留一最小二乘蒙特卡罗算法在美式定价中的应用

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英文标题：
《Leave-One-Out Least Square Monte Carlo Algorithm for Pricing American
  Options》
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作者：
Jeechul Woo, Chenru Liu, Jaehyuk Choi
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  The least square Monte Carlo (LSM) algorithm proposed by Longstaff and Schwartz (2001) is widely used for pricing American options. The LSM estimator contains undesirable look-ahead bias, and the conventional technique of removing it necessitates doubling simulations. We present the leave-one-out LSM (LOOLSM) algorithm for efficiently eliminating look-ahead bias. We also show that look-ahead bias is asymptotically proportional to the regressors-to-simulation paths ratio. Our findings are demonstrated with several option examples, including the multi-asset cases that the LSM algorithm significantly overvalues. The LOOLSM method can be extended to other regression-based algorithms improving the LSM method.
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中文摘要：
Longstaff和Schwartz（2001）提出的最小二乘蒙特卡罗（LSM）算法被广泛用于美式期权定价。LSM估计器包含不希望的前瞻偏差，而消除该偏差的传统技术需要加倍模拟。为了有效地消除前瞻性偏差，我们提出了一种留一LSM（LOOLSM）算法。我们还表明，前瞻偏差与回归器与模拟路径的比率渐近成正比。我们的发现通过几个选项示例进行了演示，包括LSM算法明显高估的多资产案例。LOOLSM方法可以扩展到其他基于回归的算法，以改进LSM方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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PDF下载：
--> Leave-One-Out_Least_Square_Monte_Carlo_Algorithm_for_Pricing_American_Options.pdf (667.81 KB)

2022-6-10 21:25:23 上传

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关键词：最小二乘 蒙特卡罗 蒙特卡 Mathematical Quantitative

留一个美国期权定价的最小二乘蒙特卡罗算法伊利诺伊大学香槟分校Jeechul WoodDepartment of Mathematics，University of Illinois Urbana Champaign，jcw@illinois.eduChenru斯坦福大学管理科学与工程系，liucr@stanford.eduJaehyukChoi*北京大学汇丰商学院，jaehyuk@phbs.pku.edu.cnTheLongstaff和Schwartz（2001）提出的最小二乘蒙特卡罗（LSM）算法被广泛用于美式期权定价。LSM估计器包含不希望的前瞻偏差，而消除它的传统技术需要加倍模拟。为了有效地消除前瞻性偏差，我们提出了一种留一LSM（LOOLSM）算法。我们还表明，前瞻偏差与回归器与模拟路径的比率呈渐近比例关系。我们的发现通过几个OptionExample进行了演示，包括LSM算法明显高估的多资产案例。LOOLSMmethod可以扩展到改进LSM方法的其他基于回归的算法。关键词：美式期权、最小二乘蒙特卡罗、Longsta off–Schwartz算法、前瞻性偏差、遗漏一出交叉验证1。引言1.1。背景具有早期锻炼功能的衍生品很受欢迎，其中美国和百慕大风格的衍生品是最常见的类型。尽管如此，在没有封闭式解决方案的情况下，这些期权的定价是一个困难的问题，即使是在对单一资产的美式期权进行估值的最简单情况下也是如此。因此，研究人员开发了各种数值方法来定价，这些方法大致分为两类：基于晶格的方法和基于模拟的方法。在基于格的方法中，通过使用合适的边界条件和相邻点之间的数学关系对格中每个点的期权进行估值，在状态空间中的稠密格上进行定价。

示例包括有限差分方案（Brennan和Schwartz 1977）、二叉树（Cox et al.1979）及其多维推广（Boyle1988、Boyle et al.1989、He 1990）。众所周知，这些方法在低维问题中效果很好。然而，它们在高维环境中变得不切实际，主要是因为对应的authorWoo、Liu和Choi:Leave One Out最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法晶格大小随着状态变量数量的增加呈指数增长。这种现象通常被称为维度诅咒。在基于模拟的方法中，价格计算为期权价值过模拟路径的平均值，每个路径代表了状态变量相对于风险中性度量的未来实现。虽然这类方法不受维度的挑战，但它们需要找到最佳的练习规则。一些基于模拟的方法提出了各种方法来估计作为条件期望的连续值。他们通过求解一个动态规划问题来计算期权价格，而贝尔曼方程本质上是连续值和行使值之间的比较。随机树方法（Broadie和Glasserman 1997）估计树的每个节点的连续值作为其子节点的平均贴现期权值。这种非参数化方法是最通用的类型，但其使用范围有限，因为树的大小在练习次数上仍呈显著增长。随机网格方法（Broadie和Glasserman 2004）通过使用网格结构克服了这个问题，其中下一次运动时间的所有状态都是当前运动时间任何状态的子级。

条件期望值计算为儿童的加权平均值，其中权重由似然比确定。基于回归的方法（Carriere 1996、Tsitiklis和Van Roy 2001、Longstaff和Schwartz 2001）使用回归技术估计模拟路径的连续值。这些方法在计算上易于处理，因为它们不仅在模拟路径的数量上是线性的，而且在练习次数上也是线性的。在基于回归的方法中，Longsta off和Schwartz（2001）提出的最小二乘蒙特卡罗（LSM）算法因其简单高效而最受欢迎。Fu等人（2001）和Glasserman（2003）对基于模拟的方法的实现和比较进行了全面的回顾。LSM方法对于可赎回结构性票据的定价至关重要，因为可赎回结构性票据的息票对其他基础资产（如股票价格、外汇汇率和基准利率掉期）具有复杂的依赖性。发行票据的金融机构是百慕大提前赎回票据期权的有效买家。相反，投资者，无论是个人投资者还是机构投资者，都是期权的有效卖方。与结构相同的不可赎回票据相比，它们以增强器字段的形式获得溢价。由于标的资产以及收益率曲线期限结构需要多因素模型，因此在此类票据的定价和风险管理中，不可避免地使用蒙特卡罗模拟和LSM方法。与之前对该主题的许多研究一样（Kolodko和Schoenmakers 2006，Beveridgeet al.2013），本研究是在可赎回结构化票据的背景下进行的。Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法1.2。

LSM方法中的偏差在基于模拟的方法中，包括LSM方法，有两个主要的偏差来源，其方向相反。由于该方法采用了各种近似方法，低侧偏倚与次优运动决策有关。例如，在LSM方法中，有限基础函数不能完全表示条件支付函数。由此产生的行权政策偏离了最佳行权政策，因此导致了较低的期权价格。因此，它也被称为次优偏差。高侧偏倚来自于对行使决策和支付估值使用一个模拟集。正如Broadie和Glasserman（1997）所解释的，这种做法在运动决策和未来报酬之间建立了一种切实的正相关关系；当模拟中的未来收益较高（较低）时，算法更有可能继续（练习）。出于这个原因，它被称为前瞻或预见偏见。LSM估计同时具有低偏和高偏；因此，Glasserman（2003）将其称为交错估计量。文献中的其他模拟估计器通常是低偏差或高偏差的。例如，Broadie和Glasserman（1997）仔细构造了低偏估计和高偏估计，以形成真实期权价格的置信区间。在可赎回票据市场中，前瞻性偏差比次优偏差更危险，且前瞻性偏差与次优偏差的混合是LSM估值器的一个显著缺陷。这与买方（金融机构）扮演做市商和定价者的角色密切相关。由于买家必须进行风险管理并以最佳方式行使期权，因此他们通常使用LSM方法。卖方（投资者）通常将票据持有至到期，无需对冲，因此对准确估值不太敏感。

从买家的角度来看，前瞻性偏差是很有可能的，因为它错误地反映了他们支付的期权溢价。无论期权的delta套期保值效果如何，当头寸接近到期或提前行使时，由于那时没有更多的未来可供研究，前瞻性偏差所赋予的期权价值将收缩至零。相反，次优偏差是良性的。虽然它降低了期权价值，但在次优行权政策下通过增量对冲实现的收益与降低的期权价值一样多。简言之，期权买家得到了他们所付出的。次优偏好的唯一缺点是买家会输给出价更高（更优）期权溢价的竞争对手。因此，买家倾向于使用低偏差估值器，以确保他们支付的溢价低于真实价值。然而，LSM方法中混合的前瞻性偏差使得买家很难做出保守的估价。消除前瞻性偏差的标准技术是通过使用额外的独立蒙特卡罗路径集来计算运动决策，从而消除运动决策与模拟支付之间的相关性。虽然这种双过程方法消除了前瞻性偏差，但其代价是计算成本翻倍，这已经很重了，因为Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法随机过程的模拟通常需要时间离散的Euler格式。LSM估计器的设计包括了两个方向上的偏差，其主要目的是保持计算效率，而不是通过部分设置这两个偏差来提高精度。此外，Longsta off和Schwartz（2001）声称，通过提出一个用两次模拟辅助证据测试的单一资产认沽期权案例，LSM估值器的前瞻性偏差可以忽略不计。

在这方面，LSM估计被认为是低偏差的。然而，研究人员和从业者担心，在多资产问题中，前瞻性偏差可能不会很小，因为模拟必须是最后的手段。L'etourneau和Stentoft（2014）、Fabozzi等人（2017）的数值结果表明，当模拟尺寸变小或基本生态系统的多项式阶数变高时，look aheadbiasis会增加。Carriere（1996）和Fries（2005）也发表了同样的评论。structurednotes市场的从业者还观察到，当使用高阶回归变量更好地捕捉运动边界（即减少次优偏差）时，前瞻性偏差也会增加。考虑到需要保持一次通过的LSM实现以提高计算效率，他们不愿意在LSM回归中包含高阶项，因为担心定价过高。根据政策迭代（Kolodko和Schoenmakers 2006，Beveridgeet al.2013）和对偶表示（Haugh和Kogan 2004，Andersen和Broadie 2004），可以对照几种估计美式期权上下限的方法来检查LSM价格的有效性。然而，它们的计算成本太大，无法用于日常定价和风险管理，因为需要嵌套模拟。因此，了解LSM估计器中前瞻偏差的大小并开发有效的算法来消除它具有重要的实际意义。1.3. 这项研究的贡献在这项研究中，我们提出了一种有效的方法来消除前瞻性偏差，其动机是统计学习中的交叉验证实践。标准做法是将培训和测试数据集分开，以避免过度拟合。

在统计学习的背景下，前瞻性偏差是指在培训（即锻炼政策的估计）和测试（即期权的估值）中使用相同的数据集所导致的一种过度匹配。类似地，对练习策略使用独立的simulationset对应于保持方法，这是最简单的交叉验证技术之一。在先进的交叉验证技术中，我们认识到使用LSM方法进行遗漏交叉验证（LOOCV）是可行的。在对样本进行预测时，LOOCV使用除一个样本外的所有样本对模型进行训练，从而以最小的方式分离数据集进行测试。在线性回归中，众所周知，完全回归Woo、Liu和Choi的修正：剔除一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法所有样本都可以通过简单的线性代数运算进行计算（Hastie et al.2009，§7.10）。因此，我们新的漏掉LSM（LOOLSM）算法消除了LSM方法中的look-aheadbiasis，而不会产生额外的计算成本。因此，可以将LOOLSM方法理解为Broadie和Glasserman（1997）的低偏差估计量的扩展，因为自排斥是在所有模拟路径上进行的，而不是在每个状态上单独进行的。通过使用LOOLSM方法，从业者可以可靠地获得低偏差价格，即使使用高阶回归基函数。LOOLSM算法也可以与其他回归方法一起应用，以改进最小二乘回归（Tompaidis和Yang 2014，Chen et al.2019，Ib'a'nez和Velasco 2018，Fabozzi et al。

2017年，Belomestny 2011年，Ludkovski 2018年）。此外，本研究有助于研究处理theLSM算法的收敛性，这是一个非常重要的问题，因为该方法的普及。几位作者从理论上分析了LSM方法的收敛性；Cl'ement等人（2002年）证明了基于中心极限定理的固定回归集的LSM价格的收敛性。Stentoft（2004）分析了当回归数M也变为整数时，连续值函数的收敛速度。Glasserman和Yu（2004）讨论了模拟大小N相对于M的增长速度，以实现一致收敛。Zanger（2018）估计了一般近似体系结构误差的随机分量。以往的研究主要集中于延拓值函数在最小二乘空间中的收敛性。通过构造，他们没有分析特定于SM方法的前瞻性偏差的收敛速度，在该方法中，估计的连续值函数是针对训练样本进行评估的。我们填补了这一研究空白。特别是，我们将前瞻性偏差表述为LSM和LOOLSM价格之间的差异，并从理论上分析其收敛速度，得出定理1中的上界。从经验上讲，该公式提供了一种测量Look-ahead偏差的方法，该偏差对蒙特卡罗噪声更为稳健。我们对真实价格已知的期权进行了数值研究，得出的结果与我们的理论结果一致。据作者所知，以前的估计前瞻性偏差的著作，无论是从理论上还是从经验上，都很少，纠正这种偏差的著作也很少。Carriere（1996）预测估计量的高端偏差渐近扩展到1/N+O（1/N）。

我们的分析和模拟结果不仅证实了这一观察结果，而且还表明，任何真实的视觉偏差至少会以M/N的速率衰减。Fries（20052008）将前瞻性偏差作为蒙特卡罗误差期权的价格，并从高斯误差假设中推导出分析修正项。与这些研究相比，我们的LOOLSM方法不依赖于任何模型假设，更准确地针对LSM设置中的前瞻性偏差。Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法除了美式期权定价之外，我们的新方法可以应用于各种随机控制问题，其中最小二乘回归用于近似最优策略。例如，可变年金参见Huang和Kwok（2016），energyreal期权参见Nadarajah et al.（2017），人寿保险合同参见Bacinello et al.（2010）。论文的其余部分组织如下。在§2中，我们描述了LSM定价框架，并介绍了LOOLSM算法。在§3中，我们分析了LSM方法中前瞻偏差的收敛速度。§4中给出了数值结果。最后，§6得出结论。2、方法在本节中，我们简要回顾了美国期权定价，主要是为了以后开发我们的方法。有关详细综述，请参见Glasserman（2003）。我们首先介绍本文其余部分使用的约定和符号：o期权可以在离散时间集{0<t<····<tI=t}行使。按照惯例，我们假定当前时间t=0不是锻炼时间S（t）=（S（t），···，SJ（t））表示时间t的马尔可夫状态向量。我们表示值attiby S[i]=S（ti）。oZ[i]（s）表示在时间t且状态s[i]=s时行使期权的预期付款。贴现到当前时间t=0。