快变随机波动率下的最优套期保值

（ψεt）t∈[0，T]是一个平方e可积鞅，它满足以下性质：oψε和W的二次c去角化为hψε，W it=εtdt，εT=σzZTtEF F′（Zεs）| FtKε（s- t） ds，（5.19），Kε的形式为（3.4）。o存在常数kt，我们几乎可以肯定∈[0，T]εt≤ KTε1/2。（5.20）【16，引理B.1】证明了第一部分。第二部分从Kε（t）=K（t/ε）这一事实出发/√ε、 K级∈ L（0，∞).我们定义了在时间零点从零开始的鞅：dN（0）t=（xx） Q（0）t（Xt）σεtdW*t、 （5.21）dN（3）t=x个x（xx）Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t、 （5.22）然后E qs。[15]中的（31）和（36）改为：（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt=dQ（0）t（Xt）- dN（0）t，（5.23）dQ（0）t（Xt）=-dφεtx个x个Q（0）t（Xt）+ε1/2ρQ（1）t（Xt）+x个x（xx）Q（0）t（Xt）（σεt）-σφεtdt+ε1/2ρx个x个Q（1）t（Xt）（σεt）-σdt+ρx个x（xx）Q（0）t（Xt）σεtθεt- ε1/2Ddt+dN（0）t+dN（1）t+ε1/2ρdN（2）t+dN（3）t.（5.24）在[15]中，表明（5.24）右侧的第三、第四和第五项小于ε1/2。也就是说，如果我们引入∈ [0，T]：R（1）T，T=ZTtx个x（xx）Q（0）s（Xs）（σεs）-σφεsds，（5.25）R（2）t，t=ZTtε1/2ρx个x个Q（1）s（Xs）（σεs）-σds，（5.26）R（3）t，t=ZTtρx个x（xx）Q（0）s（Xs）σεsθεs- ε1/2D）ds，（5.27）对于j=1，2，3，limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（R（j）t，t）1/2= 0. （5.28）从P位置4.1我们得到-dQ（1）t（Xt）=Dx个x（xx）Q（0）t（Xt）dt- dN（2）t-x个x个Q（1）t（Xt）（σεt）-σdt。（5.29）然后从（5.9）-（5.23）-（5.24）-（5.29）得出，deht=ε1/2ρDx个x（xx）Q（0）t（Xt）dt+dR（1）t，t+dR（3）t，t- dφεtx个x个Q（0）t（Xt）+ dN（1）t+dN（3）t.（5.30），源自Lemma。2等式第二行的第一项。（5.30）较小：limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E“Zt公司-dφεsx个x个Q（0）s（Xs）#1/2=0，（5.31），第三项，即马氏体N（3）t，也很小：limε→0ε-1/2中断∈[0，T]呃N（3）ti1/2=0。然后我们得到（5.16-5.17）。

最后，通过从（5.17）中减去（5.12），我们得到了-^EHt=ε1/2ρhDZtx个x（xx）Q（0）s（Xs）ds-N（2）ti-ε1/2ρQ（1）（X）-Q（1）t（Xt）,由（5.26）和（5.29）得出，EHt=^EHt+R（2）0，T- R（2）t，t，所以（5.28）给出（5.11-5.12）。接下来，我们考虑预期的套期保值成本。我们发现，如果我们在0≤ t型≤ T，有效波动率下Black-Scholes价格之外的额外套期保值成本是启动时价格修正的分数T/T：命题5.3。平均套期保值成本满意度ε→0E“ε-1/2EEHt公司- EH | F-tTρQ（1）（X）#1/2=0，（5.32），EH=Q（0）（X）。因此，我们有limε→0E“ε-1/2EEHt | F- P（0，X）-t型- TTρQ（1）（X）#1/2=0，（5.33），得出（5.2）。证据从（5.17）我们得到ε-1/2EˇEHt- Q（0）（X）| F= ρDZtEx个x（xx）Q（0）s（Xs）| Fds。（5.34）利用（5.16）、引理A.11（方程式（A.17））和支配收敛定理，得出thatlimε→0E“ε-1/2EEHt公司- EH | F- ρDZtEx个x（xx）Q（0）s（￠Xs）| Fds公司#= 0，（5.35），带d▄Xt=▄σ▄XtdW*t、 X=X.（5.36）一方面，从（4.7）我们得到ρDZtEx个x（xx）Q（0）s（￠Xs）| Fds=-ρEZtLBS（(R)σ）Q（1）s（PXs）ds | F= -ρEQ（1）t（￠Xt）- Q（1）（￠X）| F,在t=0时等于0，在t=t时等于ρQ（1）（X）。另一方面，我们有It^o公式和（4.5）thatEhx个x（xx）Q（0）s（≈Xs）| Fi=x个x（xx）Q（0）（X），表明（5.3 5）中的积分项是t中的线性函数。因此它等于（t/t）ρQ（1）（X），从而完成了（5.32）的证明。如果我们在到期时或到期之前行使，我们还对对冲成本中的风险或不确定性感兴趣。我们发现，成本波动的大小是有序的√ε. 我们有一个对冲成本波动方差的显式积分表达式（到前导阶ε），如以下命题所述：命题5.4。

成本波动满足极限ε的渐近方差→0Ehε-1VarEHt公司- EH | F- V（1）t（X）- 2V（2）t（X）- V（3）t（X）i=0，（5.37），v（1）t（x）=2ρDZRdzp（z）Ztds（t- s）x个x（xx）Q（0）s（xe'σ√sz公司-\'\'σs/2）-tTρQ（1）（x）, （5.38）V（2）t（x）=ρDZRdzp（z）Ztds（t- s）（十）x） （十）x）Q（0）s（xe'σ√sz公司-(R)σs/2×（十）x） Q（0）s（xe'σ√sz公司-(R)σs/2, （5.39）V（3）t（x）=ΓZRdzp（z）Ztds（十）x） Q（0）s（xe'σ√sz公司-(R)σs/2. （5.40）这里p（z）是标准正态分布的pdf，Γ是参数Γ=2σzZ∞Z∞sZZRF F′（σzz）F′（σzz′）pCK（s，s′）（z，z′）dzdz′K（s）K（s′）ds′ds，（5.41），Pc是具有协方差矩阵（4.10）的二元正态分布的pdf，CK（s，s′）由（4.11）定义。证据从（5.11）和（5.17）中，我们可以写出ε-1VarEHt公司- EH | F= Vε+2Vε+Vε+o（1），（5.42）Vε=VarρDZtx个x（xx）Q（0）s（Xs）ds | F, （5.43）Vε=ε-1/2科夫ρDZtx个x（xx）Q（0）s（Xs）ds，N（1）t | F, （5.44）Vε=ε-1VarN（1）t | F. （5.45）注意，我们有xx=（xx）- x个x、 它允许磅（(R)σ）（十）x） j（x）x）Q（0）t（x）=0，j=0，1。然后可以通过Emmaa证明Vε在Lto V（1）t（X）（由式（5.38）给出）中收敛。13-等式（A.21）和位置5.3。类似地，使用n（1）的表达式（5.13），我们可以通过引理A.2和引理A.13-方程证明Vε和Vε在Lto V（2）t（X）和V（3）t（X）（吉文比方程（5.39）和（5.40））中收敛。（A.22-A.23）。我们在第8.5.2节中以欧洲看涨期权为例说明了上述结果。使用（HW）对冲策略的对冲成本过程。在本节中，当我们使用“修正delta”构建投资组合时，我们分析了等式（2.3）中描述的对冲方案（HW）。也就是说，我们现在使用修正后的Black-Scholes-pricein命题4.1和相关的delta和value函数。因此，我们构建了一个复制的投资组合，以便AHWT是时间t时的基础资产数量，BHWT是根据更正策略在银行账户中的金额。

por tfolio的值现在为VHWT=aHWtXt+bHWt，（5.46），我们选择HWT=δHW（t，Xt），δHW（t，x）=xP（t，x）=x个Q（0）t+ε1/2ρQ（1）t（x） 。（5.47）此外，我们要求投资组合复制修正后的期权价格，使投资组合的价值为VHWT=P（t，Xt），0≤ t型≤ T、 （5.48）和bHWt=P（T，Xt）- aHWtXt。投资组合再次复制到期时的支付vhwt=P（T，XT）=h（XT）。投资组合的融资成本isEHWt=VHWt-ZtaHWsdXs，（5.49），尤其是EHW=P（0，X）。我们的目标是通过使用正确的策略来了解成本是如何影响的。下面的引理表明，通过使用修正的套期保值策略，我们在不完全市场中恢复了存在自融资复制投资组合的情况，使其恢复到平均值的近似顺序。此外，对冲成本的特征是（5.13）定义的鞅N（1）。引理5.5。修正套期保值策略的成本满足ε→0ε-1/2中断∈[0，T]呃EHWt- P（0，X）- N（1）ti1/2=0，（5.50），其中N（1）是引理5.2，等式（5.13）中定义的鞅。证据根据等式。（4.5）和（4.7）我们发现DEHWT=dVHWt- aHWtdXt=t+（σεt）xx个P（t，Xt）dt+xP（t，Xt）dXt- aHWtdXt=（σεt）- σx个x个P（t，Xt）dt- ε1/2ρDx个x（xx）Q（0）t（Xt）dt。我们定义了EHWbyd EHWt=（σεt）- σx个x个Q（0）t（Xt）dt- ε1/2ρDx个x（xx）Q（0）t（Xt）dt，（5.51）从￠EHW=P（0，X）开始。因此，重量-EHWt=ρε1/2Zt（σεs）- σx个x个Q（1）s（Xs）ds，我们从引理A.12得到：limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（EHWt-EHWt）1/2= 0. （5.52）我们从（5.9）和（5.51）中得到：dEHWt- dEHt=-ε1/2ρDx个x（xx）Q（0）t（Xt）dt。使用（5.17）我们得到▄EHWt- EHt+ˇEHt=ˇEHW- EH+EH+N（1）t=P（0，X）- Q（0）（X）+Q（0）（X）+N（1）t=P（0，X）+N（1）t。使用（5.16）我们发现→0ε-1/2中断∈[0，T]EEHWt- P（0，X）- N（1）t1/2=limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（EHt-ˇEHt）1/2=0，这将通过等式得出所需的结果。

(5.52).这个引理允许我们描述正确对冲策略成本的均值和方差。提案5.6。超出修正价格的平均额外套期保值成本为零：limε→0Eε-1/2EEHWt- EHW | F1/2=0，（5.53），EHW=P（0，X）。成本波动满足度的方差ε→0Ehε-1VarEHWt- EHW | F- V（3）t（X）i=0，（5.54），其中V（3）由（5.40）给出。证据关于平均值的结果来自引理5.5和N（1）tisa零平均鞅的事实。方差的结果来自引理5.5和命题5.4.5.3中N（1）的渐近方差公式。使用（BS）对冲策略对冲成本。我们在此考虑第2节中描述的套期保值方案（BS），即使用BS价格在（2.4）和（2.5）定义的隐含波动率δB下的增量。这里Q（j）（t，x；σ），j=0，1代表Q（j）t（x），波动率σ不变，而不是σ。由于我们在此评估基于计算隐含波动率的BS套期保值方案，我们假设Black-Scholes Vega，σQ（0）在相关领域为正。在小幅度修正的情况下，确定隐含波动率的问题是有充分条件的，见下文。我们注意到，对于我们下面讨论的欧洲看跌期权和看涨期权，Vega是积极的，如附录D中证明的引理所示。引理5.7。黑色斯科尔斯织女星，σQ（0）（t，x）在x>0，t>0时定义良好且为正，如果支付函数h：[0，∞) → R是凸的，在大多数多项式增长中不是唯一的。使用与引理5.2和命题5.4的推导类似的技术，我们得出以下结果。引理5.8。

套期保值成本s cheme（BS）、EBS、satifieslimε→0ε-1/2中断∈[0，T]呃EBSt公司-^EBSti1/2=0，（5.55），其中^EBSt=P（0，X）+N（1）t+ε1/2ρNt，（5.56）N（1）是由（5.13）定义的鞅，而▄Nt是由▄Nt=DZt▄Hs（Xs）σεsdW定义的鞅*s、 （5.57）~Hs（x）=Dx个x个-x个x个σQ（0）（s，x；’σ）σQ（0）（s，x；’σ）Q（1）（s，x；’σ）。（5.58）证明。隐含波动率σ（t，x）为Q（0）（t，x；σ（t，x））=P（t，x）=Q（0）（t，x；(R)σ）+√ερQ（1）（t，x；’σ）。注释that withσQ（0），Black-Scholes织女星，连续且在σ处不为零，我们通过隐函数定理得到：σ（t，x）- σ =√ερQ（1）（t，x；’σ）σQ（0）（t，x；’σ）+o(√ε).（BS）δ为：δBS（t，x）=xQ（0）（t，x；σ）σ=σ（t，x）=x个Q（0）（t，x；’σ）+σQ（0）（t，x；’σ）（σ- σ)σ=σ（t，x）+o(√ε） ，所以我们可以写：δBS（t，x）=δH（t，x）+√ερQ（1）（t，x；’σ）x个σQ（0）（t，x；’σ）σQ（0）（t，x；’σ）+ o(√ε).然后，它遵循等式。（5.8）和（5.12）成本isEBSt=P（t，Xt）-ZtδBS（s，Xs）dXs=EHt+√ερQ（1）t（Xt）-√ερZtx个x个σQ（0）（s，Xs；’σ）σQ（0）（s，Xs；’σ）Q（1）（s，Xs；’σ）σεsdW*s+o(√ε） =P（0，X）+N（1）t+√ερN（2）t-√ερZtx个x个σQ（0）（s，Xs；’σ）σQ（0）（s，Xs；’σ）Q（1）（s，Xs；’σ）σεsdW*s+o(√ε） =P（0，X）+N（1）t+√ερИNt+o(√ε） ，定义为（5.57）。这个引理允许我们描述（BS）对冲方案成本的均值和方差。提案5.9。成本函数满足度的均值和方差ylimε→0Eε-1/2EEBSt公司- EBS | F1/2=0，（5.59）limε→0Ehε-1VarEBSt公司- EBS | F-V（1）t（X）- 2V（2）t（X）-V（3）t（X）i=0，（5.60），EBS=P（0，X），~V（1）t（X）=ρD'σZRdzp（z）ZtdsHs（xe'σ√sz公司-\'\'σs/2）, （5.61）~V（2）t（x）=ρDZRdzp（z）Ztds▄Hs（xe▄σ√sz公司-\'\'σs/2）×x个xQ（0）s（xe'σ√sz公司-(R)σs/2, （5.62）~V（3）t（x）=ΓZRdzp（z）Ztdsx个xQ（0）s（xe'σ√sz公司-(R)σs/2, （5.63），其中Γ由（5.41）定义，ΓHs（x）由（5.58）定义。5.4. 使用修改的（H）对冲策略对冲成本。

为了便于在早期行使时间对方案进行比较，我们在此使用有效波动率下Black-Scholes价格的deltaδH来考虑套期保值方案（H），但是，由于选择的投资组合价值是校正价格P（t，x），而不是有效波动率下的价格Q（0）t（x），因此对其进行了修改。我们将此方案标记为（▄H）。注意，使用公式（5.12），我们可以写出直到时间t的累积渐近hedgingcost的形式：EHt=P（t，Xt）-ZtδH（s，Xs）dXs=P（0，X）+N（1）t+ε1/2ρN（2）t+o（ε1/2）。（5.64）然后，我们发现套期保值成本的特征为引理5.8和命题5.9，前提是：N 7→ N（2）和DHt（x）7→x个x个Q（1）t（x）。6、关于有效市场参数的估计。为了使上述结果有用，我们必须能够估计第‘∑，D’节中讨论的三个市场参数=√ερD，Γ=√ε Γ. （6.1）我们参考D=√ερD作为一个有效的定价参数，价格修正量表为该参数的D。有效定价参数可以与有效或历史波动率‘σ’一起，通过观察普通期权价格和相关的隐含波动率偏斜来校准。参数Γ=√εΓ是一个对冲风险参数，Vegarisk鞅N（1）的大小用该参数来衡量。套期成本参数可以根据历史数据进行校准。实际上，通过为实例构建（HW）对冲，并记录时间ti，i=0，…，的累计成本，也就是说，我们将得到鞅n（1）的一个估计，在这些时间，参数√εΓ可以通过最小二乘法进行估计，该方法用公式（5.45）-（5.40）拟合出分数N（1）的经验方差，其中只有εΓ未知。

然后，该“历史”套期保值风险参数估计可用于预测未来套期保值成本（均值和方差），因此，该理论提供了从历史套期保值成本到未来套期保值成本的桥梁。在更复杂的市场情况和建模中，结合波动性风险的（随机）市场价格和利率，将有额外的参数需要估计。然而，参数D可以从观测到的波动率s kew进行校准，即使是在非zer o市场风险价格的情况下，参见[8，9]，其中详细讨论了基于隐含波动率偏斜的校准。历史波动率σ可以通过对基础价格的历史观察进行校准，而修正后的有效波动率σ可以根据隐含波动率偏差进行校准，然后这些波动率测量值的差异会导致对波动率风险的市场价格的估计，详情请参见【9，第5章】。在【10】中，进行了数据校准，确定了几天内的快速波动系数，并估计了影响参数。我们强调，我们在这里考虑的渐进机制是一种到期时间比波动率因子的时间尺度大的机制。因此，在本文中，我们不考虑短时间到成熟的渐近性，其中考虑了小时间到成熟的限制，而其他参数保持不变。我们的建模和区域的一个重要结果是，价格修正和套期保值方法的形式不依赖于h≤ 1/2，由于快速均值回复波动率因子的假设，表达式为fac t“通用”。这种机制的相关性和渐近结果的佐证可以在文献[13]中找到，该文献报告了基于数值模拟的这种普遍性。

在[13]中，作者发现“当到期时间较短且均值回归速度较慢时，分形波动下的赫斯特指数对期权价格有着至关重要的影响。相反，赫斯特指数对长期期权价格的影响会减少”，实际上，这里考虑的是长期到期期限的调整时间。在第9节的数值模拟中，我们进一步探讨了与快速均值回归假设相关的结果的稳健性，并确实发现此处提出的（BS）对冲方案与快速均值回归假设相关的稳健性。7、从ExpfOU得出的有效市场参数。我们在此讨论指数函数Ornstein-Uhlenbeck过程或ExpfOU模型。然后，我们通过σεt=F（Zεt）和F（Z）=σexp来定义波动性ωzσz- ω, （7.1）如下所述：F= σ. 这里，ω>0是一个波动参数，用于测量波动率相对波动的典型振幅：F-FhFi=e4ω- 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1ω0.51.52.5有效市场参数αβα/β图7.1。ExpOU案例中的市场参数α、β。我们引入了两个参数，总结了（3.4）中定义的K中包含的信息（以及（4.11）中定义的K函数）：α=D'σ=ωe-ωZ∞e2ωCK（s，0）K（s）ds，（7.2）β=Γ′σ=ωZ∞Z∞e4ωCK（s，s′）K（s）K（s′）dsds′1/2. （7.3）这两个参数（带‘∑）对于计算修正价格和套期保值成本是必要的和足够的。对于带有k（t）的“经典”ExpOU模型=√2经验值(-t） 它们由：α=e显式定义-ω/2e2ω- 1.√2ω，β=rE（4ω）-γ- ln（2ω），E（z）=R∞ze公司-ttdt指数积分函数与γ 0.577欧拉常数。在图7.1中的ExpOU情况下，我们将α和β绘制为ω的函数。注意α/β≤ 1几乎与ω无关，ω近似等于1≤ 1.8. 欧洲看涨期权的套期保值成本统计。8.1.

买入价及其增量及其修正版本。在图8.2中，我们显示了标准化的看涨期权价格相关性σQ（1）/（KD），在图8.1中，我们显示了布莱克-斯科尔斯价格相对于罢工Q（0）/K的比较。请注意，对于小型到期和货币，平均值修正更为重要。图8.3与图8.2相对应，只是我们根据非正态化隐含波动率校正绘制了买入价格校正。在图8.4中，我们显示了BlackScholes价格的增量，在图8.5中，我们显示了归一化价格修正的增量。如果我们假设一个负杠杆参数ρ，那么对于短期到期和货币周围，有效波动率下的布莱克-斯科尔斯三角洲给出了一个套期保值不足的情况，因为与价格修正相关的德尔塔为正。我们还看到，对于短期到期和货币，布莱克-斯科尔斯三角洲（Black-Scholes delta）提供了过度对冲的情况。X/KLog（相对成熟度）-2个。8.1. 图中显示了相对于行使的欧洲看涨期权价格：Q（0）/K。它是对数相对到期日、对数（τ）=对数（T'σ）和货币性的函数，m=X/K。对于短期到期日，我们看到了看涨期权的支付效果，尽管存在向大到期日限额的过渡机制，但单位、f或相对到期日大致接近于统一。8.2. 呼叫对冲风险。在命题5.1中，我们给出了一般支付情况下对冲成本的均值和方差的表达式。规范化函数g、v、wC的显式表达式，对于C=H、BS、~H，遵循第5节中的建议。在这里，我们通过一个欧洲电话来考虑这种情况。然后，我们可以使用附录C，等式中的结果。（C.1-C.8），得到归一化函数g、v、wC的精确表达式。提案8.1。