快变随机波动率下的最优套期保值

通过（A.6）随机变量EZεt | F为高斯分布，均值为零，方差为（σεt，∞)所以thatVarEf（Zεt）| f=ZRZRdzdz′p（z）p（z′）ZRZRdudu′p（u）p（u′）×hfσεt，∞u+σε0，tz- fσεt，∞u′+σε0，tzi×hfσεt，∞u+σε0，tz′- fσεt，∞u′+σε0，tz′我≤ kf′k∞（σεt，∞)ZRZRdudu′p（u）p（u′）（u- u′）=kf′k∞（σεt，∞),这是期望的结果。引理A.2。对于任何t≤ T，φε是一个具有ε（d）阶标准偏差的零均值随机变量-)∧1： supε∈（0,1）支持∈[0，T]ε（2d-1)∧2E[（φεt）]<∞, （A.8）其中d在（3.5）中定义。证据对于t∈ [0，T]φεtis的二阶矩：E（φεt）= EhEhZTtG（Zεs）ds | Ftii=ZT-tdsZT公司-tds’CovEG（Zεs）| F, EG（Zεs′）| F.我们有Lemma的。1E级（φεt）≤ZT公司-tds公司风险值EG（Zεs）| F1/2≤ kG′k∞ZT公司-tdsσεs，∞.从莱玛的角度看。10那么我们有（φεt）≤ 计算机断层扫描ε+εd-≤ 4CTε（2d-1)∧2，在t中均匀≤ T和ε∈ （0，1）对于某些常数CT引理A.3，设Yt为有界适应过程，我们有Limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E“ZtYsφεsdW*s| F#1/2=0。（A.9）证明。我们有一个叫It^o isometryE的ZtYsφεsdW*s| F#=EZt | Ysφεs | ds | F,结果来自Lemma。2注意到我们认为情况d>1。接下来，我们给出一个关于ψε二次变化的结果。引理A.4。（ψεt）t∈[0，T]是一个平方可积鞅，d hψε，W it=εtdt，d hψε，ψεit=（εT）dt，（a.10），其中εT=σzZTtEG′（Zεs）| FtKε（s- t） ds。（A.11）在（A.12）中给出的θεtis的替代表达式。证据这来自于[16，引理B.1]及其证明。对于t<s，Zεs的条件分布为均值为高斯分布Zεs | Ft= σzZt-∞Kε（s- u） DWU和由VAR给出的确定性方差Zεs | Ft= （σε0，s-t） ，其中σεs由（A.5）定义。因此我们有G（Zεs）| Ft=ZRG公司σzZt-∞Kε（s- u） dWu+σε0，s-tz公司p（z）dz，其中p（z）是标准正态分布的pdf。作为一个随机过程，tit是一个连续鞅。

根据It^o公式，对于任何t<s:EG（Zεs）| Ft=ZRG公司σzZ-∞Kε（s- v） dWv+σε0，szp（z）dz+ZtZRG′σzZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹zp（z）dzuσε0，s-udu+σzZtZRG′σzZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s- u） dWu+σzZtZRG′\'σzZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s- u） 杜。注意，我们从等式（A.5）中得出2σε0，s-uuσε0，s-u=-s（σε0，s-u） =-σzKε（s- u） 。然后，鞅表示通过部分积分明确遵循（关于z，使用zp（z）=-zp（z））：EG（Zεs）| Ft=ZRG公司σzZ-∞Kε（s- v） dWv+σε0，szp（z）dz+σzZtZRG′σzZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s- u） dWu。我们还有G（Zεs）=GσzZs-∞Kε（s- v） dWv公司=ZRG公司σzZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dz | u=s=ZRGσzZ-∞Kε（s- v） dWv+σε0，szp（z）dz+ZsZRG′σzZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹zp（z）dzuσε0，s-udu+σZZSRG′型σzZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s）- u） dWu+σZZSRG′\'σzZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s- u） du=ZRGσzZ-∞Kε（s- v） dWv+σε0，szp（z）dz+σzZsZRG′σzZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s- u） dWu。因此ψεt=ZtG（Zεs）ds+ZTtEG（Zεs）| Ftds=hZRZTGσzZ-∞Kε（s- v） dWv+σε0，szdsp（z）dzi+σzZthZTuZRG′σzZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s- u） dsidWu。这给出了（A.10）w，其中εt=σzZTtZRG′σzZt-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-tz公司p（z）dzKε（s- t） ds，（A.12），也可以写成引理中所述。引理A.5。设yt为有界适应过程。那么我们有SUPε∈(0,1]ε-1/2中断∈[0，T]EZtYsdψεs| F1/2< ∞.证据存在▄K<∞ 这样，对于t∈ （0，T），E“ZtYsdψεs| F级#≤KEhψε，ψεiT- hψε，ψεi | F,结果如下（A.10）和（5.20）。引理A.6。设f（t，x）为光滑有界且具有有界导数，且由式（3.1）定义。那么对于任何t∈ [0，T]我们有limε→0EZtf（s、Xs）ε-1/2σεsθεs-Dds公司= 0，（A.13）limε→0EZtf（s、Xs）ε-1.θεs-Γds公司= 0.（A.14）证明。公式中的结果。

（A.13）通过公式（5.28）中的参数得出，对于[15]中给出的j=3，（注意，通过（5.20），ε-1/2θεt几乎肯定是一致边界）。方程式（A.14）中的结果通过证明o fEq中的参数得出。（5.28）对于[15]中给出的j=2。要完成这项工作，还需要显示limε→0支持∈[0，T]Eh（κεT）i=0，对于κεT=Ztε-1（εs）-Γds。我们在Lemma中展示了这一点。引理A.7。设κεt=Ztε-1（εs）-Γds，thenlimε→0支持∈[0，T]Eh（κεT）i=0。证据As（a+b）≤ 2a+2bwe haveh（κεt）i≤ 2ε-2ZtdsZtds’Cov（εs），（εs′）+ 2.Zt公司ε-1E[εs]-Γds公司.结果随后来自伦马萨。8和A.9以及等式（5.20）中使用支配收敛定理的界。引理A.8。由（A.11）定义ε。我们有任何t∈ [0，T）：limε→0ε-1Eh（εt）i=Γ，其中Γ由（5.41）定义。证据我们考虑h（εt）iσ-2z=EhEhZTtG′（Zεs）Kε（s- t） ds | FtiEhZTtG′（Zεs）Kε（s- t） ds | Ftii=2ZT-tdsZT公司-tsds’EEG′（Zεs）| FEG′（Zεs′）| FKε（s）Kε（s′）。然后我们可以写出（εt）iσ-2z=2ZT-tdsZT公司-tsds′×EZRG′（σzZ-∞Kε（s- v） dWv+σε0，sz）p（z）dz×ZRG′（σzZ-∞Kε（s′）- v） dWv+σε0，s′z′）p（z′）dz′Kε（s）Kε（s′）=2ZT-tdsZT公司-tsds“ZRdudu”ZRG′（σεs，∞u+σε0，sz）p（z）dz×ZRG′（σεs′，∞u′＋σε0，s′z′）p（z′）dz′p▄CεK（s，s′）（u，u′）Kε（s）Kε（s′），其中p（z）是标准正态分布的pdf，Pc是（标准化）二元正态分布的pdf，平均值为零，协方差矩阵如图4.1所示，且▄CεK（s，s′）=σzR-∞Kε（s′）- v） Kε（s- v） dvσεs，∞σεs′，∞.通过指出（σεs，∞)+ （σε0，s）=σzandσεs，∞σεs′，∞~CεK（s，s′）=σzCεK（s，s′），与CεK（s，s′）=CK（s/ε，s′）/ε，我们可以看到，如果（Z，Z′，U，U′）是一个具有pdf p（Z）p（Z′）p（Z′）pCεK（s，s′）（U，U′），然后（σεs，∞U+σε0，sZ，σεs′，∞U′+σε0，s′Z′=（σzY，σzY′），其中（Y，Y′）是具有pdfpCεK（s，s′）（Y，Y′）的二维高斯向量。

这就给出了h（εt）i=2σzZT-tdsZT公司-tsds′ZRdydy′G′（σzy）G′（σzy′）pCεK（s，s′）（y，y′）Kε（s）Kε（s′），orEh（εt）i=2εσzZT-tεdsZT-tεsds′ZRdydy′G′（σzy）G′（σzy′）pCK（s，s′）（y，y′）K（s）K（s′）。利用K∈ L（0，∞) 我们通常得到Limε→0ε-1Eh（εt）i=Γ，表达式（5.41）为Γ，完成了引理的证明。引理A.9。对于任何0≤ t<t′<t我们有limε→0ε-2.Cov公司（εt），（εt′）= 0.证明。让我们考虑0≤ t′＜t≤ T