共单调金融网络中债务和权益的定价

因此，社会财富明确定义为Vn+1（Y；￠∏，\'p，αx，αL）：=Pni=1πi，n+1pi（Y；￠∏，\'p，αx，αL）。备注4.2。如前所述，如备注3.7所述，我们将经验e【pi（X）】视为债务价格（直至通过贴现进行修改）。因此，我们可以将引理4.1中提供的预期的界限视为债务价格的界限。同样，由于有效利率R（X）与债务价格之间的单调关系，我们可以确定thatRi（e[X]；π，\'p，1，1）≤ supG公司∈GRi（E[X | G]；π，\'p，1，1）≤ Ri（X；π，(R)p，αX，αL）≤ Ri（αxZ；αL∏，(R)p，1，1），对于每个组i，使用引理4.1中的符号。一类次σ-代数G的赋能条件上界E[X | G]∈ G inLemma 4.1是共单调的。这意味着，通过定理3.6中的公式，我们正在优化的每个可能的目标值在计算上都是可处理的。虽然我们将这个上界表示为所有此类共单调投影的上限，但在实践中，它可能会对确定所有合适的子σ-代数集带来挑战。如引理4.1所示，平凡σ-代数始终是G的一个元素，它提供了这个界。在标记4.3中，当考虑单因素模型时，我们考虑了另一种特定的、具有财务意义的亚σ-代数选择。在继续之前，我们希望简要讨论一下引理4.1的一些直觉。当银行拥有同业关系时，这些资产可作为一种多元化的方法。然而，如果银行都受到共同的冲击，那么这种分散效应就会消失，从风险角度来看，这种相互联系变得无关紧要。从计算的角度来看，我们还通过共单调设置构造了预期财富和支付的上界，因此这不仅仅是最坏情况下的情况。备注4.3。

为便于说明，请考虑Eisenberg和Noe【2001】的完全恢复设置αx=αL=1。考虑一个捐赠的单因素模型，该模型允许预测错误或特殊条件，其中每个公司都是长因子：X=f（q，），其中f和qare如假设3所示。2和∈ （五十） nis独立于q（f在中不必是单调的）。引理4.1中考虑的条件上界意味着E[Vi（X）]≤ E[Vi（E[X | q]）]和E[pi（X）]≤ 所有银行i的E【pi（E【X | q】）】（即G=σ（q））。我们希望注意到，这个上界又是关于同单调禀赋的，因此，可以通过定理3.6中的公式计算。当q是一个“系统因素”并且定义了特殊风险时，这种设置尤其重要；有关此设置的详细示例，请感兴趣的读者参阅联机附录G。备注4.4。从压力测试的角度来看，本节讨论的下限对于评估金融网络中的系统风险具有特别重要的意义。如Acemoglu等人【2015年】所述，这可用于构建稳定性和弹性的度量。然而，Acemoglu et al.（2015）中讨论的稳定性和弹性结果仅适用于环形和完全连接的网络。相反，我们的共单调设置允许将这些结果扩展（分析）到任何一般网络拓扑。这些界限可以进一步应用于标量系统性风险度量（Chen等人[2013]，Kromer等人[2016]）和集值风险度量（Feinstein等人[2016]）。

【2017年】、Ararat a和Rudloff【2020年】）通过r obust代表；这一点在在线附录D.4.2市场资本化的价格界限中有详细说明，有趣的是，尽管在共同捐赠条件下，支付和财富达到了最坏的情况，而在预期捐赠条件下达到了最好的情况，在共单调禀赋下，金融系统中不同类型资产的权益明显高于其他相关结构，而在预期禀赋下则较低。（我们希望注意到，社会节点将表现出与引理4.1中给出的相同的边界属性，因为其公平性等于其富足结构。）事实上，正如下面推论4.5 b所证明的那样，金融部门的总市值以引理4.1中给出的相反顺序为界。推论4.5。考虑定理4.1的符号和设置。然后，金融部门的总预期权益从上到下以共单调的禀赋设定为界，即nXi=1Ei（αxE[X]；αL∏，\'p，1，1）≤ supG公司∈GnXi=1E[Ei（αxE[X | G]；αL∏，\'p，1，1）]≤nXi=1E【Ei（X；π，’p，αX，αL）】≤nXi=1E[Ei（Z；π，(R)p，1，1）]。事实上，如Acharya【2009年】、Elliott等人【2021】所述，这些市值使得我们能够在完全恢复αx=αL=1的网络框架内考虑投资组合选择问题，即Eisenberg和Noe【2001年】。我们这样做是为了重申共单调捐赠框架的投资组合优化动机（不同）。为了研究这个问题，考虑那些在最坏的情况下寻求自身预期权益最大化的银行，这些银行受到一些预算和监管约束 L+，即银行i寻求s来解决相对于所有其他机构的极大极小问题supxi∈BiinfX公司-我∈Qj6=iBjE[Ei（Xi，X-i） 】。

（5） 我们假设每个银行i，即如果Xi∈ Biand Xi（d）=Yi（均衡分布），然后Yi∈ 偏差很好。考虑银行可以协调并共同制定策略，以最大化市值共享的联盟的总股本，即联盟C寻求优化修改后的极小极大问题V（C）：=supXC∈气∈CBiinfX公司-C∈Qj6∈CBjXi公司∈CE[Ei（XC，X-C） 】。下表证明，大联盟将对科摩诺进行投资，并对个人叛逃保持稳定，因此，银行将制定投资科摩诺捐赠空间的内生性战略。推论4.6。考虑一个完全恢复（即αx=αL=1）的金融系统，其中所有银行都是（5）中的权益最大化者，它们可以协调投资策略。Shapley值φi：=XCN \\{i}| C |！（n）- |C |- 1)!n[v（C∪ {i} （）- v（C）]，i=1，2。。。，大联盟的N：={1，2，…，N}是一种插补，即它是一种有效的公平分配安排（Pni=1φi=v（N）），它是个体理性的（φi≥ v（{i}）对于每一家银行，i）因此没有一家银行会单方面选择在这种安排下离开大联盟。此外，大联盟中的所有银行将共同投资。作为这一推论的结果，尽管我们认为随机禀赋的一般速度受共单调禀赋的限制，但由于一个简单的公平最大化原则，共单调的环境可能会在阿内森伯格-诺伊框架内产生。由于考虑了完全恢复后的市值上限，以下结果仅保证在设定值时保持不变。5比较静力学在这一节中，我们通过数值例子为具有重要系统参数的系统的性能提供了比较静力学。

在这些数值示例中，我们将假设对数正态分布，如假设5.1所示。假设5.1。对于持股向量s，让银行捐赠由X=sq给出∈ Rn+且风险投资具有对数正态收益q=exp（[r-σ] T+σZ√T）无风险利率r≥ 0，波动率σ>0，和matu-rity T>0，其中Z是一些标准正态随机变量。为了进一步简化设置，我们将在本节中假设r=0，T=1。假设5.1给出了在线附录G的简化设置（在风险中性测量下），使得共单调条件ρiM=1，附加限制σi=σM=：所有企业i的σ，无风险率r=0。我们利用这些说明性的数字样本，通过将本研究中制定的价格与默顿（Merton）[1974]中没有银行间负债的价格进行比较，强调了违约通过银行间网络蔓延的影响（另请参见在线App endix f）。我们注意到，前面部分的共单调结构将允许我们考虑更复杂的基础市场模型，例如，一个泵扩散模型；这将通过考虑成熟期T时q的适当分布来实现。但为了简单起见，并且由于默顿在开创性工作中使用了它，我们将自己限制在对数正态分布。如上所述，在以下数字示例中，我们希望将债务和权益的比例与默顿公式的网络调整进行比较【197 4】，该公式也在在线附录F中给出。

特别是，我们希望研究单银行默顿环境下的两个简单的基线启发式算法，我们从数值上发现，这两个算法分别近似于高回收率αx，αL市场中的债务和股权价格≈ 1费率。（i） 债务的风险近似值：假设所有银行间资产——以某种方式减少了回收率（在此我们选择考虑[αx+αL]）——全部投资于风险集合（即呈现对数正态分布，不受总债务的限制）。特别是，如下所示，该设置提供了高回收率企业债务价格的近似值。启发性的是，由于这项工作中使用的共单调消费，银行违约发生在重叠的市场条件下，与对风险资产的共单调支付。因此，将这些想法发挥到极致，任何银行只有在所有其他银行都违约的情况下才会违约，而这些银行也会按照其债务和（低）资产价值的比例进行支付；如果（未来）SSETV价值较高，则这些银行间支付的价值可比较，这将导致全额支付，而无违约。（ii）股权的无风险近似值：假设所有银行间资产均以无风险资产的单位全额支付。特别是，如下所示，该设置提供了企业市值的（上限）近似值。启发性的是，由于这项工作中使用的假设的同质性，银行的偿付能力发生在重叠的市场条件下。因此，将这一想法发挥到极致，任何银行只有在所有其他银行全额支付债务的情况下才拥有正股本。值得注意的是，这些启发式算法还有一个额外的优势，即它们可以仅在聚合网络信息（即知道银行间总资产）下进行计算，而无需粒度网络信息。

正如网络重建文献（例如，见Upper和Worms【2004年】、Gandy和Veraart【2017年】）以及第5.2节所述，尽管银行间资产和负债总额已知，但通常无法获得有关银行间债务的详细信息。因此，这些启发式算法具有很大的r重要性，因为它们可以近似网络估值调整，而不需要精确的网络构造。5.1两银行系统银行1s=3银行2s=4社会3L=3L=7L=3图1：第5.1节的简单网络拓扑。如图1所示，考虑有2家银行和一个额外的社会节点的金融系统。这一具有额外社会节点的两银行系统是这样的：银行1欠银行2 7个单位，银行3欠社会节点7个单位，银行2欠银行1和社会节点3个单位。此外，为了简单起见，如果我们不改变该参数，我们认为风险资产的波动率σ=1，债权的到期时间t=1。此外，回想一下，假设无风险利率为r=0。我们认为这是一个简单、说明性的例子，以证明金融网络的影响（与默顿（1974）中没有银行间债务的两个基准系统中的相同系统相比）。为了进行清楚的比较，我们将采用无破产成本（αx=αL=1）的系统，并将一个常见的r isky作为集，在到期时呈现对数正态分布。具体而言，我们将考虑默顿（Merton）[1974]对有效利率进行的一系列比较静态分析，即通过改变债务公司价值比率和债权期限。我们省略了对不同波动性的考虑，因为该研究得出的结论与修改债权期限的结论直接一致。

我们希望注意，由于我们假设DR=0，风险溢价Ri（sq）-默顿[1974]使用的r相当于本文中的有效酯。我们希望强调本案例研究中的两个关键见解。首先，我们希望研究网络效应对债务和股权价格的影响。与默顿（Merton）[1974]的单一企业环境的比较表明，一旦考虑到网络效应和系统风险，定性结论就不再适用；也就是说，债务现值比率并不能唯一确定债务和股权的价格（第5.1.1节），也不能确定债务结构的形状，即有效利率对到期日T的依赖性（第5.1.2节）。其次，我们考虑上述基线启发式的性能，以证明其在估计债务和股权价格方面的相关性。5.1.1债务-企业价值比率的影响首先，我们将考虑债务-企业价值比率d=diag的影响s+π\'\'p-有效利率为1欧元，因此每个公司的债务价格为1欧元。在默顿（Merton）[19 74]中，没有固定的银行间资产（Pnj=1πji'pj=0），表明单个企业的债务-固定价值比率可以完全确定其自身的利率R（sq）。然而，我们在此明确考虑了银行间资产的影响。

在我们的情况下，我们可以通过以下方式改变d：（i）改变负债p并保持投资s不变，即p=1.-πd-πd-1.sdsd公司给定所需的债务-企业价值比率d∈ R+受dd约束≤ ππ; 或（ii）改变资产s并保持负债p不变，即s=diag（d）-1.\'\'p- 诊断（d）∏\'\'p给定所需的债务-企业价值比率d∈ R+使d≤ 诊断（∏）“-p）-除非另有说明，破产成本的选择不会改变本案例研究中的任何结论。这两种改变d的方法之间的区别很重要，因为我们发现，修改债务-企业价值比率的方法可以极大地影响债务价格，如通过有效利率衡量的那样。图2a和图2b分别显示了2号银行关于负债表1价值比率和负债表2价值比率的利息率等值线图，用于通过改变负债和资产来改变负债表价值。为了进一步明确各个债务公司的价值如何相互影响，我们考虑了该数据的三个部分，分别通过改变图2c和图2d中的负债或资产来划分数据和变化数据的水平。值得注意的是，如果表1通过资产变动构建了较低的企业价值比率，那么表2对于所选的任何债务-企业比率都具有较低的有效利率。然而，当通过负债率的变化构建债务-企业价值比率时，不存在这样的单调性。5.1.2到期日的影响第二，我们将考虑债权到期日T对各公司的有效利率（以及债务价格）和市值的影响。考虑到这一点，我们希望将网络效应与两个没有网络呈现的基线模型进行比较。

由于网络中银行间资产的风险，很明显，与基线模型（ii）中的所有银行间资产相比，当包括网络效应时，有效利率会更高，市场资本化会更低。如图3a所示，尽管将银行间资产视为市场资产时，市值几乎翻了一番，但在所有三种情况下，表1的有效利率都相似（基准模型（i））。如图3b所示，公司2在网络效应下的有效利率比没有合作伙伴风险的情况下高出几个数量级，并且当考虑到全网络效应时，其有效利率明显高于银行间资产与其他风险资产（即遵循市场模型）处理时的有效利率。正如预期的那样，由于其增加的风险，与本文考虑的两种单一方案相比，网络效应大大降低了市值。值得注意的是，本文发现的结果与我们对2个基线模型的启发式期望相匹配；然而，正如下一个案例研究的图6所示，这些启发式方法对于低回收率αx，αL<1失去了很大的预测能力。我们希望通过考虑利率形状作为网络效应下债权性质的函数来得出结论。