具有响应性的最优电力需求响应契约

根据问题的同质性，我们通过简单地将时间原点移到任何t<t的位置，推导出宣布的增长控制。在平滑度假设下，我们遵循命题A.1证明的验证论点，证明命题2.1中得出的最优消费者响应是问题V的最优反馈控制。使用Vfb=R的事实重新-ρ（(R)v（0，X））p+R和L=-rlog(-R） ，onegetsVfb=-e-p（\'v（0，X）-五十） 。最后，通过直接替换（A.4）中的最佳拉格朗日乘子（A.5），ξfB的表达式如下。在以下情况下（f- g） x=δx，我们猜测v（t，x）=δ（t- t） x+Rt？m（s）ds满足模型（A.11），其中？m（t）=Hm（δ（t- t） ）+高压(-h类- ρδ（T- t） ）。价值函数v满足命题A.3和PDE（A.11）的假设。重新排列提案A.3中第一个最佳合同（iii）的表述中的术语，形成了合同提案3.1。A、 3命题证明3.2第二最佳契约由于响应性效应引起的波动率在零以上一致有界，且水平降低效应有界，我们可以遵循Cvitani'c等人（2018）[15]基于Sannikov（2008）[45]的一般方法。设V是所有成对过程（Z，Γ）和常数y的集合∈ R、 归纳合同子类ξ=Yy，Z，ΓT，其中Yy，Z，ΓT：=y+ZtZsdXs+ZtΓs+rZsdhXis公司-Zt公司H（Zs，Γs）+f（Xs）ds，t∈ [0，T]。（A.9）我们从Cvitani'cet al.（2018）回忆起，UAYy，Z，Γt表示代理的延续实用程序，因此Yy、Z、Γ是代理确定性等价物的时间t值。本合同在消费偏差X和相应的二次变化hXi水平上有效，具有线性系数Z和Γ。

常数partRT（H（Zs，Γs）+f（Xs））ds表示消费者效用收益的确定性等价物，消费者效用收益可以通过对合同的最佳响应来实现，因此从委托人的付款中减去，这与通常的委托-代理道德风险类型的合同一致（见【34，第4章】）。此外，在目前的情况下，代理人的风险规避意味着小额支付ZTDXT必须通过额外支付ZTDHXIT进行补偿，因此，正式而言，支付ZTDXT对代理人预期效用的影响是- 经验值- rZtdXt+rZtdhXit+ 1.~ -1+rZtdXt+rZtdhXit-rZtdhXit+1~ rZtdXt。在消费者的最优响应下，消费者的消费偏差动力学和消费者的确定等价性由xz，Γt：=X给出-Ztba（Zs）·1ds+Ztbσ（Γs）·dWsYY，Z，Γt=Y+Ztcba（Zs），bb（Γs）- f（XZ，Γs）+rZs | bσ（Γs）|ds+ZtZsbσ（Γs）·dWs，因此平均付款率包括偿还消费者的成本减去收益c-f、 以及消费者承担消费偏差波动风险的额外赔偿。请注意，平均付款率可以是正的，也可以是负的。备注A.1。（i） 假设生产商提出的合同ξ由y=-rln公司(-R） ，Z=Γ≡ 0，即ξ=-rln公司(-R）-RTf（Xνt）dt，这里的哈密顿量满足Hv（0）≡ 然后，通过求解效用最大化问题va（ξ）=supPν，获得消费者的最佳响应∈佩华-ZTc（νt）dti、 由于成本函数c在效用上是非递减的，在最佳情况下，消费者既不会对漂移也不会对波动性产生影响。与命题A.1相比，这表明无合同与上述合同ξ不同，付款率为零。（ii）我们还可以研究生产者向消费者支付ξ=0的合同的情况。

这是通过选择Zt=Ex（t，Xt）和Γt=（Exx）实现的- Ex）（t，Xt），其中命题A.1中定义了确定的等价保留E。从消费者的角度来看，这种契约显然等同于无契约设置，从而对消费者最佳反应的波动性产生积极影响。根据Cvitani'c等人（2018）的主要结果，我们可以将委托人的问题归结为对Yy、Z、ΓT类合同的优化，其中y≥ 土地（Z，Γ）∈ 五、 通过y中明显的单调性，这导致了以下标准随机控制问题vsb=supZ，ΓEU- LZ，ΓT, LZ，Γt：=YZ，Γt+ZtgXZ，Γsds+hdhXZ，Γis，t∈ [0，T]，起点y=L。状态变量L表示消费者最佳响应下生产者的损失，由动态Lz，ΓT定义=2（克- f） （XZ，Γt）+bc（Zt）+f（rZt+h，Γt）dt+Ztbσ（Γt）·dWt，t∈ [0，T）。其中f（q，γ）：=qbσ（γ）+ bc（γ）。（A.10）当波动的单位成本为q，波动减少的支付率为γ时，函数f（q，γ）衡量生产者因波动而产生的总成本。术语q | bσ（γ）|是波动的内在成本，而术语bc（γ）是消费者产生的效用成本。这最后的成本将由生产者支付，并因此进入波动性成本的评估。生产者的目标是使术语| bσ（γ）|尽可能小。为了实现这一目标，应支付大量的γ来降低| bσ（γ）|，但这只能以增加成本bc（γ）为代价。引理A.1。设F（q）：=infγ≤0f（q，γ）。那么F（q）=F（q，-q） =-2Hv(-q） 是非递减的。证明：回想一下f（q，γ）=qbσ（γ）+ bc（γ），其中bc（γ）=dXj=1σjλjbbj（γ）-1.- 1.,bσ（γ）=dXj=1σjbbj（γ）和bbj（γ）：=1∧ （λjγ-)-∨ ε.Ifλjγ-≤ 1 thenbj（γ）=1，thusbbj（γ）=0。

类似地，如果λjγ-≥ ε-（1+1），thenbj（γ）=ε，thusbbj（γ）=0。最后，如果ε-（1+1）>λjγ-> 1 thenbbj（γ）=(-λiγ）-thusbbj（γ）=λ-j(-γ)--1= -2γbbj（γ）。定义nowfj（γ）：=σjλjbbj（γ）-1.- 1.+ qσjbbj（γ）。我们有fj（γ）=σjλj-bbj（γ）-2bbj（γ）+ qσjbbj（γ）。如果-ε-（1+1）<λjγ<-1，一个hasbbj（γ）-2= -λjγ和thusfj（γ）=σjγ+q）bbj（γ）=-1+qγσjbbj（γ）1{-ε-2<λjγ<-1}.因此fγ（q，γ）=-1+qγdXi=1σibbi（γ）1{-ε-2<λiγ<-1}.因此，在γ=-q当至少有一个索引i时∈ {1，…，d}这样q∈ [1/λi，ε-2/λi]，否则fde不依赖于q。因此，我们可以认为最小值总是γ=-q、 因此F（q）=F（q，-q） 。直接计算现在显示Fj(-q） =σjλj{λjq≤1} λjq+1{ε-2> λjq>1}2（λjq）- 1.+ 1{ε-2.≤λjq}λjεq+ε-1.- 1.,因此，通过将所有的项SF（q）=dXj=1σjλj相加{λjq≤1} λjq+1{ε-2> λjq>1}2（λjq）- 1.+ 1{ε-2.≤λjq}λjεq+ε-1.- 1.,从中可以清楚地看出，金融机构没有减少。次优问题的值函数可以描述如下。提案A.4（次优合同）。假设f- g是Lipschitz连续的。

然后（i）Vsb=-e-p（v（0，X）-五十） 式中，v有增长| v（t，x）|≤ C（T- t） | x |，对于某些常数C>0，并且是偏微分方程的粘性解-tv=f- g+(R)uvx-infz公司∈RFq（vx，vxx，z）+ u（z）-+ vx）+ηA（vx，z）, 在[0，T）×R，v（T，）=0，（A.11），q（vx，vxx，z）：=h- vxx+rz+p（z- vx）和ηA（vx，z）：=（vx+（z-- A） +）- vx公司-→ 0，作为%∞.（ii）如果另外v是平滑的，则激励代理响应的最佳支付率γsb为γsb（t，Xt）：=-h+vxx（t，Xt）- rzsb（t，Xt）- pzsb（t，Xt）- vx（t，Xt）, t型∈ [0，T]，（A.12），减少消费偏差的最佳支付率是最小化器zsbin（A.11），满足大的A:zsb∈vx、pr+pvx, 当vx≤ 0，当vx时，zsb=pr+pvx≥ 0.（iii）第二个最佳合同由ξsb给出：=- 日志(-R） R+ZTzsb（t，Xt）dXt+（γsb+rzsb）（t，Xt）dhXit-H（zsb，γsb）+f（t，Xt）dt。备注A.2。（i） 考虑风险中性消费者r=0的情况。由于金融机构未按Lemma递减。1，我们看到，在zsb=vx时，PDE（A.11）中的最小值达到，从而将PDE（A.11）减少到-电视- （f）- g）-uv-x个= -F（h- vxx）=高压（vxx- h） ，其中最后一个等式来自引理A.1。请注意，这与命题A.3（i）中给出的第一个最佳特征描述相同，因为在当前设置中ρ=0。特别是，生产者的价值函数独立于其风险规避参数p。漂移效应和波动率的最佳支付率由zsb=vx和γsb=-h+vxx，因此产生的最优合同也独立于生产者的风险规避p。这与h"olmstrom和Milgrom[27]在风险中性代理的情况下的结论一致，其中代理的最优效果独立于主要风险规避参数。证据

根据标准随机控制理论，主体值函数的动态版本，表示为V（t，x，`）：=Vsb（t，x，`），是相应HJB方程的粘度解，在整体上具有适当的增长-tV=（g- f） V`+sup（z，γ）∈注册护士bσ（γ）（h+rz）V`+Vxx+zV`+2zVx`- u2z-Vx公司-（z）-)五`+bc（γ）V`o，终端条件V（T，x，`）=U(-`), 对于（x，`）∈ R、 在生产者效用函数的恒定相对风险规避规定下，如下所示：-ptv=p（f- g）-infz，γnbσ（γ）（h+rz）p- pvxx+p（vx）+zp- 2zpvx+ u2z-pvx+p（z-)+ pbc（γ）o，减少到PDE（A.11）。通过遵循命题A.3证明中相同的论证线，利用差异f的Lipschitz特征，从v的增长控制推导出函数v的增长控制- g、 同样，在平滑条件下，相同的验证参数会导致最佳反馈控制，定义为第二个最佳生产者哈密顿量的最大值，从而确定最佳支付率。我们最终验证了最优支付率的其他属性是否成立。首先，如果vx≥ 0，地图z 7-→ Fh类- vxx+rz+p（z- vx）+ u（z-+ vx）z不增加≤pr+PVX因为Fis anon–递减功能。因此，当zsb=pr+pvx时，q（vx，vxx，z）的最小值达到map的最小值。第二，如果vx≤ 0时，前面的映射在区间（vx，pr+pvx）上是非长单调的。但是，z是不增加的≤ Vx和z非递减≥pr+pvx，使其最大值介于Vx和pr+pvx之间。在这两种情况下，关于γ的优化因子可以从引理A.1中推导出来，并由引理（A.12）给出。A、 4命题3.3第二好的非受控响应命题A.5（第二好的非受控响应）的证明。假设f- g=δx。

那么，Vsbm=Uw（0，X）- L) 式中，w有增长| w（t，x）|≤ C（T-t） | x |，对于某些常数C>0，是偏微分方程的粘度解-tw=（f-g） +uwx-infz公司∈R{q（wx，wxx，z）|σ|+(R)u（z-+wx）, 在[0，T）×R和w（T，）=0，（A.13），q（wx，wxx，z）=h- wxx+rz+p（z- wx），第二个最佳契约由ξsb给出=- 日志(-R） R+∧δX+ZTrzsb（t）|σ| dt-ZTHm（zsb（t））dt-ZT（κ- ∧δ）xtdt，其中zsb=∧δ（T- t） 其中∧：=p |σ|+(R)u1{wx<0}（p+r）|σ|+(R)u1{wx<0}。证据当Γ≡ 0，我们有F（q）=q |σ|，命题A.4（i）的偏微分方程因此减少到（A.13）。通过编写一阶条件直接获得最小值，然后得到最优契约。合同的形式是通过将部分集成应用于合同一般形式（A.9）的RTZSB（t）dXtof术语而获得的。A、 5命题证明3.4信息从命题A.3中，我们得到Vfb=U（(R)v（0，X）+rlog(-R） ）。何时（f- g） （x）=δx，我们有v（0，x）=δT x-ZTF公司(-γfb（t））dt，因为zfb（t）≥ 因此，bc（zfb（t））=0。进一步回顾推论3.1，当δ≥ 0，我们有vsb=U（v（0，X）+rlog(-R） v（0，X）=δT X-ZTF公司(-γsb（t））dt。在这种情况下，我们还有γsb=γfb。因此，第一个最佳值和第二个最佳值函数的确定性等价物相等，且I=0。

此外，第一最佳和第二最佳确定性等价物的相等意味着支付ξfB和ξsb相等，因为消费者的行为在这两种情况下是相同的。当δ<0且h+rδT≤我们知道zsb（t）=∧δ（t- t） ，所以∈RnF公司h+rz+p（z- A（t））+ u（z-+ A（t））o=h+r∧δ（T- t）|σ|，因此ψ（t）=ZTt|δ（t- t） dt公司-ZT公司h+r∧δ（T- t）|σ| dt。因此，在本案例中- Vsb公司p=L- δT X- ψ（0）=π+ZTγsbσγs- 卑诗省γs- ¨uδ（T- s）ds+ZTh+r∧δ（T- t）|σ| dt。此外，在此设置中，c（νfb）=c（afb）和-γfb=h+ρδ（T- t）≤\'λ，因为ρ<r，thusbbj（γfb）=1，我们有c（afb（t））=\'uδ（t- t） 。因此，我们得到i=ZTγfb（t）bσbfb（t）dt+ZTh+r∧δ（T- t）|σ| dt=|σ|r∧- ρZTδ（T- t） dt，我们使用的事实是-γfb=h+ρδ（T- t） 。下面是必需的表达式。参考文献【1】W.Abrahamse、L.Steg、C.Vlek、T.Rothengatter。旨在家庭节能的干预研究综述。《环境心理学杂志》，25（3）：273–2912005年。[2] C.Alasseur、I.Ekeland、R.'Elie、N.Hernández Santibá~nez、D.Possamai。电力定价的逆向选择方法。arXiv预印本arXiv:1706.01934v12017。[3] O.Bandiera，I.Barankay，I.Rasul。社会偏好和对激励的反应：来自人事数据的证据。《经济学季刊》，120（3）：917–9622005。[4] F.E.Benth、A.Cartea、R.Kiesel。用确定性等价原则对电力市场中的远期合约定价：解释市场风险溢价的符号。《银行与金融杂志》，32:2006–2021，2008年。[5] H.L.Bessembinder，M.L.Lemmon。电力期货市场的均衡定价和最优套期保值。《金融杂志》，57（3）：1347–13822002年。[6] P.Bradley，M.Leach，J.Torriti。英国电力需求响应的成本和效益回顾。能源政策，52:312–3272013。[7] D.P.布朗，D.E.M。

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