性结构与Liu和Staum【2010】中提出的方向导数以及Chen等人【2016】中的“网络乘数”进行比较，即完全恢复（αx=αL=1）。对于本文的其余部分，我们将使用以下定义：（z） :=我- （一）- (1 - αL）diag（z））∏诊断（z）-1（一）-(1 - αx）diag（z））（3）δ（z）：=我- （一）- (1 - αL）diag（z））∏诊断（z）-1.我- （一）- (1 - αL）diag（z））∏\'p（4）表示z∈ {0，1}按照实际默认算法指定默认机构集。ThusV（x）：=（I{V（x）<0}）x- 任意禀赋x的δ（I{V（x）<0}）∈ Rn+施工。备注3.3。这项工作的结果可以与Gouriéro ux等人（2012年）的结果进行比较，他们对eq-uity拥有交叉所有权。在这种情况下，股权所有权用Γ表示∈ [0，1]n×n j银行拥有i银行的股权。假设没有一家公司将其所有股权出售给金融系统内的其他公司，我们只考虑PNJ=1γij<1的情况。虽然Gouriéroux et al.（2012）没有考虑破产成本，但我们通过使用破产率αx，αL在我们的广义框架中考虑了这些成本∈ [0，1]作为演示文稿。也就是说，清算财富满足=I{Vi≥0}+I{Vi<0}αxxi+I{Vi≥0}+I{Vi<0}αLnXj=1πji(R)pj- 五、-j+ γjiV+j- 每一家银行的PII。

对于Gouriéroux等人【2012年】的清算，我们可以复制本节的所有结果，即共同捐赠下的预计债务支付和股权价值的公式，通过简单的重新定义即可获得破产成本, δas：（z） :=我-（一）- (1 - αL）diag（z））Π对角线（z）+Γ（一）-diag（z））-1×（一）- (1 - αx）diag（z））δ（z）：=我-（一）- (1 - αL）diag（z））Π对角线（z）+Γ（一）-diag（z））-1×我- （一）- (1 - αL）diag（z））∏(R)p无需任何其他修改。我们在这项工作中考虑的共单调ca将解决Gouriéroux等人[2012]工作中存在的维度诅咒问题。我们希望强调的是，虽然本节中提出的共同单调捐赠设置可以通过股权交叉所有权来实现，但第4节中提出的界限并不适用于这种更一般的设置。3.2违约地区对于任何满足假设3.2的随机捐赠，我们现在可以考虑违约地区，即不同银行组合被视为部分负债违约的地区。事实上，在本文考虑的共单调设置下，q空间中的所有这些区域都必须是R+中的凸区间。这与一般分布空间形成对比，在一般分布空间中，如果恢复率严格小于than1（min{αx，αL}<1），则区域不需要是凸的；有关该分析的更多信息，请参考Gouriéroux等人【2012年】和在线附录B。因此，通过共名性假设，我们可以唯一地确定不同公司违约的qunder区域，我们将使用向量q*∈ Rn+。值得注意的是，默认区域的这种构造完全以定义共单调禀赋的单调映射为特征，而不考虑潜在的随机变量。定义3.4。修正一些满足假设3.2的随机禀赋。

定义q*∈ Rn+sothat q*iis是指i类物质具有溶解性的最小值，即q*i=inf{q≥ 0 | Vi（f（q））≥ 0}.关于q计算的讨论*在线附录C中提供了Q值*如果结构f被视为单因素模型，则具有明确的财务含义。备注4.3对此进行了扩展。具体而言，q值*从某种意义上讲，iis表明了银行i的财务稳定性。假设3.5。在不丧失一般性的情况下，我们将在本文的其余部分（除非另有明确提及）假设银行按q的降序排列*, i、 e.因此q*≥ q*≥ ... ≥ q*n、 此外，定义q*= ∞ 和q*n+1=0.3.3债务和股本价格，立即构造最小值q*对于一家有偿付能力的公司（如第3.2节所述，并通过在线附录C中提供的计算），我们能够推导出每家银行的违约概率公式以及每家公司的财富、付款和权益预期；这种最低门槛价格的构造通常存在于本文假设的共单调模型中。因此，与Gouriéroux et al.（2012）中的一般公式要求将禀赋空间划分为非断层区域相比，以下理论中给出的公式仅要求划分为n个区间，这是由于共单调性。此外，如下面引理4.1所示，在Rogers和Veraart[2013]的设定中，该公式提供了一个关于大型网络的一般预期的可处理范围，例如Gouriéroux等人[2012]，Barucca e t等人[2020]。定理3.6。假设禀赋由X=f（q）定义，满足假设3.2。

违约概率、预期财富、预期付款和预期权益分别由以下公式得出：P（Vi（X）<0）=P（q<q*i） E[六（X）]=EinXk=0小时kE[f（q）I{q∈【q】*k+1，q*k） }]- δkP（q∈ 【q】*k+1，q*k） ）iE[π（X）]=(R)π+einXk=ihkE[f（q）I{q∈【q】*k+1，q*k） }]- δkP（q∈ 【q】*k+1，q*k） ）iE[Ei（X）]=e二-1Xk=0hkE[f（q）I{q∈【q】*k+1，q*k） }]- δkP（q∈ 【q】*k+1，q*k） ）我在哪里定义kandδkby：k：=Pkj=1ej如果k=1，2。。。，如果k=0和δk，则为nI：=δPkj=1ej如果k=1。。。，n（I）- Π)如果k=0，则为p, δ分别在（3）和（4）中定义，q*如定义3.4所示。这些期望公式隐含了Rogers和Vera art【2013】的网络和清算模型的两个关键点：（i）通过分段线性构造k、 δkand（ii）通过最低偿付能力价格q*. 利用这些组件对网络进行编码，通过对所有可能的默认集进行调节，可以找到各种体验；在这个协同框架中，需要将q空间划分为n个区间，其端点由q确定*. 在联机附录G中，我们使这些公式在对数正态分布中更加明确，类似于Merton【1974年】（在线附录F中总结）针对单个企业所采用的对数正态分布。备注3.7。定理3.6提供了折扣价格的显式表示-rTE【pi（X）】和股权e-rTE[Ei（X）]对于到期日T>0、无风险利率r的金融网络，在共同单调捐赠X=f（q）下≥ 0和定价度量P。同样，可以通过（2）显式计算有效利率R（X）。4共单调定价边界在本节中，我们将利用共单调禀赋来考虑一般随机禀赋债务定价的上界和下界。我们希望注意以下阈值q*对于共单调版本（见定义3.4），可能没有物理解释。

在考虑单个fa c tor模型的特殊情况下，q*重新获得关于此因子分析的明确含义。这在下面的备注4.3中进行了阐述，并在在线附录G.4.1财富和支付的一般上限和下限中进行了明确考虑。我们现在想考虑一下，上述单调捐赠下的财富和债务预期公式如何为更一般的随机捐赠提供一个界。如前所述，Gouriéroux et al.（2012）、Barucca et al.（2020）对债务和权益的预期进行了研究，但这些公式需要避免维度诅咒。更一般而言，如果企业捐赠之间的相关性未知，那么从压力测试的角度来看，以下引理是有用的，因为我们发现共单调酶对系统健康的影响较低。我们希望注意到，这些界限是以数学方式考虑的，而不是关于投资组合再平衡的声明。在在线附录E中，我们证明这些边界可以具有约束力。引理4.1。让X∈ （L+）和Z是它的共单调copula，即Z=（F-1X（U）。。。，F-1Xn（U））对于支持度[0，1]上的均匀随机变量U和边际分布FX。。。，FXnforX。。。，xn相应地。进一步，设G={G F | G是σ-代数，E[X | G]是共单调的}是子σ-代数的集合，使得E[X | G]是X的共单调投影≤ E[六（X；π，\'p，αX，αL）]≤ infG公司∈GE[六（E[X | G]；π，\'p，1，1）]≤ Vi（E【X】；π，’p，1，1），对于非连续分布，我们定义F-1Xi（u）：=inf{xi∈ R+| FXi（xi）≥ u} 正如McNeil等人【2015年】所述。E[π（αxZ；αL∏，\'p，1，1）]≤ E[π（X；π，\'p，αX，αL）]≤ infG公司∈GE[π（E[X | G]；π，\'p，1，1）]≤ pi（E【X】；π，’p，1，1）适用于任何银行i。财富的界限也适用于社会节点，其中欠社会的相对负债由∏固定，即。