具有响应性的最优电力需求响应契约

（右）当λ变化时，生产者从响应性激励和波动性降低中获得的收益，作为消费者总收益增加百分比的函数。总成本稳定在50%，生产商的收益增长也达到30%，而波动率降低限制在75%。0 2 4 6 8 10 12020406080101200 2 4 6 8 10 12-70-60-50-40-30-20-1000 2 4 6 8 10 120204060801001020140160180图5：作为价格事件持续时间T的函数，具有响应性控制（蓝色）和不具有响应性控制（红色）的最优支付的总（左）、固定部分（中）和确定性等效随机部分（右）。我们通过显示固定部分和随机部分之间向消费者支付的款项的分解（如提案3.2所定义）作为价格事件持续时间的函数，来总结这些数字说明。事实上，我们已经看到，在第二好的反应性激励中，能源价格和波动性并不是恒定不变的。因此，随机支付比没有响应性激励的支付增长更快。图5显示了总付款及其在固定部分和随机部分的确定性等价物之间的分解，作为有无响应控制的价格事件T持续时间的函数。在这两种情况下，总付款都是正值，并且在付款期限变长时会增加。正如预期的那样，使用ResponsivesControl的支付比不使用ResponsivesControl的支付更大，因为它需要消费者提供更多的服务。显著的结果来自于其确定性部分和随机部分之间契约的分解。生产者在实施响应性激励时比不实施响应性激励时向消费者收取更多费用，但提供了更高的确定性等价物。

消费者做出合理反应的开始是向他收取更多的费用，但如果结果合适，也会给他更多的奖励。消费者被要求提供服务的时间越长，这种差异应该越大。我们无法抗拒将这一结果作为一般原则的诱惑：如果一个人想从代理人那里获得长期的定期结果，那么他应该首先减少与同行相比的收入，然后在成功的情况下给他更多的报酬。4.3稳健性分析我们在本节中检查能量线性值假设的稳健性。为了简单起见，我们将重点放在消费者的能源边际价值下降的影响上，而将发电方面的能源边际价值（增加边际发电成本）放在一边。我们现在考虑函数f的以下规格：f（x）=κ1- e-kxk，（4.1），因此，对于较小的κ值，我们用f（x）恢复线性情况≈ κx。此外，我们针对单个平均使用量校准了我们的模型。但是，在单次使用的情况下，生产商可以确定对响应性的影响，从而接近最佳。当有更多的用法时，情况就不再如此了。因此，我们还评估了生产者在两种和四种使用情况下的平均付款和合同效益。在这种情况下，我们将表1提供的标称情况的参数u、λ和σ与两种使用情况下的权重向量（1/4 3/4）和四种使用情况下的权重向量（1/8 1/8 1/2 1/4）分开。权重向量的选择是以使用方法之间的对比差异为指导的。我们计算了命题A.4（i）中给出的具有响应激励和非线性能量值和发电量的次优合同的PDE的数值解。

PDE采用标准有限差分法和隐式-欧拉格式进行求解。我们将图6中的生产者确定性等效收益与向消费者发送能量价值函数（4.1）和命题3.2（i）线性近似的次优合同时获得的收益进行比较。在这两种情况下，合同的初始条件由命题A.1给出的消费者保留效用给出，f由关系式（4.1）给出。因此，图6仅测量了能量值函数线性近似产生的收益损失。不出所料，我们发现能量值函数的凹度越大，线性近似对生产者的利益损失就越大。仅在一次使用的情况下，f的凹度乘以五倍会导致四分之一的损失。更多用法的引入有两个影响：与线性化无关的总体效益下降和这种近似引起的影响。凹度的线性近似值可以减少生产者一半的收益。0 1 2 3 4 501234560 1 2 3 4 501234560 1 2 3 4 50123456图6：一（左）、二（中）和四（右）用法的生产者确定性等效效益，线性近似为f（蓝色连续线），非线性近似为f（红色虚线）。图7显示了在第二个最佳合约下观察到的总波动率，f的线性近似值与其真实值相比。我们观察到，convavity增加了非线性能量值函数和其线性近似之间的差距。

尽管如此，线性近似为f的次优合约仍然成功地在收缩前显著降低了波动性，即使有越来越多的智者。图8显示了在实施线性合同的情况下，生产者的确定性等效收益，其中响应性和无响应性是消费者能源价值函数凹度的函数。因此，该图给出的损失不是由合同的线性化引起的，而是由能源价值函数的线性化中缺乏响应性激励引起的。首先，考虑多个用途可以减少两个合同之间的差异，因为响应性激励会降低合同的绩效。其次，随着凹度的增加，利益的差异也会增加，这使得责任激励机制的实施更具可行性。0 1 2 3 4 5607080901001101200 1 2 3 4 5607080901001101200 1 2 3 4 560708090100110120图7：1（左）、2（中）和4（右）使用的挥发率（瓦特）与f（蓝点）的线性近似和非线性f（红星）的线性近似。黑色虚线表示无合同消费的波动性。0 1 2 3 4 5-2-101234560 1 2 3 4 5-2-101234560 1 2 3 4 5-2-10123456图8：具有一（左）、二（中）和四（右）种线性近似合同的生产者收益的确定性等价物，具有响应性激励（红色虚线）和无响应性激励（蓝色连续线）。4.4实际问题我们在前面的章节中已经看到，诱导消费者对价格信号的响应增加的最佳合同应该写在消费的二次变化上。

在离散时间0=t<t···tn=t时，二次变化hxit可近似为hxit≈n-1Xi=0Xti+1- Xti公司.关于能源消耗，家庭清楚地表明，他们减少了房屋供暖，这一事实与他们减少了能源消耗之间存在着联系。但是，不明显的是，domesicconsumers首先会理解为什么要向他们收取与数量成比例的价格，其次，他们白天采取的不同行动与此有何关系。消费者可能无法接受合同的真实形式。有必要进行简化，以提高其潜在的可接受性。人们可以想到的一种方法是对平均消费量的事件-每事件变化进行索引。一个事件k，生产者测量数量“Xk：=RTXtdt”，并向消费者收取与数量Vk：=| Xk成比例的成本- Xc |其中Xc是按照Chao（2011）[11]的精神进行的合同化目标消费。这个合同显然是次优的：我们失去了一个事实，即在价格事件开始时，响应的激励价格应该更高，我们失去了一个事实，即合同应该写在二次变化上，而不是写在L-范数上，等等。但是，我们有一种简单的方法可以向消费者提供兴奋剂，使其尽可能接近给定的消费模式。VKI的数量以kWh为单位，可以理解为以e/kWh为单位的价格收费，就像能源一样。5结论本文运用委托代理框架下的道德风险问题，对需求响应契约提出了新的观点，并说明了如何在提高消费者反应能力的同时，降低平均消费。在边际成本和能源价值不变的情况下，我们为最优合同提供了一个封闭形式的表达式。

我们表明，最优契约有一个回扣形式，能源价格和波动率与其边际成本值不同。我们还展示了最优合约如何允许系统承担更多风险。我们的模型与定价试验数据的校准预测，消费者降低其平均消费的成本将为生产者带来显著的好处，并显著提高消费者的响应能力，从而提高需求响应计划的效率。这些预测是可以检验的。如果我们的说法是正确的，那么根据消费者在价格事件中的消费规律对消费者付款进行索引，应该可以大大提高需求响应计划的效率。我们确实需要实验来验证这一预测。技术证明A。1命题证明2.2无合同消费者行为我们首先提供以下消费者预订效用的特征。提案A.1。假设f是凹的、非递减的和Lipschitz。然后，以下内容成立。（i） 消费者保留实用程序在X中是凹的，由R=-e-rE（0，X），其中相应的确定性当量E是HJB方程的粘度解tE+HvExx公司- 雷克斯+ f=0，在[0，T）×R上，E（T，x）=0，x∈ R、 （A.1）生长受| E（t，x）|控制≤ C（T- t） | x |，对于某些常数C.（ii），假设PDE（A.1）有一个C1,2溶液，其增长由| E（t，x）|控制≤ C（T-t） | x |，对于某些常数C；然后，通过反馈控制S=0和bj=1确定消费者的最佳效果∧λj（Exx- 雷克斯）-, j=1，d、 证明。（i） 由于f在增加，消费者没有理由对消费偏差的漂移进行补偿，因为这一昂贵的补偿不会得到补偿。然而，由于消费者的风险厌恶，这一论点不适用于对波动性的影响。

当消费者具有参数r的恒定风险厌恶效用时，她的保留效用降低toR：=supP（0，β）∈PEP（0，β）h- e-rRT（f（Xt）-c（βt））dti。（A.2）初始数据中的凹度Xis是f的凹度和c的凸度的直接结果。根据标准随机控制理论，可以得出R=R（0，X），其中函数R是保留效用的动态版本，最终值R（T，X）=-1，是对应HJB方程的粘度解：0=tR公司- rfR+supb∈（0,1）d|σ（b）| Rxx+rc（b）R= tR公司- rfR公司- rR高压Rxx-rR（右后）.用Xt表示，xs：=x+xs-t移位正则过程从初始数据（t，x）开始。因为f是Lipschitz，请注意r（t，x）≥ EP0,1h- e-rRTtf（Xt，xs）dsi≥ -EP0,1her | f|∞RTt | Xt，xs | dsi≥ -EP0,1her | f|∞（（T-t） | x |+RTt | Xt，0s | dt）i≥ -Cer | f|∞（T-t） | x |，其中c：=EP0,1her | f|∞RT | Xt，0s | ds）i<∞,自Xt起，0s是所有s的中心高斯随机变量∈ [t，t]。作为c≥ 0，我们还有r（t，x）≤ supP（0，β）∈PEP0，βh- e-rRTtf（Xt，xs）dsi=EP0,1h- e-rRTtf（Xt，xs）dsi≤ -总工程师-r | f|∞（T-t） | x |，其中c：=EP0,1he-r | f|∞RT | Xt，0s | ds）i<∞,使用与前面相同的参数。然后，确定性等效函数E，由R=：-e-满足PDE（A.1），增长由E（t，x）控制≤ （C）∨ C） （T- t） | x]。（ii）我们现在假设PDE（A.1）有一个C1,2溶液，其增长由| E（t，x）|控制≤C（T- t） | x |。那么^R：=-e-rEis也是C1,2（[0，T]×R）。表示Kβt：=e-rRt（f（Xs）-c（βs））ds，and tn：=inf{t>0：| Xt- X |≥ n} ，我们通过It^o的公式计算，对于所有P（0，β）∈ P、 ^R（0，X）=EP0，βKβTn^R（Tn，XTn）-ZTnKβtt^R+|σ（βt）| vxx- rf-c（βt）^R（t，Xt）dt≥ EP0，βhKβTn^R（Tn，XTn）i-→ EP0，βhKβT^R（T，XT）i=EP0，βh- KβTi，其中局部鞅部分验证EP0，βRTnKβt^Rx（t，Xt）σ（βt）dWt= 0，因为^Rxis在[0，Tn]上有界，σ（β）有界。

第二个不等式来自于R满足的PDE，最后一个极限是通过控制R的增长以及最终条件R（T，）=-1、P（0，β）的任意性∈ P、 这意味着^R（0，X）≥ R、 为了证明等式，我们现在从命题2.1中观察到，通过选择b（t，x）：=bb（Exx- Ex）（t，x）如命题2.1所定义，如果随机微分方程dXt=σ（b（t，Xt））为弱解，则将之前计算中的（唯一）不等式转化为等式。函数σo b有界且连续，见Karatzas和Shreve【31，定理5.4.22和备注5.4.23】。因此，^R（0，X）=R和（a，b）是最佳反馈控制。现在我们来证明这个命题。提案A.2。（无契约的消费者行为）设f（x）=κx，x∈ R、 对于某些κ≥ 那么，VA（0）=UA（κXT+E（T）），其中E（T）：=ZTHv- γ（t）dt和γ（t）：=-rκ（T- t） 。消费者对漂移和每次波动率使用的最佳影响分别为a=0和bj（t）：=ε∨ (1 ∧λj |γ（t）|-), j=1，d、 从而得出一个最优分布Punder，其偏差过程遵循动力学dXt=bσb（t）· dWt，对于某些P-布朗运动W。证据值VA（0）在X中是凹的，由VA（0）=-e-rE（0，X），其中对应的确定性当量E是HJB方程的粘度解-tE=f+HvExx公司- 雷克斯在[0，T）×R上，E（T，x）=0，x∈ R、 通过直接在PDE（A.1）中插入猜测E（t，x）=C（t）x+E（t），我们得到了C（t）x+E（t）+Hv- 钢筋混凝土（t）+ κx=0，其中C（T）=E（T）=0。这需要C（t）=κ（t- t） E（t）=RTtHv- 钢筋混凝土ds，0≤ t型≤ T最后，最大值B的表达式遵循命题2.1。

由于PDE的光滑解具有适当的线性增长，我们从命题A.1（ii）得出结论，它确实是诱导VA（0）的值函数。A、 2命题证明3.1第一-最佳合同我们在这里提供了第一-最佳问题（2.6）的解决方案，对应于在消费者满意度高于保留效用的约束条件下，生产者选择合同ξ和消费者的福利水平ν的情况。引入拉格朗日乘数`≥ 0来惩罚参与约束，并应用经典的Karush–Kuhn–Tucker方法，我们可以将生产者的第一个–最佳问题公式化为VFB=inf`≥0- `R+sup（ξ，Pν）EPνU- ξ - KνT+ `UA公司ξ+GνT, （A.3）式中，GνT：=RTg（Xs）ds+hhxit，KνT：=RT（f（Xs）- c（νs））ds。ξ中的一阶条件为-U- ξ`- GνT+ `UA公司ξ\'+KνT= 0、鉴于我们对效用函数的规定，这为给定的范围乘数“ξ”：=p+rln提供了最佳合同付款r`p公司-pp+rGνT-rp+rKνT.（A.4）替换（A.3）中的表达式，我们看到委托人的第一个-最好问题减少到vfb=inf`≥0`- R+1+rpr`p公司-rr+p'V, 带“V”：=supPνEPνh- e-ρRT（（f-g） （Xt）-c（νt））dt-hhXiT公司i、 ρ：=r+p。注意，V不依赖于拉格朗日乘数。然后直接计算得出最佳拉格朗日乘数和第一最佳值函数`？：=公共关系(R)VR1+pr，因此Vfb=R(R)VR1+pr.（A.5）这导致了以下主张。提案A.3。

假设f- g是Lipschitz连续的。然后（i）(R)V=-e-ρ？v（0，X），其中？v有增长？v（t，X）|≤ C（T-t） | x |，对于某些常数C>0，是偏微分方程的粘度解- t'v=（f- g） +Hm（(R)vx）+Hv(R)vxx- ρ？vx- h类, 在[0，T）×R和'v（T，）=0，（A.6），因此，通过（A.5），第一个最佳值函数Vfb=U（(R)v（0，X）- 五十） 。（ii）如果另外v是平滑的，AFB（t，Xt）：=ba给出了减少消费偏差及其波动性的最佳效果zfb（t，Xt）, 和bfb（t，Xt）：=bbγfb（t，Xt）, t型∈ [0，T]，（A.7），其中ZFB（T，x）：=？vx（T，x），γfb（T，x）：=？vxx（T，x）- ρ？vx（t，x）- h、 （t，x）∈ [0，T]×R.（iii）表示νfb：=（afb，bfb），最优第一-最佳合同可以写成ξfb=L-pp+r'v（0，X）-rp+rZTf（Xt）- c（νfb（t，Xt））dt公司-pp+rZTg（Xt）dt+HXIT。证据根据标准随机控制理论，可以通过相应的Jb方程来表征Vt'V- ρ（f- g） ？V+supa∈研发部+- a·1'Vx+ρc（a）'V+supb公司∈[0,1）d|σ（b）|（\'Vxx+ρh'V）+ρc（b）= 0？V（T，）=-1、设置“V（t，x）=-e-ρ'v（t，x），我们通过直接替换得到满足'v的PDE-t'v=（f- g）- infa公司a·1’vx+c（a）-免疫纳米荧光微球c（b）- |σ（b）|(R)vxx- ρ？vx- h类根据消费者哈密顿量（2.8）的定义，v（T，x）=0，（A.8），这与命题陈述中的PDE一致。接下来，我们证明了对v增长的控制。首先，由于成本函数c是非负的，我们得到了v≤ supPνEPνh- e-ρ（RT（f-g） （Xt）dt）i≤ supPνEPνh- e-ρ（（f-g） （X）+f-g级|∞RT | Xt | dt）i<-∞.另一方面，当无效益成本c（0，1）=0时，则得出'V≥ EP0,1h- e-ρ（RT（f-g） （Xt）dt）i≥ supPνEPνh- e-ρ（（f-g） （十）-|f-g级|∞RT | Xt | dt）i>-∞.这表明eCT | X|≤\'\'V≤ eCT | X |，对于某些常数C，C>0，因此| E（0，X）|≤（C）∨ C） | x | T。