留一最小二乘蒙特卡罗算法在美式定价中的应用

例如，Z[i]（s）=e-r timax（K-s、 0）对于具有执行价格K和无风险利率r的经典单只股票认沽期权，一般而言，确切的支付可能取决于ti之后s（t）的路径；因此，预期支出。oV[i]（s）和C[i]（s）表示时间Tian和状态s[i]=s时的贴现期权值，前提是期权未在（和）ti之前行使-分别为1和ti。之前的研究通常将C[i]（s）作为延拓值。如果从上下文中可以清楚地看到锻炼时间指数[i]或时间相关性（t），则可以省略。我们可以将具有早期行使特征的期权的估值表述为所有可能的离散停止时间选择的预期未来收益的最大化问题，取值为{1，···，I}：V[0]（s）=maxτ∈TE[Z[τ]（S[τ]）| S[0]=S]。（1） 这相当于使用连续值的动态规划问题。因为C[i]（s）和V[i+1]（s）由C[i]（s）=E[V[i+1]（s[i+1]）和s[i]=s]相关，对于0≤ i<i，我们计算tiby反向感应时的期权值，V[i]（s）=max（C[i]（s），Z[i]（s））。（2） Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法这有效地意味着该选项在tiif C[i]（s）上继续≥ Z[i]（s）并以其他方式行使。为了一致性，我们假设Z[0]（s）=C[I]（s）=-∞ 确保V[0]（s）=C[0]（s）（即，必须在t=0时继续）和V[i]（s）=Z[i]（s）（即，如果不是之前，则必须在tI=t时练习）。因此，我们用C[i]（s）和Z[i]（s）表示最佳停止时间τ为τ=inf{0<i≤ I:C[I]（S[I]）<Z[I]（S[I]）}。为了了解定价在模拟设置中是如何工作的，我们进一步介绍了以下约定和符号：o我们生成了S[i]（1）的N条模拟路径≤ 我≤ 一） 初始值为S[0]。

然后，我们用S[i]n表示S[i]的模拟值。oX[i]（S）=（1，f（S），···，fM-1（s））表示时间tiand stateS[i]=s时的M基函数集。oN×M矩阵X[i]是X[i]（s）的模拟结果。由X[i]n表示的X[i]的第n行对应于X[i]（S[i]n）。我们假设基函数的多样性足以确保X[i]具有完整的列秩M。o函数^C[i]（s）是从模拟集X[i]获得的C[i]（s）的估计长度N列向量C[i]和Z[i]分别是^C[i]（s）和Z[i]（s）的模拟值。我们用C[i]n=^C[i]（S[i]n）和Z[i]n=Z[i]（S[i]n）表示第n个元素向量Y[i]是长度N列向量，由沿模拟路径在停止时间的期权支付组成，条件是在ti之前未行使期权。用Y[i]表示第n个元素，对于某些i，它等于Z[τ]≤ τ ≤ 一、 o对于稍后定义的其他变量，我们一致使用下标n和上标[I]表示t=ti时第n条路径的值我们使用两种类型的期望。在第一部分中，我们表示了En在一个模拟集上对N条路径的期望。在第二部分中，我们用ω表示对重复模拟的期望。根据停止时间公式（1），我们计算Y[i]作为路径向后诱导步骤：Y[i]n=Z[i]nandY[i]n=（Z[i]nif Z[i]n>C[i]nY[i+1]nif Z[i]n≤ C[i]n=i[C[i]n≥ Z[i]n]·（Y[i+1]n- 0的Z[i]n）+Z[i]≤ i<i，（3），其中i[·]是指满足条件时等于1的指标函数，否则等于0。许多作者采用这种反向归纳法，尤其是Tilley（1993）、Carriere（1996）、Longstaff和Schwartz（2001）。在反向归纳的最后一步中，我们计算t=0时的期权价格估计值，作为模拟路径上的平均期权值：^V[0]=En[Y[0]n]=NNXn=1Y[0]n。

（4） Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法估计值^V[0]，与真值V[0]相反，取决于估计值^C[i]（s）和模拟集。在基于（2）的备选反向诱导公式中，Y0[i]n=max（C[i]n，Z[i]n）=i[C[i]n≥ Z[i]n]·（C[i]n- Z[i]n）+Z[i]n，（5），一些作者，如Carriere（1996），Tsitsiklis和Van Roy（2001）采用了该方法。然而，我们不考虑这种方法。Carriere（1996）、Longstaff和Schwartz（2001）以及Stentoft（2014）报告称，这种替代方法导致的偏差明显高于前一种方法（3）。有关这两种方法的详细比较，请参见Stentoft（2014）。2.1. LSM算法采用模拟方法对百慕大期权进行定价的主要困难在于从模拟路径中获得^C[i]（s）（此后为C[i]）。这主要是因为蒙特卡罗路径生成在时间上是向前的，而定价的动态规划在时间上是向后的。Longsta off和Schwartz（2001）获得了估算值^C[i]lsm（s），作为当前状态X[i]下一个路径方向期权值Y[i+1]的普通最小二乘法（OLS）回归：^C[i]lsm（s）=X[i]（s）β[i]，其中β[i]是回归系数的长度M列向量。对于简单记法，从X[i]中省略练习时间超级脚本[i]，C[i]lsmandβ[i]areC[i]lsm=Xβ[i]=H[i]Y[i+1]，其中β[i]=（X>X）-1X>Y[i+1]，H[i]=X（X>X）-1X>，其中H[i]是帽子矩阵。注意，H[i]取决于当前状态X[i]，而不是未来信息Y[i+1]。使用（3），我们归纳性地运行i=i的回归- 直到我们获得期权价格^V[0]lsm。为了确定LSM算法中的前瞻性偏差是如何产生的，我们将重点放在时间和状态s的练习决策上。

为此，我们仅考虑尺寸为N的模拟，其路径通过状态S【i】N=S，虚拟路径索引为N。考虑（3）个过此类模拟集的期望，LSM方法的选项值（选择基函数）isEω【^V【i】LSM（S）】=Eω【Y【i】N】=Eω【i【C【i】N，LSM≥ Z[i]n]·（Y[i+1]n- Z[i]n | S[i]n=S）+Z[i]（S）。理想情况下，运动决策，I[C[I]n，lsm≥ Z[i]（s）]，以及续期保费Y[i+1]n-Z[i]n，应该是独立的，因为前者不能利用模拟路径的未来信息。然而，在LSM方法中，C[i]n，lsmdepends on Y[i+1]nvia C[i]=H[i]Y[i+1]。因此，前瞻性偏差的来源是两项之间的协方差：B[i]（s）=CovωI[C[I]n，lsm≥ Z[i]n]，Y[i+1]n- Z[i]n | S[i]n=S. （6） Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法前瞻性偏差是正的，因为C[i]n，lsmis总是偏向于Y[i+1]n。我们可以通过将C[i]与Y[i+1]去相关来消除前瞻性偏差。一种方法是运行一个独立模拟集来估计^C[i]（s）的标准技术。应用这种类型的方法，比如lsm，来消除前瞻性偏差，该方法的选项值是次优的：Eω[^V[i]lsm（s）]=Eω[i[C[i]n，lsm≥ Z[i]n]| S[i]n=S]·Eω[Y[i+1]n- Z[i]n | S[i]n=S][Z[i]（S）=p[i]lsm（S）Eω[Y[i+1]| S[i]n=S][（1- p[i]lsm（s））Z[i]（s）≤ p[i]lsm（s）C[i]（s）+（1）- p[i]lsm（s））Z[i]（s）≤ max（C[i]（s），Z[i]（s））=V[i]（s）。这里，p[i]lsm（s）=Eω[i[C[i]n，lsm≥ Z[i]n]| S[i]n=S]是在状态S平均过处理模拟下的演习概率。我们的前瞻性偏差表达与Fries（2005、2008）的表达略有不同。

他将其定义为连续值估计中蒙特卡罗误差上的期权价值：B【i】Fries（s）=CovωI[C[I]n，lsm≥ Z[i]n]，C[i]n，lsm- Z[i]n | S[i]n=S.我们认为，这一定义是不一致的，因为它基于替代反向归纳法（5），即使Fries（2005、2008）声称处理LSM方法中的前瞻性偏差。2.2. LOOLSM算法我们只需从回归中省略每个模拟路径，并从自排除回归中对路径做出练习决策，即可消除LSM方法中的前瞻性偏差。偏差公式（6）没有相关性，因为我们从C[i]n的估计中排除了Y[i+1]nF。图1通过一个具有三条模拟路径的玩具示例说明了这一想法。这个想法在统计学习中被称为LOOCV。这是一种特殊类型的k-fold交叉验证方法，其中k等于数据点的数量n。我们可以通过分析获得调整后的预测值，而无需运行n次回归。我们用留一回归表示预测误差，作为对全回归的修正（Hastie et al.2009，§7.10）：Y【i+1】- C[i]loo=Y[i+1]- C【i】lsmN- h[i]，其中1Nis是1s的size-N列向量，h[i]=（h[i]N）是h[i]的对角向量，向量之间的算术运算是按元素进行的。对角线元素h[i]n测量观测值Y[i+1]n上预测C[i]的平均值；也就是说，h[i]n=C【i】n/Y[i+1]n.当观测点x[i]距离其他点足够远，回归为moreWoo、Liu和Choi时，值较高：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法图1通过LOOCV进行前瞻性偏差校正的图示。x轴是当前状态变量S[i]n，y轴是延续溢价y[i+1]n- Z【i】n。

有三条模拟路径：n=1、2和3。LSM方法下的完全回归（^y=1+x）表明路径2应继续（^y=1>0）。然而，这是受异常值路径2（y=4）影响的前瞻性偏差。基于无路径2的回归（^y=-+x） 在LOOLSM方法下，应执行（^y=-< 0). 杠杆得分h【i】n为13/14、5/13和10/14。x=S[i]y=y[i+1]n- Z[i]n^y=1+x^y=-+xPath 1：(-4.-4） 路径2：（0，4）路径3：（2，1）-^y=1-^y=-ContinueExercise可能与观察结果相近（参见图1标题中的杠杆值）。它也是一种疾病≤ h【i】n<1，nxn=1h【i】n=秩（X【i】）=M。（7）注意，由于全回归包含因自身影响而产生的过度拟合，因此遗漏一项误差的大小大于原始误差。我们提出的LOOLSM方法简单地使用反向归纳步骤（3）中LOOCV的校正连续值C[i]n，loo:C[i]loo=C[i]lsm-h【i】·e【i】N- h[i]表示e[i]=Y[i+1]- C【i】lsm。（8） 我们可以将整个向量h[i]计算为X和X（X>X）之间按元素相乘的行和-1，直接从h[i]n=xn（X>X）开始-1x>n。这比从完整的h[i]矩阵中获得h[i]要有效得多。因为我们必须计算X的转置（X>X）-1对于完全回归，我们只需进行O（NM）额外操作即可获得h[i]。下限1/n是由于X[i]中的截距列引起的。我们排除了h[i]n=1的情况，因为它只出现在移除第n个观测值的X[i]不是满秩时。关于证明和平等条件，请参见Mohammadi（2016）。吴、刘和崔：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法3。前瞻性Bias3.1的收敛速度。测量前瞻偏差在本节中，我们通过LOOLSM方法分析前瞻偏差的收敛速度。

鉴于LOOCV修正消除了持续价格估计中的自我影响，很自然地将前瞻性偏差定义为LSM和LOOLSM价格之间的差异：B【i】n=Y【i】n- Y[i]n，looand^B=En[B[0]n]=^V[0]lsm-^V[0]loo，（9），其中B[i]是路径偏差，而^B是t=0时期权值的最终偏差。为了保持旋转简单，我们使用Y[i]n代替Y[i]n，lsm。与使用双通道LSM方法相比，使用LOOLSM方法测量前瞻偏差有两个优点。首先，我们显著地消除了蒙特卡罗误差，因为不需要额外的随机性（见表2）。此外，由于（8）中的解析表达式，我们可以从数学上分析前瞻偏差的收敛率。分析B[i]n有一个微妙的困难。只有当LSM和LOOLSM方法使用相同的观测值Y[i+1]=Y[i+1]loo进行回归时，Y[i]n和Y[i]n之间的差异才容易测量。然而，这仅在第一个诱导步骤i=i时得到保证- 1、从下一步开始，Y[i+1]和Y[i+1]开始偏离。为了解决这个难题，我们引入了一种改进的LOOLSMmethod，在LOOLSM回归中用Y[i]代替Y[i]looin。Y[i]n=i[C[i]n，lsm≥ Z[i]n]·（Y[i+1]n- Z[i]n）+Z[i]n，Y[i]n，loo=i[C[i]n，loo≥ Z[i]n]·（Y[i+1]n，loo- Z[i]n）+Z[i]n，C[i]n，loo=C[i]n，lsm- （Y[i+1]n- C【i】n，lsm）h【i】n/（1）- h【i】n）（10）我们通过数字验证，这种修改的影响在定价中可以忽略不计，因为替代只影响估计的延续值。因此，我们假设（9）中的LOOLSMprice是在本节中使用改进的方法测量的。3.2. 主要结果在说明主要结果之前，我们首先建立了look aheadbasia收敛速度的直觉。

假设第n条路径是LSM回归中的一个离群值，使得样本点Y[i+1]远大于预测值C[i]n，LSM。然后，当n，loo<Z[i]n时，前瞻性偏差会反转运动决策≤ C【i】n，lsm。在附录A的引理1中，我们将证明这等于0≤ C【i】n，lsm- Z[i]n<h[i]n（Y[i+1]n- Z[i]n）。（11） 我们可以猜测，上述事件的概率将以M/N的速率衰减。这是因为，随着模拟大小N的增大，h[i]nbe从（7）中变小为En[h[i]N]=M/N，而根据对称性，我们也可以假设Y[i+1]比C[i]N，lsm小得多。Woo、Liu和Choi：去掉一个，其他项的大小保持不变。事实上，正如我们在下文详细讨论的那样，情况确实如此。主要结果依赖于分析LSM算法收敛性的研究中常见的两个技术假设（Cl'ement等人，2002年，Stentoft 2004年）。首先，我们只使用实际的支付函数，该函数适度增长且定义良好的期权价格。从实践的角度来看，这是一个最小条件。假设1。支付函数Z[i]（s）在L中。第二个假设处理的是当期权和连续值以不可忽略的概率任意接近时所产生的定价复杂性。这一结果可能导致错误的极限行权决策，LSM算法无法收敛到真实价格；例如，参见Stentoft（2004）。此后，我们假设连续值几乎肯定与练习值不同。假设2。固定Lspace中可数基函数{fm（s）：m=0,1，····}的有序集。设C[i]M（s）为从LSM方法获得的连续值，第一个M基函数的极限为N→ ∞, 使C[i]M（s）→ C【i】（s）作为M→ ∞.

此外，letP[i]M（c）=P[| c[i]M（S[i]）- Z[i]（S[i]）|≤ c]是绝对持续保费不超过c的概率。那么，我们假设limc→0P[i]M（c）=0，对于所有M=1，2，···。以下定理是本节的主要结果。在分析收敛速度时，weregard将任何导出的量（如^B）作为随机变量，并检查其期望值在N增加时的表现。定理1。在假设1和2下，以下假设成立。（i） B【i】n~ Op（M/N）。（ii）对于任何给定的ε>0，存在rε>0，使得预期前瞻偏差满足ω[^B]≤ ε+rεM/N.（iii）^B在概率上收敛于零。此处，概率渐近表示法定义在所有可能的模拟运行的概率空间中，大小为N。由于MonteCarlo路径是独立绘制的，因此（i）中路径N的下标是虚拟索引。Woo、Liu和Choi：省去一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法我们证明了附录A中的定理1。在证明中分别处理了两种情况：（A）在练习边界附近对前瞻偏差的贡献，以及当资产分布的尾部可以任意变小时，（b）其他地方发生前瞻性偏差的概率可以由杠杆h[i]N的常数倍和预期值M/N来限定。由于任何现实性偏差都受（b）控制，其预期值至少以M/N的常数倍的速度衰减。事实上，我们报告了前瞻性偏差和M/N之间的强线性关系，有几个例子，见图2、3和4。虽然定理1不能保证线性，但我们认为这是h[i]主要决定收敛速度的直接结果。4、数值结果4.1。实验概述为四个百慕大期权案例定价，以比较LSM和LOOLSM方法。

我们按照标的资产数量的递增顺序呈现它们：单一股票认沽期权、两种资产的最佳期权、四种资产的一揽子期权，以及libor市场模型下的可撤销异国情调利率掉期。因此，如果给定相同的多项式阶数，回归器的数量M通常也会增加。我们使用N条路径运行nmcsets模拟，并使用以下三种估计器进行比较：oLSM：单通（即样本中）LSM估计器。oLSM-2：两遍（即样本外）LSM估计量。我们将从一组额外的N条路径计算出的行使政策应用于原始模拟集的支付估值LOOLSM：LOOLSM估计量。在这三种方法中使用相同的N条模拟路径进行支付估值，可以作为一种控制，以减少测量偏差的可变性（即方法之间的价格差异）。我们使用对偶随机变量（N/2+N/2）来减少方差。我们还通过选择不同的基集来改变M。根据nmcindependent模拟集的结果，我们得到了期权价格的平均值和标准差。如果可获得准确的期权值V[0]，则我们报告V[0]中的价格o ffset:price o ffset=Eω[^V[0]]- V【0】，其中^V【0】是每个模拟的价格估计。否则，我们报告价格Eω[^V[0]]。我们在一台运行Windows 10的个人计算机上用Python（3.7版，64位）进行了数值实验，该计算机采用Intel core i7 1.9 GHz CPU和16 GB RAM。Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法4.2。