快变随机波动率下的最优套期保值

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英文标题：
《Optimal hedging under fast-varying stochastic volatility》
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作者：
Josselin Garnier, Knut Solna
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In a market with a rough or Markovian mean-reverting stochastic volatility there is no perfect hedge. Here it is shown how various delta-type hedging strategies perform and can be evaluated in such markets in the case of European options. A precise characterization of the hedging cost, the replication cost caused by the volatility fluctuations, is presented in an asymptotic regime of rapid mean reversion for the volatility fluctuations. The optimal dynamic asset based hedging strategy in the considered regime is identified as the so-called `practitioners\' delta hedging scheme. It is moreover shown that the performances of the delta-type hedging schemes are essentially independent of the regularity of the volatility paths in the considered regime and that the hedging costs are related to a vega risk martingale whose magnitude is proportional to a new market risk parameter. It is also shown via numerical simulations that the proposed hedging schemes which derive from option price approximations in the regime of rapid mean reversion, are robust: the `practitioners\' delta hedging scheme that is identified as being optimal by our asymptotic analysis when the mean reversion time is small seems to be optimal with arbitrary mean reversion times.
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中文摘要：
在一个具有粗糙或马尔可夫均值回复随机波动性的市场中，没有完美的对冲。这里展示了在欧洲期权的情况下，各种delta型套期保值策略是如何在此类市场中执行和评估的。在波动率波动的快速均值回归渐近机制中，给出了套期保值成本（波动率波动引起的复制成本）的精确表征。在所考虑的制度中，基于资产的最佳动态套期保值策略被确定为所谓的“从业者”三角洲套期保值方案。此外，还表明，delta型套期保值方案的性能基本上独立于所考虑制度中波动路径的规律性，并且套期保值成本与vega风险鞅有关，其大小与新的市场风险参数成正比。数值模拟还表明，从快速均值回归制度下的期权价格近似中得出的拟议套期保值方案是稳健的：当均值回归时间很小时，通过我们的渐近分析确定为最优的“实践者”增量套期保值方案在任意均值回归时间下似乎是最优的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Optimal_hedging_under_fast-varying_stochastic_volatility.pdf (882.32 KB)

2022-6-10 22:46:00 上传

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关键词：套期保值 波动率 Practitioner Fluctuations proportional

快变随机波动率下的最优套期保值*和KNUT SOLNA+摘要。在一个具有粗糙或马尔可夫均值回复随机波动性的市场中，没有完美的对冲。这里展示了在欧洲期权的情况下，各种delta型对冲策略在此类市场中的表现和评估。对冲成本（波动率波动引起的复制成本）的精确表征，在波动率波动的快速均值回归的渐近机制中给出。在所考虑的区域中，基于资产的最优动态边缘策略被确定为所谓的“实践者”三角洲混合方案。此外，还表明delta型套期保值方案的性能本质上取决于所考虑的制度中波动路径的规律性，并且hedgencosts与Vega风险鞅相关，其大小与新的市场风险参数成正比。数值模拟还表明，所提出的对冲方案与快速均值回归制度下的期权价格近似值不同，具有稳健性：当均值回归时间很小时，我们通过渐近分析确定为最优的“实践者”delta对冲方案似乎在任意均值回归时间下都是最优的。关键词。随机波动率、粗略波动率、对冲、风险量化、AMS主题分类。91G80、60H10、60G22、60K37.1。介绍我们考虑一个具有随机波动模型的n个不完全市场。我们的主要目标是描述期权对冲计划在此类市场中的表现。

我们认为，随机波动率模型的相当一般的类别包括标准的马尔可夫波动率模型和最近备受关注的粗糙波动率模型，参见[1、18、17、20、2、12]和[16、15]中的文献综述。例如，在投资组合优化的背景下，马尔可夫模型在[11]中得到了考虑，而非马尔可夫模型在[5、6、7]中得到了考虑。在这里，我们将波动率建模为波动率因子的平滑函数，波动率因子是平稳的Volterra型高斯过程。在标准波动率模型中，波动率因子是均值回复马尔可夫过程，如Ornstein-Uhlenbeck过程。在整个波动率模型中，波动率因子的相关函数在原点处快速衰减，比马尔可夫过程相关的衰减更快，从而产生粗糙路径。衰减率由赫斯特指数H表示。例如，可以选择高斯n挥发性因子作为赫斯特指数H<1/2的分数奥恩斯坦·纽伦贝克过程。我们考虑的主要渐近背景是快速均值回复波动率情况。这些结果建立在[15]中关于此类模型期权定价的结果的基础上，并扩展了这些结果。在此，我们将此框架扩展到更一般的波动率模型，并分析欧洲期权的一大类套期保值策略的性能，我们称之为基于动态资产（DA）的套期保值方案。DA方案基于一个复制的投资组合，该投资组合由一些基础资产和银行账户中的一些资产组成。特别是，这一类包含“delta”，δ，对冲策略，其中投资组合中的标的数是价格的δ，即期权价格相对于标的价格的部分导数。

对于波动率为常数的经典Black-Scholes模型，这种策略使其成为可能*Francejosselin Cedex Palaiseau 91128 Ecole Polytechnique数学贴花中心。garnier@polytechnique.edu+加利福尼亚州欧文市加利福尼亚大学数学系92697ksolna@math.uci.eduto在基础账户和银行账户中以自我融资的方式进行交易，以完善期权的支付。在波动率是随机的情况下，由于波动率的波动，这种方案在期权的生命周期内积累了额外的成本。我们在此考虑两种主要的市场情况：（I）在“有效波动率”或BlackScholes市场中，Black Scholes期权价格的期权交易，这将在第5.1节中讨论；（二） 市场整合了快速波动性波动的影响，并以修正价格或修正市场进行交易，这将在第5.2节中讨论。此处（I）有效波动率是指波动率过程的均方根，平均值与波动率因子的不变分布有关，（II）修正价格是指有效波动率下的Black-Scholes价格，并根据快速均值回复情况的符号分析进行修正，见命题4.1。我们假设波动率因子的平均回归时间相对于基础价格的离散时间很小。我们注意到，在早期行使的情况下，市场情况（I）和（II）之间的区别很重要。此外，请注意，我们考虑了几种计算复制策略效果δ的标准方法。下面将详细介绍这些内容。

如果“vol of vol”为零，即处于小波动率波动的极限，则这些δs成为标准BlackScholesδ，而对冲策略则成为标准的自我融资复制策略。在波动性减弱的情况下，我们在此提出了因波动而累积的额外套期保值成本的一种新颖而精确的特征。对于策略（I），该额外成本是半鞅，通常我们量化了非零均值和方差，而对于策略（II），该额外成本是真鞅，我们计算其方差。我们计算了DA hedg策略的成本，并确定了DA类中的最佳套期策略，该策略使我们的制度中套期成本的变化最小化。在评估成本时，我们考虑到了早期锻炼，并展示了成本如何取决于相对锻炼时间。值得注意的是，我们的结果具有普遍性，因为它们适用于快速均值回归制度下的穿透（H<1/2）和经典马尔可夫随机波动率因子。然而，在缓慢而非快速均值回归的情况下，或者当H>1/2时，这幅图会发生质的变化，关于这些区域的结果也会呈现出来。此外，请注意，我们在这里将cas e视为“杠杆”，这意味着波动率因子与驱动基础价格的布朗运动相关。事实上，在零相关的情况下，所有的套期保值方法都是以Vega风险鞅为特征的，其成本也是完全的。在不相关情况下，delta-hedg-ing方案的随机波动性的作用已在【23】中讨论。这里讨论了对冲不足和对冲过度的情况，我们在相关案例中重新讨论了这种特征。超级注册模式为复制成本提供了上限[26，25]。

这里，我们给出了套期成本的统计特征，该特征可用于套期成本的“风险价值”类型特征。当随机波动率混合时，在没有杠杆的情况下，ra pidlyman恢复套期成本，在有杠杆的情况下，在[24]中讨论了这一点。我们在此扩展讨论，以获得对冲成本的明确表达式，并考虑更一般的DA对冲方案。虽然我们在这里考虑套期保值方案，以最小化复制成本，但在各种渐近状态下的随机波动背景下，从效用优化的角度讨论了投资组合的构建。我们的目标确实是分析经典（包括Delta）对冲方案的性能，该方案在实际风险纾解方案中起着重要作用【22】。在[19]中，强调了杠杆在确定混合方案风险中的重要性，并从实证角度进行了探讨。这里，我们给出了对冲风险（对冲成本的均值和方差）的分析描述，特别是在杠杆和快速均值回归的背景下，针对[19]中讨论的delta对冲方案。论文概要：首先，在第2节中，我们总结了论文的主要结果。然后，在第3节中，我们讨论了具有快速均值回复随机波动率的市场建模的细节，在第4节中，我们给出了该模型中欧式期权的领先阶随机波动率价格修正。请注意，当我们在下面提到领先订单时，我们指的是订单Pε/T或大r的条款，其中ε是波动率因子的平均逆转时间，T是到期时间。然后，我们在第5节介绍了本文关于我们所考虑的各种套期保值模式的套期保值成本特征的主要结果。

hedgengstrategies是相对于领先的订单价格近似值计算的，该价格近似值接近于我们用ε/T考虑的渐近区域中的价格<< 1.我们在第6节和第7节中更详细地讨论了实施策略所需的主要影响参数以及表征对冲成本的参数。我们在第8节专门讨论了看涨期权的情况，并预先给出了渐近结果的数值说明。在第9节中，我们介绍了一些蒙特卡罗模拟，其中我们计算了看涨期权情况下各种对冲方案的实际对冲成本。我们发现，当平均回归时间与到期时间的顺序相同时，我们在快速均值回归制度下基于合意理论制定的对冲方案也表现良好。最后，我们在第10.2节中提供了一些总结。主要结果总结。在本节中，我们考虑了一种欧洲期权的套期保值，该期权的付息为（XT），到期日为T，基础为XT。基础假设遵循一个离散过程，具有第3节等式（3.1）中所述的随机波动性。在本文中，我们不考虑短期利率效应，这与假设债券利率为零有关。此外，我们不考虑与股息、交易成本或波动风险市场价格相关的影响。然而，一个重要的假设是，我们假设非零“杠杆”，这意味着波动率因子由布朗运动驱动，布朗运动与驱动基础的布朗运动相关，见下面的等式（3.6）。我们的主要目标是分析确定套期保值成本。

我们假设，当波动率因子的平均回复时间相对于标的证券的扩散时间（在到期日T的尺度上）很小时，我们会考虑一种制度，也就是说，我们考虑一种快速平均回复的平稳波动率。我们在快速均值回归的框架下给出了渐近结果，下面我们给出了近似的精确意义。我们的波动率模型包括标准的马尔可夫波动率模型ls和粗糙波动率模型。让均方根或“历史”波动率用σ表示（定义见下文等式（4.6））。此外，假设Q（0）（t，x；σ）是在时间t评估的波动率水平σ下的标准Black-Scholes（欧式期权）价格和标的证券的现值xf。那么，由于快速均值回复随机波动率，包含前导阶修正的价格为：P（t，x）=Q（0）（t，x；(R)σ）+D（t- t）x个x（xx）Q（0）（t，x；’σ），（2.1）见第4节。这里，D是一个有效的定价参数，可根据隐含波动率偏差的观察值进行校准，见第6节。我们构建了一个复制的投资组合，以便atis是时间t上的基础资产数量，btis是银行账户中的金额。投资组合的价值为VT=atXt+bt。（2.2）投资组合需要复制期权的价格，以便复制到期时的支付VT=h（XT）。由于基础isZTasdXs价格的变化，市场提供的净支付流超过了时间间隔（0，T）。未由市场“融资”的投资组合价值变化必须由por tfolio持有人承担，我们称之为成本函数：ET=h（XT）-ZTasdXs。如果atis是t和Xt的函数，则此套期保值方案称为DA方案。

DA套期保值方案的一般类别包括delta套期保值策略，即在投资组合时间t内，标的资产的数量at=δ（t，Xt）是期权价格相对于标的资产价值的导数的策略。我们采用了前两种主要的delta对冲策略，其特点是“delta”：（HW）：修正价格的delta：δHW（t，x）=xP（t，x），（2.3），其中P由（2.1）给出。（BS）：隐含波动率下Black-Scholes价格的增量：δBS（t，x）=xQ（0）（t，x；σ）|σ=σ（t，x），（2.4），隐含波动率σ（t，x）解p（t，x）=Q（0）（t，x；σ（t，x））。（2.5）请注意，我们在此定义了相对于修正价格P的隐含波动率。在波动率为常数且等于∑的情况下，对应于标准Black-Scholes模型，这些方法是一致的，投资组合是自融资的。在波动率波动的情况下，该模型是不完整的，并且在期权有效期内会累积额外的套期保值成本。我们注意到，在没有平均效应的情况下（这意味着波动率因子独立于驱动基础价格的布朗运动），那么D=0，两种方法包括并给出相同的套期保值成本。根据（2.5），对冲方案的增量（HW）对应于δHW（t，x）=xQ（0）（t，x；σ（x，t））+σQ（0）（t，x；σ（x，t））×xσ（x，t）。在最近的论文【19】byHull和White中，该方案被称为最小方差增量。他们通过对几种策略的实证比较发现，这种套期保值方法与最小套期风险或成本差异相关。在[19]中，最小方差增量和增量绩效是由杠杆的存在所驱动的。

在这里，我们对套期成本的均值和方差进行了分析量化，并相应地确定了在我们的设置中具有最小套期成本方差的套期保值方法，这不是（HW）方案。对冲策略的成本由三个市场参数σ、D、Γ表征，见第6节。如上文所述，第一个和第二个参数足以描述价格，第三个是对冲风险参数。考虑当我们构建一个价值为P（t，Xt）的套期保值组合时的情况，并将套期保值增量的两种选择的到期日总套期保值成本t byECT=P（0，X）+YCT，C=HW，BS，（2.6）。这里Xis是初始时间t=0时的基础价值，P（0，X）是投资组合的初始成本。然后在某种意义上，使收益率低于到期成本的随机部分YHWTisYHWT=ΓZTx个x个Q（0）（s，Xs；’σ）dBs=ΓZTσQ（0）（s，Xs；’σ）T- sdBs，对于B，是标准的d布朗运动。如果价格对波动性变化的敏感性很小，那么织女星的风险也很小。随着一个人接近成熟，在成本积累中对Vega的敏感性会更大。成本不取决于市场定价参数D，因此也不取决于平均相关参数ρ（ρ是波动率因子和驱动基础价格的布朗运动之间的c相关，见下面的公式（3.6））。然而，它与对冲风险参数Γ成正比，该参数不依赖于ρ，并且是中心新参数。因此，套期保值方法是杠杆补偿，因为它“免疫”投资组合的“杠杆风险”。在带有罢工K的欧洲呼叫选项的特定情况下，即h（x）=（x-K） +，我们有E[YHWT | F]=0和varYHWT | F=KΓ′σ2πZexp-d-1+秒√1.- sds，（2.7），标准Black-Scholes参数d±=对数（X/K）√τ±√τ、 τ=(R)σT。