快变随机波动率下的最优套期保值

在欧式看涨期权的情况下，h（x）=（x- K） +并使用命题5.1中的符号，归一化函数g，v，wCdepend ond-θ=t/t仅：g（d-)K=-d-经验值(-d-/2)√2π，v（θ；d-)K=2πZθexp-d-1+秒ds公司√1.- s、 wH（θ；d）-)K=πZθexp-d-1+秒(θ - s） （1）- s）2f（s、d-) - f（s）ds公司- θd-经验值(-d-)2π，wBS（θ；d-) = -v（θ；d）-),wH（θ；d-)K=2πZθexp-d-1+秒(1 - s）f（s，d-) - f（s）ds，其中fj，j=0，2，4在命题C中定义。1和d-, τ由（2.8）定义。然后得出，作为ε→ 0，变量YBSt | F= εΓσ-ρD′σ！v（θ；d）-) =Γσ-D’σv（θ；d）-),其中g等于（2.9）。在图8.6中，我们绘制了未标准化到期日和货币性的函数。我们看到，对于大运动时间和较小的d值，v很大-.-0.5X/KLog（相对成熟度）-10.5图。8.2. 图中显示了欧洲看涨期权的标准化看涨期权价格修正：(R)σQ（1）/（KD）=-d-经验值(-d-/2)/√2π. 它是相对于图8.1中相同域的对数相对成熟度、对数（τ）=对数（T'σ）和货币性X/K的函数。我们发现，在价格过渡区，修正幅度较大，其最大值对货币敏感。此外，我们还发现，当成熟时间T相对于扩散时间σ较大时-2其次，纠正起着次要作用。红色虚线对应tod-= 0，或τ=2 ln（m），因此Q（1）=0（m=X/K）。蓝十字和红十字是Q（1）关于到期日的偏导数为零的渐近近似值。图中蓝色交叉为τ=4+4 ln（m），红色交叉为τ=ln（m）。在图8.7 a和8.8中，我们分别显示了在大锻炼时间和小d值的情况下的wHand wH-与（HW）方案相比，这些方案在成本差异方面稍有优势。请注意，在到期时，两个方案（H）和（H）的成本相同。

然而，回想一下，对于方案（H），假设期权可以以Q（0）的价格进行交易，因此除了在Q（1）T=0时到期时，方案不能直接进行比较。在图8.9中，我们显示了函数G/K，该函数将相干成本校正描述为d的函数-, 我们看到，对于d，该修正是最大的-围绕团结。8.3. 从业者方案的最优性。在我们建模的背景下，在我们考虑的方案（H、HW、BS、~H）中，实习医生方案（BS）的风险最低（即成本差异）。在这里，我们表明，事实上，practitionersapproach是所有DA对冲策略中在看涨期权和非常小ε的情况下的最优方案。定义8.2。DA套期保值方案基于形式（2.2）的价值复制投资组合，其基础资产的数量为tand Xt的平滑函数。提案8.3。设A（t，x）为光滑有界函数。设at=A（t，Xt）为P（t，Xt）值的复制投资组合中的参考数。删除*t=P（t，Xt）-ZtasdXs（8.1）是与对冲策略相关的成本。那么我们就有了订单条款图。8.3. 如前一图所示，该图绘制了看涨期权价格修正，但根据相对隐含波动率修正进行衡量。也就是说，让‘∑+σ是与价格修正相关的隐含价值，然后是图表(σ/σ)(σ/(√ερ′D））=-d-/√τ.0.20.40.6X/K0.8Log（相对成熟度）-2个。8.4. 图中显示了有效波动率下的布莱克-斯科尔斯三角洲，即xQ（0）。它被绘制为对数相对成熟度、对数（T'σ）和货币性X/K的函数。

对于大额或到期，该数量接近于单位，对应于在复制投资组合中持有大约一个单位的基础资产，而对于小额和到期，该数量接近于零，对应于仅持有现金。通过与图8.2的比较可以看出，当投资组合中持有大约一个单位的标的资产时，价格修正很小。o（ε）：E[E*t | F）=P（0，X），Var（E*t | F）≥ Var（EBSt | F），t∈ [0，T]。（8.2）这一命题表明，有一个方案，即（BS）方案，即对于任意时间t的渐近最优DA方案≤ T-1.5-1-0.5X/K0.5Log（相对成熟度）-2图。8.5. 图中显示了校正的增量，即'σxQ（1）/D。它被绘制为对数相对到期日，Log（T'σ）和货币性，X/K的函数。我们注意到，对于货币和小到期日，此外，在ρ<0的情况下，对价格的修正给出了（HW）情况下港口持有的标的物数量的负修正。投资组合权重的修正顺序为O(√ε） 在我们的政权中。0.050.1θ0.50.150.2图。8.6. 图中显示了套期保值成本方差函数v（θ；d-)/K、 证明。我们编写成本表*t=P（t，Xt）-ZtδHW（s，Xs）dXs+ZtδHW（s，Xs）- 像dXs。我们首先讨论与本文所述制度一致的最有趣的情况，即A（t，x）的情况- xQ（0）t（x）是有序的√ε： A（t，x）=xQ（0）t（x）+√εA（t，x）-0.15-0.1-0.05θ0.50.05 DFIG。8.7. 图中显示了套期保值成本差异函数wH（θ；d-)/K、 -0.15-0.1-0.05θ0.50.05 DFIG。8.8. 图中显示了套期保值成本方差函数wH（θ；d-)/K、 ThenE公司*t=P（0，X）+N（1）t+Nt+o(√ε） ，使用（使用公式（5.47））Nt=√εZtˇAs（Xs）σεsdW*s、 ˇAs（x）=ρQ（1）s（x）- A（s，x）x、 两个鞅N（1）和ˋN具有阶振幅√ε. 使用公式（A.14）we-4-2 0 2 4d-0.3-0.2-0.10.10.20.3图。8.9.

图中显示了一致的成本修正函数g（d-)/K、 getE公司（N（1）t）| F= EhZt（xxQ（0）s）（Xs）（εs）ds | Fi=εEhZt（xxQ（0）s）（Xs）ds | Fi+o（ε），在thatlimε的意义上→0Eε-1E级（N（1）t）| F-ΓEhZt（xxQ（0）s）（Xs）ds | Fi= 0。同样，美国的方程式。（A.13）和（A.19），E（Nt）| F= εEhZtˇAs（Xs）（σεs）ds | Fi=ε′σEhZtˇAs（Xs）ds | Fi+o（ε），EN（1）tˇNt | F=√ερEhZt（十）xQ（0）s）ˇAs（Xs）σεsθεsds | Fi=ερDEhZt（十）xQ（0）s）ˇAs（Xs）ds | Fi+o（ε）。因此，我们发现前导顺序ρt=CorrN（1）t，y Nt | F=ρDEhRt（十）xQ（0）s）ˇAs（Xs）ds | Fi‘∑ΓrEhRt（x）xQ（0）s）（Xs）ds | FiEhRt y As（Xs）ds | Fi，因此通过Cauchy-Schwa rz不等式|ρt |≤ρ、 其中ρ=ρD′σΓ=D′σΓ。（8.3）因此，根据第8.1条，表示αt=sVar（Nt | F）Var（N（1）t | F），我们有VarE*t | F= 风险值N（1）t | F1+2ˇρtαt+αt≥ 风险值N（1）t | F1.- 2ραt+αt≥ 风险值N（1）t | F1.-ρ= 风险值EBSt | F,这证明了预期的结果。如果我们假设A（t，x）-xQ（0）t（x）小于√ε、 那么我们很容易发现*t=P（0，X）+N（1）t+o(√ε） ，因此VarE*t | F= 风险值N（1）t | Fo（ε）阶上的toterms。如果我们假设A（t，x）- xQ（0）t（x）大于r√ε： A（t，x）=xQ（0）t（x）+εpA（t，x），带p∈ [0，1/2），然后*t=P（0，X）+^Nt+o（εP），其中^Nt=εpZt^As（Xs）σεsdW*s、 ^As（x）=-A（s，x）x。然后我们有（N（1）t）| F= O（ε），E（^Nt）| F= ∑ε2pEhZt^As（Xs）ds | Fi（1+o（1）），这表明E*t | F= 风险值^Nt | F（1+o（1））>> 风险值N（1）t | F≥ 风险值EBSt | F.对于c完备性（以及为了证明（2.9）中的最后一个不等式），我们还利用等式（6.1）和引理A.6，证明了|ρ|=|ρ|σlimε→0E[εtσεt]pE[（εt）]≤ |ρ|？∑limε→0pE[（σεt）]=|ρ|。数值说明和稳健性。我们用数字说明了不同套期保值方案的性能。

我们正在考虑欧洲电话的情况。回想一下，我们通过σ（t，x）解P（t，x）=Q（0）（t，x；σ（t，x））（9.1）定义隐含波动率，其中P（t，x）是校正价格：P（t，x）=Q（0）（t，x；(R)σ）+D（t- t）x个x（xx）Q（0）（t，x；’σ），（9.2），其中‘σ’是历史波动率，Q（0）是标准Black-Scholes价格。在看涨期权的情况下，对冲delta明确表示为“历史”（H）delta：δH（t，x）=xQ（0）（t，x；(R)σ）=N（d+），（9.3）对于N的累积正态分布–Black-Scholes（BS）或从业人员δ：δBS（t，x）=xQ（0）（t，x；σ）|σ=σ（t，x）=δH（t，x）+Dd-经验值(-d-/2） x个√τ、 （9.4）对于D，就基础参数而言，有以下表述的对冲参数：D=√ερ′DK√2π′σ，（9.5），带符号：d±=对数（X/K）√τ±√τ、 τ=(R)σ（T- t） .–船体白色（HW）三角形：δHW（t，x）=xP（t，x）=δH（t，x）+D（D-- 1） 经验值(-d-/2） x个√τ、 （9.6）式（9.5）中定义了D。基础和波动率的模型是第7节中介绍的expfOU模型：dXt=XtσεtdW*t、 σεt=(R)σexpωZεtσZ- ω,对于平均回复率为εandHurst参数H的Zεta分数Ornstein-Uhlenbeck过程，即代表Zεt=σzZt的标度高斯过程-∞Kε（t- s） dWs，其中Wt，W*在历史测度下，当核Kε在第3节中讨论时，皮重标准布朗运动与c相关系数ρ。回想一下，在这里，我们假设价格的漂移非常小，因此在历史衡量下，价格是阿马丁格尔。波动率波动的hedg成本为：ECT=h（XT）-ZTδC（s，Xs）dXs，C=H，BS，HW。我们模拟了许多独立的价格轨迹（Xs）0≤s≤t使用光谱法并计算相关套期保值成本。

然后，我们通过以下公式定义对冲成本中的相对风险：CC（T，x）=St.Dev[ECT]Q（0）（T，x；(R)σ），（9.7）0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3X/K0.050.10.150.20.250.3相对对冲成本HBSHWFIG。9.1. 图中显示了等式（9.7）中定义的相对对冲成本不确定性。实线、虚线和虚线分别对应于（H）、（BS）和（HW）方案。对于所有考虑过的货币价值，（BS）方案的风险最小。该图对应于快速均值回复和马尔可夫波动系数：H=1/2和ε=。优化了Hedging参数，以最小化（BS）方案（D=-.010），分别为（HW）方案（D=-.005). 式（9.5）中的理论参数为D=-.014（该理论值源自快速均值回归制度中的经典增量定义，未针对对冲风险进行优化）。其中标准偏差与模拟路径有关。我们在这里进行校准的方法是，我们假设历史价格路径为ava-Ilable，我们选择对冲参数D作为最小化（BS）对冲风险（评估（BS）对冲成本的风险）或最小化（HW）对冲风险（评估（HW）对冲成本的风险）的参数。在图9.1中，我们将对冲成本风险显示为货币性参数x/K和赎回权行使K的函数。我们使用参数T=1，ε=。05, σ = .5, ω = .5，ρ=-.因此，我们考虑了快速均值回复波动率和强杠杆。请注意，（BS）方案确实是所有考虑到的货币价值的最佳方法，而（HW）方案几乎与（H）方案一样。图9.2仅对应于图9.1，ε=1，因此我们不处于治疗平均值回复状态。

然后，所有方案都与几乎相同的风险相关联。因此，即使我们在其最优性制度之外使用（BS）套期保值计划，其表现也与经典（H）计划一样好。图9.3和9.4仅与图9.1和9.2相对应，此处H=。这意味着我们需要一个粗略的波动率制度。值得注意的是，（BS）方案对套期保值成本不确定性的降低程度大于经典马尔可夫情形（图9.3）。由于波动率更为粗糙，因此使用（BS）方案更为有利。即使ε=1（图9.4），这种优势仍然很明显。10、结论。经典的价格复制增量对冲策略在对冲实践中非常重要。我们在此对与此类方案相关的额外套期保值成本进行了新的分析，这些方案遵循随机波动情况和不完整的市场环境。我们将波动率建模为一个平稳的随机过程，该过程相对于躺在地上的人的扩散时间快速均值回复。具体而言，波动率是Volterra型高斯过程的平滑函数0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3X/K0.10.20.30.40.50.60.7相对对冲成本HBSHWFIG。9.2. 图中显示了等式（9.7）中定义的相对对冲成本不确定性。实线、虚线和虚线分别对应于（H）、（BS）和（HW）方案。三种套期保值方案的套期保值成本几乎相同。该图对应于缓慢均值回复和马尔可夫波动系数：H=1/2，ε=1。对冲参数在图9.1.0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3X/K0.020.040.060.080.10.12相对对冲成本HBSHWFIG中进行了优化。9.3. 图中显示了等式（9.7）中定义的相对对冲成本不确定性。实线、虚线和虚线分别对应于（H）、（BS）和（HW）方案。

对于所有考虑的货币价值，（BS）方案具有最小的风险，相对收益比图9.1中所示的马尔可夫方案更大。该曲线对应于快速回归和非马尔可夫波动系数：H=。1和ε=。对冲参数优化如图9.1所示。（标准布朗运动相对于确定性积分核的积分）。我们在模型中加入了le-Average，因此驱动波动率的布朗运动与驱动潜在波动率的布朗运动相关。在本文中，我们确定了股票波动性对价格的修正。决定这种修正的两个市场参数是有效波动率或均方根波动率和市场定价参数。由于波动率的随机性而产生的套期保值成本以织女星风险鞅为特征。该鞅的幅度与市场风险参数成正比，该参数需要根据市场进行校准，以量化对冲成本（均值和方差）。无法识别该市场风险参数0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3X/K0.050.10.150.20.250.30.350.4相对套期保值成本HBSHWFIG。9.4. 图中显示了等式（9.7）中定义的相对对冲成本不确定性。实线、虚线和虚线分别对应于（H）、（BS）和（HW）方案。我们仍然可以观察到（BS）方案是最优的。该图对应于一个缓慢均值回复粗糙波动率因子：H=。1和ε=1。对冲参数优化如图9.1所示。从隐含波动率倾斜。我们考虑欧洲看涨期权的特定套期保值，然后得到套期保值成本的明确表达式。

我们考虑了一大类我们称之为基于动态资产（DA）的对冲方案，该方案基于由一定数量的标的资产和银行账户中的一定金额组成的应用投资组合，因此该类对冲方案尤其包含所有delta对冲策略。我们发现，在这一类中，最佳方案是（BS）方案，其中，当在隐含波动率下进行评估时，delta是Black-Scholesdelta，即所谓的“从业者的delta”。我们考虑的所有对冲方案都可以在不了解市场风险参数的情况下实施，只有对冲成本的定量评估需要了解市场风险参数。在没有杠杆的情况下，上述市场定价参数为零，所有方案一致，套期保值成本由Vega风险鞅确定。对于一般杠杆率和每一个fdelta选择，我们确定了表征成本方差的对冲风险面。蒙特卡罗模拟可以评估hedgingschemes的性能，尤其是最优（BS）方案。结果表明，对于粗糙波动率因子，使用（BS）方案获得的性能比使用经典马尔可夫波动率因子获得的性能更大。本研究得出的第二个观察结果是，（BS）s模式对于快速均值回归的假设是稳健的。从某种意义上讲，当平均回报时间与到期时间的顺序相同时，它在历史波动率或其他（DA）策略下的表现与Black-Scholes价格的delta一样稳健。注意，在结果的证明中，我们假设了一个平滑且有界的支付，尽管公式可以应用于更广泛的支付。

非光滑支付函数的证明比[14]中给出的用于定价的相应证明更为复杂，它们应该涉及支付正则化方案，并将在其他地方给出。最后，我们指出，我们考虑了一个简化的市场情况。为了捕捉更一般的市场背景，需要考虑其他影响，如交易成本、离散性、波动性风险的市场价格以及非z ero利率和价格漂移。她说，我们想以一种严格的方式描述iz e，即在delta对冲计划的简单但实际上很重要的背景下，市场不完全性的影响，为未来的工作留下更复杂的对冲计划，尤其是其他衍生品。确认。这项研究部分得到了科诺中心、古诺基金会和巴黎萨克莱大学（chaire d\'Alember t）的支持。附录A.有效市场Lemm as。We表示G（z）=F（z）-σ. （A.1）（5.18）定义的随机项φεtde的形式为φεt=EhZTtG（Zεs）ds | Fti。（A.2）（5.15）定义的鞅ψεtde的形式为ψεt=EhZTG（Zεs）ds | Fti。（A.3）引理A.1。对于任何具有有界导数的光滑函数f，我们有varEf（Zεt）| f≤ kf′k∞（σεt，∞), （A.4）我们已经确定了0≤ t型≤ s≤ ∞:（σεt，s）=σzZstKε（u）du。（A.5）证明。Zεt given-Fis-Gaussian平均值的条件分布Zεt | F= σzZ-∞Kε（t- u） dWu（A.6）和方差VaRZεt | F= （σε0，t）=σzZtKε（u）du。（A.7）因此Ef（Zεt）| f= 风险值ZRf公司EZεt | F+ σε0，tzp（z）dz,其中p（z）是标准正态分布的pdf。