留一最小二乘蒙特卡罗算法在美式定价中的应用

Black-Scholes模型下的百慕大期权本节中三个示例的基础资产价格Sj（t）遵循几何布朗运动：dSj（t）Sj（t）=（r- qj）dt+σjdWj（t），其中r是无风险利率，qjis是股息收益率，σjis是波动率，Wj（t）是由dWj（t）dWj（t）=ρjjdt（ρjj=1）关联的标准布朗运动。为价格动态选择几何布朗运动有几个优点，并且不会过分简化问题。它很容易实现，因为可以进行精确的模拟。几何布朗运动是文献中的标准选择，我们可以利用之前报道的百慕大期权的精确价格。对于每个示例，我们运行两个实验。第一个实验是确保LOOLSMmethod以与LSM-2方法类似的方式消除前瞻性偏差。我们使用N=4×10路径和三种方法的价格选项运行nmc=100组模拟。此外，我们使用蒙特卡罗方法对具有相同路径集的相应欧洲期权进行定价。第二个实验是验证定理1中偏差的收敛速度。我们使用不同的N和M运行LSM和LOOLSM方法。我们首先生成一个720×10Monte Carlo路径池，并将它们分成N=0.5、1.5、3、6、9、12、18和36×10paths的组。因此，生成的组包括nmc=720×10/N（=1440，···，20）蒙特卡罗运行，我们计算了nmc价格的价格和标准偏差。通过在同一路径池中改变N，我们尽可能地控制蒙特卡罗方差，并使模拟大小N成为衡量前瞻偏差的最重要因素。同时，我们通过包含高次多项式来改变回归器（M）的数量。

因此，我们将前瞻性偏差作为M/N的函数进行测量。这三个例子是百慕大期权，其支付完全在行使时确定，且始终为非负。我们在方法的实现中利用了这些属性。首先，我们将支出函数作为回归函数f（s）=Z[i]（s）。正如Glasserman（2003）所示，报酬是改善运动决策最优性的一个重要回归因子。包括支出也消除了回归中的规格问题。在替代的LSM实现中，可以回归连续溢价Y[i+1]- Z[i]（而不是Y[i+1]）来估计C[i]- Z[i]（代替C[i]）。虽然很难确定最优方法，但当我们将Z[i]（s）作为基函数时，它们变得相同。其次，继Beveridge et al.（2013）之后，即使C[i]n<Z[i]n，我们也不会在Z[i]n=0时行使该选项。负连续性Woo、Liu和Choi:Leave One Out最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法值是由模拟噪声或不完善的基函数引起的伪影。由于未来的支付是非负的，因此继续选择总是最佳的。案例1：单只股票认沽期权。我们从单个股票上的百慕大看跌期权开始z[i]（s）=e-rtimax（K- s、 0），参数集在Feng和Lin（2013）中测试：s（0）=100，σ=20%，r=5%，q=2%，ti=i，i=5（T=1）。通过实施二叉树方法，我们获得了执行价格的确切期权价格：K=80、90、100、110和120。Feng和Lin（2013）报告了K=100的准确价格，与我们的结果一致。对于回归器，我们使用x[i]（s）=（1，Z[i]（s），s，s，···）。我们在第一个实验中使用第一个M=5函数（最多s），在第二个实验中使用M=4、8和12。表1报告了第一次实验的结果。

正如所料，LOOLSM和LSM-2的价格相似，略低于LSM的价格。这一结果表明，尽管LOOLSM的大小很小，但它消除了前瞻性偏差。为了显示外观偏差的统计意义，表2分别报告了其平均值和标准偏差。由于LOOLSMmethod不需要额外的模拟，而LSM-2需要另一个独立的模拟集，因此，用loolsm方法测量的偏差比用LSM-2测量的偏差小得多。图2显示了第二个实验的结果。上图显示了不同M和N值下，LSM和LOOLSM方法的价格与M/N的函数关系。它说明了LSM和LOOLSM价格如何随着固定M中N的增加而收敛。LSM价格从上方收敛，LOOLSM从下方收敛，表明与给定M的收敛值相比，LOOLSM价格具有低偏差。下图显示了作为M/N函数的look aheadbasia。值得注意的是，三个M值的数据形成了清晰的线性模式，确认定理1中的收敛速度。虽然图中显示了一个特定选项（K=80），但该案例中的其他选项显示了相同的模式。这一单一资产案例类似于Longstaff和Schwartz（2001）用来证明前瞻性偏差可以忽略不计的例子。事实上，我们的结论是一致的。鉴于运动决策覆盖上的收敛速度，Longstaff和Schwartz（2001）甚至建议只使用金钱路径进行回归；也就是说，{n:Z[i]n>0}。然而，在我们的实验中，这种做法没有什么不同。Glasserman（2003）甚至报告说，在某些情况下，结果可能较差。

在本研究中，我们使用了所有的模拟路径。Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法分析，然而，在Longstaff和Schwartz（2001）的五个例子中，这个例子的比率最小，M/N=4/10。收敛性分析表明，当使用更大的基集（例如，M=8和12）时，即使使用更大的模拟规模N，LSM价格也可能高于真实价格。表1百慕大单只股票看跌期权的结果（案例1）。我们使用N=40000，M=5。“精确”列报告真实期权价格，而其他列报告nmc=100模拟结果的价格和标准偏差。所有值均四舍五入到小数点后三位。百慕大欧洲精密LSM LSM-2 LOOLSM精密MC80 0.856-0.002±0.014-0.003±0.014-0.003±0.014 0.843-0.002±0.01590 2.786-0.002±0.019-0.004±0.019-0.003±0.018 2.714-0.002±0.024100 6.585-0.001±0.020-0.003±0.020-0.003±0.020 6.330-0.000±0.02919 10 12.486-0.009±0.024-0.011±0.023-0.012±0.024 11.804-0.001±0.026120 20 20.278-0.014±0.033-0.014±0.033-0.016±0.033 18.839-0.003±0.018表2§4.2中关于百慕大单只股票看跌期权的第一次实验结果。各列报告了每种方法的价格与LSM价格之间的差异及其误差估计。K LSM- LSM-2 LSM- LOOLSM80 0.0013±0.0026 0.0011±0.000590 0.0017±0.0035 0.0014±0.0007100 0.0025±0.0072 0.0024±0.0014110 0.0021±0.0088 0.0024±0.0011120 0.0003±0.0086 0.0022±0.0013案例2：两项资产的最佳选择。

我们对两种资产的最佳（或彩虹）看涨期权定价：Z[i]（s）=e-rtimax（最大（s，s）- K、 0），Glasserman（2003）和Andersen and Broadie（2004）测试的参数集：K=100，σj=20%，r=5%，qj=10%，ρj6=j=0，ti=i，i=9（T=3）。期权采用三种初始资产价格进行定价，即S（0）=S（0）=90、100和110。我们在第一个实验中使用以下基函数（M=11）：X[i]（s）=（1，Z[i]（s），s，s，s，s，ss，s，s，s，ss，s）。对于第二个实验，我们使用M=4、7和11，它们分别对应于线性、二次和三次多项式项。我们使用AndersenWoo、Liu和Choi提供的百慕大期权的准确价格：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法图2价格效应集（顶部）和前瞻性偏差（底部）作为K=80的单只股票认沽期权的M/N函数（情况1）。在顶部，给定M和N的固定值，较高的值对应于LSM方法，较低的值对应于LOOLSM方法。和Broadie（2004），并根据以二元累积正态分布表示的解析解计算出准确的欧式期权价格（Rubinstein 1991）。表3和图3显示了结果。正如Glasserman（2003）所观察到的，LSM方法中的前瞻性偏差变得更加明显，而LSM价格仍然低于真实价格，主要是因为最佳选择的exerciseboundary是高度非线性的。如图3所示，次优偏差随着M的增加而迅速减小。尽管如此，无论次优水平如何，前瞻性偏差明显与M/N成正比。案例3：四项资产的一揽子期权。接下来，我们将百慕大看涨期权定价为一篮子四只股票：Z[i]（s）=e-rtimax公司s+s+s+s+s- K、 0个.Woo、Liu和Choi：保留一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法表3百慕大最佳看涨期权的结果（案例2）。

我们使用N=40000，M=11。“精确”列报告真实期权价格，而其他列报告价格和NMC=100模拟结果的标准偏差。所有值均四舍五入到小数点后三位。百慕大欧洲（0）精确LSM LSM-2 LOOLSM精确MC90 8.075-0.020±0.055-0.036±0.056-0.035±0.054 6.655 0.011±0.062100 13.902-0.036±0.060-0.052±0.062-0.054±0.058 11.196 0.011±0.078110 21.345-0.040±0.065-0.062±0.068-0.059±0.069 4 16.929 0.013±0.096图3作为最佳通话M/N函数的定价（顶部）和前瞻性偏差（底部）Sj（0）=100的选项（情况2）。在顶部，给定M和N的固定值，较高的值对应于LSM方法，较低的值对应于LOOLSM方法。根据Krekel et al.（2004）和Choi（2018）在EuropeanPayoff中测试的参数集，Sj（0）=100，σj=40%，r=qj=0，ρj6=j=0.5，ti=i，i=10（T=5）。期权的定价范围为一系列罢工，K=60、80、100、120和140。由于标的资产不支付股息，因此在到期之前最好不要行使期权；因此，theWoo、Liu和Choi：对于四个资产篮子期权（案例3），保留一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法表4的结果。我们使用N=40000，M=16。“精确”列报告真实期权价格，而其他列报告价格和NMC=100模拟结果的标准偏差。

所有值均四舍五入到小数点后三位。K精确LSM LSM-2 LOOLSM European60 47.481 0.233±0.223-0.205±0.213-0.209±0.196 0.012±0.30980 36.352 0.230±0.255-0.174±0.244-0.158±0.235 0.012±0.316100 28.007 0.235±0.237-0.117±0.238-0.109±0.309120 21.763 0.226±0.236-0.084±0.245-0.080±0.229 0.013±0.293140 17.066 0.213±0.224-0.086±0.222-0.075±0.223 0.015±0.275欧洲期权价格等于百慕大价格。因此，我们参考Choi（2018）了解具体价格。对于回归器，我们在第一次实验中使用2阶多项式（M=16）：X[i]（s）=（1，Z[i]（s），sj，··，sj，··，sj，··，sjsj，··，sjsj，··）≤ j<j≤ 第二个实验的子集M=6、10和16。表4和图4报告了结果。在本例中，LSM方法明显高估了所有执行价格的期权价格，而LOOLSM和LSM-2价格始终是低偏差的。与最佳期权情况不同，次优水平随着M的增加而保持不变，因为支付函数是资产价格的线性组合，因此只有线性基函数（M=6）准确捕捉行使边界。尽管当M/N非常小时，线性收敛明显出现（参见图4底部图的插图），但不同M\'s的前瞻性偏差会缩小为M/N的函数。4.3. 伦敦银行同业拆借利率市场模型下的可撤销外国利率掉期最后，我们将LOOLSM方法应用于伦敦银行同业拆借利率市场模型下的可撤销外国利率衍生品（Brace et al.1997，Jamshidian 1997）。最后一个示例与前三个示例不同，因为它更接近市场上交易的结构化产品，并且计算成本比前面的示例高得多。目前还没有确切的期权价格。

我们使用这个例子来演示LOOLSMalgorithm的计算优势。在引入支付之前，我们首先简要介绍了伦敦银行同业拆借利率市场模型。设P（t，t）表示以t支付1美元的零息票债券的时间t价格。对于一组等距日期，Tj=jδ，对于期限δ，Tjand和Tj+1seen之间的远期利率在时间t≤ Fj（t）=δ给出的TjisP（t，Tj）P（t，Tj+1）- 1..Woo、Liu和Choi：去掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法图4 K=100的四资产篮子期权的价格效应集（顶部）和前瞻性偏差（底部）作为M/N的函数（案例3）。在顶部，给定M和N的固定值，较高的值对应于LSM方法，较低的值对应于LOOLSM方法。我们还用Fj=Fj（Tj）表示即期汇率。伦敦银行同业拆借利率市场模型演变为{Fj（t）}，然后得出贴现曲线P（t，·）。在各种模型规范中，我们遵循Joshi和Rebonato（2003）的置换扩散随机波动实施；远期汇率遵循位移几何布朗运动Fj（t）Fj（t）+α=uj（t）dt+σj（t）dWj（t）0≤ t型≤ Tj，其中Wj（t）s是相关的标准布朗运动，波动率采用时间齐次形式σj（t）=a+b（Tj- t）e-c（Tj-t） +d表示0≤ t型≤ Tj。这种abcd波动率结构在文献中很流行（Joshi和Tang，2014年，Beveridge等人，2013年）。Joshi和Rebonato（2003）通过让a、b、log c和log dWoo、Liu和Choi：漏掉一个最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法在Ornstein–Uhlenbeck过程d h（t）=λ（h）后随时间演化，进一步使波动率随机∞- h（t））+σhdWh（t），（12），其中Wh（t）是独立于Wj（t）s的标准布朗运动。置换的扩散和随机波动性使模型能够显示市场中观察到的掉期期权波动微笑。

我们选择了一个即期指标，其中计价资产是一个离散复合的货币市场账户，1美元投资于t=0。t=TjisP时的计价资产价值*j=j-1Yk=0（1+δFj）漂移uj（t）由套利条件决定，取决于数值选择。预测-校正方法（Hunter等人，2001）提供了模拟Fj（t）所需的积分漂移的有效近似值。案例4：可取消的CMS利差和LIBOR范围应计。利用伦敦银行同业拆借利率市场模型，我们以异国情调的票面利率为可赎回结构票据定价。在等价掉期形式中，票据发行人（期权买方）以年率RJ支付异国情调的息票，投资者（期权卖方）以市场利率Fj支付-1在每个周期结束时，t=Tj。当两种固定期限掉期（CMS）和伦敦银行同业拆借利率的利差在一定范围内时，异国情调的息票是成对的。具体而言，我们假设RJ=（第一年为0.095（j=1，…，1/δ）0.095·I【Sw2yj≤ Sw10yj]·I[0≤ Fj公司≤ 0.03]之后，其中Swnyjis是现金流量交换时远期利率隐含的n年期掉期利率，{Fk（Tj）：k≥ j} 。自2008年金融危机以来，RJ中嵌入的两个条件一直受到投资者的欢迎；掉期曲线的反转（即Sw2yj>Sw10yj）是历史性的，预计美联储将维持较低的实现短期利率（即Fj）。然而，期权市场隐含条件的风险中性概率较低。因此，息票率（即9.5%）可以设定得很高，以平衡双方的现值。虽然大多数市场交易使用每日范围累计来降低融资风险，但我们的示例使用每个息票期的单一观察来简化定价。我们假设远期利率期限为6个月（δ=0.5），掉期在20年内到期。

因此，我们模拟了60个远期利率，{Fj（t）：1≤ j≤ 60}，直到t=20。发行人每年在i=1，…，ti=T2i=i时取消掉期，20（I=20）。根据市场惯例，取消不同时适用于现金流量交易。为了以aBermudan期权形式对交易进行定价，我们将可取消掉期分解为两种交易：（不可取消）Woo、Liu和Choi：保留一种最小二乘蒙特卡罗（LOOLSM）算法表5可取消异国利率掉期随机abcd波动率的Ornstein–Uhlenbeck参数（案例4）。参数值来自Joshi和Rebonato（2003，表4）h（t）h（0）（=h∞) σhλa-0.020 0.05 0.5b 0.108 0.1 0.3log c log（0.800）0.1 0.5log d log（0.114）0.2 0.4268基础掉期和百慕大掉期期权，持有人有权从tito t=20输入掉期。向期权持有人支付百慕大掉期期权的金额为z【i】=2IXj=2i+1δP*j（Rj- Fj公司-1） （Z[I]=0）。我们获得可取消掉期的价格，作为两次交易的价格之和。我们使用Joshi和Rebonato（2003，§8.4）中的模型参数进行模拟。位移为α=0.025，远期利率之间的相关性呈指数衰减，dWj（t）dWj（t）=e-θδ| j-θ=0.1的j | dt。表5给出了abcd波动率的Ornstein–Uhlenbeck参数。参见Joshi和Rebonato（2003，§8），了解参数集隐含的掉期期权波动性。我们用带时间步长的Euler格式模拟随机波动率，t=0.25。初始远期利率为Fj（0）=0.045- 0.0425 e-jδ/4使得fj随着j的增加从0.25%增加到4.5%。由于支付Z【i】在行使时未确定，我们需要与之前案例不同的回归实施。我们在基函数中不包括Z[i]。