共单调金融网络中债务和权益的定价

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然后，在具有特殊风险的CAPM设置中考虑默顿模型的对数正态分布，并将其置于附录G中的金融网络中。接下来，我们简要描述了附录H第5.2节中银行间网络的校准。在附录I中，我们查看了第1.2节中提出的风险分担问题的详细信息。最后，附录J中提供了本文主体部分的结果证明。A财务网络详情在本节中，我们希望给出本文所考虑的财务网络所有细节的正式构建。我们从第2.1节中提出的设置开始。首先，我们要将清除过程ψ：Rn形式化→ Rnin丰富地描述了这个系统。我们参考Veraart【2020年】、Barucca et al【2020年】、Banerjee et al【2021】、Banerjee和Feinstein【2019年】，详细讨论了清算财富及其与Eisenberg和Noe【2001年】、Rogers和Veraart【2013年】更典型的清算付款的关系。正如Banerjee等人（2021）所述，我们可以将财富V中的支付和权益定义为p=（(R)p-五、-)+E=V+。所有公司i的清算过程定义为ψi（V）：=i{Vi≥0}xi+nXj=1πji（(R)pj- 五、-j）+- “”pi+ I{Vi<0}αxxi+αLnXj=1πji（(R)pj- 五、-j）+- “”pi.（6） 因此，清算程序ψ意味着：如果银行i拥有非负财富Vi≥ 0则其具有偿付能力，其财富等于其总资产减去总负债；如果i银行的负财富Vi<0，则该银行违约，其资产减少了回收率αx，αL。我们注意到，在αx=αL=1的情况下（即在无破产成本的情况下），我们恢复了Eisenberg和Noe【2001】的模型。我们现在将考虑清算财富V的存在性和唯一性结果。一般来说，我们可以通过应用Tarski的定点定理来获得存在性。提案A.1。

对于V，V=ψ（V）存在最大和最小的清除解∈ r任何最终清除溶液都属于晶格[-\'p，x+π\'\'p- “‘p’”。证据首先要注意的是，ψ在财富V中是不变的。现在我们要证明这一点-\'\'p≤ 五、≤x+π\'\'p- 任意V的p=ψ（V）∈ 注册号：对于任何银行i:Vi≥ I{Vi≥0}[-\'\'pi]+I{Vi<0}[-\'\'pi]=-？皮比建筑公司通过清除过程的单调性，我们恢复了V≤ ψ（V+）=x+π\'\'p- p.证明是通过应用塔尔斯基在晶格上的固定点theo-rem来完成的[-\'p，x+π\'\'p- “‘p’”。然而，总的来说，清算财富V并不是唯一的。在没有破产成本的特殊情况下（αx=αL=1），这将减少到Eisenberg和Noe[2001]中描述的网络。在这种情况下，我们可以在非常温和的假设下得到唯一性。推论A.2。考虑一个没有破产成本（αx=αL=1）的环境，所有企业对社会节点n+1都有义务（即Pnj=1πij<1，所有企业i的π>0），则存在唯一的清算解决方案V=ψ（V）。证据外部节点n+1意味着系统是一个规则网络【Eisenberg和Noe，2001，定义5】。因此，根据Eisenberg和Noe（2001）的定理2，我们恢复了清除解的唯一性。提案A.3。让V↑= ψ（V↑) 表示命题A.1中的最大清算解决方案。然后V↑= Ψ*（五）↑) 是ψ的最大实值固定点*（定义见（1））。证据根据提案A.1，V↑≥ -？p和V↑= Ψ*（五）↑) 也与命题A.1的证明类似，我们可以将Tarski的不动点定理应用于格上的（1）[-∞, x+π\'\'p-“‘p’”。让V*= Ψ*（五）*) 是ψ的最大实值固定点*假设V*≥ 五、↑带V*i> 五↑如果是某个银行i。

那么它必须跟在V后面*≥ 五、↑≥ -\'\'p，表示V*= ψ（V*).然而，这与V相矛盾↑是对ψ最伟大的清除解决方案。我们可以通过Rogers和Veraart【2013】中所述的实际默认算法计算最大清算解决方案，如前所述。推论A.4。以下算法收敛到最大清除解V↑=ψ（V↑):（i） 初始化V（0）=x+π\'\'p- \'p，z（0）=0∈ Rn，k=0。（ii）迭代k=k+1，确定z（k）=I{V（k-1)<0}∈ {0，1}n.（iii）如果z（k）=z（k-1） 然后V↑= V（k-1） 并终止。（iv）定义∧=diag（z（k））为对角线矩阵，主对角线由z（k）和v（k）=（I）定义- ∧）hx+π\'p+π∧V（k）- (R)pi+λhαxx+αL∏\'p+π∧V（k）- “”pi=我- （一）- (1 - αL）∧）πΛ-1.（一）-(1 - αx）∧x+（I-(1 - αL）∧）π\'\'p- \'\'p.（v） 转至步骤（ii）。证据该算法对最大清算财富解决方案的收敛性源自Eisenberg和Noe【2001】中的实际违约算法逻辑。矩阵I的非奇异性-（一）-(1 -αL）∧）π∧源自【Feinstein et a l.，2018，定理2.6】中详述的输入-输出结果。在继续之前，我们希望回顾Milgrom和Roberts（1994）提出的固定点的单调性概念，我们在这些附录中定期回顾这些概念。定理A.5（Milgro m和Roberts[1994]的定理em 3）。设X为完备格，Ta为偏序集，f:X×T→ 十、 假设f是单调的非减量。LetxL（t）=inf{x | f（x，t）≤ x} 和xH（t）=sup{x | f（x，t）≥ x} 。然后：（i）xL（t）和xH（t）是f（·，t）的最小和最大固定点，（ii）xL（·）和xH（·）是不递减的，以及（iii）如果对于所有x∈ 十、 f在t中严格增加，然后xL（·）和xH（·）严格增加。对于本节的其余部分，我们使用定义2.2中引入的符号d。提案A.6。

最大的清算财富映射V，以及支付和权益映射p和E，在捐赠x证明中是不变的。捐赠基金中清算财富的单调性源自定理A.5。支付和权益的结果直接来自清算财富映射的定义。提案A.7。考虑Eisenberg和Noe【2001】的设置，即αx=αL=1。最大清算财富映射V和支付映射p在捐赠x证明中是凹的和子模块。我们首先注意到，在Eisenber g和Noe【2001】的设定下，我们可以将该系统视为付款p（x）=p的固定点∧（x+π）p（x）），V（x）=x+πp（x）- 因此，如果p:Rn+→ [0，\'p]是凹的（子模），V也是凹的。（i） Eisenberg和Noe（2001）的引理5给出了清算支付向量p的凹度。（ii）为了证明学习支付向量p的子模块性，考虑paymentfunction是映射pk:Rn的逐点极限+→ [0，\'p]迭代定义为：p（x）：=\'p和pk+1（x）：=\'p∧（x+π）pk（x））k∈ Nx个∈ Rn+。p（x）=limk→∞pk（x）通过构造（其中收敛来自于参数0的单调性和有界性≤ pk+1（x）≤ pk（x）），如果所有K的pkis子模块，则结算付款p的情况必须相同。通常为pis子模块。Nowby归纳法假设pk-1是子模块。取x，y∈ Rn+和i∈ {1，2，…，n}；必须考虑三种情况：（a）如果pki（x）=pki（y）=pithen pki（x）+pki（y）≥ pki（x∧ y） +pki（x∨ y） 通过构造。（b） 如果pki（x）<pki（y）=pithen pki（x）≥ pki（x∧ y） 和pki（y）=pki（x∨ y） 通过单调性（位置A.6）；因此，pki（x）+pki（y）≥ pki（x∧ y） +pki（x∨ y） 。（c） 如果pki（x）<计划pki（y）<pithen pki（x）=xi+Pnj=1πjipk-1j（x）和pki（y）=yi+Pnj=1πjipk-1j（y）。

因此，我们发现pki（x）+pki（y）=xi+nXj=1πjipk-1j（x）+yi+nXj=1πjipk-1j（y）φ：Rn→ 如果φ（x），R是子模∨ y） +φ（x∧y）≤ φ（x）+φ（y）对于任何x，y。φ是超模，如果-φ是子模。=xi+yi+nXj=1πji主键-1j（x）+pk-1j（y）≥ xi∧ 易+xi∨ yi+nXj=1πji主键-1j（x∧ y） +主键-1j（x∨ y）=（十）∧ y） i+nXj=1πjipk-1j（x∧ y）+（十）∨ y） i+nXj=1πjipk-1j（x∨ y）≥ pki（x∧ y） +pki（x∨ y） 。提案A.8。对于任何x∈ Rn+和任何组i:Vi（x；π，(R)p，αx，αL）∈ [Vi（αxx；αL∏，\'p，1，1），Vi（x；π，\'p，1，1）]和pi（x；π，\'p，αx，αL）∈ [π（αxx；αL∏，\'p，1，1），π（x；π，\'p，1，1）]。财富的界限也适用于社会节点，其中欠社会的相对负债由∏确定，即社会财富由Vn+1（Y；∏，(R)p，αx，αL）明确定义：=Pni=1πi，n+1pi（Y；∏，(R)p，αx，αL）。证据请注意，如果计算结果适用于共享财富，那么它也必须适用于清算付款，因为所有边界都是针对相同的总债务给出的。p.（i）考虑提议的上限。考虑ψ*: [-\'p，x+π\'\'p- \'\'p]×[0，1]→ Rn明确考虑回收率αx，αL。通过构造，ψ*（共同）不减损。因此，根据定理A.5，必须允许（最大）净财富作为回收率的函数也是不递减的，并且证明了上限。（ii）考虑固定αx，αL的建议下界∈ [0, 1]. 考虑ψ+：[-\'p，x+π\'\'p- \'-p]×[αx，1]×[αL，1]→ Rnbe清算方程的修正，以便ψ+（V，（ax，aL））：=I{Vi≥0}ax+I{Vi<0}αxxi+I{Vi≥0}aL+I{Vi<0}αLnXj=1πji（(R)pj-五、-j）-？pi。值得注意的是，通过构造清算财富，V（x；π，(R)p，αx，αL）是ψ+（·，（1，1））a的最大执行点，V（αxx；αL∏，(R)p，1，1）是ψ+（·，（αx，αL））的最大固定点。此外，通过构造，ψ+是（联合）非减量的。

因此，根据定理A.5，下界必须成立。社会节点的边界与支付的边界pi，i=1，…，基本相同。。。，n、 提案A.9。确定随机捐赠X∈ 最大清算财富Sv（X），以及支付和股票p（X）和E（X），是一个可测量的向量。证据首先，我们希望回顾第3.1节中规定的清算财富的分段线性公式；特别是召回, δ分别在（3）和（4）中定义。对于nyω∈ Ohm 注意V（X）[ω]=Pz∈{0,1}nI{X（ω）∈X（z）}(（z） X（ω）- δ（z）），其中X（z）提供了导致z中编码的默认值的一组元素，即X（z） Rn+定义为：X（z）：=x个∈ 注册护士+e我（z） x个≥ eiδ（z）i:zi=0，e我（z） x<eiδ（z）i:zi=1∩\\\'\'zzX（(R)z）c。也就是说，X（z）被构造为有限个闭合和开放半空间的交点，以及X 6∈S'zzX（(R)z）。这个附加条件是保证x∈ 与最大清算解决方案V（X）相比，X（z）不能提供“更好”（即违约银行更少）的清算财富向量。通过在命题A.1的证明中使用Tar ski的不动点定理，我们能够保证X（z）的这种构造实际上是不相交的。由于V（X）[ω]是有限s e t上的总和，因此清洁财富的可测量性如下。B随机赋能下的期望在本节中，我们希望考虑将赋能空间Rn+划分为区域，以便默认集在第2个子集中保持不变。Gouriéroux et a l.[2012]在没有破产成本的情况下，即αx=αl=1，且具有交叉所有权的情况下，对这个问题进行了详细的考虑。在此，我们将提供一个考虑破产成本的快速扩展，即任何αx，αL∈ [0, 1].

值得注意的是，当min{αx，αL}<1时，分区不需要是凸集，而它们是系统中的凸多面体，没有破产成本，如Gouriéroux等人[2012]所述。在下文中，我们将考虑第3.1节中规定的清算财富的分段线性公式；如果需要交叉所有权，则我们参考第3.3节，以了解映射所需的修改 和δ。为了考虑分区，fix z∈ {0，1}表示违约银行。通过建造，捐赠x产生的财富∈ Rn+由V（x）=（z） x个- δ（z）。为了使赋能向量与默认集z一致，它需要是vi（x）≥ 0当且仅当zi=0时。也就是说，生成默认集合Z的禀赋集合由不等式系统给出：e我（z） x个≥ eiδ（z）i:zi=0e我（z） x<eiδ（z）i：zi=1。然而，除非在没有破产成本（αx=αL=1）的特殊情况下，这些区域不必是不相交的。如果捐赠x有两个清算财富向量V6=V，那么它必须是z6=zzzzzk=I{Vk<0}。如果z=zthen，通过构造（zk），δ（zk），它必须遵循V=V。特别是，我们对最大清算财富感兴趣，因此我们可以通过考虑从d到z乘以X（z）的捐赠集，构建从最小违约数到最大违约数的划分 命题A.9证明中提供的Rn+。也就是说，X（z）定义为：X（z）：=x个∈ 注册护士+e我（z） x个≥ eiδ（z）i:zi=0，e我（z） x<eiδ（z）i:zi=1∩\\\'\'zzX（(R)z）c.在图7中，我们提供了一幅关于捐赠spa ce的分区图像，该图显示了一个小型网络，其中包含2家银行和一个社会节点。