快变随机波动率下的最优套期保值

（2.8）这里的期望值和方差是根据时间零点的信息有条件地得出的。我们在图2.1中显示了到期时的套期保值成本差异，作为相对到期时间τ=(R)σT和货币性m=X/K的函数。接下来，我们陈述了杠杆使“从业者”套期保值方法优越的重要结果。我们有明确的E[YBST | F]=0和varYBST | F= 风险值YHWT | F1.-D‘∑Γ, 具有D‘∑Γ≤ |ρ| ≤ 1、（2.9）0.20.4X/K0.6Log（相对成熟度）-2-4图。2.1. 图中显示了标准化套期保值成本标准偏差。Dev（YHWT）’σ/（KΓ）作为相对到期时间τ=’σT和货币性m=X/K的函数，这意味着VarYBST | F≤ 风险值YHWT | F. 本文的主要结果是，第8.3节，第8.3条：在所有DA对冲方案中，（BS）对冲方案使对冲成本方差最小，因此是此处讨论的制度中真正的最小方差对冲方案！这一结果在快速均值回归机制中得到了验证，并通过第9章中的数值模拟得到了证实。这些模拟还表明，从规模制度的角度来看，结果是稳健的：（BS）策略的套期保值成本方差总是小于（或等于）HW策略的套期保值成本方差。在第7节中，我们讨论了当波动率模型是标准或区间（赫斯特指数H<1/2）或nstein-Uhlenbeck过程的指数时，有效市场参数的显式表达式。在这种情况下，我们有‘∑Γ≈ ρ. （2.10）请注意，实施delta对冲方案（HW）和（BS）需要了解两个有效的市场参数σ和D。下面我们还将讨论选择“同质化”或“历史”delta时的情况：（H）：历史波动率下Black-Scholes价格的delta：δH（t，x）=xQ（0）（t，x；’σ）。

（2.11）该套保方案（H）仅可在∑知识的情况下实施，无需根据定价数据进行校准。然而，在所有情况下，实施套期保值方案并同时描述套期保值成本均值和方差需要了解所有市场参数（(R)σ，D，Γ）。对于模式（H），我们可以按照公式（2.6）中的公式来计算到期时的套期保值成本：EHT=P（0，X）+YHT，（2.12），根据fr om命题8.3，VarYHT | F≥ 风险值YBST | F. 特别是对于带有罢工K的欧洲电话，我们有EYHT | F= 0和VARYHT | F= 风险值YHWT | F+KD'σ^wH（d-), （2.13）带d-由（2.8）和^wH（d）=πZexp给出-d1+s√1.- shd（1- s） （1+s）+d6s（1- s） （1+s）+3s（1+s）-ids-dexp公司(-d） 2π。（2.14）我们在第9节中给出了欧洲看涨期权的数值模拟。我们发现，（BS）套期保值方案的表现甚至超过了快速均值回归制度，这是一种非强制性制度，它可以从中获利。我们总结了在欧式看涨期权情况下引入的delta中的m：δH（t，x）=N（d+），δBS（t，x）=δH（t，x）+Dd-经验值(-d-/2） x个√τ、 δHW（t，x）=δH（t，x）+D（D-- 1） 经验值(-d-/2） x个√τ、 N为累积正态分布，d±，τ由（2.8）给出。这里D是一个非常规对冲参数。事实上，该参数可以根据隐含波动率偏差进行校准，而我们在此推广的校准方法是根据历史价格路径进行校准，以最小化该参数的套期保值成本。在下文中，我们还将展示早期行使t<t的情况下的套期保值成本结果。在我们在第5节介绍一般支付和行权时间情况下的此类损失风险特征之前，我们在第3节讨论了股票波动率的建模，在第4.3节讨论了渐进定价公式。一类快速均值回复粗糙波动率模型。

考虑风险资产的价格，在历史计量下，遵循随机微分方程：dXt=Xt（dut+σεtdW*t） ，（3.1）带W*标准的布朗运动。在本文中，我们假设短期利率r=0，漂移可以忽略，因此我们将u=0。随机波动率是σεt=F（Zεt）形式的平稳过程。（3.2）随机波动率不是高斯过程，而是波动率因子Zεt的函数，这是一个标度的静态高斯过程：Zεt=σzZt-∞Kε（t- s） dWs，（3.3），其中wt是历史测度和kε（t）下的标准布朗运动=√εKtε. （3.4）我们引入了平均回复时间尺度ε，这是我们问题中的小时间尺度。这尤其意味着，我们考虑的是到期时间比波动率因素的自然时间尺度长的合同。因此，我们将波动因子和相关波动过程称为快速均值回复。关于波动率模型，我们有以下结论：（i）K∈ L（0，∞) w ithR公司∞K（u）du=1和K∈ L（0，∞).（ii）有一个d>1，因此：| K（t）|=O（t-d） 作为t→ ∞. （3.5）（iii）F是平滑递增的，并且从下方（远离零）和上方有界。在这些条件下，Zεthas的均值为零，方差σZ。我们假设W*这是一个布朗运动，与随机波动率相关*t=ρWt+p1- ρW′t，（3.6），其中布朗运动W′与Wt无关。函数F被假定为一对一、正值、光滑、有界和有界导数。因此，由（W′t，Wt）产生的过滤Ft也是Xt评定的过滤Ft。实际上，它相当于（W）生成的*t、 Wt），或（W*t、 Zεt）。因为F是一一对应的，所以它等价于由（W）生成的*t、 σεt）。

因为F是正值，所以它等价于（W）生成的值*t、 （σεt）），或Xt。因此，波动性可能是一个混合过程，也可能是一个在原点处相关性迅速衰减的过程。在后一种情况下，波动率既不是鞅过程，也不是马尔可夫过程。我们接下来讨论一些特定的波动率模型。3.1. 标准Ornstein n-Uhlenbeck模型。这里我们讨论了标准模型，其中Zε是尺度d Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程。其形式为（3.3-3.4）和K（t）=√2经验值(-t） 。OU过程Zε是一个中心高斯过程，协方差形式为[ZεtZεt+s]=σzCZsε, （3.7）CZ（s）=ex p(-|s |）。它求解了一个由标准布朗运动驱动的Lange-vin方程。这是一个鞅和马尔可夫过程，允许使用随机演算[8]。3.2. 粗略波动率模型。我们在这里讨论了一个模型，其中Zε是具有赫斯特指数H的缩放分数奥恩斯坦-乌伦贝克（fOU）过程∈ (0, 1/2).该过程在附录B中有更详细的描述，对于m（3.3-3.4），k（t）=p2 sin（πH）Γ（H+）htH--Zt（t- s） H类-e-sdsi。（3.8）fOU过程Zε是一个中心高斯过程，协方差形式为（3.7），CZ（0）=1，见公式（B.6）。与-4-2-0.50.5过程-4-2Lag-0.50.5中所述的标准OU过程相比，图。3.1. 虚线显示了相关函数CZH=。4（顶部图）和H=。1（底图）。请注意，对于大滞后，相关函数略为负。还应注意原点处相关性的快速衰减，H越小，衰减越快。虚线是方程式中的近似值。（3.9）和（3.10）。在前面的小节中，我们考虑了更一般的波动性因素，以证明最近的一些经验发现中讨论的情况，即波动性过程是粗糙的，对应于CZat在原点的快速衰减【17】。

我们通过假设OU过程由Hurst指数为H的分数布朗运动驱动来达到这种情况∈ （0，1/2）而不是标准的布朗运动[3]。如附录B所述，这给出了一个粗略的波动系数。我们已经明确地知道，协方差函数CZ在0的意义上是粗糙的：CZ（s）=1-Γ（2H+1）s2H+os2H公司, s<< 1，（3.9）而它是可积的，并且它作为s2H衰减-2单位：CZ（s）=Γ（2H- 1） s2H公司-2+os2H公司-2., s>> （3.10）见图3.1。协方差函数的这种行为受到volatilityprocessσεtitself的抑制，见等式。（B.13）和（B.14）。有关此模型的更多详细信息，请参阅[15]。4、欧式期权价格。我们有兴趣计算定义为鞅mt=E的期权价格高（XT）|英尺, （4.1）其中h是光滑函数，0≤ t型≤ T事实上，对于h而言，较弱的假设是可能的，因为我们只需要控制下面定义的函数Q（0）t（x），而不是h，如【14，第4节】中所述，其中扩展到更一般的h，如灰（x）=（x- K） +是一个地址。公式（4.1）中的期望值是根据定价度量P计算的. 回想一下，我们假设短期利率r=0，此外，在历史度量下，漂移u=0。我们在这里又做了一个假设，假设波动性风险的市场价格为零，因此P=P实际上，Xt的模型在pricingmeasure P下是一致的和历史测度P。我们首先注意到，利率和漂移非零的情况（在历史测度下）可以在下面的框架中进行分析，但是，为了表达简单，我们在这里不包括这种一般性。第二，我们注意到，与下文所述相比，具有非零风险市价的情况下给出的期权价格修正公式稍微多一些，参见[8，9]。

如果我们希望使用观察价格和相关隐含波动率偏差中的信息来校准对冲策略，则这种区别是相关的，请参见第6节中的讨论。本文计算了历史测度下的套期保值成本统计。我们在零利率和恒定波动率σ下引入标准Black-Scholes算子：LBS（σ）=t+σxx、 （4.2）我们利用价格过程是一个鞅的事实，通过构造一个显式函数P（t，x），使P（t，x）=h（x），使P（t，Xt）是ε的一阶修正项的鞅，来获得近似值。然后，P（t，Xt）给出了ε中一阶Mtup的近似值。最大订单价格是均匀或恒定参数下的价格。以下命题给出了εsmall框架下鞅mt表达式的一阶修正。提案4.1。我们有limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E|Mt公司- P（t，Xt）|1/2=0，（4.3），其中p（t，x）=Q（0）t（x）+√ερQ（1）t（x），（4.4）Q（0）t（x）是确定性的，由布莱克-斯科尔斯公式给出，具有常数波动性‘∑，LBS（‘∑）Q（0）t（x）=0，Q（0）t（x）=h（x），（4.5）具有‘∑=F=ZRF（σzz）p（z）dz，（4.6）p（z）标准正态分布的pdf，Q（1）t（x）是确定性校正解Lbs（(R)σ）Q（1）t（x）=-Dx个x（xx）Q（0）t（x），Q（1）t（x）=0。（4.7）确定性校正isQ（1）t（x）=（t- t） Dx个x（xx）Q（0）t（x），（4.8），其中系数由d=σzZ定义∞hZZRF（σzz）（F F′）（σzz′）pCK（s，0）（z，z′）dzdz′iK（s）ds，（4.9）与pC（z，z′）具有均值零和协方差矩阵的二元正态分布的pdf1立方厘米1, （4.10）和ck（s，s′）=Z∞K（s+v）K（s′+v）dv。

（4.11）【8，9】证明了混合（马尔可夫）情形，而【15】推导了粗糙情形。更准确地说，上述陈述涉及到【15】中所述波动率模型的概括，可以通过对此处所示证明的简单修改得出。因此，我们看到，波动率波动的影响给出了ε1/2的或阶的修正，并且仅由影响参数D决定。本文的主要结果是在快速均值回复随机波动的背景下，对套期保值成本进行了精确的统计描述。我们的novelanalysis使用了【15】中所述的分析框架。就期权价格而言，套期成本结果适用于一般波动率模型（3.2）。因此，它们以统一的方式特别适用于马尔可夫波动率和粗糙波动率的情况。我们注意到，粗糙波动率情况H<1/2和混合情况在性质上是相似的。事实上，第3.1小节的标准输出过程的参数D是第3.2小节的输出过程的参数D的H1/2的极限（这可以通过使用支配收敛定理和（3.8）的收敛来表示√2经验值(-t） ）。然而，与H>1/2相对应的[16]中所述的“长内存”情况有所不同。在这种情况下，波动“历史”起着至关重要的作用，并从定价和对冲的角度给出了质量上不同的图景。【14】中所述的小波动率也是如此，事实上，其分析与慢波动率因子非常相似。如果波动率因子较慢，相对于到期期限而言，波动率将在到期时间尺度上表现为非平稳。这些其他案例将在其他地方讨论。5、套期成本累计。

在以下章节中，我们得出了与欧洲期权背景下引入的对冲方案相关的成本结果。我们将在下一篇文章中总结这些结果。我们在第2节中介绍了hedg方案（H）、（HW）、（BS）。在第5.4节中，我们介绍了修改后的方案（~H），其中在（H）方案中，delta被选择为δ，然而，投资组合的价值被选择为P（t，x），而不是（H）方案中的Q（0）t（x）。以下命题直接来自第5.3、5.4、5.6、5.9和第5.4节。它给出了期望值的前导顺序表达式和hedg成本的方差（leading order为√ε表示期望值，ε表示方差）。提案5.1。如果我们将套期保值成本写入公式ECT=P（0，X）+YCt，对于C=H，HW，BS，￠H，（5.1），则我们有limε→0E“ε-1/2EYHt | F-（t- T）TρD′σg（X，T）#1/2=0，（5.2）limε→0Eε-1/2EYCt | F1/2=0，对于C=HW、BS、~H、（5.3）和Limε→0E“ε-1VarYHWt | F-Γ′σv（X，t，t）#= 0，（5.4）limε→0E“ε-1VarYCt | F-Γ′σv（X，t，t）-ρD′σwC（X，t，t）#= 0，（5.5）对于C=H，BS，ΓH，其中d和Γ是（4.9）和（5.41）给出的参数，g，v，wc是依赖于支付函数H的成本均值和方差函数。g，v，wc的显式形式见第8节，命题8。1，对于欧式c，所有选项h（x）=（x- K） +。评论在下文中，我们表明，在订单o的条件下(√ε） ：EHWt- P（0，X）=N（1）t，EBSt- P（0，X）=N（1）t+√ερN（2）t，EHt- P（0，X）=N（1）t+√ερИN（2）t，其中N（1），分别为。N（2），~N（2）是等式中定义的鞅。（5.13），分别为。式（5.14），式（5.57）。事实上，正是N（1）和N（2）之间的负相关使得（BS）方案优于第8.3节。

在方案（H）中，套期保值成本以EHT为特征- Q（0）（X）=N（1）t+√ερDZtx个x（xx）Q（0）s（Xs）ds，带E√ερDZtx个x（xx）Q（0）s（Xs）ds | F=tTP（0，X）- Q（0）（X）.此处和下方x个x（xx）Q（0）s（Xs）代表x个x（xx）Q（0）s（x）在x=Xs时计算。接下来我们将得出这些结果。5.1. 采用（H）对冲策略的对冲成本过程。考虑（H）对冲方案。我们假设有效波动率σ是已知的，并在此选择复制投资组合中的标的资产数量作为在有效波动率和标的资产当前价格下评估的Black Scholesprice的“δ”。因此，我们在此考虑“均匀化”或“历史”δ的情况：aHt=δH（t，Xt），δH（t，x）=xQ（0）t（x），（5.6）如等式（2.11）所示。此外，在本节中，我们选择投资组合的价值vhto，复制在有效波动率下评估的布莱克-斯科尔斯价格Q（0）t（Xt）：VHt=Q（0）t（Xt），0≤ t型≤ T、 （5.7）和bHt=Q（0）T（Xt）- aHtXt。如前所述，该套保方案可在只知道∑的情况下实施。正如我们将要展示的那样，为了描述hedgingcost均值和方差，我们还需要知道有效的市场参数（D，Γ）。投资组合复制付款到期日VHT=Q（0）t（XT）=h（XT）。成本函数为：EHt=VHt-ZtaHsdXs，（5.8），尤其是EH=Q（0）（X）。我们的目的是了解这种成本是如何表征的。利用Q（0）解Black-Scholes方程的事实，我们发现T=dVHt- aHtdXt公司=t+（σεt）x个x个Q（0）t（Xt）dt+xQ（0）t（Xt）dXt- aHtdXt公司=（σεt）- σx个x个Q（0）t（Xt）dt。（5.9）我们声明我们可以立即=（σεt）- σνt（Xt）(R)σ（t- t） dt，这里我们引入了“织女星”：νt（x）=(R)σQ（0）t（x）=σ（t- t）x个x个Q（0）t（x）。

（5.10）注意，在恒定波动率的特殊情况下，我们有σεt≡ (R)σ，因此dEHt=0，这意味着成本是确定的，由Black-Scholes价格给出：EEHt | F= Q（0）（X），VarEHt | F= 0, 0 ≤ t型≤ T、 在快速随机波动率的情况下（3.2），我们可以确定co st的前序项。可以确定两个等价表达式，如Lemma5.2所示。它们对于在下一个命题中计算成本的均值和方差很有用。引理5.2。套期保值成本满意度ε→0ε-1/2中断∈[0，T]Eh | EHt-^EHt | i1/2=0，（5.11），其中^EHt=Q（0）（X）+ε1/2ρQ（1）（X）- Q（1）t（Xt）+ N（1）t+ε1/2ρN（2）t，（5.12）N（1）和N（2）t是从零开始的鞅（1）t=Ztx个x个Q（0）s（Xs）dψεs，（5.13）N（2）t=Ztx个x个Q（1）s（Xs）σεsdW*s、 （5.14）ψεt=EhZT（σεs）-σds | Fti。（5.15）我们还有limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E|EHt公司-ˇEHt|1/2=0，（5.16），其中ˇEHt=Q（0）（X）+ε1/2ρDZtx个x（xx）Q（0）s（Xs）ds+N（1）t.（5.17）注意，等式（5.12）中的差异可解释为在区间（0，t）上交易校正的成本，N（2）是该成本的马丁加乐部分（减），考虑到如第4.1条所述的Q（0）和Q（1）所解决的问题，该部分给出了等式（5.17）。此外，我们可以从（4.8）中写出：limt型↓0EˇEHt+t型-r EHt |英尺t=ε1/2ρQ（1）t（Xt）t- t、 因此，当前的“一致成本流量”对应于在剩余期限内直至到期的修正成本的累积。证据设φεt定义为当前和到期之间预期的累积平方波动率偏差：φεt=EhZTt（σεs）-σds | Fti。（5.18）那么我们有φεt=ψεt-Zt公司（σεs）-σds，其中鞅ψε由（5.15）定义。